PARAMETRY CHARAKTERYZUJ
CE ROZKA
AD ZMIENNEJ.
Zmienna losowa jest opisana w pełni przez swój rozkład prawdopodobieństwa. Względy
praktyczne dyktujÄ… jednak potrzebÄ™ znalezienia pewnych charakterystyk liczbowych
pozwalających porównać rozkłady miedzy sobą.
Wartość oczekiwana (średnia zmiennej losowej).
Definicja: Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie dyskretnym nazywamy
ozn
liczbę: m = E(X ) = pi , gdzie xi - wartość zmiennej losowej, pi = P(X = xi ), gdy szereg
"xi
i
xi pi jest zbie\
ny. Je\
eli szereg xi pi rozbie\
ny to mówimy, \
e zmienna losowa nie
" "
i i
posiada wartości oczekiwanej.
Definicja: Wartością oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym nazywamy liczbę
" "
ozn
m = E(X ) = x Å" f (x)dx o ile x Å" f (x)dx jest zbie\
na. Je\
eli całka jest rozbie\
na to
+" +"
-" -"
mówimy, \
e wartość oczekiwana nie istnieje.
Przykład: Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym, gdzie
x  liczba orłów w rzucie dwoma monetami.
xi 0 1 2
1 2 1
pi
4 4 4
1 1 1
m = EX = 0Å" +1Å" + 2 Å" = 1.
4 2 4
Przykład: Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym, gdzie
1 1
funkcja gęstości wyra\
a siÄ™ wzorem: f (x) = , x " R .
Ä„ 1+ x2
" " "
x ëÅ‚ öÅ‚
1+ x2 = t
1 1 2x 1 dt
÷Å‚
dx = = =
+" +"1+ dx = ìÅ‚ +"
Ä„ 1+ x2 Ä„ x2 ìÅ‚2xdx ÷Å‚ Ä„ t
= dt
-" 0 íÅ‚ Å‚Å‚ 1
.
k
1 1 1 k 1 îÅ‚ Å‚Å‚
lim dt = lim[ln t ] = limïÅ‚ln k - ln1śł = +"
+" 1
k " k " k "
Ä„ t Ä„ Ä„
ðÅ‚ 0 ûÅ‚
1
Wartość oczekiwana nie istnieje.
Przykład: Wez
my dwa rozkłady zmiennych losowych X i Y.
X:
xi -1 0 1
1 1 1
EX = -1Å" + 0Å" +1Å" = 0
1 1 1
pi
3 3 3
3 3 3
Y:
yi -100 0 100
1 1 1
1 1 1
EY = -100Å" + 0Å" +100Å" = 0
pi
3 3 3
3 3 3
Uwaga:
Je\
eli zmienna losowa Y jest funkcją zmiennej losowej X tzn. Y = g(X ) i znamy rozkład
zmiennej X, to mo\
emy znalez
ć EY przy zało\
eniu, \
e ta wartość istnieje.
1) je\
eli zmienna X jest zmienną o rozkładzie dyskretnym przyjmującą wartości x1, x2,... z
prawdopodobieństwami P(X = xi )= pi oraz )pi jest zbie\
ny bezwzględnie, to
"g(xi
i
EY = g(xi )pi .
"
i
2) je\
eli X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym i funkcją gęstości f i Y = g(X ) oraz
" "
g(x)f (x)dx jest bezwzględnie zbie\
na, to wartość oczekiwana EY = g(x)f (x)dx .
+" +"
-" -"
Twierdzenie: Je\
eli istnieje wartość oczekiwana EX, to dla dowolnych a,b" R zachodzi
wzór: E(aX + b)= aEX + b .
Dowód: Wez
my g(x)= ax + b .
E(aX + b)= + b)pi = pi + = a pi + b pi =aEX + b . %
"(axi "axi "bpi "xi "
i i i i i
EX 1
Wnioski: E(X + b)= EX + b dla a=1, E(aX )= aEX dla b=0, E(b)= b dla a=0.
