DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE
Rozkład łączny pary zmiennych losowych (X ,Y )
określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń
elementarnych:
P((X ,Y ) �� A), A - dowolny podzbiór zbioru par
wartości zmiennych X, Y.
Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej (X ,Y )
nazywamy funkcję
F(x, y) =� P(X Ł� x,Y Ł� y),
gdzie -� Ą� <� x <� Ą�, -� Ą� <� y <� Ą�.
Twierdzenie. A
ączny rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej (X ,Y ) określony jest jednoznacznie
przez jej dystrybuantę.
Zmienne dyskretne
Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego )
dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej:
f (x, y) =� P(X =� x,Y =� y).
Własności:
(i) f (x, y) ł� 0, dla dowolnej pary wartości (x, y),
(ii) f (x, y) =� 1,
����
x y
(iii) P((X ,Y ) �� A) =� f (x, y),
��
(x, y)��A
(iv) F(x, y) =� f (s,t).
�� ��
sŁ� x t Ł� y
Przykład. W każdym z dwóch etapów teleturnieju
można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne
losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w
etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego
uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego
określa tabela:
Y 0 1 2
X
0,5 0,05 0,01
0
0,2 0,1 0,06
1
0,02 0,03 A
2
Znalez
ć:
(a) f (2,2) =� P(X =� 2,Y =� 2)
(b) P(Y =� 2)
(c) F(1,1).
2 2
(a) f (x, y) = 1. Stąd
�� ��
x=�0 y=�0
f (2,2) = A = 1  ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 +
+ 0,06 + 0,02 + 0,03 ) = 1  0,97 = 0,03.
2
(b) P(Y =� 2) =� P(X =� x,Y =� 2) =
��
x=�0
f (0,2) +� f (1,2) +� f (2,2) = 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.
(c) F(1,1) = P(X Ł� 1,Y Ł� 1) =
= f (0,0) +� f (0,1) +� f (1,0) +� f (1,1) =
= 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.
Zmienne ciągłe
Zmienna losowa ( X ,Y ) jest dwuwymiarową ciągłą
zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo-
bieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej
( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że
(i) f (x, y) ł� 0
Ą� Ą�
(ii) f (x, y)dxdy =� 1
�� ��
-�Ą� -�Ą�
(iii) P((X ,Y ) �� A) =� f (x, y)dxdy
�� ��
A
W szczególności dla A =� (-�Ą�, x]�� (-�Ą�, y]:
y
x
F(x, y) = P(X Ł� x,Y Ł� y) =� f (s,t)dtds .
�� ��
-�Ą� -�Ą�
ś�2
f (x, y) =� F(x, y), -� Ą� <� x <� Ą�, -� Ą� <� y <� Ą�.
ś�xś�y
Przykład. Zmienna losowa (X ,Y ) ma gęstość
prawdopodobieństwa
x +� y 0 Ł� x Ł� 1,0 Ł� y Ł� 1
��
f (x, y) =� gdy .
��
0 przeciwnie
��
Obliczyć
0,5
1
P(X Ł� 0,5,Y >� 0,25) = (x +� y)dydx =
�� ��
0 0,25
0,5
1
(xy +� y2 / 2) dx =
��
0,25
0
0,5
(x +� 0,5 -� 0,25x -� 0,625 / 2)dx = ?
��
0
Rozkłady brzegowe
Niech (X ,Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o
rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez
funkcję f (x, y) ( funkcja prawdopodobieństwa lub
gęstość ).
Rozkład brzegowy = rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.
(a) dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe
funkcje prawdopodobieństwa są postaci
fX (x) =� P(X =� x) =� f (x, y)
��
y
fY (y) =� P(Y =� y) =� f (x, y)
��
x
(b) dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości
są postaci
Ą�
fX (x) =� f (x, y)dy
��
-�Ą�
Ą�
fY (y) =� f (x, y)dx.
��
-�Ą�
D. (a) fX (x) =� P(X =� x) =� P( {�X =� x,Y =� y}) =
U�
y
P(X =� x,Y =� y) =� f (x, y).
