1. Zmienna losowa typu ciągłego
MPiS30 W05: ZMIENNE LOSOWE II
1. Zmienna losowa typu ciągłego Zm. l. X o wartościach w R nazywamy zm. l. typu ciągłego
2. Definicja i własności gęstości prawdopodobieństwa (continuous random variable), jeśli jej CDF F jest funkcją ab-
Przykład 1
solutnie ciągłą, tj. istnieje taka funkcja f e" 0, \
e dla ka\
dego
3. Gęstość a dystrybuanta i zastosowanie gęstości
x"R
x
4. Charakterystyki funkcyjne i parametry
F(x) = f (u)du
5. Przykłady rozkładów
+"
.
-"
6. Funkcja kwantylowa i jej zastosowania
7. Funkcja borelowska Zm. l. typu ciągłego przyjmuje nieprzeliczalnie wiele war-
8. Twierdzenie o dystrybuancie przekształconej zm. l. tości, a prawd. zdarzenia, \
e przyjmie szczególną wartość x
Przykład 2, Przykład 3
(dla dowolnego x"R) wynosi zero, tj. P(X = x) = 0.
9. Definicja i własności splotu dystrybuant
Zm. l. typu ciągłego jest często modelem pomiaru wielkości
Przykład 4
fizycznej.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 1 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 2
Własności. Funkcja f(x) jest gęstością pewnej ciągłej zm. l.
2. Definicja i własności gęstości prawdop.
wtedy i tylko wtedy, gdy ma dwie własności:
Gęstością prawdop. (krótko gęstością, ang. probability
1. f (x) e" 0 dla x " R - jest nieujemna,
density function - PDF) zm. l. X ciągłej, nazywamy funkcję
+"
f(x) całkowalną w sensie Lebesque a, która występuje pod
f (x)dx =1 - jest unormowana.
znakiem całki określającej jej dystrybuantę.
+"
2.
-"
Krzywą gęstości nazywamy wykres gęstości prawd. f(x).
Przykład 1. Sprawdzić, czy funkcja
Je\
eli gęstość jest ró\
na od zera na zbiorze W, to mówimy, \
e
rozkład jest skoncentrowany na tym zbiorze.
Å„Å‚
ôÅ‚cx(1- x) dla x "[0,1]
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚
0 dla x "[0,1], gdzie c jest pewną stałą.
ół
jest gęstością pewnej zm. l. Je\
eli jest gęstością, to wyznaczyć
CDF. Sporządzić wykresy funkcji PDF i CDF.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 3 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 4
Rozwiązanie. Aby podana funkcja była gęstością pewnej zm.
II. Dla x " [0, 1],
l. potrzeba i wystarcza, by miała dwie podane własności.
x x
îÅ‚ Å‚Å‚
u2 u3 x
Własność nieujemności posiada dla stałej c > 0. Stałą c wy-
F(x) = f (u)du = 6 u)du = 6ïÅ‚ - = 3x2 - 2x3
śł
+" +"u(1-
znaczamy z własności unormowania
2 3
.
ðÅ‚ ûÅ‚ 0
0 0
+" 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
x2 x3 1 c
1 = f (x)dx = c III. Dla x > 1, F(x) = 1.
śł
+" +"x(1- x)dx = c+"(x - x2)dx = cïÅ‚ 2 - 3 ûÅ‚ 0 = 6 .
ðÅ‚
-" 0 0
StÄ…d
Tylko dla c = 6 podana funkcja jest PDF pewnej zm. l.
0 dla x d" 0,
Å„Å‚
CDF wyznaczymy z definicji zm. l. typu ciągłego.
ôÅ‚
ôÅ‚3x2
F(x) = - 2x3 dla x "(0,1],
òÅ‚
Rozwa\
amy trzy przedziały:
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 dla x >1.
I. Dla x d" 0, oczywiście F(x) = 0, ół
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 5 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 6
3. Gęstość a dystrybuanta i zastosowanie gęstości 4. Charakterystyki funkcyjne i parametry
Je\
eli istnieje gęstość f dla ciągłej zm. l. X o dystrybuancie Charakterystyką funkcyjną zm. l. X nazywamy ka\
dÄ…
F, to w punktach ró\
niczkowalności F funkcję w pełni charakteryzującą jej rozkład. Nale\
Ä… do nich
CDF i PMF dla zm. l. typu dyskretnego oraz CDF i PDF dla
dF(x)
f (x) =
zm. l. typu ciągłego.