Uwaga:
Je\
eli zmienne X i Y są określone na tej samej przestrzeni zdarzeń i EX i EY istnieją, to
E(X +Y )= EX + EY .
Definicja:
k
Liczbę mk = E(X )nazywamy k-tym momentem zwykłym lub momentem zwykłym k-tego
rzędu.
Definicja
k
LiczbÄ™ µ' = E((X - c) ) nazywamy momentem rzÄ™du k wzglÄ™dem staÅ‚ej c.
k
Je\
eli c = m1 = EX , to momenty te nazywamy k-tymi momentami centralnymi lub
momentami centralnymi k-tego rzędu.
k k
Momenty centralne oznaczamy: µk = E((X - m1) )= E((X - EX ) ).
Definicja:
2
2
WariancjÄ… zmiennej losowej X nazywamy liczbÄ™ Ã = D2(X )= E((X - E(X )) )= µ2 .
Wariancja to średnia odchyleń kwadratów od wartości oczekiwanej.
2
öÅ‚ 2
1) X  rozkÅ‚ad dyskretny D2 X = xi - EX Å" pi = - m) pi m = EX .
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚ "(xi
i íÅ‚ m Å‚Å‚ i
"
2
2) X  rozkład ciągły D2 X = - m) f (x)dx .
+"(x
-"
Twierdzenie:
2
2
D2 X = EX -(EX ) .
2 2 2
2 2
Dowód: D2 X = E((X - EX ) )= E(X - 2EX Å" X -(EX ) )= EX - E(2EX Å" X )+ E((EX ) )=
2 2
2 2
= EX - 2EX Å" EX + (EX ) = EX -(EX ) . %
2
Uwaga: 1) X  ma rozkład dyskretny D2 X = pi - m2 ; 2) X  ma rozkład ciągły
"xi
i
"
D2 X = x2 f (x)dx - m2 .
+"
-"
Przykład 1: X  rozkład liczby orłów w 2-krotnym rzucie monetą.
xi 0 1 2 EX=1
1 2 1 2 1
1 2 1
2
D2 X = pi -1 = 0Å" +1Å" + 4Å" -1 = =
pi
"xi
4 4 4 4 2
4 4 4
i
Przykład 2:
1 1 1
xi -1 0 1 X: EX = -1Å" + 0Å" +1Å" = 0
3 3 3
1 1 1
pi
1 1 2
3 3 3 D2 X = 1Å" +1Å" =
3 3 3
1 1 1
xi -100 0 100
Y: EY = -100Å" + 0Å" +100Å" = 0
3 3 3
1 1 1
pi
1 1 20000
3 3 3
D2Y =10000Å" +10000Å" = .
3 3 3
Przykład 3: Niech zmienna losowa o rozkładzie ciągłym ma taką funkcję gęstości:
0 x < 0
Å„Å‚
f (x)= .
òÅ‚
-x
ółe x e" 0
" "
-x
EX = Å" f (x)dx = dx
+"x +"xe
-" 0
u = x u'= 1
ëÅ‚ öÅ‚
-x -x
÷Å‚ = -xe-x + dx = -xe-x - e-x + c .
+"xe dx = ìÅ‚ ÷Å‚ +"e
ìÅ‚v' e-x
= v = -e-x
íÅ‚ Å‚Å‚
"
H
k k +1 1
EX = xe-xdx = lim[- e-x(x +1)] = limëÅ‚ +1öÅ‚=lim +1 =1
ìÅ‚ ÷Å‚
0
+"
k" k"
- ek Å‚Å‚ k" - ek
íÅ‚
0
" "
2
EX = x2 f (x)dx = x2e-xdx
+" +"
-" 0
ëÅ‚ öÅ‚
u = x2 u'= 2x
2 -x
÷Å‚ -x2e-x + 2 dx = -e-x(x2 + 2x + 2)+ c
=
+"x e-xdx = ìÅ‚ +"xe
ìÅ‚v' e-x
= v = -e-x ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
EX = limïÅ‚- e-k ìÅ‚k + 2k + 2÷Å‚ + 2śł = 2
ìÅ‚ ÷Å‚
k"
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2
D2 X = EX - m2 = 2 -12 = 1.