�� ��
yy
(b) FX (x) =� P(X Ł� x) = P(X Ł� x,-�Ą� <� Y <� Ą�) =
x Ą�
f (s,t)dtds . Stąd
�� ��
-�Ą� -�Ą�
Ą�
d
fX (x) =� FX (x) = f (x,t)dt .
��
dx
-�Ą�
Przykład. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X ,Y )
ma gęstość
��3(x -� y)2 / 8 -�1 Ł� x Ł� 1,-�1 Ł� y Ł� 1
f (x, y) =� gdy
��
przeciwnie
0
��
Znalez
ć gęstość zmiennej losowej X.
Niech -�1 Ł� x Ł� 1.
Ą� 1
3
fX (x) =� f (x, y)dy = (x -� y)2 dy =�
�� ��
8
-�Ą� -�1
1
3
(x2 -� 2xy +� y2)dy =
��
8
-�1
1
3 3 1
[x2 y -� xy2 +� y3 / 3] = x2 +� .
8 -�1 4 4
��(3x2 +�1) / 4 -�1 Ł� x Ł� 1
fX (x) =� gdy .
��
przeciwnie
0
��
Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać.
Rozkłady warunkowe
(a) Niech (X ,Y ) będzie dyskretną zmienną losową
mającą funkcję prawdopodobieństwa f (x, y).
Niech y  ustalone oraz fY (y) >� 0.
Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod
warunkiem, że Y = y określa warunkowa funkcja
prawdopodobieństwa:
f (x, y)
f (x y) = , x  dowolna wartość zmiennej X.
fY ( y)
P(X =� x,Y =� y)
f (x y) = =� P(X =� xY =� y) =
P(Y =� y)
funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X pod
warunkiem, że zmienna Y przyjęła wartość y.
Analogicznie:
f (x, y)
f (y x) = = P(Y =� y X =� x), gdzie fX (x) >� 0.
fX (x)
Notacja: f (x y) =� fX Y (x y)
f ( y x) =� fY X ( y x)
(b) Niech (X ,Y ) będzie ciągłą zmienną losową o
łącznej gęstości f (x, y).
Niech y  ustalone oraz fY (y) >� 0.
Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X pod warunkiem, że Y =� y nazywamy funkcję
f (x, y)
f (x y) = , -� Ą� <� x <� Ą�.
fY ( y)
Przykład. (kontynuacja)
��3(x -� y)2 / 8 -�1 Ł� x Ł� 1,-�1 Ł� y Ł� 1
f (x, y) =� gdy
��
przeciwnie
0
��
��(3y2 +�1) / 4 -�1 Ł� y Ł� 1
fY ( y) =� gdy
��
przeciwnie
0
��
Niech -�1 Ł� y Ł� 1 - ustalone.
3(x -� y)2 / 8 3(x -� y)2
f (x y) = = dla x ��[-�1,1]
(3y2 +�1) / 4 6y2 +� 2
f (x y) = 0 dla x ��[-�1,1].
Uwaga. Analogicznie określamy rozkład warunkowy
zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Zatem
f (x, y)
f (y x) = , gdzie y  dowolna wartość Y,
fX (x)
x - ustalone, takie że fX (x) >� 0.
Notacja: f (y x) =� fY X ( y x), f (x y) =� f (x y)
X Y
Przykład. (kontynuacja)
(a) Znalez
ć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby
punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez
losowo wybranego uczestnika.
(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem,
że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.
Y 0 1 2
X
0,5 0,05 0,01
0
0,2 0,1 0,06
1
0,02 0,03 0,03
2
Y 0 1 2
X
0,5 0,05 0,01
0
0,2 0,1 0,06
1
0,02 0,03 0,03
2
(a) fY (y) = f (0, y) +� f (1, y) +� f (2, y). Stąd
Y 0 1 2
fY (y)
0,72 0,18 0,1
f (2, y)
(b) f (y 2) = = ?
f (2)
X
f (0 2) = fY X (0 2) = f (2,0) / f (2) =
X
= 0,02/(0,02 + 0,03 + 0,03) =1/4,
f (12) = fY X (12) = f (2,1) / fX (2) =
= 0,03/0,08 = 3/8,
f (2 2) = fY X (2 2) = f (2,2) / fX (2)=
= 0,03/0,08 = 3/8.
