Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZDZIAA
2
ROZKA
ADY
I PARAMETRY
ZMIENNEJ LOSOWEJ
1
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
2.1 ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA
Zadanie 2.1.1
Mając dane następujące zbiory:
A = {a, e, i, o, u};
B = {f, g, h, t, k, l};
C = {a, e, f, g, h, i, l};
D = {m, n, p}.
Skonstruuj:
A *" B; A *" C; A *" D; A )" B; A )" C; A )" D; A; (A i C).
ROZWI
ZANIE:
&! = {a,e,i, o, u,f , g, h, t, k,l, m, n, p};
A *" B = {a,e,i,o, u} *" {f , g, h, t, k, l} = {a,e,i, o, u,f , g, h, t, k,l};
A *" C = {a,e,i,o,u} *" {a,e,f,g,h,i,l} = {o,u,f,g,h,l};
A *" D = {a,e,i,o,u} *" {m,n,p} = {a,e,i,o,u,m,n,p} .
A )" B = {a,e,i,o,u} *" {f,g,h, t,k,l} = 0 ;
A )" C = {a,e,i,o,u} *" {a,e,f,g,h,i,l} = {a,e,i};
A )" D = {a,e,i,o,u} *" {m,n,p} = 0 .
A = &! - A = {a, e, i, o, u, f , g, h, t, k, l, m, n, p}-{a, e, i, o, u} = {f ,g, h, t, k, l, m, n, p};
( A )" C) = &! - ( A )" C) = {a, e,i, o, u, f, g, h, t, k, l, m, n, p} - {a, e, i} = {o, u, f, g, h, t, k, l, m, n, p}.
Zadanie 2.1.2
W poni\
szej tablicy przedstawiono liczbę osób zatrudnionych według wykształcenia i działów produkcji
w przedsiębiorstwie produkującym figurki porcelanowe:
poziom wykształcenia działy produkcji ogółem
A B C
wy\
sze - W 160 40 50 250
średnie - S 75 90 225 390
zasadnicze - Z 210 100 50 360
ogółem 445 230 325 1000
Wyznacz: S )" C ; Z *" B ; S; B ; A *" B .
ROZWI
ZANIE:
S )" C = 225; Z *" B = 100; S = 390;
B = &! - B = 1000 - 230 = 770; A *" B = &! - (A *" B) =1000 - (445 + 230) = 325.
2
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.1.3
Poni\
sza tablica obrazuje liczbę osób zatrudnionych w kilku bankach według zajmowanego stanowiska i
otrzymywanej płacy:
zajmowane stanowisko grupy płac ogółem
A B C D
X 55 107 8 29 199
Y 76 85 11 26 198
Z 26 18 8 51 103
ogółem 157 210 27 106 500
Wyznacz następujące prawdopodobieństwa:
P(X )" A); P(Y )" D); P(Y); P(B); P(B X); P(Z)Å"P(A Z);
P(C); P(B )" D); P(A B); P(Z).
ROZWI
ZANIE:
199 157 210
P(X )" A) = P(X)Å"P(A) = Å" = 0,13; P(B) = = 0, 42;
500 500 500
198 106 198
P(Y )" D) = P(Y)Å"P(D) = Å" = 0, 08; P(Y) = = 0, 396;
500 500 500
107 103 26
P(B X) = = 0, 214; P(Z)Å"P(A Z) = Å" = 0, 0103;
500 500 500
27 210 106
P(C) =1- P(C) =1- = 0,946; P(B )" D) = P(B)Å"P(D) = Å" = 0, 089;
500 500 500
76 103
P(A Y) = = 0,152; P(Z ) = 1 - P(Z) = 1 - = 0,794.
500 500
Zadanie 2.1.4
Biuro podró\
y "Bysio" oferuje wycieczki do 3 miast we Francji, do 5 we WÅ‚oszech i do 4 w Hiszpanii. Ile
ró\
norodnych kombinacji wycieczek mo\
e wybrać sobie potencjalny klient, je\
eli chce pojechać do
jednego miasta w ka\
dym kraju.
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X - miasta
Francja: B, P, R; WÅ‚ochy: C, S, G, Q, D; Hiszpania: W, V, M, N.
szukane:
liczba mo\
liwych zdarzeń n = 3 + 5 + 4 = 12
12
ëÅ‚ öÅ‚ 12!
liczba mo\
liwych kombinacji: ìÅ‚ ÷Å‚ = = 220
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3!Å"(12 - 3)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Potencjalny klient mo\
e "stworzyć" 220 ró\
nych wycieczek przy zało\
eniu, \
e pojedzie do jednego miasta
w ka\
dym kraju.
3
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.1.5
W urnie jest 18 kul białych i 32 czerwonych.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, i\
losując jedną kulę będzie to kula czerwona.
b. Ile wynosi prawdopodobieństw w sytuacji, gdy losujemy dwie kule i chcemy, aby obie były czerwone.
Zakładamy, \
e wylosowana kula nie wraca do urny.
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  kolor kuli
18 kul białych; 32 kul czerwonych; 50 ogółem kul;
szukane:
a. zdarzenia niezale\
ne
liczba zdarzeń sprzyjająpych liczba kul bialych 18
p1 = = = = 0,36
50
ogólna liczba zdarzeń ogólna liczba kul
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 0,36
b. prawdopodobieństwo warunkowe, losowanie bez zwracania, P(A B)
liczba mo\
liwych zdarzeÅ„ w dwóch losowaniach n = 52Å"(52-1) = 2652
* prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej za pierwszym razem (B)
liczba zdarzeÅ„ sprzyjajÄ…cych n = 32Å"50 = 1600
1600 P(A )" B) 0,57
P(B) = = 0, 60 P(A B) = = = 0, 95
2652 P(B) 0, 60
* prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej za drugim razem
liczba zdarzeÅ„ sprzyjajÄ…cych 31Å"49 = 1519
1519
P(A )" B) = = 0,57
2652
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych wynosi 0,95
Zadanie 2.1.6
Z okazji 5-tej rocznicy ślubu Zdzicho i Magda zaprosili swoich przyjaciół do restauracji na obiad. W
karcie menu było polecanych 5 rodzajów przystawek, 5 - zup, 10 - dań głównych i 5 - deserów. W ilu
sekwencjach mo\
e być zamówiony obiad (tzn. 1-przystawka, 1-zupa, 1-danie główne, 1-deser) przez
gości?
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  liczba kombinacji zestawu obiadowego
5 rodzajów przystawek, 5 - zup, 10 - dań głównych, 5 - deserów; zdarzenia niezale\
ne
szukane:
5 5
ëÅ‚ öÅ‚ 5! ëÅ‚ öÅ‚ 5!
przystawki a = ìÅ‚ =
ìÅ‚1÷Å‚ 1!(5 -1)! = 5; zupy b = ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚ ìÅ‚1÷Å‚ = 1!(5 -1)! = 5;
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
10 5
ëÅ‚ öÅ‚ 10! ëÅ‚ öÅ‚ 5!
dania główne c = ìÅ‚ ÷Å‚ = = 10 desery d = ìÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1÷Å‚ 1!(5 -1)! = 5;
÷Å‚
1 1!(10 -1)!
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
liczba mo\
liwych kombinacji: aÅ"bÅ"cÅ"d = 5Å"5Å"10Å"5 = 1250
Goście mogą zamówić 1250 ró\
nych wariantów dań.
Zadanie 2.1.7
Zosia lat 14, w piątek przy śniadaniu, postanowiła pójść do kina ze swoim kolegą w niedziele wieczorem.
Aby mogła swój plan zrealizować, musi uzyskać zgodę rodziców. Zakładając, i\
będzie o to prosić raz
dziennie (poczynając od piątku), jakie jest prawdopodobieństwo, i\
zgodÄ™ takÄ… uzyska:
a. w piÄ…tek;
b. w sobotÄ™;
c. w niedzielÄ™.
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  dzień, w którym Zosia uzyska zgodę na pójście do kina
zdarzenia niezale\
ne, prawdopodobieństwo warunkowe;
szukane:
*liczba mo\
liwych zdarzeń: uzyskała zgodę (T), nie uzyskała zgody (N);
a. prawdopodobieństwo uzyskania zgody w piątek:
liczba zdarzeń sprzyjająpych uzyskanie zgody 1
p1 = = = = 0,5
2
ogólna liczba zdarzeń liczba odpowiedzi
Prawdopodobieństwo uzyskania zgody przez Zosie na pójście do kina w piątek to 0,5.
b. prawdopodobieństwo uzyskania zgody w sobotę:
p2 = (prawdopodobieństwo pora\
ki w piÄ…tek)Å"(prawdopodobieÅ„stwo sukcesu w sobotÄ™)
p2 = (1- p1)Å"0,5 = 0,5Å"0,5 = 0, 25
Prawdopodobieństwo uzyskania zgody przez Zosie na pójście do kina w sobotę to 0,25.
c. prawdopodobieństwo uzyskania zgody w niedziele:
p3 = (prawdopodobieństwo pora\
ki w piÄ…tek)Å"(prawdopodobieÅ„stwo pora\
ki w
sobotÄ™)Å"(prawdopodobieÅ„stwo sukcesu w niedziele)
p3 = (1- p1)Å"(1- p2 )Å"0,5 = 0,5Å"0,75Å"0,5 = 0,125
Prawdopodobieństwo uzyskania zgody przez Zosię na pójście do kina w niedzielę wynosi 0,125.