.
dx
Parametrem rozkładu zm. l. X nazywamy wielkość stałą
Zastosowanie gęstości. Je\
eli zm. l. X ma PDF f, to dla ka\
-
od której zale\
y jej rozkład. Najczęściej stosowane rozkłady
dego przedziału (a, b) ą" R mo\
na obliczyć prawdop. zdarzeń
zale\
ą od jednego lub dwóch parametrów rzeczywistych.
a < X < b, a d" X < b, a < X d" b, a d" X d" b, jako całkę
Zapis Ä…"J, gdzie J Ä…" R oznacza, \
e parametr Ä… jest do-
b
f (x)dx wolną stałą ze zbioru J.
+"
.
a
Graficzną interpretacją tej całki jest pole obszaru ograniczo-
nego wykresem funkcji f(x), osią odciętych i prostymi x= a, b.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 7 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 8
Jeśli CDF F(x) i PDF (lub PMF) f (x) zm. l. X zale\
Ä… od
5. Przykłady rozkładów
parametrów Ä… i ², to piszemy
a) PMF rozkładu dwumianowego ma postać
F(xôÅ‚Ä…, ²) i f (xôÅ‚Ä…, ²),
n
ëÅ‚ öÅ‚
z podaniem zakresów wartości parametrów.
ìÅ‚ ÷Å‚
f (x n, p) = px(1- p)n- x,
ìÅ‚
Zapis ten podkreśla, \
e funkcje CDF, PDF i PMF sÄ… rodzina-
x÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
mi funkcji zale\
nymi od parametrów.
dla x = 0, 1,..., n oraz n"N, 0 < p < 1.
Ustalenie wartości parametrów jest zadaniem statystyki ma-
Je\
eli zm. l. X ma rozkład dwumianowy (binomial distribu-
tematycznej.
tion), to stosujemy oznaczenie X~B(n; p). Rozkład ten jest
dwuparametrowym rozkładem typu dyskretnego.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 9 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 10
b) PMF rozkładu hipergeometrycznego: d) PDF rozkładu normalnego ma postać
M N
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ - M
öÅ‚
ëÅ‚ - m)2 ÷Å‚
öÅ‚
1 (x
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
f (x m,Ã) = expìÅ‚-
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
, dla x"R oraz m"R, Ã>0;
2Ã2 ÷Å‚
à 2Ą
x n - x íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
f (x N, M , n) =
N
ëÅ‚ öÅ‚
Zapis X~N(m, Ã) oznacza, ze zm. l. X ma rozkÅ‚ad normalny z
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
parametrami m i Ã.
n
íÅ‚ Å‚Å‚
e) CDF rozkładu wykładniczego ma postać
dla x = max{0, n - (N - M)},& , min{M, n}
oraz N"N; M = 0, 1,& , N; n = 1, 2,& , N.
Å„Å‚
ôÅ‚1- e-x,dla x e" 0
F(x ) =
òÅ‚
c) PMF rozkładu Poissona:
(gdzie  > 0)
ôÅ‚ dla x < 0
0,
ół
xe-
f (x ) = Zapis X~Exp() oznacza, \
e zm. l. X ma rozkład wykładniczy
dla x = 0, 1, 2,... oraz  > 0
x!
z parametrem .
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 11 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 12
Kwantyle rzędów 0,25; 0,50 i 0,75 nazywamy kwartylami,
6. Funkcja kwantylowa i jej zastosowania
przy czym kwantyl x0,5 nazywamy kwartylem środkowym lub
Niech F będzie CDF zm. l. X. Funkcją kwantylową (ICDF)
medianÄ… (ang. median), natomiast kwantyle x0,25 i x0,75 odpo-
nazywamy funkcję F-1 określoną dla p"(0, 1) wzorem
wiednio kwartylem dolnym i górnym.
F-1(p) = inf {x"R: F(x) e" p}.
