PARAMETRY CHARAKTERYZUJ
CE ROZKA
AD ZMIENNEJ.
Zmienna losowa jest opisana w pełni przez swój rozkład prawdopodobieństwa. Względy
praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia pewnych charakterystyk liczbowych
pozwalających porównać rozkłady miedzy sobą.
Wartość oczekiwana (średnia zmiennej losowej).
Definicja: Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie dyskretnym nazywamy
ozn
liczbę: m = E(X ) = pi , gdzie xi - wartość zmiennej losowej, pi = P(X = xi ), gdy szereg
"xi
i
xi pi jest zbie\
ny. Je\
eli szereg xi pi rozbie\
ny to mówimy, \
e zmienna losowa nie
" "
i i
posiada wartości oczekiwanej.
Definicja: Wartością oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym nazywamy liczbę
" "
ozn
m = E(X ) = x �" f (x)dx o ile x �" f (x)dx jest zbie\
na. Je\
eli całka jest rozbie\
na to
+" +"
-" -"
mówimy, \
e wartość oczekiwana nie istnieje.
Przykład: Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym, gdzie
x  liczba orłów w rzucie dwoma monetami.
xi 0 1 2
1 2 1
pi
4 4 4
1 1 1
m = EX = 0�" +1�" + 2 �" = 1.
4 2 4
Przykład: Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym, gdzie
1 1
funkcja gęstości wyra\
a się wzorem: f (x) = , x " R .
Ą 1+ x2
" " "
x �ł �ł
1+ x2 = t
1 1 2x 1 dt
�ł
dx = = =
+" +"1+ dx = �ł +"
Ą 1+ x2 Ą x2 �ł2xdx �ł Ą t
= dt
-" 0 �ł łł 1
.
k
1 1 1 k 1 �ł łł
lim dt = lim[ln t ] = lim�łln k - ln1śł = +"
+" 1
k " k " k "
Ą t Ą Ą
�ł 0 �ł
1
Wartość oczekiwana nie istnieje.
Przykład: Wez
my dwa rozkłady zmiennych losowych X i Y.
X:
xi -1 0 1
1 1 1
EX = -1�" + 0�" +1�" = 0
1 1 1
pi
3 3 3
3 3 3
Y:
yi -100 0 100
1 1 1
1 1 1
EY = -100�" + 0�" +100�" = 0
pi
3 3 3
3 3 3
Uwaga:
Je\
eli zmienna losowa Y jest funkcją zmiennej losowej X tzn. Y = g(X ) i znamy rozkład
zmiennej X, to mo\
emy znalez
ć EY przy zało\
eniu, \
e ta wartość istnieje.
1) je\
eli zmienna X jest zmienną o rozkładzie dyskretnym przyjmującą wartości x1, x2,... z
prawdopodobieństwami P(X = xi )= pi oraz )pi jest zbie\
ny bezwzględnie, to
"g(xi
i
EY = g(xi )pi .
"
i
2) je\
eli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym i funkcją gęstości f i Y = g(X ) oraz
" "
g(x)f (x)dx jest bezwzględnie zbie\
na, to wartość oczekiwana EY = g(x)f (x)dx .
+" +"
-" -"
Twierdzenie: Je\
eli istnieje wartość oczekiwana EX, to dla dowolnych a,b" R zachodzi
wzór: E(aX + b)= aEX + b .
Dowód: Wez
my g(x)= ax + b .
E(aX + b)= + b)pi = pi + = a pi + b pi =aEX + b . %
"(axi "axi "bpi "xi "
i i i i i
EX 1
Wnioski: E(X + b)= EX + b dla a=1, E(aX )= aEX dla b=0, E(b)= b dla a=0.
Uwaga:
Je\
eli zmienne X i Y są określone na tej samej przestrzeni zdarzeń i EX i EY istnieją, to
E(X +Y )= EX + EY .
Definicja:
k
Liczbę mk = E(X )nazywamy k-tym momentem zwykłym lub momentem zwykłym k-tego
rzędu.
Definicja
k
Liczbę �' = E((X - c) ) nazywamy momentem rzędu k względem stałej c.
k
Je\
eli c = m1 = EX , to momenty te nazywamy k-tymi momentami centralnymi lub
momentami centralnymi k-tego rzędu.
k k
Momenty centralne oznaczamy: �k = E((X - m1) )= E((X - EX ) ).
Definicja:
2
2
Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę � = D2(X )= E((X - E(X )) )= �2 .