5
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.1.8
Popularna gra w trzy karty (w trzy kubki) przyciąga wielu chętnych łatwego zdobycia grosza. Oblicz,
jakie jest prawdopodobieństwo, \
e potencjalny gracz
a. za pierwszym razem wyciągnie prawidłową kartę
b. za drugim razem wyciągnie prawidłową kartę.
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  wynik gry
losowanie ze zwracaniem; zdarzenia niezale\
ne;
szukane:
liczba zdarzeń sprzyjająpych 1
a. p1 = = = 0,33 ;
3
ogólna liczba zdarzeń
b. (prawdopodobieństwo pora\
ki za pierwszym razem)Å"(prawdopodobieÅ„stwo sukcesu za drugim razem)
= (1- p1)Å"0,33 = 0,67Å"0,33 = 0,221
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia prawidłowej karty za pierwszym razem wynosi 0,33, zaś za drugim
0,221.
Zadanie 2.1.9
Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną kartę i zwracamy ją do talii. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e
będzie to:
a. król;
b. figura;
c. figura za drugim razem;
d. figura za drugim razem pod warunkiem, \
e za pierwszym razem równie\
wyciągnięta zostanie figura.
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  rodzaj karty
liczba kart w talii n = 52; liczba króli w talii n* = 4; liczba figur w talii n**= 12
szukane:
a. zdarzenia niezale\
ne:
liczba zdarzeń sprzyjająpych liczba króli w talii 4
p1 = = = = 0,08
52
ogólna liczba zdarzeń liczba kart w talii
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia króla z talii kart wynosi 0,08.
b. zdarzenia niezale\
ne:
liczba zdarzeń sprzyjająpych liczba figur w talii 12
p2 = = = = 0,23
52
ogólna liczba zdarzeń liczba kart w talii
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia figury z talii kart wynosi 0,23.
c. zdarzenia niezale\
ne, losowanie ze zwracaniem
* prawdopodobieństwo nie wyciągnięcia figury w pierwszym losowaniu
liczba figur w talii
P(A) = 1- = 1- 0, 23 = 0, 77
liczba kart w talii
*prawdopodobieństwo wyciągnięcia figury w drugim losowaniu
6
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
liczba figur w talii
P(B) = = 0, 23; P(A )" B) = P(A)Å"P(B) = 0,77Å"0,23 = 0,18
liczba kart w talii
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia figury za drugim razem z talii kart wynosi 0,18.
d. prawdopodobieństwo warunkowe, losowanie ze zwracaniem
*liczba wszystkich zdarzeń elementarnych
n = (liczba kart w pierwszym losowaniu)Å"(liczba kart w drugim losowaniu) =52Å"52 = 2704;
* wyciÄ…gniemy figurÄ™ za pierwszym razem
liczba zdarzeÅ„ sprzyjajÄ…cych na = (liczba figur = 12) Å" (liczba kart = 52) = 12Å"52 = 624;
624
P(B) = = 0, 23;
2704
*za drugim razem wyciÄ…gamy figurÄ™ pod warunkiem, \
e w pierwszym losowaniu wylosowaliśmy figurę
liczba zdarzeÅ„ sprzyjajÄ…cych nb = (liczba figur = 11) Å" (liczba kart =52) = 11Å"52 = 572;
572 P(A )" B) 0, 21
P(A )" B) = = 0, 21; * P(A B) = = = 0, 91.
2704 P(B) 0, 23
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia figury w pierwszym i drugim ciągnięciu z talii kart wynosi 0.91.
Zadanie 2.1.10
Jeden z piłkarz dru\
yny futbolowej strzelił bramki w 20 rozegranych spotkaniach. W 10 meczach strzeli 1
bramkÄ™, w 6 - 2 bramki, w 4 - 3 bramki.
a. Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa liczby strzelonych bramek w rozegranych meczach,
b. oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X,
c. wyznacz P(x > 2); P(x e" 2); P(x < 2).
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  liczba strzelonych bramek
x1 = 1 - jedna bramka, x2 = 2 - dwie bramki, x3 = 3 - trzy bramki;
szukane:
10 6 4
a. p1 = P(x = 1) = = 0,5; p2 = P(x = 2) = = 0, 3; p3 = P(x = 3) = = 0, 2;
20 20 20
funkcja prawdopodobieństwa:
i 1 2 3
"
xi
1 2 3 x
ni
0,5 0,3 0,2 1,00
k
b. E(x) = Å" pi = 1Å"0,5 + 2Å"0, 3 + 3Å"0, 2 = 1,7
"x
i
i=1
k
D2 (x) = - E(x)]2 Å" pi = (1-1, 7)2 Å"0,5 + (2 -1,7)2 Å"0, 3 + (3 -1,7)2 Å"0, 2 = 0, 61
"[x
i
i=1
D(x) = 0,78
7
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Liczba strzelonych bramek w meczu ró\
ni się od przeciętnej liczby strzelonych goli wynoszącej 1,7
średnio o 0,78 gola.
c. P(x > 2) = 1 - P(x d" 2) = 1 - P(X =1) - P(x =2) = 1 - 0,5 - 0,3 = P(x = 3) = 0,2
P(x e" 2) = P(x = 2) + P(x = 3) = 0,3 + 0,2 = 0,5
P(x < 2) = P(x =1) = 0,5
Zadanie 2.1.11
Zmienna losowa X przyjmuje wartości 1 i 2 z prawdopodobieństwem 0,2; wartości 3 i 4 z
prawdopodobieństwem 0,1; zaś 5 i 6 z prawdopodobieństwem 0,2.
a. Wyznacz algebraicznie i graficznie funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X.
b. Wyznacz P(x < 3), P(x d" 3), P(x > 4).
ROZWI
ZANIE:
a. funkcja prawdopodobieństwa:
i 1 2 3 4 5 6
"
xi
1 2 3 4 5 6 x
pi
0,2 0,2 0,1 0,1 0,2 0,2 1,0
0,3
p(x)
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7
warianty zmiennej losowej
dystrybuanta:
1
F(x)
0,8
0,6
0,4
0 x < 1
Å„Å‚
0,2
ôÅ‚0,2
1 d" x < 2
0
ôÅ‚
0 1 2 3 4 5 6 7
ôÅ‚
0,4 2 d" x < 3
warianty zmiennej losowej
ôÅ‚0,5 dla 3 d" x < 4
F(x) =
òÅ‚
ôÅ‚0,6
4 d" x < 5
ôÅ‚
0,8
ôÅ‚ 5 d" x < 6
ôÅ‚
1 x e" 6
ół
b. P(x < 3) = P( x =1) + P(x = 2) = = 0,2 + 0,2 =04
P(x d" 3) = (P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = 0,2 + 0,2 + 0,1 = 0,5
P(x > 4) = P(x = 5) + P(x = 6) = 0,2 + 0,2 = 0,4
8
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.1.12
Gra polega na rzucie lotką do celu. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przy ka\
dym rzucie jest takie
samo. Zawodnik ma trzy lotki i rzuca do momentu wyrzucenia wszystkich lotek.
a. Określ rozkład zmiennej losowej oznaczającej liczbę celnych rzutów do tarczy.
b. Oblicz i zinterpretuj wartość oczekiwaną w tym rozkładzie.
c. Wyznacz graficznie funkcję prawdopodobieństwa.
d. Wyznacz algebraicznie i graficznie funkcjÄ™ dystrybuanty.
Zakładamy, i\
istotna jest kolejność trafień do tarczy.
ROZWI
ZANIE:
dane: zmienna losowa X  liczba trafieÅ„ do tarczy òÅ‚0, 1, 2, 3żł
prawdopodobieństwo trafienia (sukces) p = 0,5;
prawdopodobieństwo nie trafienia (pora\
ka) q = (1 - p) = 0,5;
stałe prawdopodobieństwo sukcesu;
szukane:
oznaczenia dla rzutów oddanych do tarczy:
1  trafienie do tarczy; 0 - nie trafienie do tarczy;
zbiór zdarzeń elementarnych czyli liczba trafień do tarczy przy jednokrotnym rzucie trzema lotkami: &!