Zastosowania:
Je\
eli F jest funkcją ciągłą i rosnącą, to F-1 jest funkcją od-
1. Kwantyle rozkładów zm. l. mają zastosowanie w statystyce
wrotną w zwykłym sensie (inverse cumulative distribution
m. in. do konstrukcji przedziałów ufności dla nieznanych pa-
function) i dla danego p funkcja kwantylowa podaje wartość x
rametrów oraz do wyznaczania obszarów krytycznych przy
spełniającą warunek:
testowaniu hipotez statystycznych.
P(X d" x) = p.
2. Je\
eli F jest ciągłą dystrybuantą, to zm. l. U = F(X) ma
rozkład jednostajny U(0, 1).
Wartość x = F-1(p) oznaczamy xp i nazywamy kwantylem
rzędu p zm. l. X.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 13 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 14
Je\
eli F(y) jest silnie rosnÄ…cÄ… dystrybuantÄ… dla 0 < F(y) < 1, Definicja. FunkcjÄ™ h: R R nazywamy funkcjÄ… borelow-
ponadto je\
eli zm. l. U ma rozkład jednostajny na [0; 1], to ską, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego
Y = F -1(U) B"B(R) jest zbiorem borelowskim.
ma rozkład o dystrybuancie F(y). Stąd do symulacji zm. l. z
Rodzina B(R) zbiorów borelowskich na prostej jest gene-
daną dystrybuantą F wystarczy wyznaczyć wartości
rowana przez wszystkie przedziały otwarte (równowa\
nie:
Y = F -1(RND), gdzie
domknięte) o końcach wymiernych.
Twierdzenie (o funkcji borelowskiej)
RND jest generatorem liczb losowych z przedziału (0, 1).
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (&!, B, P).
Je\
eli funkcja X: &! R jest zm. l., a funkcja h: RR jest
7. Funkcja borelowska
funkcją borelowską, to zm. l. jest równie\
zło\
enie funkcji
Czy znając rozkład zm. l. X mo\
na znalez
ć rozkład zm. l.
Y = h(X): &! R, określone wzorem:
Y będącej funkcją zm. l. X ?
"É"&! Y(É) = h(X(É)).
Tak, jeśli Y jest funkcją borelowską zm. l. X.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 15 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 16
Dowód. Wystarczy zauwa\
yć, \
e przeciwobraz zbioru bore-
8. Tw. o dystrybuancie przekształconej zm. l.
lowskiego jest zdarzeniem. Niech A"B(R), wówczas
Je\
eli FX jest dystrybuantÄ… zm. l. X oraz Y = h(X), gdzie h jest
(hoX)-1(A) = {É"&!: h(X(É))"A} = {É"&!: X(É) " h-1(A)}
funkcjÄ… borelowskÄ…, to
Ale przeciwobraz h-1(A) jest zbiorem borelowskim w Rn,
FY(y) = P(Y d" y) = P(h(X) d" y) = P(X " h-1(-", y]).
więc przeciwobraz X-1(h-1(A))"B, czyli jest zdarzeniem.
Wniosek 1. Niech X będzie ciągłą zm. l., a h(x) silnie rosnącą
(lub silnie malejącą) funkcją określoną na zbiorze wartości
Spotykane w praktyce funkcje są na ogół funkcjami bore-
zm. l. X. Ponadto niech Y = h(X) oraz FX i FY niech będą dys-
lowskimi. W szczególności borelowskimi są wszystkie funk-
trybuantami zm. l. X i Y.
cje ciągłe. Nazwa zbiorów borelowskich pochodzi od Borela1.
Wówczas zachodzi związek między nimi
FY(y) = FX(h-1(y)), (lub FY(y) = 1 - FX(h-1(y))).
1
Émile Borel ( 1871 - 1956) - francuski matematyk.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 17 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 18
Dowód. Poniewa\
h jest funkcją silnie rosnącą na wartościach Wniosek 3. Je\
eli X jest zm. l. absolutnie ciągłą o gęstości fX
X, więc zdarzenia (X d" h-1(y)) i (h(X) d" y) są równe. oraz funkcja h: R R jest funkcją ściśle monotoniczną i
StÄ…d otrzymujemy:
ró\
niczkowalną, to gęstość zmiennej losowej Y = h(X) jest
określona wzorem
FY(y) = P(Y d" y) = P(h(X) d" y) = P(X d" h-1(y)) = FX(h-1(y)).
fY(y) = fX(h-1(y))Å"ìÅ‚dh-1/dyìÅ‚ .