2
Å„Å‚
ôÅ‚
x e" 1
Przykład 4: Obliczyć wariancję zmiennej losowej o funkcji gęstości: f (x)= .
òÅ‚
x3
ôÅ‚
0 x < 1
ół
îÅ‚ Å‚Å‚
k
" " k
2 2 2
îÅ‚- 2
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
EX = x Å" f (x)dx = x Å" dx = lim dx =lim = lim + 2 = 2
+" +" +"
ïÅ‚ śł
x3 k" x2 k" x k
ðÅ‚ ûÅ‚1 k"ïÅ‚- śł
-" 1 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 0 ûÅ‚
"
x f (x)dx
+"
-"
" " k
2 2 k îÅ‚ Å‚Å‚
2
EX = x2 f (x)dx = x2 Å" dx = lim dx =lim[2ln x] = limïÅ‚2ln k - 2ln1śł = +" .
+" +" +" 1
k" k"
x3 k" x
ðÅ‚ 0 ûÅ‚
-" 1 1
Definicja: Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy à = D2 X .
Własności wariancji:
1) D2c = 0 c-stała,
2) D2(cX )= c2D2(X ),
3) D2(X + b)= D2 X .
2
Dowód 1): D2(c)= E(c2)-(E(c)) = c2 - c2 = 0 .
Dowód 2):
2 2 2 2
2 2 2 2
D2(cX )= E(c2 X )-(E(cX )) = c2EX -(cEX ) = c2EX - c2(EX ) = c2(EX -(EX ) )= c2D2 X
.
2 2 2
D2(x+b)= E((+b) )-(E(x+b)) = E(X2 +2Xb+b2)-(E(X)+b) =
Dowód 3):
2
2 2
= EX + E(2Xb)+ E(b2)-((EX ) + b2 + 2bEX)= EX -(EX ) = D2 X . %
2bEX
b2
Wartość medialna (MEDIANA) i wartość modalna (MODA, DOMINANTA) zmiennej
losowej.
Definicja:
Wartością medialną lub środkową ozn. me nazywamy tę wartość x, dla której spełnione są
1 1
dwie nierówności: P(X e" x)e" , P(X d" x)e" .
2 2
1 1
me = x Ô! P(X e" x)e" '" P(X d" x)e" .
2 2
Twierdzenie:
1
Je\
eli X na rozkÅ‚ad ciÄ…gÅ‚y o dystrybuancie F, to me = x Ô! F(x) = .
2
1 1
Dowód: me = x Ô! P(X e" x)e" '" P(X d" x)e"
2 2
1 1 1 1
1) P(X e" x)e" Ô! 1- P(X < x)e" Ô! 1- F(x)e" Ô! F(x)d" .
2 2 2 2
1 1 1 1
2) P(X d" x)e" Ô! P(X < x)+ P(X = x)e" Ô! F(x)+ P(X = x) e" Ô! F(x)e" .
2 2 2 2
0
1
Z 1) i 2) mamy F(x)= . %
2
W przypadku zmiennej o rozkładzie ciągłym wygodniej jest posługiwać się dystrybuantą.
Przykład: X  rzut dwoma monetami (ilość orłów).
0 1 2
xi
1 2 1
pi
4 4 4
Przykład: Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu dyskretnego
X:
xi 0 1 2 3 4
pi 0,15 0,2 0,1 0,25 0,3
0 x d" 0
Å„Å‚
ôÅ‚0,15 0 < x d" 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚0,35 1 < x d" 2
F(x) = me = 3 mo = 4
òÅ‚
ôÅ‚0,45 2 < x d" 3
ôÅ‚0,7 3 < x d" 4
ôÅ‚
ôÅ‚
ół1 x > 4
Definicja:
Wartością modalną (m0) lub dominantą lub modą zmiennej losowej X o rozkładzie
dyskretnym nazywamy tę jej wartość, której odpowiada największe prawdopodobieństwo.