= {(0,0,0); (0,0,1); (0,1,0); (1,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0); (1,1,1)};
zmienna losowa X określona według liczby trafień do tarczy:
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3;
1 3
a. p1 = P(x = 0) = = 0,125; p2 = P(x = 1) = = 0, 375;
8 8
3 1
p3 = P(x = 2) = = 0, 375; p4 = P(x = 3) = = 0,125;
8 8
funkcja prawdopodobieństwa:
i 1 2 3 4
"
xi
0 1 2 3 x
ni
0,125 0,375 0,375 0,125 1,00
k
b. E(x) = Å" pi = 0Å"0,125 +1Å"0,375 + 2Å"0,375 + 3Å"0,125 = 1,5
"x
i
i=1
Średnia liczba trafień w 3 rzutach do tarczy wynosi 1.5.
0,5
p(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4
warianty zmiennej losowej
c.
9
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
1
F(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,0 x < 0
Å„Å‚
1 2 3 4
ôÅ‚0,125 0 d" x < 1 0
warianty zmiennej losowej
ôÅ‚
d. F( X ) = 0,5 dla 1d" x < 2
òÅ‚
ôÅ‚
0,875 2 d" x < 3
ôÅ‚
1,0 x e" 3
ół
Zadanie 2.1.13
Zorganizowano grę polegająca na rzucie monetą i kostką przy następującej umowie: otrzymujemy 4$ w
przypadku pojawienia siÄ™ reszki i jedynki; otrzymujemy 2$ w przypadku pojawienia siÄ™ orla lub parzystej
liczby oczek; w pozostałych przypadkach przegrywamy 3$.
a. Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej, jaką jest wygrana w tej grze oraz
dystrybuantę tego rozkładu i zinterpretuj jej wartość w punkcie x = 0.
b. Oblicz i zinterpretuj wartość oczekiwana i odchylenie standardowe tego rozkładu.
ROZWI
ZANIE:
dane: X  wygrana w grze
rzut moneta - wypada orzeł (O) lub reszka (R);
rzut kostka - wypada liczba oczek: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
mo\
liwe zdarzenia:
a. wypada reszka i jedynka - wygrywamy 4$,
b. wypada orzeł lub parzysta liczba oczek (2; 4; 6) - wygrywamy 2$,
c. w pozostałych przypadkach przegrywamy 3$;
szukane:
zbiór zdarzeń elementarnych: &! = [(0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (0; 5), (0; 6), (1; 0), (2; 0), (3; 0), (4; 0), (5;
0), (6; 0), (R; 1), (R; 2), (R; 3), (R; 4), (R; 5), (R; 6), (1; R), (2; R), (3; R); (4, R); (5, R); (6, R)]
zmienna losowa mo\
e przyjmować wartości:
wypada reszka i jedynka: x1 = 4;
wypada orzeł lub parzysta liczba oczek (2; 4; 6): x2 = 2;
w pozostałych przypadkach: x3 = -3.
2 6 16
a. p1 = P(x = 4) = = 0, 08; p2 = P(x = 2) = = 0, 25; p3 = P(x = -3) = = 0, 67;
24 24 24
funkcja prawdopodobieństwa:
i 1 2 3
"
xi
-3 2 4 x
ni
0,67 0,25 0,08 1,00
10
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
dystrybuanta:
0,00 x < -3
Å„Å‚
ôÅ‚0,08
- 3 d" x < 2
F( x ) =
òÅ‚0,33
2 d" x < 4
ôÅ‚
x e" 4
ół1,00
k
b. E(x) = Å" pi = -3Å"0, 08 + 2Å"0,25 + 4Å"0,77 = 1, 25;
"x
i
i=1
k
D2 (x) = - E(x)]2 Å" pi = (-3 -1,25)2 Å"0, 08 + (2 -1,25)2 Å"0, 25 + (4 -1, 25)2 Å"0,77 = 2,69
"[x
i
i=1
D(x) = 1,6
Średnia wygrana w tej grze wynosi 1,25$ ze zró\
nicowaniem 1,6$.
Zadanie 2.1.14
Zasady gry są następujące: gracz rzuca dwa razy kostka do gry. Jeśli wyrzuci na obu kostkach tę samą
liczbę oczek, to przegrywa sumę 10-krotnie większa od iloczynu uzyskanych wyników na obu kostkach.
W pozostałych przypadkach wygrywa sumę odpowiadającą liczbie oczek z uzyskanych wyników.
Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa wysokości wygranej w tej grze.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  dwie kostki do gry
zmienna losowa X  wygrana w grze
rzut kostkÄ… nr 1  mo\
liwa liczba oczek: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
rzut kostkÄ… nr 2  mo\
liwa liczba oczek: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
mo\
liwe zdarzenia:
wypada na obu kostkach ta sama liczba oczek  zawodnik przegrywa sumÄ™ 10 Å" n2Å"gdzie n
to mo\
liwa liczba oczek;
w pozostałych przypadkach zawodnik wygrywa n1 + n2 gdzie n1 to mo\
liwa liczba oczek
na kostce nr1 a n2 to mo\
liwa liczba oczek na kostce nr2;
zdarzenia niezale\
ne;
szukane:
zbiór zdarzeń elementarnych: &! = [(1; 1), (1; 2), (2; 1), (1; 3), (3; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 5), (5; 1), (1; 6), (6;
1), (2; 2), (2; 3), (3; 2), (2; 4), (4; 2), (2; 5), (5; 2), (2; 6), (6; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 3), (3; 5), (5; 3), (3; 6),
(6; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 4), (4; 6), (6; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6)}
wypada parzysta liczba oczek:
1. (2; 2) x1 = -10Å" 4 = -40; 2. (4; 4) x2 = -10Å"16 = -160
3. (6; 6) x3 = -10Å"36 = -360 ; 4. (2; 4), (4; 2) x4 = -10Å"8 = -80
5. (2; 6) x3 = -10Å"12 = -120; 6. (4; 4), (6; 4) x6 = -10Å"24 = -240
funkcja prawdopodobieństwa:
i 1 2 3 4 5
xi -40 -80 -120 -240 -360
pi
0,03 0,055 0,055 0,03 0,03
11
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.1.15
W pewnym kasynie w Warszawie koło ruletki zawiera liczby 0, 1, 2, 3, ..., 37. Gracz decyduje się
postawić pewną stawkę X$ na liczbę parzysta. Załó\
my, ze wygrana wynosi wartość tej stawki, jeśli
wypada liczba parzysta oraz połowę stawki, jeśli wypada liczba 0. W pozostałych przypadkach traci się
postawione pieniądze. Określ rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X
oznaczającej wysokość wygranej w ruletce.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość -
zmienna losowa X  wygrana w grze
mo\
liwe do wypadnięcie liczby to: 0, 1, 2, 3, ..., 37
mo\
liwe zdarzenia:
wypada parzysta liczba - wygrana w wysokości x1 = X$
x
wypada liczba 0 - wygrana połowy stawki x2 = $
2
w pozostałych przypadkach przegrana w wysokości x3 = -X$
szukane:
18 x 1
p1 = P(x = X) = = 0, 47 p2 = P(x = ) = = 0, 03
38 2 38
19
p3 = P(x = -X) = = 0,50
38
a. funkcja prawdopodobieństwa:
i 1 2 3
"
xi
-X X x
0,5Å"X
pi
0,50 0,03 0,47 1,00
b. Dystrybuanta:
0,00 x < -3
Å„Å‚
ôÅ‚0,08
- 3 d" x < 2
F( x ) =
òÅ‚0,33
2 d" x < 4
ôÅ‚
x e" 4
ół1,00
18
c. P(x = 10) = 10 Å" = 4,7
38
StawiajÄ…c 10$ mo\
emy oczekiwać wygranej w wysokości 4,7$.
Zadanie 2.1.16
WiedzÄ…c, \
e dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X ma postać:
xi
<-3; -1) <-1; 0) <0; 2) <2; 5)
(-"; -3) <5; +")
0,00 0,20 0,45 0,65 0,80 1,00
ps
i
a. Określ funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.
b. Oblicz parametry rozkładu dla wyznaczonej funkcji.