Je\
eli h(x) jest funkcją silnie malejącą na wartościach X, to
FY(y) = P(Y d" y) = P(h(X) d" y) = 1 - P(X d" h-1(y))
Wniosek 4. Twierdzenie i wnioski 1, 2, 3 informujÄ… jak wy-
= 1 - FX(h-1(y)).
znaczać analitycznie lub jak symulować komputerowo zm. l.
This completes the proof.
Y za pomocą zm. l. X o danej dystrybuancie, gęstości lub
funkcji prawdop.
Na przykład, je\
eli FX jest dystrybuantÄ… zm. l. X oraz
Wniosek 2. Jeśli zm. l. X ma PDF/PMF, to Y = h(X) ma ją
Y = aX + b (a `" 0), to
równie\
.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 19 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 20
Dowód. Je\
eli a > 0, to
FY(y) = P(Y d" y) = P(aX + b d" y)
Å„Å‚ y - b
FX ëÅ‚ öÅ‚ dla a > 0,
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚ y - b y
öÅ‚ ëÅ‚ - b
öÅ‚
FY (y) =
òÅ‚ = PëÅ‚ X d" = FX
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
.
a a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚1- FX ëÅ‚ y - b -öÅ‚ dla a < 0.
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚
ół Natomiast jeśli a < 0, to
FY(y) = P(Y d" y) = P(aX + b d" y)
Je\
eli zm. l. X jest absolutnie ciągła, to poprzez zró\
niczko-
wanie dystrybuanty FY(y) otrzymamy gęstość fY zm. l. Y
y - b y - b y - b
öÅ‚ öÅ‚
= PëÅ‚ X e" =1- PëÅ‚ X < =1- FX ëÅ‚ -öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
.
1 y - b a a a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
fY ( y) = fX ëÅ‚ öÅ‚, y " R.
ìÅ‚ ÷Å‚
a a
íÅ‚ Å‚Å‚
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 21 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 22
c) CDF zm. l. X o rozkładzie jednostajnym na (0, 1):
Przykład 2. Wyznaczyć rozkład zm. l . Y = 2X - 1, je\
eli:
a) Rozkład zm. l. X dany jest poprzez PMF
0, dla x < 0,
Å„Å‚
ôÅ‚
0 1
ëÅ‚ öÅ‚ ôÅ‚x,
FX (x) = dla 0 d" x <1,
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚
f =
X
ìÅ‚q p÷Å‚ .
ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚1, dla x e"1,
ół
b) Zm. l. X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1).
więc
c) Zm. l. X ma rozkÅ‚ad normalny, tj. X~N(m, Ã).
0, dla y < -1,
Å„Å‚
Rozwiązanie. a) Zm. l. Y przyjmuje tylko dwie wartości -1 i
ôÅ‚
y +1
ôÅ‚(y
1, stÄ…d PMF dla Y
FY (y) = FX ëÅ‚ öÅ‚ = +1) / 2, dla -1 d" y < 1,
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
ëÅ‚-1 1
öÅ‚
ôÅ‚ 1, dla y e" 1.
ìÅ‚ ÷Å‚
ół
fY =
ìÅ‚
q p÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ Czyli Y ma rozkÅ‚ad jednostajny na przedziale (-1, 1).
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 23 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 24
2
c) Poniewa\
X~N(m, Ã), wiÄ™c PDF fX dla x"R ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
y +1
ëÅ‚
ìÅ‚
- möÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ - m)2 ÷Å‚ 2 ÷Å‚
öÅ‚
1 (x 1 1
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚
fX (x;m,Ã) = expìÅ‚- m " R, à > 0 fY ( y) = expìÅ‚-
ìÅ‚
.
2 2Ã2 ÷Å‚
2Ã2 ÷Å‚, à 2Ä„
à 2Ą
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Z zale\
ności
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 y +1 1 (y - (2m -1))
÷Å‚
= expìÅ‚ -
fY ( y) = fX ëÅ‚ öÅ‚, y " R
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
,
2(2Ã)2 ÷Å‚ .