Definicja:
Wartością modalną (m0) lub dominantą lub modą zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym
nazywamy tę jej wartość, której funkcja gęstości osiąga maximum.
Przykład: Zmienna losowa X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości
1
Å„Å‚
sin x dlaî"0 < x d" Ä„
ôÅ‚
f (x) = .
2
òÅ‚
ôÅ‚0 w p.p.
ół
Wyznaczyć wartość medialną i modalną.
1) Wartość medialna:
x
Wyznaczamy dystrybuantÄ™: F(x) = P(X < x) = f (t)dt
+"
-"
x
x d" 0 wtedy F(x) = 0 = 0dt
+"
-"
x
x x x
1 1
îÅ‚
0 < x d" Ą wtedy F(x) = f (t)dt = f (t)dt = sintdt = costłł =
+" +" +"
ïÅ‚- śł
-" 0 0
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚0
1 1 1
= - cos x + = [1- cos x]
2 2 2
x x
1
x > Ä„ wtedy F(x) = f (t)dt = sin tdt = 1
+" +"
-" 0
2
0 x d" 0
Å„Å‚
ôÅ‚1
ôÅ‚
F(x) = [1- cos x] 0 < x d" Ä„
òÅ‚
ôÅ‚2
x > Ä„
ôÅ‚
ół1
1
Mamy znalez
ć taki x gdzie F(x) = .
2
1 1 1 Ä„
F(x) = Ô! (1- cos x) = Ô! 1- cos x = 1 Ô! cos x = 0 Ô! x =
2 2 2 2
Ä„
me =
2
2) Wartość modalna:
1 Ä„
f `(x) = 0 Ô! cos x = 0 Ô! x = gdy 0 < x < Ä„
2 2
3) Wyznaczamy wartość oczekiwaną:
" Ä„ u = x u`= 1
1
EX = x Å" f (x)dx = xsin xdx = =
+" +"
-" 0
2 v`= sin x v = -cos x
Ä„
1 1 Ä„
Ä„ Ä„
ëÅ‚
= [- xcos x] + cos xdxöÅ‚ = (-Ä„ cosÄ„ +[sin x] )=
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0
+"
0
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
Wartość EX = me = m0. Taki rozkład nazywa się rozkładem symetrycznym.
Inne parametry zmiennych losowych jednowymiarowych.
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej dzielimy na 3 grupy:
1) miary poło\
enia:
wartość oczekiwana
kwanty rzędu ą ( w szczególności kwantyl dolny i górny oraz mediana )
moda
2) miary rozproszenia:
wariancja
odchylenie standardowe
odchylenie przeciętne
współczynnik zmienności
3) charakterystyki kształtu
współczynnik skośności (asymetrii)
współczynnik skupienia
Definicja:
Kwantylem rzędu ą gdzie 0<ą<1 zmiennej losowej X nazywamy liczbę qą zdefiniowaną
nierównością: F(qą) d" ą d" F(qą+).
Szczególnym przypadkiem kwantyla jest q0,5  mediana, q0,25  kwartyl dolny oraz
q0,75  kwartyl górny.
Kwantyl qą ma następującą interpretację:
ą  masa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nie przekracza liczby qą
Uwaga: Je\
eli zmienna losowa X ma rozkład ciągły, to
qÄ…
F(qÄ…) = Ä… Ô! f (x)dx = Ä…
+"
-"
Definicja: Odchyleniem przeciętnym (d) nazywamy liczbę:
d = xi - m pi gdy X ma rozkład dyskretny
"
i
"
d = x - m f (x)dx gdy X ma rozkład ciągły.