12
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
a. funkcja prawdopodobieństwa ma postać:
i 1 2 3 4 5
"
xi
-3 -1 0 2 5 x
pi
0,20 0,25 0,20 0,15 0,20 1,00
k
b. E(X) = Å" pi = (-3)Å"0,20 + (-1)Å"0,25 + 0Å"0,20 + 2Å"0,15 + 5Å"0,20 = 0, 45
"x
i
i=1
k
D2 (X) = - E(X)]2 Å" pi =(-3 - 0, 45)2 Å"0,2 + (-1- 0, 45)2 Å"0,25 + (0 - 0, 45)2 Å"0, 2 +
"[xi
i=1
+(2 - 0, 45)2 Å"0,15 + (5 - 0, 45)2 Å"0, 2 = 7, 45
D(X) = 2,73
Zadanie 2.1.17
Zmienna losowa X ma następujący rozkład prawdopodobieństwa:
xi
-2 0 2 4
"
pi
0,3 0,4 0,2 0,1 1,00
a. Wyznaczyć parametry rozkładu,
b. sporządzić wykres dystrybuanty,
c. obliczyć i zaznaczyć na wykresie wartości następujących prawdopodobieństw:
P(x = 2), P(-2 < x < 4), P(0 < x < 2.5).
ROZWI
ZANIE:
k
a. E(X) = Å" pi = -2Å"0, 3 + 0Å"0, 4 + 2Å"0,2 + 4Å"0,1 = 0,2 ;
"x
i
i=1
k
D2 (X) = - E(X)]2 Å" pi =(-2 - 0, 2)2 Å"0,3 + (0 - 0,2)2 Å"0, 4 + (2 - 0,2)2 Å"0, 2 + (4 - 0, 2)2 Å"0,1 = 3,8
"[x
i
i=1
D(X) = 1,95;
b.
i 1 2 3 4
"
xi
-2 0 2 4 x
pi
0,3 0,4 0,2 0,1 1,00
funkcja prawdopodobieństwa
0,5
p(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
-4
0
-4 -2 0
warianty zmiennej 2 4 6
losowej
13
F(X)
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
c.
I. P(x = 2) = 0,2
II. P(-2 < X < 4) = P(x = 0) + P(x = 0,2) = 0,4 + 0,2 = 0,6
III. P(0 < X < 2,5) = P(x = 2) = 0,2
Zadanie 2.1.18
WiedzÄ…c, \
e dystrybuanta skokowej zmiennej losowej X ma postać:
xi
<-1; 3) <3; 7) <7; 10) <10; 15)
(-"; -1) <16; +")
F(xi )
0 0,15 0,25 0,40 0,85 1,00
a. Określ graficznie funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X.
b. Oblicz P(0 < x < 7), P( x > 10), P( x < 3 ).
ROZWI
ZANIE:
a. funkcja prawdopodobieństwa
i 1 2 3 4 5
"
xi
-1 3 7 10 15 x
pi
0,15 0,10 0,15 0,45 0,15 1,00
funkcja prawdopodobieństwa dystrybuanta
1,2
0,5 F(x)
1
p(x)
0,4
0,8
0,3
0,6
0,2
0,4
0,1
0,2
0
0
-5 0 5 10 15 20
-5 0 5 10 15 20
warianty zmiennej losowej warianty zmiennej losowej
b. P(0 < x < 7) = P(x = 3) = 0,1; P( x > 10) = P( x = 15) = 0,15
P( x < 3 ) = P( x = -1) = 0,15
Zadanie 2.1.19
Rozkład zmiennej losowej skokowej X określony jest dystrybuantą:
0,00 x < -5
Å„Å‚
ôÅ‚0,20
- 5 d" x < -2
ôÅ‚0,50
ôÅ‚ - 2 d" x < 1
F( x ) =
òÅ‚0,65
1 d" x < 3
ôÅ‚
3 d" x < 4
ôÅ‚0,90
ôÅ‚
x e" 4
ół1,00
a. Wyznaczyć wartość oczekiwaną, dominantę i medianę zmiennej losowej X,
b. oblicz P(x = 3) i P(-2 < x d" 3.5).
14
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
funkcja prawdopodobieństwa
i 1 2 3 4 5
"
xi
-5 -2 1 3 4 x
pi
0,20 0,30 0,15 0,25 0,10 1,00
0,20 0,50 0,65 0,90 1,0 x
ps
i
Ä™!
me, do
k
a. E(X) = Å" pi = (-5)Å"0,20 + (-2)Å"0, 30 +1Å"0,15 + 3Å"0, 25 + 4Å"0,10 = -0, 30
"x
i
i=1
do(x) = -2
F(x = me) = P(x d" me) = 0,5 F(x = -2) = 0,5 me = -2
b. P(x = 3) = 0,25; P(-2 < x d" 3.5) = F(3,5)  F(-2) = 0,9  0,5 = 0,4
Zadanie 2.1.20
Jasio nale\
y do dru\
yny koszykarskiej. Jest dobrym zawodnikiem. W rzutach osobistych nie ma sobie
równego. Na 10 oddanych rzutów trafia do kosza 9 razy.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e JaÅ› przy jednokrotnym rzucie do kosza trafi do niego.
b. Wyznacz dystrybuantę dla rzutów do kosza.
c. Wyznacz parametry tego rozkładu.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  zawodnik dru\
yny koszykarskiej
zmienna losowa X- wynik rzutu do kosza
liczba mo\
liwych zdarzeń n = 10;
liczba zdarzeń sprzyjających n = 9;
stale prawdopodobieństwo sukcesu;
1 rzut celny
Å„Å‚
rzut do kosza X =
òÅ‚
ół0 rzut niecelny
szukane:
9
a. P(x = 1) = = 0,9 ; P( x = 0 ) = 1 - P( x = 1 ) = 1 - 0,9 = 0,1
10
Prawdopodobieństwo trafienia do kosza w jednym rzucie wynosi 0,9 zaś nie trafienia 0,1.
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚0,1 dla 0 d" x < 1
b. F(X ) =
òÅ‚
ôÅ‚
1 x e" 1
ół
Prawdopodobieństwo trafienia lub nie trafimy do kosza wynosi 1 zaś prawdopodobieństwo nie trafimy do
kosza  0,1.
k
c. E(X) = Å" pi = 1Å"0,9 + 0Å"0,1 = 0,9
"x
i
i=1
Średnia liczba trafień do kosza przy n rzutach wynosi 0,9.
15
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
k
D2 (X) = - E(X)]2 Å" pi =(1- 0, 9)2 Å"0,9 + (0 - 0,9)2 Å"0,1 = 0, 09 D(X) = 0,3
"[x
i
i=1
lub D2 (X) = p Å"(1- p) = 0, 9 Å"0,1 = 0, 09
Trafienie do kosza przy jednokrotnym rzucie ró\
ni się od średniej liczby trafień przeciętnie o 0,3.
16
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
2.2 ZMIENNA LOSOWA CI
GA
A
Zadanie 2.2.1
Dla zmiennej losowej X o rozkładzie określonej funkcją gęstości:
2
Å„Å‚
0 d" x d" 3
ôÅ‚9 Å" x
ôÅ‚
f(x) =
òÅ‚
ôÅ‚
0 dla pozostalych x
ôÅ‚
ół
znalez
ć:
a. medianÄ™,
b. kwartyl pierwszy,
c. P(1 < x d" 2),
d. wartość oczekiwaną,
e. wyznaczyć algebraicznie i graficznie dystrybuantę zmiennej losowej X.
