1. Charakterystyki liczbowe zm. l.
PiS15 W03: Zmienne losowe II
Niech na (©, 1!, !) okreÅ›lone bÄ™dÄ… zm. l. , & , o war-
1. Charakterystyki liczbowe zm. l.
tościach rzeczywistych. Charakterystykami liczbowymi zm. l.
2. Charakterystyki położenia
(lub ich rozkładów prawd.) nazywamy liczby charakteryzują-
Przykład 1
ce zbiór wartości, jakie mogą one przyjmować, np. pod
3. Charakterystyki rozrzutu
względem wartości najbardziej prawd., rozrzutu wokół pew-
4. Momenty zmiennej losowej
nej wartości, kształtu wykresu funkcji prawd. lub krzywej gę-
Przykład 2
stości, a w przypadku kilku zm. l. współzależności między
5. Charakterystyki współzależności liniowej
nimi.
Przykład 3,
Przykład 4
Charakterystyka liczbowa służy do syntetycznego opisu
6. Standaryzacja zmiennej losowej
wartości zm. l. Za pomocą kilku liczb można uzyskać w pro-
7. Rozkład Bernoulliego i jego własności
sty sposób dostatecznie dobre informacje o rozkładzie zm. l.
8. Rozkład równomierny i jego własności
lub zależnościach pomiędzy zm. l.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 1 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 3
9. Proces Bernoulliego
2. Charakterystyki położenia
10. Rozkład dwumianowy i jego własności
CharakterystykÄ™ liczbowÄ… !( ) zm. l. nazywamy cha-
11. Rozkład jednostajny i jego własności
rakterystyką położenia, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej
12. Rozkład normalny i jego własności
zmienia wartość tej charakterystyki o tę stałą, tj.
Przykład 6
( ) ( )
! + = ! +
Przykład 7
Przykład 8
Podstawowe charakterystyki położenia wartości zm. l.:
13. Przykładowe projektowanie badań
a) wartość oczekiwana (expected value, mean),
Przykład projektu zaliczeniowego na laboratorium cz. 1
b) wartość modalna (mode),
c) kwantyle (quantile).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 2 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 4
Wartością oczekiwaną (wartością średnią, ang. expected va- Zm. l. i , które spełniają warunek z tezy własności 5
lue, mean) zm. l. X nazywamy liczbÄ™ = , gdzie jest nazywamy nieskorelowanymi zm. l.
operatorem wartości oczekiwanej, przy czym
Jeżeli zm. l. X ma wartość oczekiwaną m, to zm. l.
a) dla zm. l. typu dyskretnego
= -
"
= nazywamy zm. l. scentrowanÄ….
b) dla zm. l. typu ciągłego
Przykład 1. Niech będzie liczbą punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru { , , }.
( )
=
a) Wyznaczyć wartość oczekiwaną zm. l. .
przy założeniu, że występujący szereg i całka są bezwzględ-
b) Uogólnić wynik na zbiór elementowy.
nie zbieżne. W przeciwnym przypadku powiemy, że zm. l. nie
Rozwiązanie. Doświadczenie jest tu określone poprzez per-
ma wartości oczekiwanej.
mutację zbioru { , , }, stąd zbiór wyników
Mianem wartości oczekiwanej jest miano zm. l. .
{ }
© = , , , , , .
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 5 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 7
Własności wartości oczekiwanej Prawd. poszczególnych wyników oraz liczby punktów stałych
podane sÄ… w tablicy 1.1.
Niech na (©, 1!, !) dane bÄ™dÄ… dwie zm. l. i dla których
istniejÄ… , oraz niech staÅ‚a " !, wówczas ©
a b c 3 1/6
a c b 1 1/6
1. = ;
b a c 1 1/6
( )
2. = ;
b c a 0 1/6
( )
3. + = + ;
c a b 0 1/6
( )
4. + = + ;
c b a 1 1/6
własność 4 ma uogólnienie na sumę skończonej ilości zm. l. Tablica 1.1. Liczby punktów stałych.
Z własności 2, 3 i 4 wynika, że operator jest liniowy.
