MPiS cw 04 zmienne losowe

Maciej Sac, Marek Blok 2015-04-10
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 4. Zmienne losowe (wielkości losowe)
Zagadnienia: zmienne losowe i ich charakterystyki probabilistyczne
Zmienna losowa (wielkość losowa)
Ze zmienną losową X mamy do czynienia, gdy istnieje funkcja 5�e�(5��) przyporządkowująca wartości
liczbowe losowym zdarzeniom elementarnym 5��.
Dziedzina: wszystkie zdarzenia elementarne 5�� " 5�ś�
Przeciwdziedzina: podzbiór R
Realizacja: 5�e�5�V� = 5�e�(5��5�V�)
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją argumentu x określającą prawdopodobieństwo
przyjęcia przez tę zmienną losową wartości mniejszej od x.
( )
5�9� 5�e� = 5�C�(5�K� < 5�e�)
Własności:
( )
1) 5�9� 5�e� jest określona w dziedzinie liczb rzeczywistych w przedziale od -" do ".
( )
2) 5�9� 5�e� jest funkcja niemalejącą
(-"
)
3) 5�9� = 0
( )
4) 5�9� " = 1
( ) (
5) 5�9� 5�e� jest lewostronnie ciągła: 5�9� 5�e�-) = 5�9�(5�e�)
( )
6) 5�C�(5�e�1 d" 5�K� < 5�e�2) = 5�9� 5�e�2 - 5�9�(5�e�1)
+
( )
7) 5�C�(5�K� = 5�e�1) = 5�9� 5�e�1 - 5�9�(5�e�1)
( ) ( )
Komplementarna dystrybuanta: 5�6� 5�e� = 1 - 5�9� 5�e� = 5�C�(5�K� e" 5�e�)
Zmienne losowe ciągłe i dyskretne
( )
Zmienna losowa jest typu ciągłego, jeżeli jej dystrybuanta 5�9� 5�e� jest funkcją ciągłą i przeliczalna
jest liczba argumentów, dla których nie jest ona różniczkowalna.
( )
Zmienna losowa jest typu dyskretnego, jeżeli jej dystrybuanta 5�9� 5�e� jest typu schodkowego.
( )
Zmienna losowa jest typu mieszanego, jeżeli jej dystrybuanta 5�9� 5�e� jest nieciągła, ale jednocześnie
nie jest typu schodkowego.
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej jej pochodną jej dystrybuanty
5�Q�5�9�(5�e�)
( )
5�]� 5�e� =
5�Q�5�e�
Własności:
( )
1) 5�]� 5�e� e" 0
5�e�
( ) ( ) ( ) "5�e�5�[�<5�e�
2) 5�9� 5�e� = 5�]� 5�g� 5�Q�5�g� (z.l. ciągła); 5�9� 5�e� = 5�C�(5�K� = 5�e�5�[�), 5�[� = 1,2,3, & (z.l. dyskretna)
+"-"
"
( ) "5�[�
3) warunek normalizacyjny: 5�]� 5�e� 5�Q�5�e� = 1 (z.l. ciągła); 5�C�(5�K� = 5�e�5�[�) = 1 (z.l. dyskretna)
+"-"
5�e�2
( )
4) 5�C�(5�e�1 d" 5�K� d" 5�e�2) = 5�]� 5�e� 5�Q�5�e� (z.l. ciągła); 5�C�(5�e�1 d" 5�K� d" 5�e�2) = "5�e�1d"5�e�5�[�d"5�e�2 5�C�(5�K� = 5�e�5�[�) (z.l.
+"5�e�1
dyskretna)
Maciej Sac, Marek Blok 2015-04-10
Histogram doświadczalne wyznaczanie gęstości prawdopodobieństwa
obserwujemy N realizacji X,
zakres zaobserwowanych realizacji dzielimy na przedziały o równej szerokości ",
ki zaobserwowanych realizacji mieści się w i-tym przedziale,
na i-tym przedziale rysujemy słupek o wysokości (ki/N)/",
przy N ", " 0 otrzymujemy p(x).
Zad. 1. Rozpatrzmy eksperyment polegający na rzucie kostką sześciościenną. Zmienne losowa X
przyjmuje wartości odpowiadające wynikowi rzutu. Zapisz możliwe realizacje zmiennej losowej X.
Zapisz prawdopodobieństwo wystąpienia każdej realizacji. Zapisz dystrybuantę zmiennej losowej X
oraz narysuj jej wykres.
Zad. 2. Dana jest zmienna losowa ciągła X o rozkładzie prawdopodobieństwa
5�6�5�e�2 dla 5�e� " (0,1)
( )
5�]� 5�e� = { . Wyznacz stałą C. Wyznacz F(x). Oblicz 5�C�(1 d" 5�K� < 4).
3
0 dla pozostałych 5�e�
26
Odp. 5�6� = 3, 5�C� (1 d" 5�K� < 4) =
3 27
Zad. 3. Optyczny system inspekcji ma na celu rozróżnienie trzech typów elementów.
Prawdopodobieństwo poprawnej klasyfikacji dowolnego elementu wynosi 0.98. Załóżmy, że
inspekcji są poddawane trzy elementy i ich klasyfikacja jest niezależna. Niech zmienna losowa X
oznacza liczbę poprawnie sklasyfikowanych elementów. Określ rozkład prawdopodobieństwa oraz
dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zad. 4. Pracownik spóznia się do pracy o 5�V� minut (zdarzenie 5�F�5�V�), gdzie i = 0, 1, 2, ... Przyjmując
( )
5�C� 5�F�5�V� = 0.55�V�+1 oraz, że za każdą minutę spóznienia płaci on 50 groszy, znalezć rozkład
Maciej Sac, Marek Blok 2015-04-10
prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę karnych opłat. Następnie obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że zapłaci on 2 złote lub więcej.
Odp.
1
( )
5�C�(5�K� = 5�e�5�V�) = 0.525�e�5�V�+1 dla 5�e�5�V� = 0, 0.5, 1.0, & ; 5�9� 5�e� = 1 - 0.5#25�e� #; 5�C�(5�K� e" 2) = .
16
Zad. 5. Badając eksperymentalny kanał transmisyjny określono, że liczba błędów obserwowana w
przesyłanych 8-mio bitowych słowach kodowych jest zmienną losową o następującej dystrybuancie
0 5�e� d" 0
( )
5�9� 5�e� = {0.7 0 < 5�e� d" 3
0.9 3 < 5�e� d" 6
1 6 < 5�e�
Określić następujące prawdopodobieństwa
a) 5�C�(5�K� < 7); b) 5�C�(5�K� d" 4); c) 5�C�(5�K� > 7); d) 5�C�(5�K� d" 5) e) 5�C�(5�K� > 4); f) 5�C�(5�K� d" 2).
Ile błędów obserwowano w odbieranych słowach kodowych? Określ prawdopodobieństwa tych
zdarzeń.
Odp.
a) 1; b) 0.9; c) 0; d) 0.9; e) 0.1; f) 0.7; 5�C�(5�K� = 0) = 0.7; 5�C�(5�K� = 3) = 0.2; 5�C�(5�K� = 6) = 0.1
Zad. 6. Przyjmując 5�]�(5�e�) = 5�e�/8 dla 3 < 5�e� < 5 wyznacz dystrybuantę 5�9�(5�e�) oraz określić
następujące prawdopodobieństwa
a) 5�C�(5�K� < 4); b) 5�C�(5�K� > 3.5); c) 5�C�(4 < 5�K� < 5);
d) 5�C�(5�K� < 4.5); e) 5�C�(5�K� < 3.5 lub 5�K� > 4.5)
1
( )
Odp. 5�9� 5�e� = (5�e�2 - 9)
16
a) 0.4375; b) 0.7969; c) 0.5625; d) 0.7031; e) 0.5
Zad. 7. W klasie sprawdzono ile słów są w stanie napisać uczniowie w ciągu jednej minuty i
uzyskano następujące wyniki: 25, 19, 23, 29, 34, 26, 30, 40, 33, 20, 35, 35, 25, 29, 36, 22, 31.
Sporządz tabelę częstości i narysuj histogram.
Zad. 8. Dana jest zmienna losowa X ciągła o dystrybuancie
0 5�e� d" -1
1 1
( )
5�9� 5�e� = {
+ arcsin 5�e� -1 < 5�e� < 1
2 5��
1 5�e� e" 1
( )
a) narysuj wykres 5�9� 5�e� ,
1 1
b) oblicz 5�C� (- d" 5�K� < ),
2 2
( )
c) wyznacz 5�]� 5�e� .
1
( )
Zad. 9. Dana jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa 5�]� 5�e� = 5�6� . Wyznacz stałą C oraz
1+5�e�2
dystrybuantę zmiennej losowej X.
Materiały zródłowe:
1. B. Czaplewski, notatki.
2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska, Probabilistyka stosowana , Wydawnictwo PG, 2004.
3. D. C. Montgomery, G. C. Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers , Willey,
2003.
Maciej Sac, Marek Blok 2015-04-10
4. M. Kay, Intuitive Probability and Random Processes Using MATLAB , Springer, 2006.
5. J. Konorski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna , materiały do
wykładu, WETI PG, Gdańsk, 2014.
6. http://www.gaston.k12.nc.us/schools/cramerton/faculty/kllasky/Course%20Outline%20and%20
Syllabus/Textbook/Ch%2003/Text%203.5.pdf

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MPiS cw dwie zmienne losowe
Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej
MPiS30 W05d Zmienne losowe II
PiS15 W03 Zmienne losowe II 12
zmienne losowe22 09 A
3 Zmienne losowe i ich rozkłady
rozklad zmiennej losowe metodologia wyk2
Rozklad zmiennej losowej zadania
PiS15 W02k Zmienne losowe I
MPiS cw operator uśredniania
SM15 W02k Zmienne losowe I
Parametry zmiennej losowej
PiS15 W02d Zmienne losowe I
zmienne losowe
PiS15 W03k Zmienne losowe II
jurlewicz,probabilistyka, parametry zmiennej losowej
2rozklady zmiennej losowej

więcej podobnych podstron