Niezależne zmienne losowe
Definicja. Niech (X ,Y ) będzie dwuwymiarową
zmienna losową o dystrybuancie F(x, y) oraz
dystrybuantach brzegowych FX (x), FY ( y),
x, y �� (-�Ą�, Ą�). Zmienne losowe X, Y są niezależne,
jeśli
F(x, y) =� FX (x)FY (y),
dla wszystkich wartości x, y.
Twierdzenie. Zmienne losowe X, Y są niezależne
wtedy i tylko wtedy gdy
f (x, y) =� f (x) fY (y),
X
dla wszystkich wartości x, y.
Wniosek. Poniższe warunki są równoważne:
(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.
(ii) f (x y) =� f (x), -� Ą� <� x <� Ą�, dla wszystkich y,
X
takich że fY (y) >� 0.
(iii) f (y x) =� fY (y), -� Ą� <� y <� Ą�, dla wszystkich x,
takich że fX (x) >� 0.
Przykład. ( kontynuacja )
Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju
przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi
zmiennymi losowymi ?
Y 0 1 2
X
0,5 0,05 0,01
0
0,2 0,1 0,06
1
0,02 0,03 0,03
2
f (0) =� f (0,0) +� f (0,1) +� f (0,2) = 0,5 + 0,05 +
X
+ 0,01 = 0,56.
fY (0) =� f (0,0) +� f (1,0) +� f (2,0) = 0,5 + 0,2
+ 0,02 = 0,72.
Stąd f (0,0) =� 0,5 ą� 0,56 �� 0,72 =� fX (0) fY (0),
Zmienne losowe X ,Y są zależne.
 Przykład. ( kontynuacja ). Czy X, Y są niezależnymi
zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma
postać:
��3(x -� y)2 / 8 -�1 Ł� x Ł� 1,-�1 Ł� y Ł� 1
f (x, y) =� gdy
��
przeciwnie
0
��
Dla x, y ��[-�1,1] :
fX (x) =� (3x2 +�1) / 4 oraz fY (y) =� (3y2 +�1) / 4.
f (x, y) ą� f (x) fY ( y).
X
Przykład. Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są
niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach
wykładniczych z parametrami l�1,l�2, odpowiednio.
Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 1000
(godzin ) i 1200 ( godzin ). Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że każdy
podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 1500
godzin.
E(X ) =� 1/ l�1 =� 1000 (godz.),
E(Y ) =� 1/ l�2 =� 1200 (godz.)
Stąd l�1 =� 1/1000 (1/godz.) l�2 =� 1/1200 (1/godz.).
P(X ł� 1500,Y ł� 1500) = P(X ł� 1500) P(Y ł� 1500) =
e-�l�11500 �� e-�l�21500 = e-�1500 /1000 �� e-�1500 /1200 =
= 0,2231��0,2865 = 0,0639.
Wartość oczekiwana. Kowariancja.
E[g(X ,Y )] = g(x, y) f (x, y),
����
x y
gdy X, Y są dyskretne,
Ą� Ą�
E[g(X ,Y )] = g(x, y) f (x, y)dxdy,
�� ��
-�Ą� -�Ą�
gdy X, Y są ciągłe.
Uwaga. Dla g(X ,Y ) =� X lub g(X ,Y ) =� Y
otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych
zmiennych losowych X lub Y.
Np.
E[X ] = xf (x, y) = x f (x, y) =
���� �� ��
x y x y
= xfX (x) =� m�X .