Stąd wartość oczekiwana
5. Ponadto, jeżeli zm. l. X i Y są niezależne, to
1 1 1 1 1 1
= 3 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 = 1
( - - = 0
)( )
6 6 6 6 6 6
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 6 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 8
b) Wyznaczymy oczekiwaną liczbę punktów stałych w loso- Wariancją (variance) zm. l. nazywamy wartość oczeki-
wej permutacji zbioru = {1, 2, & , }. Dla każdego " , waną kwadratu scentrowanej zm. l., tj. liczbę określoną
niech (É) równa siÄ™ 1, jeÅ›li losowa permutacja É ma punkt wzorem:
stały na i-tym miejscu, i 0 w p. p, stąd dla każdego i,
= ( - )
przy czym, jeżeli zm. l. jest:
= .
a) typu dyskretnego, to
Niech Y oznacza liczbÄ™ punktów staÅ‚ych w permutacji É
" ( )
= - ( ),
( ) ( ) ( )
É = É + É + ï" + (É).
b) typu ciągłego, to
Stąd z własności liniowości dla n zm. l.
( )
= - ( )
= + + ï" + ,
Wariancja zm. l. istnieje, gdy szereg (całka) występujący
czyli = 1.
w definicji wariancji jest zbieżny.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 9 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 11
Wartość wariancji zm. l. oznaczamy à . Mianem wariancji
3. Charakterystyki rozrzutu
jest kwadrat miana badanej zm. l.
CharakterystykÄ™ liczbowÄ… zm. l. nazywamy charaktery-
WÅ‚asnoÅ›ci wariancji. Niech na (©, 1!, !) dane bÄ™dÄ… zm. l.
styką rozrzutu, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej nie
i o skończonych wariancjach oraz " !. wówczas
zmienia wartości tej charakterystyki. Charakterystykami roz-
a) = 0 - wariancja stałej jest równa zero,
rzutu wartości zm. l. są:
b) e" 0  nieujemność wariancji,
a) wariancja (ang. variance),
( )
c) + = - niezmienniczość na przesunięcie,
b) odchylenie standardowe (ang. standard deviation),
( )
d) = dla `" 0;
c) odchylenie ćwiartkowe.
( )
e) Ä… = + , gdy sÄ… nieskorelowane.
Względną charakterystyką rozrzutu jest współczynnik
Odchyleniem standardowym lub dyspersjÄ… zm. l. X nazywa-
zmienności (ang. coefficient of variation).
my dodatni pierwiastek z wariancji, tj. liczbÄ™ Ã = .
Niech bÄ™dzie zm. l. okreÅ›lonÄ… na (©, 1!, !) i ma wartość
oczekiwanÄ… = .
Mianem dyspersji jest miano badanej zmiennej.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 10 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 12
Przykład 2. Losujemy liczbę z przedziału ( , ), gdzie <
4. Momenty zmiennej losowej
. Niech X oznacza wylosowaną liczbę. Wyznaczyć dwa
Niech na (©, 1!, !) dana bÄ™dzie zm. l. X oraz " !, " !.
pierwsze momenty zwykłe oraz wariancję zm. l. X.
CharakterystykÄ™ liczbowÄ… ( - ) (o ile istnieje) nazy-
Rozwiązanie. a) Rozkład zm. X określa gęstość
wamy momentem k-tego rzędu zm. l. X względem stałej c.
( )
1/( - ), gdy " , ,
Szczególną rolę odgrywają momenty dla = 0 i = .
( )
=
0, p. p. ,
Jeżeli = 0, to momenty nazywają się momentami zwy-
więc momenty wyznaczamy przez całkowanie
kłymi i oznaczamy je , tj.
( ) = = = ,
Jeżeli = , to momenty nazywają się momentami cen-
= = = ,
tralnymi i oznaczamy je przez , tj. ( )
( )
( )
= ( - )
stÄ…d = - = .
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 13 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 15
Z istnienia momentów wyższych rzędów wynika istnienie
5. Charakterystyki współzależności liniowej
momentów niższych rzędów.
Jeżeli rozważamy kilka zm. l. określonych na tej samej
Wartość oczekiwana jest momentem zwykłym rzędu
przestrzeni (©, 1!, !), to możemy badać je nie tylko z osobna,
pierwszego.
ale również łącznie, na przykład w celu wyznaczenia współ-
Wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego.
zależności pomiędzy nimi.
Związek między wariancją a momentami zwykłymi Podstawowymi charakterystykami określającymi współza-
leżność liniową pomiędzy parami zm. l.-ych są:
Jeżeli istnieje wariancja zm. l. X, to
a) kowariancja (covariance),
= -
b) współczynnik korelacji (correlation coefficient)
Niech na (©, , !) dana bÄ™dzie para zm. l. X i Y.
Niech na (©, 1!, !) dane bÄ™dÄ… dwie zm. l. X i Y.