ROZWI
ZANIE:
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚2
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f( x ) = Å" x 0 d" x d" 3
òÅ‚9
ôÅ‚
0 x > 3
ół
me
a. P( x d" me ) = F(x = me) = f (x) Å" dx = 0,5
+"
-"
me 0 me me me
2 2 2 1 1
f (x) Å" dx = 0Å" dx + Å" x Å" dx = Å" x Å" dx = Å"[ Å" x2] = Å" me2
+" +" +" +"
9 9 9 2 9
0
-" -" 0 0
1
Å" me2 = 0,5 me = 4,5 = 2,12
9
Q1
b. P(x d" Q1) = F(Q1) = f (x) Å" dx = 0,25
+"
-"
Q1 Q1 Q1
0 Q1
2 2 2 1 1
f (x) Å" dx = 0Å" dx + Å" x Å" dx = Å" x Å" dx = Å"[ Å" x2] = Å"Q12
+" +" +" +"
9 9 9 2 9
0
-" -" 0 0
1
Å"Q12 = 0,25 Q1 = 2,25 = 1,5
9
c. P(1 < x d" 2) = P(x d" 2) - P(x d" 1) = F(x = 2)-F(x = 1) = 0,44 - 0,0,11 = 0,33
2
2 0 2
2 2 1 1 4
îÅ‚
F(x = 2) = f (x) Å" dx = dx + Å" x Å"dx = Å" Å" x2 Å‚Å‚ = Å" 22 = = 0,44
+" +"0Å" +" ïÅ‚2 śł
9 9
ðÅ‚ ûÅ‚0 9 9
-" -" 0
1
1 0 1
2 2 1 1 1
îÅ‚
F(x =1) = f (x)Å" dx = dx + Å"x Å" dx = Å" Å" x2 Å‚Å‚ = Å"12 = = 0,11
+" +"0Å" +" ïÅ‚2 śł
9 9
ðÅ‚ ûÅ‚0 9 9
-" -" 0
lub
17
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
2
2
2 2 1 2 1 3
îÅ‚
P(1< x d" 2) = Å" x Å" dx = Å" Å" x2 Å‚Å‚ = Å" Å"(4 -1) = = 0,33
+"
ïÅ‚2 śł
9 9 9
ðÅ‚ ûÅ‚1 9 2
1
3
+" 0 3 +" 3
2 2 2 1 2 1
îÅ‚
d. E(x) = Å" f (x) Å" dx = x Å"0Å" dx + x Å" Å" x Å" dx + x Å"0Å" dx = Å" x2 Å" dx = Å" Å" x3Å‚Å‚ = Å" Å"33 = 2
+"x +" +" +" +" ïÅ‚3 śł
9 9 9
ðÅ‚ ûÅ‚0 9 3
-" -" 0 3 0
e. dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1. dla x < 0 f (t) Å" dt = 0 Å" dt = 0
+" +"
-" -"
x 0 x x
2
2 1 1
2. dla 0 d" x < 3 f( t )Å"dt = 0Å"dt + Å" t Å"dt = Å"[ Å" t2] = Å" x2
+" +" +"
9 2 9
0
9
-" -" 0
x 0 3 x 3
2
2 2 1 1
3. dla x e" 3 f (t)Å" dt = 0Å" dt + Å"t Å"dt + 0Å" dt = Å"[ Å"t ] = Å"32 = 1
+" +" +" +"
9 9 2 9
0
-" -" 0 3
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚1
F( x ) = Å" x2 0 d" x < 3
òÅ‚9
ôÅ‚
1 x e" 3
ół
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 3
wartości zmiennej losowej
Zadanie 2.2.2
1
Å„Å‚
ôÅ‚4 Å" x2 x "< 0,c >
ôÅ‚
a. Dla jakiej wartości parametru c funkcja f( x ) =
òÅ‚
ôÅ‚
0 x "< 0,c >
ôÅ‚
ół
jest funkcją gęstości ?
c
b. Ile wynosi dystrybuanta w punkcie x = ?
2
c. Dla jakiej wartości a P(x > a) = 0,25.
d. Wyznacz wartość oczekiwaną w tym rozkładzie.
18
dystrybuanta
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
Å„Å‚ 0
x < 0
ôÅ‚1
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f( x ) = Å" x2 0 d" x d" c
òÅ‚
ôÅ‚4 0
x > c
ół
+"
a. f (x) Å" dx = 1
+"
-"
c
+" 0 c +" c
1 1 1 1 1
f (x)Å" dx = dx + Å" x2 Å" dx + dx = Å" x2 Å" dx = Å"îÅ‚ Å" x3 Å‚Å‚ = Å"c3
+" +"0Å" +" +"0Å" 4 +" ïÅ‚3 śł
4 4
ðÅ‚ ûÅ‚0 12
-" -" 0 c 0
1
3
Å"c3 = 1 c = 12
12
c
c c
c
0 2
2 2
2
c c 1 1 1 1
îÅ‚
b. F(x = ) = P(x d" ) = f (x) Å"dx = + Å" x2 Å" dx = Å" x2 Å"dx = Å" Å" x3 Å‚Å‚ =
+"
+" +"0Å"dx 4 +" ïÅ‚3 śł
2 2 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚0
0
-" -" 0
3
1 c 1
= Å"ëÅ‚ öÅ‚ = = 0,125
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚
c. P(x > a) = 0,25
> =
> =
> =
c
+" c +"
1 1 1 1
îÅ‚
f (x)Å" dx = Å" x2 Å" dx + c dx = Å" Å" x3 Å‚Å‚ = Å"(c3 - a3)= 0,25
+" +" +"0Å" 4 ðÅ‚ ûÅ‚a 12
ïÅ‚3 śł
4
a a c
lub 1- P(x d" a) = 0,25 P(x d" a) = F(x = a) = 1- 0,25 = 0,75
a
a 0 a
1 1 1 1
îÅ‚
F(x = a) = f (x) Å" dx = dx + Å" x2 Å"dx = Å" Å" x3 Å‚Å‚ = Å" a3
+" +"0Å" +" ïÅ‚3 śł
4 4
ðÅ‚ ûÅ‚0 12
-" -" 0
1 3
3
Å"a3 = a = 9
12 4
+" 0 c +" c
1 1
3
d. E(x) = Å" f (x) Å"dx = x Å"0Å" dx + x Å" Å" x2 Å"dx + x Å"0Å" dx = Å"dx =
+"x +" +" +" +"x
4 4
-" -" 0 c 0
c
1 1 1 1
îÅ‚
= Å" Å" x3Å‚Å‚ = Å" Å"c3 =1
ïÅ‚3 śł
4
ðÅ‚ ûÅ‚0 4 3
19
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.2.3
Zmienna losowa X podlega rozkładowi według funkcji:
h
Å„Å‚
a - h d" x d" a + h
a < b
ôÅ‚g
f (x) = b - g d" x d" b + g gdzie:
òÅ‚
a + h < b - g
ôÅ‚0
pozostalych x
ół
a. Wyznacz dystrybuantÄ™ zmiennej losowej X.
b. Określ warunki jakie muszą być spełnione dla h i g, aby dana funkcja była funkcją gęstości.
ROZWI
ZANIE:
0 x < a - h
Å„Å‚
h a - h d" x d" a + h
ôÅ‚
ôÅ‚0
a + h < x < b - g
funkcja gęstości zmiennej losowej X: f (x) =
òÅ‚
g b - g d" x d" b + g
ôÅ‚
ôÅ‚0
x > b + g
ół
a. dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1. dla x < a - h f (t)Å" dt = dt = 0
+" +"0Å"
-" -"
x a-h x
x
2. dla a - h d" x < a + h f (t)Å"dt = 0Å" dt + dt = hÅ"[t] = hÅ"[x - (a - h)]
a-h
+" +" +"hÅ"
-" -" a-h
3. dla a+h d" x < b - g
x a-h a+h x
a+h
f (t)Å"dt = 0Å" dt + Å"dt +
a-h
+" +" +"h +"0Å"dt = h Å"[t] = hÅ"[a + h - (a - h)]= 2Å"h2
-" -" a-h a+h
4. dla b - g d" x < b + g
x a-h a+h b-g x
a+h x
f (t)Å" dt = 0Å" dt + h Å" dt + dt + g Å" dt = h Å"[t] + g Å"[t] = h Å"(a + h - a + h) +
a-h b-g
+" +" +" +"0Å" +"
-" -" a-h a+h b-g
+ g Å"(x - (b - g)) = 2Å" h2 + g Å"(x - b + g)
5. dla x e" b + g
x a-h a+h b-g b+g x
a+h b+ g
f (t)Å" dt = 0Å" dt + h Å" dt + dt + g Å" dt + dt = = h Å"[t] + g Å"[t] =
a-h b-g
+" +" +" +"0Å" +" +"0Å"
-" -" a-h a+h b-g b+g
2
= 2Å" h2 + 2Å" g
0 x < a - h
Å„Å‚
ôÅ‚
h Å"[x -( a - h )]
a - h d" x < a + h
ôÅ‚
a + h d" x < b - g
F( X ) = 2Å" h2
òÅ‚
ôÅ‚2Å"h2 + g Å" [ x -( b - g )] b - g d" x < b + g
ôÅ‚
2Å"h2 + 2Å"g2 x e" b + g
ół
+"
b. f (x) Å" dx = 1
+"
-"
20
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
+" a-h a+h b-g b+g +"
a+h b+g
2
f (x)Å" dx = dx + h Å" dt + dt + g Å" dt + dx = h Å"[x] + g Å"[x] = 2Å" h2 + 2Å" g
a-h b-g
+" +"0Å" +" +"0Å" +" +"0Å"
-" -" a-h a+h b-g b-g
2
2Å" h2 + 2Å" g =1 (h + g)Å"(h - g) = 0,5
Zadanie 2.2.4
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X określonej przez funkcję postaci:
Å„Å‚ - a)-1
0,5 Å" (b
a d" x d" b
ôÅ‚
f (x) = Å" (d - c)-1 c d" x d" d gdzie: a < b < c < d
òÅ‚0,5
ôÅ‚
dla pozostalych.x
0
ół
ROZWI
ZANIE:
0
Å„Å‚
x < a
ôÅ‚0,5 Å" (b - a)-1 a d" x d" b
ôÅ‚
b < x < c
funkcja gęstości zmiennej losowej X: f (x) = 0
òÅ‚
c d" x d" d
ôÅ‚0,5 Å" (d - c)-1
ôÅ‚
x > d
0
ół
dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1. dla x < a f (t)Å" dt = dt = 0
+" +"0Å"
-" -"
x a x
1 x
x - a
2. dla a d" x < b f (t)Å"dt = +
a
+" +"0Å"dt +"0,5Å"(b - a)-1 Å"dt = 2Å"(b - a) Å"[t] = 2Å"(b - a)
-" -" a
x a b x
1 b
b - a 1
3. dla b d" x < c f (t)Å"dt = +
a
+" +"0Å"dt +"0,5Å"(b - a)-1 Å" dt + +"0Å"dt = 2Å"(b - a) Å"[t] = 2Å"(b - a) = 2
-" -" a b
4. dla c d" x < d
x a b c x
f (t)Å" dt = dt +
+" +"0Å" +"0,5Å"(b - a)-1 Å" dt + +"0Å" dt ++"0,5Å"(d - c)-1 Å" dt =
-" -" a b c
1 1 b - a x - c 1 x - c
b x
= Å"[t] + Å"[t] = + = +
a c
2Å"(b - a) 2Å"(d - c) 2Å"(b - a) 2Å"(d - c) 2 2Å"(d - c)
5. dla x e" d
x a b c d +"
f (t)Å" dt = dt +
+" +"0Å" +"0,5Å"(b - a)-1 Å" dt + +"0Å" dt ++"0,5Å"(d - c)-1 Å" dt + +"0Å" dt =
-" -" a b c d
b - a d - c
b d
= 0,5Å"(b - a) Å"[t] + 0,5Å"(d - c) Å"[t] = + = 1
a c
2Å"(b - a) 2Å"(d - c)
21
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
0 x < a
Å„Å‚
ôÅ‚
x - a
ôÅ‚
2 Å"( b - a ) a d" x < b
ôÅ‚
ôÅ‚
F( X ) =
òÅ‚
0,5 b d" x < c
ôÅ‚
ôÅ‚0,5 + x - c
c d" x < d
ôÅ‚
2 Å"( d - c )
ôÅ‚
1 x e" d
ół
Zadanie 2.2.5
Zmienna losowa X podlega rozkładowi według funkcji gęstości:
4
0 d" x d" 2
Å„Å‚
2 Å" x
f (x) =
òÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
Wyznacz:
a. dystrybuantÄ™,
b. wartość oczekiwaną,
c. medianÄ™ zmiennej losowej X.