��
x
Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a
g(X ,Y ), g1(X ,Y ), g2(X ,Y ) zmiennymi losowymi
jednowymiarowymi. Wówczas
E[cg(X ,Y ) =� cE[g(X ,Y )],
E[g1(X ,Y ) +� g2(X ,Y )] =� E[g1(X ,Y )] +� E[g2(X ,Y )].
D. Dowód jest bezpośrednią konsekwencją definicji
wartości oczekiwanej oraz własności całki i sumowania.
Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne,
to
E(XY ) =� E(X )E(Y ).
D. Niezależność zmiennych jest równoważna
f (x, y) =� f (x) fY ( y). Stąd i z definicji wartości
X
oczekiwanej mamy
(a) (zmienne dyskretne )
E[g(X ,Y )] = g(x, y) f (x, y).
�� ��
x y
E(XY ) = xyf (x, y) = xyfX (x) fY ( y)=
���� �� ��
x y x y
xfX (x) yfY (y) = yfY ( y) �� xfX (x) =
���� �� ��
xy y x
E(Y )E(X ) =� E(X )E(Y ).
(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie
należy zastąpić całkowaniem.
Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o
łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości )
f (x, y). Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy
liczbę:
s� =� E[(X -� m�X )(Y -� m�Y )].
XY
Uwaga.
Z definicji s� oraz E[g(X ,Y )], przyjmując
XY
g(x, y) =� (x -� m�X )(y -� m�Y ), otrzymujemy wzory:
s� =� (x -� m�X )(y -� m�Y ) f (x, y),
�� ��
XY
x y
gdy X, Y są dyskretne
Ą� Ą�
s� =� (x -� m�X )(y -� m�Y ) f (x, y)dxdy ,
�� ��
XY
-�Ą� -�Ą�
gdy X, Y są ciągłe.
Notacja: Zamiast s� często piszemy Cov (X,Y).
XY
Interpretacja. Kowariancja określa pewną
współzależność między zmiennymi losowymi:
(a) Jeśli  dużym wartościom zmiennej X
przewyższającym m�X towarzyszą zwykle  duże
wartości zmiennej Y przewyższające m�Y , a wartościom
X mniejszym od m�X towarzyszą zwykle wartości Y
mniejsze od m�Y , to s� > 0.
XY
(b) Jeśli wartościom zmiennej X większym od m�X
towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od m�Y
wartościom X mniejszym od m�X towarzyszą zwykle
wartości Y większe od od m�Y , to s� < 0.
XY
Stwierdzenie. Cov(X,Y) = E(XY ) -� m�X m�Y .
D. Cov(X,Y) = E[(X -� m�X )(Y -� m�Y )] =
= E(XY -� Xm�Y -� Ym�X +� m� m�Y ) =
X
= E(XY ) -� E(Xm�Y ) -� E(Ym�X ) +� m�X m�Y =
= E(XY ) -� m�X m�Y .
Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są
niezależne, to
Cov(X,Y) = 0.
D. Dla niezależnych zmiennych losowych
E(XY ) =� E(X )E(Y ). Stąd oraz wzoru na
kowariancję mamy:
Cov(X,Y) = E(XY ) -� m�X m�Y =
= E(X )E(Y ) -� m�X m�Y = 0.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół
prawdziwe.
Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b
Var(aX +� bY ) =
a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y).
D. E{ [�(aX +� bY ) -� (am�X +� bm�Y )]�2 } =
E{ [�a(X -� m�X ) +� b(Y -� m�Y )]�2 } = E{ [�a(X -� m�X ))]�2 }
+ E [�2ab(X -� m�X )(Y -� m�Y )]� + E{ [�b(Y -� m�Y )]�2 } =
= a2Var(X) + 2abCov(X,Y) + b2Var(Y). c.k.d.
Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne,
to
Var(aX +� bY ) = a2Var(X) + b2Var(Y).
Definicja. Współczynnikiem korelacji między
zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:
Cov(X ,Y )
r� =� .
Var(X ) Var(Y )
Przykład. r� =� ?