Wariancja to średnia odchyleń kwadratów od wartości oczekiwanej.
2
�ł 2
1) X  rozkład dyskretny D2 X = xi - EX �" pi = - m) pi m = EX .
�ł �ł
"�ł "(xi
i �ł m łł i
"
2
2) X  rozkład ciągły D2 X = - m) f (x)dx .
+"(x
-"
Twierdzenie:
2
2
D2 X = EX -(EX ) .
2 2 2
2 2
Dowód: D2 X = E((X - EX ) )= E(X - 2EX �" X -(EX ) )= EX - E(2EX �" X )+ E((EX ) )=
2 2
2 2
= EX - 2EX �" EX + (EX ) = EX -(EX ) . %
2
Uwaga: 1) X  ma rozkład dyskretny D2 X = pi - m2 ; 2) X  ma rozkład ciągły
"xi
i
"
D2 X = x2 f (x)dx - m2 .
+"
-"
Przykład 1: X  rozkład liczby orłów w 2-krotnym rzucie monetą.
xi 0 1 2 EX=1
1 2 1 2 1
1 2 1
2
D2 X = pi -1 = 0�" +1�" + 4�" -1 = =
pi
"xi
4 4 4 4 2
4 4 4
i
Przykład 2:
1 1 1
xi -1 0 1 X: EX = -1�" + 0�" +1�" = 0
3 3 3
1 1 1
pi
1 1 2
3 3 3 D2 X = 1�" +1�" =
3 3 3
1 1 1
xi -100 0 100
Y: EY = -100�" + 0�" +100�" = 0
3 3 3
1 1 1
pi
1 1 20000
3 3 3
D2Y =10000�" +10000�" = .
3 3 3
Przykład 3: Niech zmienna losowa o rozkładzie ciągłym ma taką funkcję gęstości:
0 x < 0
ńł
f (x)= .
�ł
-x
ółe x e" 0
" "
-x
EX = �" f (x)dx = dx
+"x +"xe
-" 0
u = x u'= 1
�ł �ł
-x -x
�ł = -xe-x + dx = -xe-x - e-x + c .
+"xe dx = �ł �ł +"e
�łv' e-x
= v = -e-x
�ł łł
"
H
k k +1 1
EX = xe-xdx = lim[- e-x(x +1)] = lim�ł +1�ł=lim +1 =1
�ł �ł
0
+"
k" k"
- ek łł k" - ek
�ł
0
" "
2
EX = x2 f (x)dx = x2e-xdx
+" +"
-" 0
�ł �ł
u = x2 u'= 2x
2 -x
�ł -x2e-x + 2 dx = -e-x(x2 + 2x + 2)+ c
=
+"x e-xdx = �ł +"xe
�łv' e-x
= v = -e-x �ł
�ł łł
�ł łł
�ł �ł
2 2
EX = lim�ł- e-k �łk + 2k + 2�ł + 2śł = 2
�ł �ł
k"
�ł 0 łł
�ł �ł
2
D2 X = EX - m2 = 2 -12 = 1.
2
ńł
�ł
x e" 1
Przykład 4: Obliczyć wariancję zmiennej losowej o funkcji gęstości: f (x)= .
�ł
x3
�ł
0 x < 1
ół
�ł łł
k
" " k
2 2 2
�ł- 2
łł
�ł śł
EX = x �" f (x)dx = x �" dx = lim dx =lim = lim + 2 = 2
+" +" +"
�ł śł
x3 k" x2 k" x k
�ł �ł1 k"�ł- śł
-" 1 1
�ł śł
�ł 0 �ł
"
x f (x)dx
+"
-"
" " k
2 2 k �ł łł
2
EX = x2 f (x)dx = x2 �" dx = lim dx =lim[2ln x] = lim�ł2ln k - 2ln1śł = +" .
+" +" +" 1
k" k"
x3 k" x
�ł 0 �ł
-" 1 1
Definicja: Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy � = D2 X .
Własności wariancji:
1) D2c = 0 c-stała,
2) D2(cX )= c2D2(X ),
3) D2(X + b)= D2 X .
2
Dowód 1): D2(c)= E(c2)-(E(c)) = c2 - c2 = 0 .
Dowód 2):
2 2 2 2
2 2 2 2
D2(cX )= E(c2 X )-(E(cX )) = c2EX -(cEX ) = c2EX - c2(EX ) = c2(EX -(EX ) )= c2D2 X
.