d. Oblicz wartość a wiedząc, \
e P(0 < x d" a) = 0,75.
ROZWI
ZANIE:
0
Å„Å‚
x < 0
ôÅ‚
4
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f (x) = 2 Å" x 0 d" x d" 2
òÅ‚
4
ôÅ‚
x > 2
0
ół
a. dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1. dla x < 0 f (t)Å" dt = dt = 0
+" +"0Å"
-" -"
0 x x
1 x 2
4
2. dla 0 d" x < 2 2 Å"t Å" dt = 2 Å" dt = 2 Å" Å"[t2] = Å" x2
0
+"0Å" dt + +" +"t
2 2
-" 0 0
4
0 2 x
4
2 2
2
4
3. dla x e" 2 2 Å"t Å"dt + dt = Å"[t ] = 1
0
+"0Å" dt + +" +"0Å" 2
4
-" 0 2
Å„Å‚ 0 dla x < 0
ôÅ‚
2
ôÅ‚
4
F(X ) = Å" x2 0 d" x < 2
òÅ‚
2
ôÅ‚
4
ôÅ‚
1 x e" 2
ół
b. F(x = me) = 0,5
me
me 0 me
îÅ‚ Å‚Å‚
2 2
F(x = me) = f (x)Å" dx = dx + 2 Å" x Å" dx = Å" x2 śł = Å" me2
ïÅ‚
+" +"0Å" +"
2
-" -" 0 ðÅ‚ ûÅ‚0 2
22
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
2 1 2
me2 Å" = me =
2 2 2
4 4
+" 0 2 +" 2
E(x) = x Å" f (x) Å" dx = x Å" 0 Å" dx + x Å" 2 Å" x Å" dx + x Å" 0 Å" dx = 2 Å" x2 Å" dx =
+" +" +" +" +"
4
-" -" 0 0
2
c..
4
3
2
4 4
1 ( 2) 2 Å" 2
îÅ‚
= 2 Å" Å" x3 Å‚Å‚ = 2 Å" =
ïÅ‚3 śł
3 3
ðÅ‚ ûÅ‚0
d. P(0 < x d" a) = 0,75
0 a 0
P(0 < x d" a) = P(x d" a) - P(x d" 0) = F(x = a) - F(x = 0) = 2 Å" x Å" dx - dx =
+"0Å"dx ++" +"0Å"
-" 0 -"
a
1 2
îÅ‚
= 2 Å" Å" x2 Å‚Å‚ = Å" a2
ïÅ‚2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚0 2
lub
a
a
1 2 2 3 3 Å" 2
îÅ‚
P(0 < x d" a) = 2 Å" x Å" dx == 2 Å" Å" x2 Å‚Å‚ = Å" a2 Å" a2 = a =
+" ïÅ‚2 śł
2 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚0 2
0
Zadanie 2.2.6
a. Wyznacz dystrybuantÄ™,
b. wartość oczekiwaną,
c. odchylenie standardowe
d. kwartyl trzeci zmiennej losowej X określonej przez funkcję gęstości:
0 d" x d"1
Å„Å‚1,5 Å" x
f (x) =
òÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
ROZWI
ZANIE:
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f( x ) = Å" x 0 d" x d" 1
òÅ‚1,5
ôÅ‚
0 x > 1
ół
a. dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1.dla x < 0 f (t)Å" dt = dt = 0
+" +"0Å"
-" -"
x
x 0 x 3 3
îÅ‚ Å‚Å‚
3 3 2
2
2. dla 0 d" x < 1 f (t)Å" dt = dt + Å" t Å" dt = Å" Å" = x = x Å" x
ïÅ‚t 2 śł
+" +"0Å" +"
2 2 3
-" -" 0 ðÅ‚ ûÅ‚0
1
x 0 1 x 3
îÅ‚ Å‚Å‚
3 3 2
2
3. dla x e" 1 f (t)Å" dt = dt + Å" t Å" dt + dt = Å" Å" =1
+" +"0Å" +" +"0Å" 2 3 ïÅ‚t śł
2
-" -" 0 1 ðÅ‚ ûÅ‚0
23
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
F( X ) = Å" x 0 d" x < 1
òÅ‚x
ôÅ‚
1 x e" 1
ół
+" 0 1 +" 1
b. E(x) = x Å" f (x) Å" dx = x Å" 0 Å" dx + x Å"1,5 Å" x Å" dx + x Å" 0 Å" dx = 1,5Å" x Å" x Å" dx =
+" +" +" +" +"
-" -" 0 1 0
1
3 2 3 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
= Å" Å" x2 Å" x = Å" Å"12 Å" 1 =
ïÅ‚5 śł
2 5
ðÅ‚ ûÅ‚0 2 5
+" 0 1 +"
3 3 3 3
2
c. D2 (x) = - E(x)] Å" f (x) Å" dx = - )2 Å" 0 Å" dx + - )2 Å" Å" x Å" dx + - )2 Å" 0 Å" dx =
+"[x +"(x 5 +"(x 5 2 +"(x 5
-" -" 0 1
1 1 1 1
3 6 9 3 6 3 9 3
= Å" x Å" (x2 - x + ) Å" dx = Å" x Å" x2 Å" dx - Å" Å" x Å" x Å" dx + Å" Å" x Å" dx =
+" +" +" +"
2 5 25 2 5 2 25 2
0 0 0 0
1 1
1 1 1
7 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 2 6 3 2 9 3 2 6 18
îÅ‚ îÅ‚ îÅ‚
= Å" Å" x Å" x3 Å‚Å‚ - Å" Å" Å" x Å" x2 Å‚Å‚ + Å" Å" Å" x Å" xÅ‚Å‚ = Å" - Å" +
ïÅ‚x 2 śł ïÅ‚x 2 śł
ïÅ‚7 śł śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚0 5 2 ïÅ‚5 ûÅ‚0 25 2 ïÅ‚3 śł 14 ðÅ‚ ûÅ‚0 25 ðÅ‚ ûÅ‚0
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚0
1
3
îÅ‚ Å‚Å‚
27 6 18 27
D(x) = 1,17
+ Å" = - + = 1,37
ïÅ‚x 2 śł
125
ðÅ‚ ûÅ‚0 14 25 125
d. F(x = Q3 ) = P( x d" Q3 ) = 0,75
Q3 Q3 Q3
0
3 3 2
îÅ‚ Å‚Å‚
F(Q3) = f (x)Å" dx = dx + Å" x Å"dx = Å" Å" x Å" x = Q3 Å" Q3
+" +"0Å" +" ïÅ‚3 śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚0
-" -" 0
Q3 Å" Q3 = 0,75 Q3 = 0,82
Zadanie 2.2.7
Zmienna losowa X podlega rozkładowi według funkcji gęstości postaci:
0 d" x d"1
Å„Å‚
4Å" x3
f( x ) =
òÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
Oblicz:
a. wartość oczekiwaną,
b. wariancjÄ™,
c. dystrybuantÄ™,
d. medianÄ™ zmiennej losowej X.