Y 0 1 2
X
0,5 0,05 0,01
0
0,2 0,1 0,06
1
0,02 0,03 0,03
2
E(X ) = x f (x, y) = 0��(0,5 + 0,05 + 0,01) +
����
x y
+ 1��(0,2 + 0,1 + 0,06) + 2��(0,02+0,03+0,03) = 0,52.
E(Y ) = y f (x, y) = 0 ��(0,5 + 0,2 + 0,02) +
����
x y
+ 1��(0,05 + 0,1 + 0,03) + 2��(0,01+0,06+0,03) = 0,38.
Y 0 1 2
X
0,5 0,05 0,01
0
0,2 0,1 0,06
1
0,02 0,03 0,03
2
E(XY ) = xyf (x, y) = 0 + 0 + 0 + 0 + 1��1��0,1 +
����
x y
+ 1�� 2�� 0,06 + 2��1�� 0,03 + 2 �� 2 �� 0,03 = 0,31.
Cov(X,Y) = 0,31  0,52 �� 0,38 = 0,1124.
2
E(X ) =� 12 �� (0,2 + 0,1 + 0,06) +
+ 22 �� (0,02 +� 0,03 +� 0,03) = 0,68
2
E(Y ) =� 12 �� (0,05 + 0,1 + 0,03) +
+ 22 �� (0,01+� 0,06 +� 0,03) = 0,58.
2
Var(X) = E(X ) -� [E(X )]2 =� 0,68 -� 0,522 = 0,4096
2
Var(Y) = E(Y ) -� [E(Y )]2 =� 0,58 -� 0,382 = 0,4356
0,1124
r� =� =� 0,2661.
0,4096 �� 0,4356
Własności współczynnika korelacji
(i) -�1 Ł� r� Ł� 1
(ii) Jeśli a i b są stałymi, oraz jeśli
Y = a + bX,
to
1 b >� 0
��
r� =� gdy
��
b <� 0
��-�1
(iii) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to
r� =� 0.
(iv) Jeśli r� =� 1, to między zmiennymi losowymi X, Y
istnieje liniowa zależność funkcyjna.
Interpretacja. Współczynnik korelacji jest miarą
zależności liniowej między zmiennymi losowymi.
Dwuwymiarowy rozkład normalny
Zmienna losowa (X ,Y ) ma dwuwymiarowy rozkład
normalny, jeśli ma gęstość postaci:
�� ł�
1 1
f (x, y) =� �� expę�-� �� q(x, y)ś� ,
2
2p�s� s�Y
2(1-� r� )
X
�� ��
gdzie
(x -� m�X )2 (x -� m�X )(y -� m�Y ) (y -� m�Y )2
q(x, y) =� -� 2r� +� ,
2 2
s� s�Y
s� s�
X
X y
-� Ą� <� x <� Ą�, -� Ą� <� y <� Ą�, stałe s� ,s�Y , r� spełniają
X
warunki s� > 0, s�Y > 0, -�1 <� r� <� 1.
X
Notacja: (X ,Y ) ~ N(m�X , m�Y ,s� ,s�Y , r�)
X
Twierdzenie. Jeśli (X ,Y ) ~ N(m�X , m�Y ,s� ,s�Y , r�), to
X
(i) X ~ N(m�X ,s� ), Y ~ N(m�Y ,s�Y ).
X
(ii) Cov(X,Y) = r� .
(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy r� = 0.
Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma
dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy
gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b
są dowolnymi stałymi.
CI
GI ZMIENNYCH LOSOWYCH
Niech X1, X ,..., X będą zmiennymi losowymi
2 n
określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń
elementarnych S .
F(x1, x2,..., xn ) = P(X1 Ł� x1, X Ł� x2,..., X Ł� xn ) =
2 n
dystrybuanta wektora losowego ( X1, X ,..., X ).
2 n
f (x1, x2,..., xn ) = funkcja prawdopodobieństwa
łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego
( X1, X ,..., X ).