Momentem zwyczajnym rzędu ( + ) pary ( , ) nazywa-
| |
Kowariancją zm. l. X i Y dla których < ", (tj. istnieje
my charakterystykę liczbową określoną wzorem:
moment mieszany), nazywamy liczbÄ™
( ) ( )
, = .
( ) ( - - )
)( )
, = (
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 14 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 16
Mianem kowariancji jest iloczyn mian zmiennych X i Y. Niech na (©, 1!, !) dana bÄ™dzie para zm. l. i .
Własności kowariancji: Współczynnikiem korelacji zm. l. i nazywamy charak-
terystykę liczbową ( , ) określoną wzorem:
( )
1. , = ( , )  przemienność kowariancji,
( )
2. , = ,
( , )
( , ) =
( ) ( )
3. , = - " ,
"
| |
4. ( , ) d"  nierówność Schwarza.
Wartości współczynnika korelacji oznaczamy . Współ-
( )
5. Ä… = + Ä… 2 ( , ),
czynnik korelacji jest wielkością bez miana i nie zależy od
Z własności 3) wynika, że dla każdej pary niezależnych
przyjętej skali oraz od położenia początku układu współrzęd-
( )
zm. l. X i Y , = 0.
nych, w którym są rejestrowane zmienne.
Odwrotne stwierdzenie jest fałszywe. Ilustruje to przykład.
Własności współczynnika korelacji.
Przykład 3. Obliczyć kowariancję oraz zbadać niezależność
a) -1 d" Á d" 1, przy czym = 1, wtedy i tylko wtedy,
zm. l. brzegowych dla wektora l. (X, Y) o łącznym rozkładzie:
gdy = + z prawd. 1.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 17 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 19
b) dla dowolnych stałych , , ,
\ 1 2 3
( ) ( )
+ , + = ,
6 0,2 0 0,2
Zatem, jeśli stałe a i c są tego samego znaku, to współczynnik
korelacji zm. l. + i + jest taki sam, jak zm. l. i .
8 0 0,2 0
Oznacza to, że współczynnik korelacji nie zależy od przyjętej
skali oraz od położenia początku układu współrzędnych,
10 0,2 0 0,2
w którym są rejestrowane zm. i .
Rozwiązanie. Po wykonaniu obliczeń mamy:
( ) ( )
= 8, = 2, = 16, zatem , = 0,
Przykład 4. W produkcji pewnego zakładu braki ze względu
więc zm. l. X i Y są nieskorelowane, ale nie są niezależne, bo
na własności mechaniczne produktu stanowią 3%, a braki ze
( ) ( ) ( )
P = 6, = 1 = 0,2 `" P = 6 P = 1 = 0,16
względu na własności elektryczne tego produktu 4,5%. Pro-
dukcja dobra stanowi 95% całej produkcji. Wyznaczyć
współczynnik korelacji między brakami obu typów.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 18 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 20
Wskazówka. Wprowadzamy dwie dychotomiczne zm. l. Własności. Niech Z będzie standaryzowaną zm. l. dla zm. l.
, wówczas
i . JeÅ›li wyrób É jest brakiem ze wzglÄ™du na wÅ‚asnoÅ›ci me-
( )
chaniczne, to przyjmujemy, że É = 1, w przeciwnym a) = 0,
( ) ( )
przypadku É = 0. Podobnie, É = 1, gdy wyrób É jest
b) = 1,
( )
brakiem ze wzglÄ™du na wÅ‚asnoÅ›ci elektryczne oraz É = 0,
( )
c) = .
w przeciwnym przypadku. Dane uzupełniamy tak, aby otrzy-
mać rozkład łączny i rozkłady brzegowe.
Dowody. Własności wynikają z przekształceń:
\ 0 1
( )
= = - = 0,
0 0,95
( )
= = - = 1.
1 0,03
0,045
- -
( ) ( )
= P d" = P d" ]"
Na koniec obliczamy odpowiednie momenty.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 21 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 23
6. Standaryzacja zmiennej losowej 7. Rozkład Bernoulliego i jego własności
Standaryzacją zm. l. o skończonej wartości oczekiwanej Rozkładem Bernoulliego (Bernoulli distribution) (zwa-
nym w polskiej literaturze rozkładem zero-jedynkowym) na-
i wariancji > 0 nazywamy przekształcenie
( )
zywamy rozkÅ‚ad zm. l. dla której © = {0, 1}. Wartość 1
-
przyjmuje z prawd. p, a 0 z prawd. = 1 - , czyli
( )
! =
, dla = 1,
( )
= 1 - , dla = 0.