24
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
funkcja gęstości zmiennej losowej X: f( x ) = x3 0 d" x d" 1
òÅ‚4Å"
ôÅ‚
0 x >1
ół
1
+" 0 1 +" 1
îÅ‚ Å‚Å‚
x5 4
a. E(x) = x Å" f (x) Å" dx = x Å" 0 Å" dx + Å" 4 Å" x3 Å" dx + Å" 0 Å" dx = 4 Å" x4 Å" dx = 4 Å" =
ïÅ‚ śł
+" +" +"x +"x +"
5
ðÅ‚ ûÅ‚0 5
-" -" 0 1 0
+" 0 1 +"
2
b. D2 (x) = - E(x)) Å" f (x) Å" dx = - 0,8)2 Å" 0 Å" dx + - 0,8)2 Å" 4 Å" x3 Å" dx + - 08)2 Å" 0 Å" dx =
+"(x +"(x +"(x +"(x
-" -" 0 1
1 1 1 1
= 4Å" x3 Å"(x2 -1,6x + 0,64) Å"dx = 4Å" x5 Å" dx - 6,4Å" x4 Å" dx + 2,56Å" x3 Å" dx =
+" +" +" +"
0 0 0 0
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x6 x5 x4
= 4 Å" - 6,4 Å" + 2,56 Å" = 0,67 -1,28 + 0,64 = 0,03
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
6 5 4
ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚0
c. dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1. dla x < 0 f (t)Å" dt = dt = 0
+" +"0Å"
-" -"
x 0 x
1 x
3
2. dla 0 d" x < 1 f (t)Å"dt = + Å" dt = 0 + 4Å" Å"[t4] = x4
0
+" +"0Å"dt +"4Å"t
4
-" -" 0
x 0 1 x
1 1
3
3. dla x e" 1 f (t)Å"dt = + Å" dt + dt = 4Å" Å"[t4] =1
0
+" +"0Å"dt +"4Å"t +"0Å"
4
-" -" 0 1
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
4
F(X ) =
òÅ‚x 0 d" x < 1
ôÅ‚
1 x e" 1
ół
d. F(x = me) = P(x d" me) = 0,5
me
me 0 me
îÅ‚ Å‚Å‚
x4
F(x = me) = f (x)Å" dx = dx + x3 Å" dx = 4Å" = me4
ïÅ‚ śł
+" +"0Å" +"4Å"
4
ðÅ‚ ûÅ‚0
-" -" 0
4
me4 = 0,5 me = 0,5
25
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.2.8
Jaką wartość musi mieć parametr a, aby funkcja postaci:
1 d" x d" 2
Å„Å‚ -1)2
a Å"( x
f( x ) =
òÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
była funkcją gęstości. Znalez
ć:
a. wartość oczekiwaną,
b. odchylenie standardowe,
c. dystrybuantÄ™ zmiennej losowej X.
ROZWI
ZANIE:
0 x < 1
Å„Å‚
ôÅ‚
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f( x ) = Å"( x -1)2 1 d" x d" 2
òÅ‚a
ôÅ‚
0 x > 2
ół
+"
a. x )Å" dx = 1
+"f(
-"
+" 1 2 +" 2
2
f (x) = f (x) Å" dx = 0 Å" dx + Å" (x -1)2 Å" dx + Å" dx = a Å" - 2x +1) Å" dx =
+" +" +"a +"0 +"(x
-" -" 1 2 1
2 2
2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x3 x2
2
2
= a Å" Å" dx - 2 Å" a Å" x Å" dx + a Å" =a Å" - 2 Å" a Å" + a Å"[x] =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł 1
+"x +" +"dx ðÅ‚ 3 ûÅ‚1
2
1 1 1 ðÅ‚ ûÅ‚1
a 1
= Å" (23 -13 ) - a Å" (22 -12 ) + a Å" (2 -1) = Å" a = 1 a = 3
3 3
+" 1 2 +" 2
3
b. E(x) = x Å" f (x) Å" dx = x Å" 0 Å" dx + x Å" 3Å" (x -1)2 Å" dx + x Å" 0 Å" dx = 3Å" - 2x2 + x) Å" dx =
+" +" +" +" +"(x
-" -" 1 2 1
2 2 2
2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x4 x3 x2
= 3Å" x3 Å" dx - 6 Å" x2 Å" dx + 3Å" x Å" dx = 3Å" - 6 Å" + 3Å" =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+" +" +"
4 3 2
ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1
1 1 1
3 6 3 3Å"15 6Å"7 3Å"3 7
= Å"(24 -14) - Å"(23 -13) + Å"(22 -12 ) = - + =
4 3 2 4 3 2 4
c.
+" 1 2
2
D2 (x) = - E(x)] Å" f (x) Å" dx = - 1,75)2 Å" 0 Å" dx + -1,75)2 Å" 3 Å" (x -1)2 Å" dx +
+"[x +"(x +"(x
-" -" 1
+" 2
7 11 193 77 49
4
+ - )2 Å" 0 Å" dx =3Å" - Å" x3 + Å" x2 - Å" x + ) Å" dx =
+"(x 4 +"(x 2 16
8 16
2 1
2 2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 11 1 193 1 77 1 49
îÅ‚ îÅ‚ îÅ‚ îÅ‚ îÅ‚
ìÅ‚
= 3Å" Å" x5 Å‚Å‚ - Å" Å" x4 Å‚Å‚ + Å" Å" x3 Å‚Å‚ - Å" Å" x2 Å‚Å‚ + Å" xÅ‚Å‚ ÷Å‚ = 0,97
ïÅ‚5 śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚16 śł
ìÅ‚
2 4 16 3 8 2
ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
D(x) = 0,985
26
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
d. dystrybuanta zmiennej losowej X:
x x
1. dla x < 1 f (t)Å" dt = dt = 0
+" +"0Å"
-" -"
x 1 x x
2
2. dla 1 d" x < 2 f (t)Å" dt = dt + -1)2 Å" dt = 3Å" - 2Å"t +1) Å" dt =
+" +"0Å" +"3Å"(t +"(t
-" -" 1 1
x x
1 1
îÅ‚ îÅ‚2Å" x
= 3Å" Å"t3Å‚Å‚ - 3Å" Å"t2 Å‚Å‚ + 3Å"[t] = x3 - 3Å" x2 + 3Å" x -1
1
ïÅ‚3 śł ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚1
x 1 2 x
3. dla x e" 2 f (t)Å" dt = dt + -1)2 Å" dt + dt =
+" +"0Å" +"3Å"(t +"0Å"
-" -" 1 2
2 2
2
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ 2
2
=
1
+"(3Å"t - 6Å"t + 3) Å"dt = 3Å" ðÅ‚ Å"t3 ûÅ‚1 - 6Å" ðÅ‚ Å"t2 ûÅ‚1 + 3Å"[t] =1
ïÅ‚3 śł ïÅ‚2 śł
1
0 x < 1
Å„Å‚
ôÅ‚
3
F(X ) = - 3Å" x2 + 3Å" x -1 1 d" x < 2
òÅ‚x
ôÅ‚
1 x e" 2
ół
Zadanie 2.2.9
1 d" x d" 2
Å„Å‚
a Å" xe
a. Dla jakiej wartości parametry a funkcja: f( x ) =
òÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
jest funkcją gęstości.
b. Obliczyć pierwszy i trzeci kwartyl zmiennej losowej X.