+"
-"
 o ile szereg lub całka są zbie\
ne.
Zarówno odchylenie standardowe jak i przeciętne mówi -o ile przeciętnie ró\
nią się wartości
zmiennej od wartości oczekiwanej m.
Wygodnie jest czasem scharakteryzować rozproszenie nie za pomocą odchylenia
standardowego lecz jego stosunku do wartości oczekiwanej.
Definicja: Stosunek odchylenia standardowego do wartości oczekiwanej nazywamy
µ2
à (x)
współczynnikiem zmienności i oznaczamy: V (x) = = .
E(x) m1
Uwaga:
Współczynnik zmienności jest odchyleniem standardowym, gdy EX=1 , inaczej mówiąc
współczynnik zmienności jest miarą rozproszenia, gdy za jednostkę przyjmiemy wartość
oczekiwaną. Mówi on o zró\
nicowaniu wartości zmiennej X względem wartości średniej.
Często wyra\
any jest w %.
3) Parametry kształtu mówią o kształcie funkcji gęstości (w przypadku zmiennych
losowych o rozkładzie ciągłym) lub te\
kształtu funkcji masy prawdopodobieństwa (w
przypadku zmiennych losowych skokowych).
Wiadomo, \
e jeśli zmienna losowa ma rozkład symetryczny i skończoną wartość oczekiwaną,
to wartość oczekiwana jest środkiem symetrii. Wynika stąd, \
e dla rozkładu symetrycznego
momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zeru. W przypadku rozkładów
niesymetrycznych potrzebne jest czasem ustalenie stopnia asymetrii układu.
3
ëÅ‚ öÅ‚
E(X - m)
ìÅ‚Å‚ = µ3 = µ3 ÷Å‚
Definicja: Liczba ł = nazywa się współczynnikiem
3 3
3
ìÅ‚
à Ã
µ2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
asymetrii lub współczynnikiem skośności zmiennej losowej X.
Uwaga:
Dla rozkładu symetrycznego ł=0, jeśli ł>0, to mówimy, \
e rozkład jest prawoskośny lub ma
asymetriÄ™ dodatniÄ…. Je\
eli zaś ł<0, to rozkład jest lewoskośny lub ma asymetrię ujemną.
" Drugim parametrem kształtu jest kurtoza lub inaczej współczynnik spłaszczania lub
współczynnik stromości zmiennej losowej X.
4
ëÅ‚ öÅ‚
E(x - m) µ4 ÷Å‚
ìÅ‚
Definicja: LiczbÄ™ · = nazywa siÄ™ kurtozÄ… zmiennej losowej X.
4 2
ìÅ‚= ÷Å‚
à µ2
íÅ‚ Å‚Å‚
Im wy\
sza jest wartość ·, tym wiÄ™ksza jest wysmukÅ‚ość rozkÅ‚adu. Inaczej mówiÄ…c: maÅ‚e
wartoÅ›ci · okreÅ›lajÄ… rozkÅ‚ad spÅ‚aszczony i przyjmuje siÄ™, \
e dla rozkÅ‚adu normalnego ·=3,
dla spÅ‚aszczonego ·<3, a dla wysmukÅ‚ego ·>3.
Przy porównaniu dwóch rozkładów stosowana jest miara spłaszczenia zwana ekscesem.
Wartość ekscesy jest równa wartoÅ›ci kurtozy pomniejszonej o 3. JeÅ›li ·-3=0, to rozkÅ‚ad ma
kształt normalny, je\
eli ·-3<0, to rozkÅ‚ad ma ksztaÅ‚t spÅ‚aszczony w stosunku do normalnego,
jeÅ›li zaÅ› ·-3>0, to rozkÅ‚ad ma ksztaÅ‚t bardziej wysmukÅ‚y w stosunku do normalnego.
Eksces informuje, czy koncentracja wokół zmiennej jest mniejsza lub większa ni\
dla
rozkładu normalnego.