Zm. l. = !( ) nazywamy standaryzowanÄ… zm. l. (the stan-
dardized r. v.)
Rozkład ten oznaczamy ( ). Zapis ~ ( ) oznacza, że
zm. l. X ma rozkład Bernoulliego z parametrem ( " (0, 1))
Standaryzacja zm. l. może być uogólniona na tak zwaną
( )
Momenty zwykłe: = 1 + 0 1 - = , dla k = 1,
 zm. l. zredukowaną , która jest określana za pomocą innej
2,& , stÄ…d = , = , = (1 - ).
charakterystyki położenia i/lub innej charakterystyki rozrzutu.
Rozkład ten jest stosowany w kontroli jakości wyrobów.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 22 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 24
8. Rozkład równomierny i jego własności 10. Rozkład dwumianowy i jego własności
Zm. l. X typu dyskretnego ma rozkład równomierny Zm. l. X typu dyskretnego ma rozkład dwumianowy
( ) ( )
(discrete uniform distribution) na zbiorze © = , gdzie (binomial distribution) na zbiorze © = {0, 1, & , } z pa-
= { , , & , }, co oznaczamy ~ ( ), jeżeli każdą rametrami i ( " !, " (0, 1), co zapisujemy
( )
z wartości " przyjmuje z tym samym prawd., tj. ~ , , jeżeli jej funkcja prawd. wyraża się wzo-
rem:
( | ) ( )
= P = =
( | )
, = (1 - ) " {0, 1, & , }
Rozkład równomierny jest modelem losowania liczby
Zm. l. X o rozkładzie ( , ) zlicza liczbę sukcesów (je-
w totalizatorze sportowym, wyniku rzutu idealnÄ… kostkÄ…, lo-
dynek), w ciągu n niezależnych doświadczeń, których mode-
sowania numeru produktu z ponumerowanej ich partii, itp.
lem jest proces Bernoulliego.
Własności. Jeżeli ~ ( ), to
Ciąg niezależnych zm. l. o tym samym rozkładzie nazywa-
" "
= , = - ( ) .
my prostą próbą losową i ozn. SRS (simple random sample).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 25 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 27
9. Proces Bernoulliego
Procesem Bernoulliego1 (Bernoulli process) nazywamy
skończony lub nieskończony ciąg , , & identycznych
i niezależnych zm. l. o rozkładzie Bernoulliego, tj. przyjmu-
jących dwie wartości: 1 z prawd. p zwanym sukcesem i 0
z prawd. 1 zwanym porażką.
Z procesem Bernoulliego związane są rozkłady: Bernoul-
liego, dwumianowy i Pascala.
1
Jakub Bernoulli (1654-1705)
Matematyk szwajcarski, jeden z licznej rodziny Bernoullich, autor Ars conjectandi, pierw-
Rys. 1. A
amane funkcji prawd. rozkładów dwumianowych
szego dzieła poświęconego rachunkowi prawdopodobieństwa.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 26 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 28
Własności rozkładu dwumianowego:
12. Rozkład normalny i jego własności
1. Jeżeli ~ ( ) dla i = 0, 1, 2,& , n jest ciągiem nieza-
Zm. l. X typu ciągłego ma rozkład normalny (normal di-
leżnych zm. l. o tym samym rozkładzie Bernoulliego, to
stribution) z parametrami i Ã, ( " !, Ã > 0), co zapisu-
ich suma
jemy ~ ( , Ã), jeÅ›li jej gÄ™stość wyraża siÄ™ wzorem:
= + + ï" +
( )
|
( , Ã) = exp - , " !
ma rozkład dwumianowy ~ ( , ). "
Gęstość rozkładu normalnego zaproponował Gauss2, jako
2. Jeżeli ~ ( , ), to = , = (1 - ),
model rozkładu częstości błędów pomiarowych.
( )
( + 1) , + 1 " !
( )
=
2
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
( ) ( ) - 1, + 1 " !
( )
+ 1 , + 1
gdzie symbol oznacza część całkowitą z liczby x.
- matematyk niemiecki. Jeden z najwybitniejszych matematyków wszystkich
czasów, zwany przez współczesnych książę matematyków. Profesor uniwersytetu w Getyndze.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 29 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 31
Na jego cześć krzywe gęstości rozkładów normalnych na-
11. Rozkład jednostajny i jego własności
zywamy krzywymi Gaussa.