ROZWI
ZANIE:
0 x <1
Å„Å‚
ôÅ‚
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f( x ) = Å" xe 1 d" x d" 2
òÅ‚a
ôÅ‚
0 x > 2
ół
+"
a. x )Å" dx = 1
+"f(
-"
2
+" 1 2 +" 2
1 a(2e+1 -1)
îÅ‚
e
f (x) Å" dx = 0 Å" dx + Å" xe Å" dx + Å" dx = a Å" Å" dx = a Å" xe+1Å‚Å‚ = = 1
+" +" +"a +"0 +"x ïÅ‚e +1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚1 e +1
-" -" 1 2 1
e +1
a = H" 0, 31
2e+1 -1
b. F(x =Q1 ) = P(x d" Q1 ) =0,25
m
Q1 Q1
1
îÅ‚ Å‚Å‚
xe+1 a
F(x = Q1) = f (x) Å" dx = dx + Å" xe Å" dx = a Å"
ïÅ‚e +1śł1 = e +1Å"(Q1e+1 -1e+1)
+" +"0Å" +"a
ðÅ‚ ûÅ‚
-" -" 1
27
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
a
Å"(Q1e+1 -1e+1) = 0,25 Q1 = 1,48
e +1
F(x =Q3) = P(x d" Q3) =0,75
Q3
Q3 Q3
1
îÅ‚ Å‚Å‚
xe+1 a
F(x = Q3) = f (x)Å" dx = dx + Å" xe Å" dx = a Å"
ïÅ‚e +1śł1 = e +1 Å"(Q3e+1 -1e+1)
+" +"0Å" +"a
ðÅ‚ ûÅ‚
-" -" 1
a
Å"(Q3e+1 -1e+1) = 0,75 Q3 = 1,90
e +1
Zadanie 2.2.10
1
Å„Å‚
2 d" x d" b
ôÅ‚4 - b
Zmienna losowa X podlega rozkładowi według funkcji: f( x ) =
òÅ‚
ôÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
a. Dla jakiej wartości b funkcja ta jest funkcją gęstości.
b. Obliczyć P( x d" 3 ).
c. Dla jakiej wartości c zachodzi zale\
ność P(x d" c ) = 0,75.
ROZWI
ZANIE:
0
Å„Å‚
x < 2
ôÅ‚
ôÅ‚
1
funkcja gęstości zmiennej losowej X: f( x ) = 2 d" x d" b
òÅ‚
ôÅ‚4 - b
ôÅ‚
x > b
0
ół
+"
a. x )Å" dx = 1
+"f(
-"
+" 2 b +" b b
1 1 1 1 b
b - 2
f (x)Å" dx = dx + Å"dx + dx = Å" dx = Å" = [x] =
2
+" +"0Å" +" +"0Å" +" +"dx 4 - b 4 - b
4 - b 4 - b 4 - b
-" -" 2 b 2 2
b - 2
= 1 b = 3
4 - b
3 2 3
1 1 3
3 - 2
b. P(x d" 3) = x )Å"dx = + Å"dx = Å"[x] = =1
2
+"f( +"0Å"dx +"
4 - b 4 - b 4 - b
-" -" 2
c 2 c
1 1 c
c - 2
c. P(x d" c) = x )Å"dx = + Å"dx = Å"[x] = = 0,75
2
+"f( +"0Å"dx +"
4 - b 4 - b 4 - b
-" -" 2
c - 2
= 0,75 c = 2,75
4 - 3
28
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.2.11
Funkcja gęstości zmiennej losowej X dana jest wzorem:
0 d" x d" a
Å„Å‚ - 2Å" x +1
ôÅ‚3Å" x2
f( x ) =
òÅ‚
ôÅ‚
0 dla pozostalych x
ół
Wyznacz:
a. wartość a tak, aby funkcja f(x) była funkcją gęstości,
b. medianÄ™,
c. kwartyl pierwszy,
d. wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.
ROZWI
ZANIE:
x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚3Å" x2 0
funkcja gÄ™stoÅ›ci zmiennej losowej X: f( x ) = - 2Å" x +1
0 d" x d" a
òÅ‚
ôÅ‚
0
x > a
ół
+"
a. = x )Å" dx = 1
+"f(
-"
+" 0 a +" a
f (x)Å" dx = dx + x2 - 2Å" x +1)Å" dx + dx = x2 - 2Å" x +1) Å" dx =
+" +"0Å" +"(3Å" +"0Å" +"(3Å"
-" -" 0 a 0
a a
a a a
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3Å" x3 2Å" x2
a
= x2 Å" dx - x Å" dx + = +[x] = a3 - a2 + a
ïÅ‚ śł
+"3Å" +"2Å" +"dx ðÅ‚ 3 ûÅ‚0 - ïÅ‚ śł 0
2
ðÅ‚ ûÅ‚0
0 0 0
a3 - a2 + a = 1 a3 - a2 + a -1 = 0 (a -1)Å"(a2 +1) = 0 a = 1
b. F(x = me) = P (x d" me) = 0,5
me me
me 0 me
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3Å" x3 2 Å" x2
me
f (x) Å" dx = Å" dx + x2 - 2 Å" x +1) Å" dx =ïÅ‚ śł - + [x] = me3 - me2 + me
ïÅ‚ śł 0
+" +"0 +"(3Å"
3 2
ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚0
-" -" 0
me3 - me2 + me = 0,5 me3 - me2 + me - 0,5 = 0 me = 0,65
c. P (x d" Q1 ) = F(x = Q1 ) = 0,25
Q1 Q1
Q1 Q1
0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3Å" x3 2 Å" x2
Q1
f (x) Å" dx = Å" dx + x2 - 2 Å" x +1) Å" dx =ïÅ‚ śł - + [x] = Q13 - Q12 + Q1
ïÅ‚ śł 0
+" +"0 +"(3Å"
3 2
ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚0
-" -" 0
Q13 - Q12 + Q1 = 0,25 Q1 = 0,32
+" 0 a1 +"
d. E(x) = x Å" f (x)Å" dx = Å"0Å" dx + Å"(3Å" x2 - 2Å" x +1)Å" dx + Å"0Å" dx =
+" +"x +"x +"x
-" -" 0 a
a a a
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3Å" x4 2Å" x3 x2 3Å" a4 2Å" a3 a2 7
= - + = - + =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
4 3 2
ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚0 4 3 2 12
29
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 2.2.12
Rozkład zmiennej losowej X ma postać:
2
Å„Å‚
a d" x d" 8
ôÅ‚a - 5
f( x ) =
òÅ‚
ôÅ‚
dla pozostalych x
0
ół
Wyznacz:
a. wartość parametru a tak, aby funkcja f(x) była funkcją gęstości,
b. wartość oczekiwaną,
c. wariancjÄ™,
d. kwartyl pierwszy i trzeci zmiennej losowej X.
ROZWI
ZANIE:
0
Å„Å‚
x < 0
ôÅ‚
2
ôÅ‚
funkcja gęstości zmiennej losowej X: f( x ) =
òÅ‚a - 5 a d" x d" 8
ôÅ‚
x e" 8
ôÅ‚
0
ół
+"
a. x ) Å" dx = 1
+"f(
-"
+" a 8 +"
2 2 2 Å" (8 - a)
8
f (x) Å" dx = Å" dx + Å" dx + Å" dx = Å"[x] =
a
+" +"0 +" +"0 a - 5
a - 5 a - 5
-" -" a 8
2 Å" (8 - a)
= 1 a = 7
a - 5
8
+" 7 8 +"
2 2 1
îÅ‚
b. E(x) = x Å" f (x) Å" dx = x Å"0Å" dx + x Å" Å" dx + x Å"0Å" dx = Å" Å" x2 Å‚Å‚ = 0,5
+" +" +" +" ïÅ‚2 śł
a - 5 a - 5
ðÅ‚ ûÅ‚7
-" -" 7 8
+" 7 8 +"
2
2 2
D2 (x) = - E(x)) Å" f (x) Å" dx = - 0,5)2 Å"0Å" dx + - 0,5) Å" Å" dx + - 0,5)2 Å"0Å" dx =
+"(x +"(x +"(x +"(x
a - 5
-" -" 7 8
c.
8 8 8
8 8
1 1 1 1
îÅ‚ îÅ‚ îÅ‚
= - 0,5)2 Å" dx = (x2 - x + 0,25)Å" dx = Å" x3 Å‚Å‚ - Å" x2 Å‚Å‚ + Å" xÅ‚Å‚ =
+"(x +"
ïÅ‚3 śł ïÅ‚2 śł ïÅ‚4 śł
ðÅ‚ ûÅ‚7 ðÅ‚ ûÅ‚7 ðÅ‚ ûÅ‚7 12
7 7
d. P(x d" Q1) = F(x = Q1) = 0,25
Q1 Q1
7
2
Q1
f (x)Å" dx = dx + Å"dx = [x] = Q1 - 7 Q1 - 7 = 0,25 Q1 = 7,25
7
+" +"0Å" +"
a - 5
-" -" 7
P(x d" Q3) = F(x = Q3) = 0,75
Q3 Q3
7
2
Q3
f (x)Å" dx = dx + Å" dx = [x] = Q3 - 7 Q3 - 7 = 0,75 Q3 = 7,75
7
+" +"0Å" +"
a - 5
-" -" 7
30