2 2 2
D2(x+b)= E((+b) )-(E(x+b)) = E(X2 +2Xb+b2)-(E(X)+b) =
Dowód 3):
2
2 2
= EX + E(2Xb)+ E(b2)-((EX ) + b2 + 2bEX)= EX -(EX ) = D2 X . %
2bEX
b2
Wartość medialna (MEDIANA) i wartość modalna (MODA, DOMINANTA) zmiennej
losowej.
Definicja:
Wartością medialną lub środkową ozn. me nazywamy tę wartość x, dla której spełnione są
1 1
dwie nierówności: P(X e" x)e" , P(X d" x)e" .
2 2
1 1
me = x �! P(X e" x)e" '" P(X d" x)e" .
2 2
Twierdzenie:
1
Je\
eli X na rozkład ciągły o dystrybuancie F, to me = x �! F(x) = .
2
1 1
Dowód: me = x �! P(X e" x)e" '" P(X d" x)e"
2 2
1 1 1 1
1) P(X e" x)e" �! 1- P(X < x)e" �! 1- F(x)e" �! F(x)d" .
2 2 2 2
1 1 1 1
2) P(X d" x)e" �! P(X < x)+ P(X = x)e" �! F(x)+ P(X = x) e" �! F(x)e" .
2 2 2 2
0
1
Z 1) i 2) mamy F(x)= . %
2
W przypadku zmiennej o rozkładzie ciągłym wygodniej jest posługiwać się dystrybuantą.
Przykład: X  rzut dwoma monetami (ilość orłów).
0 1 2
xi
1 2 1
pi
4 4 4
Przykład: Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu dyskretnego
X:
xi 0 1 2 3 4
pi 0,15 0,2 0,1 0,25 0,3
0 x d" 0
ńł
�ł0,15 0 < x d" 1
�ł
�ł
�ł0,35 1 < x d" 2
F(x) = me = 3 mo = 4
�ł
�ł0,45 2 < x d" 3
�ł0,7 3 < x d" 4
�ł
�ł
ół1 x > 4
Definicja:
Wartością modalną (m0) lub dominantą lub modą zmiennej losowej X o rozkładzie
dyskretnym nazywamy tę jej wartość, której odpowiada największe prawdopodobieństwo.
Definicja:
Wartością modalną (m0) lub dominantą lub modą zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym
nazywamy tę jej wartość, której funkcja gęstości osiąga maximum.
Przykład: Zmienna losowa X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości
1
ńł
sin x dla�"0 < x d" Ą
�ł
f (x) = .
2
�ł
�ł0 w p.p.
ół
Wyznaczyć wartość medialną i modalną.
1) Wartość medialna:
x
Wyznaczamy dystrybuantę: F(x) = P(X < x) = f (t)dt
+"
-"
x
x d" 0 wtedy F(x) = 0 = 0dt
+"
-"
x
x x x
1 1
�ł
0 < x d" Ą wtedy F(x) = f (t)dt = f (t)dt = sintdt = costłł =
+" +" +"
�ł- śł
-" 0 0
2 2
�ł �ł0
1 1 1
= - cos x + = [1- cos x]
2 2 2
x x
1
x > Ą wtedy F(x) = f (t)dt = sin tdt = 1
+" +"
-" 0
2
0 x d" 0
ńł
�ł1
�ł
F(x) = [1- cos x] 0 < x d" Ą
�ł
�ł2
x > Ą
�ł
ół1
1
Mamy znalez
ć taki x gdzie F(x) = .
2
1 1 1 Ą
F(x) = �! (1- cos x) = �! 1- cos x = 1 �! cos x = 0 �! x =
2 2 2 2
Ą
me =
2
2) Wartość modalna:
1 Ą
f `(x) = 0 �! cos x = 0 �! x = gdy 0 < x < Ą
2 2
3) Wyznaczamy wartość oczekiwaną:
" Ą u = x u`= 1
1
EX = x �" f (x)dx = xsin xdx = =
+" +"
-" 0
2 v`= sin x v = -cos x
Ą
1 1 Ą
Ą Ą
�ł
= [- xcos x] + cos xdx�ł = (-Ą cosĄ +[sin x] )=
�ł �ł
0 0
+"
0
�ł łł
2 2 2
Wartość EX = me = m0. Taki rozkład nazywa się rozkładem symetrycznym.
Inne parametry zmiennych losowych jednowymiarowych.