Zm. l. typu ciągłego ma rozkład jednostajny (uniform
distribution) na przedziale ( , ), -" < < < +", co za-
pisujemy ~ ( , ), gdy jej dystrybuanta dana jest wzorem:
0 dla < ,
-
|
CDF: ( , ) = dla d" < ,
-
1 dla e" .
Własności. Jeżeli ~ ( , ), to
= ,
Rys. 3 Krzywe Gaussa.
( )( )
Gęstość osiąga maksimum w punkcie = , natomiast
( )
stÄ…d = , = .
dla = à ma punkty przegięcia.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 30 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 32
WÅ‚asnoÅ›ci: Jeżeli ~ ( , Ã), to = , = à . Standaryzowany rozkÅ‚ad normalny
Jeśli ~ ( , ) i zm. l. X poddamy standaryzacji Z, to
~ (0, 1). Rozkład (0, 1) nazywamy standardowym roz-
kładem normalnym. Dystrybuanta stand. rozkładu normalne-
go jest oznaczana przez Ś i ma postać
( )
Åš = exp - , " !.
"
Z symetrii gęstości stand. rozkładu normalnego względem osi
Oy wynika zależność:
(-z
)
Åš = 1 - Åš(z).
( )
Wartości funkcji Ś są stablicowane. Dla ~ , ko-
rzystamy z tej tablicy po jej standaryzacji.
Rys. 4. Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 33 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 35
Przykład 6. Wytrzymałość lin stalowych (wyrażona Przykład 7. Wytrzymałość W (w [MPa]) lin stalowych, po-
w [MPa]), pochodzących z masowej produkcji, jest zm. l. X chodzących z pewnej partii, ma rozkład jak w przykładzie 6.
o gęstości danej wzorem: Obliczyć prawd. zdarzenia, że losowo wybrana lina z tej partii
( )
będzie miała wytrzymałość większą niż 105 [MPa],
|
( , Ã) = exp - , " !.
"
Rozwiązanie. Z praw wielkich liczb możemy przyjąć, że czę-
Ile wynoszą średnia i wariancja wytrzymałości lin.
stość przyjmowania wartości z przedziału (-"; x) jest równa
Odp.: = 100[MPa], = 25[MPa]2.
prawd. przyjmowania wartości z tego przedziału.
Zastosowanie rozkładu normalnego
Obliczamy prawd. zdarzenia > 105 [MPa]
Rozkład normalny jest najważniejszym i najczęściej sto-
( ) ( )
P > 105 = 1 - P d" 105
sowanym rozkładem w MP i SM oraz najczęściej stosowa-
( ) ( )
= 1 - P d" = 1 - P d" 1 = 1 - Åš 1 ,
nym rozkładem w zastosowaniach inżynierskich i ekono-
micznych.
Åš(1) odczytujemy z tablicy st. lub programu komp.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 34 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 36
( )
Ponieważ Ś 1 H" 0,8413, więc prawd., że losowo wybrana Przykład 8. Zużycie paliwa niezbędnego do przebycia przez
lina z rozważanej partii będzie miała wytrzymałość większą odrzutowiec odległości między dwoma miastami jest zm. l. X
niż 105 [MPa] wynosi 0,1587. o rozkładzie (5,5; 0,5) [tony]. Ustalić ilość tankowanego
paliwa tak, aby prawd. dolotu do miejsca przeznaczenia wy-
niosło ponad 0,99.
Kwantyle rozkładu normalnego
( )
Rozwiązanie. Wyznaczamy wartość x dla której P < =
|
Niech ( , ) będzie dystrybuantą zm. l. X o rozkła-
0,99, czyli kwantyl rzędu 0,99, tj. .
dzie normalnym. Kwantyle zm. l. X wyznaczamy za pomocÄ… ,
|
funkcji kwantylowej ( , Ã), która dla " (0, 1) jest
Korzystamy z zależności = + " . Ponieważ
, ,
określona wzorem:
( )
= 5,7; = 0,5; = Ś 0,99 = 2,3263, więc
,
| ( ) ( )
( , Ã) = + " Åš = + ÃÅš ,
= 6,863 ton.
,
gdzie Ś ( ) jest funkcją kwantylową rozkładu (0, 1). Zatankowanie 6,9 ton paliwa daje nam co najmniej 99% pew-
ność, że wystarczy paliwa na cały lot.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 37 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 39
Ponieważ
13. Przykładowe projektowanie badań
( ) ( )
Åš = -Åš 1 - , dla " (0, 1)
(Palenie i rak). Zaprojektować badanie zależności chorowania
więc wystarczy znać wartości tej funkcji dla " (0,5; 1).
na raka od palenia tytoniu w grupie 60 osób dla których dane
( )
Kwantyl rzędu p, tj. Ś oznaczamy .
sÄ… zebrane w tablicy 1.