2 n
Definicja. Zmienne losowe X1, X ,..., X są niezależne,
2 n
jeśli
F(x1, x2,..., xn ) = FX1 (x1)FX 2 (x2) ��...�� FX n (xn ),
gdzie FX i (xi ) =� P(Xi Ł� xi ), i = 1,2,...,n.
Definicja.
E[g(X1, X ,,,, X )] =
2 n
... g(x1, x2,..., xn ) f (x1, x2,..., xn ),
���� ��
x1 x2 xn
lub
Ą� Ą� Ą�
... g(x1, x2,..., xn ) f (x1, x2,..., xn )dx1dx2...dxn .
�� �� ��
-�Ą� -�Ą� -�Ą�
Stwierdzenie.
E(a1X1 +� a2 X +� ... +� an X ) =
2 n
a1E(X1) +� a2E(X ) +� ... +� anE(X ).
2 n
n
1
Wniosek. Niech X =� Xi , E(Xi ) =� m�, i = 1,2,..,n.
��
n
i=�1
E(X ) = m� .
1
D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć ai =� , i = 1,2,..,n.
n
Stwierdzenie. Jeśli X1, X ,..., X są niezależnymi
2 n
zmiennymi losowymi, to
Var(a1X1 +� a2 X +� ... +� an X ) =
2 n
a12Var( X1) + a22Var( X ) + ... +an2Var( X ).
2 n
1
2
W szczególności, jeśli Var( Xi ) = s� oraz ai =� ,
n
i = 1,2,..,n, to
2
s�
Var( X ) = .
n
Przykład. Dokonujemy n jednakowych, niezależnych
doświadczeń Bernoulli ego o prawdopodobieństwie
sukcesu p, 0 <� p <� 1. Znalez
ć wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej losowej Y będącej liczbą sukcesów.
Niech Xi =� 1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,
Xi =� 0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas
X1, X ,..., X są niezależnymi zmiennymi losowymi o
2 n
funkcjach prawdopodobieństwa:
f (1) =� p, fX i (0) =� 1-� p.
X
i
Stąd:
E(Xi ) =� p, Var( Xi ) = p(1-� p).
Liczba sukcesów =
Y =� X1 +� X +� ... +� X .
2 n
E(Y ) = E(X1 +� X +� ... +� X ) =
2 n
E(X1) +� E(X ) +� ... +� E(X ) = np.
2 n
Var(Y) =
Var( X1) + Var( X ) + ... + Var( X ) = np(1-� p)
2 n
Definicja. Prostą próbą losową o liczności n
nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych
X1, X ,..., X określonych na przestrzeni zdarzeń
2 n
elementarnych S i takich, że każda ze zmiennych ma
taki sam rozkład.
Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE
GRANICZNE)
Niech X1, X ,..., X będzie prostą próbą losową z
2 n
2
rozkładu o średniej m� i wariancji s� . Wówczas dla
dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa
standaryzowanej średniej ( = standaryzowanej sumy
X1 +� X +� ... +� X ) jest bliski standardowemu
2 n
rozkładowi normalnemu N(0,1), dokładniej dla
dowolnych liczb a, b, -� Ą� Ł� a <� b Ł� Ą�
X -� m�
P(a <� Ł� b) �� P(a Ł� Z Ł� b) =� F�(b) -� F�(a),
s� / n
przy n �� Ą�. Równoważnie rozkład średniej X jest
bliski rozkładowi normalnemu N(m�,s� / n).
Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do
pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na
przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w
różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone
prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny
dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.
Niech Xi oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,
i =� 1,2,...,30.
0,5 +�1 3
m� =� E(Xi ) =� =� ,
2 4
(1-� 0,5)2 1
2
s� =� Var(Xi ) =� =� .
12 48
3 1
E(X ) =� , Var(X ) =�
4 30 �� 48
X -� 3/ 4 0,8 -� 3/ 4
P(X >� 0,8) = P( >� ) �
1/(30�� 48) 1/(30 �� 48)
P(Z >� 1,89) =� 1-� F�(1,89) =� 0,03.