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej dzielimy na 3 grupy:
1) miary poło\
enia:
wartość oczekiwana
kwanty rzędu ą ( w szczególności kwantyl dolny i górny oraz mediana )
moda
2) miary rozproszenia:
wariancja
odchylenie standardowe
odchylenie przeciętne
współczynnik zmienności
3) charakterystyki kształtu
współczynnik skośności (asymetrii)
współczynnik skupienia
Definicja:
Kwantylem rzędu ą gdzie 0<ą<1 zmiennej losowej X nazywamy liczbę qą zdefiniowaną
nierównością: F(qą) d" ą d" F(qą+).
Szczególnym przypadkiem kwantyla jest q0,5  mediana, q0,25  kwartyl dolny oraz
q0,75  kwartyl górny.
Kwantyl qą ma następującą interpretację:
ą  masa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nie przekracza liczby qą
Uwaga: Je\
eli zmienna losowa X ma rozkład ciągły, to
qą
F(qą) = ą �! f (x)dx = ą
+"
-"
Definicja: Odchyleniem przeciętnym (d) nazywamy liczbę:
d = xi - m pi gdy X ma rozkład dyskretny
"
i
"
d = x - m f (x)dx gdy X ma rozkład ciągły.
+"
-"
 o ile szereg lub całka są zbie\
ne.
Zarówno odchylenie standardowe jak i przeciętne mówi -o ile przeciętnie ró\
nią się wartości
zmiennej od wartości oczekiwanej m.
Wygodnie jest czasem scharakteryzować rozproszenie nie za pomocą odchylenia
standardowego lecz jego stosunku do wartości oczekiwanej.
Definicja: Stosunek odchylenia standardowego do wartości oczekiwanej nazywamy
�2
� (x)
współczynnikiem zmienności i oznaczamy: V (x) = = .
E(x) m1
Uwaga:
Współczynnik zmienności jest odchyleniem standardowym, gdy EX=1 , inaczej mówiąc
współczynnik zmienności jest miarą rozproszenia, gdy za jednostkę przyjmiemy wartość
oczekiwaną. Mówi on o zró\
nicowaniu wartości zmiennej X względem wartości średniej.
Często wyra\
any jest w %.
3) Parametry kształtu mówią o kształcie funkcji gęstości (w przypadku zmiennych
losowych o rozkładzie ciągłym) lub te\
kształtu funkcji masy prawdopodobieństwa (w
przypadku zmiennych losowych skokowych).
Wiadomo, \
e jeśli zmienna losowa ma rozkład symetryczny i skończoną wartość oczekiwaną,
to wartość oczekiwana jest środkiem symetrii. Wynika stąd, \
e dla rozkładu symetrycznego
momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zeru. W przypadku rozkładów
niesymetrycznych potrzebne jest czasem ustalenie stopnia asymetrii układu.
3
�ł �ł
E(X - m)
�łł = �3 = �3 �ł
Definicja: Liczba ł = nazywa się współczynnikiem
3 3
3
�ł
� �
�2 �ł
�ł łł
asymetrii lub współczynnikiem skośności zmiennej losowej X.
Uwaga:
Dla rozkładu symetrycznego ł=0, jeśli ł>0, to mówimy, \
e rozkład jest prawoskośny lub ma
asymetrię dodatnią. Je\
eli zaś ł<0, to rozkład jest lewoskośny lub ma asymetrię ujemną.
" Drugim parametrem kształtu jest kurtoza lub inaczej współczynnik spłaszczania lub
współczynnik stromości zmiennej losowej X.
4
�ł �ł
E(x - m) �4 �ł
�ł
Definicja: Liczbę � = nazywa się kurtozą zmiennej losowej X.
4 2
�ł= �ł
� �2
�ł łł
Im wy\
sza jest wartość �, tym większa jest wysmukłość rozkładu. Inaczej mówiąc: małe
wartości � określają rozkład spłaszczony i przyjmuje się, \
e dla rozkładu normalnego �=3,
dla spłaszczonego �<3, a dla wysmukłego �>3.
Przy porównaniu dwóch rozkładów stosowana jest miara spłaszczenia zwana ekscesem.
Wartość ekscesy jest równa wartości kurtozy pomniejszonej o 3. Jeśli �-3=0, to rozkład ma
kształt normalny, je\
eli �-3<0, to rozkład ma kształt spłaszczony w stosunku do normalnego,
jeśli zaś �-3>0, to rozkład ma kształt bardziej wysmukły w stosunku do normalnego.
Eksces informuje, czy koncentracja wokół zmiennej jest mniejsza lub większa ni\
dla
rozkładu normalnego.