Wartości funkcji odwrotnej Ś-1 podobnie jak samej dys-
C\S nie pali pali suma
trybuanty Ś są zestawiane w tablicach statystycznych. Często
bez raka 40 10 50
stosowane kwantyle podane sÄ… w podanej tablicy kwantyli.
z rakiem 7 3 10
suma 47 13 60
Tablica 1. Palenie i rak
p 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999
zp 0,6745 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0902
Realizacja projektu.
1. Oznaczenia i koncepcja badaÅ„. Niech © bÄ™dzie zbiorem
Tablica. Wybrane kwantyle rozkładu (0, 1)
badanych osób. Każda osoba " © badana jest ze wzglÄ™du
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 38 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 40
Przykład projektu zaliczeniowego na laboratorium cz. 1
na dwie dychotomiczne cechy, których modelami są zm. l. C i
Uwaga. Należy przytaczać wzory i składnie funkcji wykorzystywanych w roz-
S okreÅ›lone na zbiorze © i o wartoÅ›ciach w zbiorze {0, 1}.
wiązaniach. Udzielać pełnych odpowiedzi. Sporządzić tabelę ocen według
( )
Niech = 1, jeśli wylosowana osoba ma raka i 0 je-
wzoru. W przypadku braku rozwiÄ…zania etapu, pod jego numerem, w polu
 uzyskano wpisać  0 .
( )
śli nie ma oraz niech = 1, jeśli osoba ta pali papierosy i
Etap 1 2 3 4 5 6 7 A
Ä…cznie
0 w p.p.
do uzyskania 2 2 2 1 1 2 4 14
2. Wyznaczamy łączny rozkład i brzegowe rozkłady.
uzyskano
Zauważmy, że P(C = 0; S = 0) = 40/60, P(C = 0, S = 1) =
Długość X (w [mm]) detalu produkowanego na pewnym automacie jest zmien-
ną losową o gęstości prawdopodobieństwa
10/60, i tak dalej. A
ączny rozkład (C, S) jest dany w tablicy 2,
0 1 ( ) = exp , , " !,
C\S
"
1. Rozpoznać rozkład długości detalu i jego parametry, wyznaczyć drugi mo-
0 40/60 10/60
ment zwykły długości detalu, naszkicować krzywą gęstości i dystrybuantę.
1 7/60 3/60
| | | |
2. Obliczyć prawd. zdarzeń: - 19,98 e" 0,02, - < .
Tablica 2. A
ączny rozkład.
3. Dla jakiej wartości stałej b zachodzi równość P < < = 0,90?
,
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 41 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 43
4. Wyznaczyć kwartyle długości detalu oraz obliczyć gęstości dla nich.
Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:
5. Wyznaczyć przedział w którym mieści się 95% produkowanych detali po
0 1 0 1
złomowaniu 5% detali o największej odchyłce długości od wymiaru prze-
= 47 60 13 60 = 50 60 10 60
D D D D
ciętnego.
3. Badamy niezależność. Zm. l. S i C nie są niezależne, gdyż
6. Wyznaczyć prawd. zdarzenia, że łączna długość 180 detali będzie mniejsza
od 358[cm].
( )
= 1, = 1 = = 0,05
7. Detal spełnia normę długości, jeśli jego długość mieści się w przedziale
( ) ( ) (19,6; 20,4). W celu sprawdzenia dokładności produkcji zmierzona zostanie
natomiast = 1 = 1 = 0,036.
długość 180 losowo wybranych detali.
4. Obliczamy wartości oczekiwane i wariancje.
a) Wprowadzić zmienną losową opisującą wynik sprawdzania normy długo-
( ) ( )
= , = , = , = ,
ści badanej partii detali. Podać jej rozkład i sporządzić wykresy PMF i
CDF.
= , = ,
b) Obliczyć prawd. zdarzenia, że w badanej partii detali, co najmniej 175
z nich spełni normę długości.
5. Obliczamy kowariancję i współczynnik korelacji
c) Wyznaczyć wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe oraz modę licz-
by detali, które spełnią normę długości i prawdopodobieństwo dla mody.
( ) ( )
= , , = , stÄ…d ( , ) H" 0,090462.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 42 K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 44