2 2 2Ã 2Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
otrzymujemy
StÄ…d przyjmujÄ…c podstawienia m1 = 2m -1, Ã1 = 2Ã,
ëÅ‚ - m1)2 ÷Å‚
öÅ‚
1 (y
ìÅ‚
fY ( y;m1,Ã1) = expìÅ‚- m1 " R, Ã1 > 0
2
2Ã1 ÷Å‚, ,
Ã1 2Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
czyli Y~N(2m-1, 2Ã).
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 25 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 26
Przykład 3. Niech FX będzie dystrybuantą rzeczywistej zm. l. Szczególnym przypadkiem uogólnienia funkcji wielu zm. l.
jest ich suma. Poświęcamy jej ostatni punkt tego wykładu.
X typu ciągłego. Wyznaczyć dystrybuantę zm. l. Y = X 2.
RozwiÄ…zanie. FY (y) = P(X 2 d" y).
9. Definicja i własności splotu dystrybuant
Je\
eli y < 0, to P(X 2 d" y) = 0, więc FY (y) = 0, jeśli y < 0.
Niech FX i FY będą CDF niezale\
nych zm. l. X i Y. FunkcjÄ™
Je\
eli y e" 0, to P(X 2 d" y) = P(ôÅ‚XôÅ‚d""y) = P(-"y d" X d" "y),
"
więc FY (y) = FX ("y) - FX (-"y), jeśli y e" 0.
H (z) = (z - y)dFY ( y)
X
+"F
-"
Wniosek. Jeśli chcemy znalez
ć rozkład zm. l. związanej funk-
nazywamy splotem dystrybuant FX i FY i oznaczamy FX"FY.
cyjnie ze zm. l. o danej dystrybuancie, powinniśmy wyzna-
Dystrybuanta FZ sumy dwóch niezale\
nych zm. l. X i Y
czyć jej dystrybuantę.
jest splotem dystrybuant FX i FY tj. jeśli Z = X + Y, to
FZ = FX "FY.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 27 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 28
Własności splotu: lokomocji, dajmy na to autobusem i tramwajem. U\
ytkowni-
cy ci część tej podró\
y są zmuszeni spędzić na przystankach
1. Splot dystrybuant jest przemienny, tj. FX "FY = FY "FY.
w oczekiwaniu na przybycie tych pojazdów. Niech poszcze-
2. Je\
eli zm. l. X i Y mają rozkłady ciągłe i dane PDF fX i fY,
gólne czasy oczekiwania X i Y mają rozkłady wykładnicze z
to Z = X + Y te\
ma rozkład ciągły o PDF
dodatnimi parametrami 1 i 2. Zakładając niezale\
ność cza-
" "
sów oczekiwania X i Y, wyznaczyć rozkład całkowitego czasu
fZ (z) = fX (z - y) fY ( y)dy = fY (z - x) fX (x)dx
+" +"
oczekiwania na przystankach dla danej grupy u\
ytkowników.
-" -"
RozwiÄ…zanie. Poniewa\
zm. l. X i Y sÄ… niezale\
ne, więc gę-
Dowód własności 2. wynika z twierdzenia Fubiniego dla splo-
stość zm. l. Z = X + Y mo\
emy wyznaczyć z równości
tu dystrybuant.
"
fZ (z) = fX (x) fY (z - x)dx
+"
,
Przykład 4. (Całkowity czas oczekiwania). Pewni u\
ytkow- -"
nicy publicznej komunikacji miejskiej w celu dotarcia do 1 2
fX (x) = 1e- x, x e" 0 fY (y) = 2e- y, y e" 0
dla oraz .
miejsca przeznaczenia muszą podró\
ować dwoma środkami
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 29 K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 30
Poniewa\
fX(x) przyjmuje wartość zero dla ujemnych x, więc
"
1
fZ (z) = e- x fY (z - x)dx.
+"1
0
Poniewa\
fY(y) jest równe zeru dla ujemnych y, więc fY(z-x)
ma wartość zero dla ujemnych z-x, czyli dla x większych od
z. Zatem dla 1= 2 = , i z e" 0, fZ(zćł) = 2ze-z, a dla 1`"2
z z
1 2 2
fZ (z 1,2) = e- x2e- (z-x)dx = 12e- z (2 -1) xdx
+"1 +"e
0 0
12 z z
1 2
= (e- - e- ), z e" 0.
2 - 1
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W05: Zmienne losowe II 31