PiS15 W03: Zmienne losowe II
1. Charakterystyki liczbowe zm. l.
2. Charakterystyki położenia
Przykład 1
3. Charakterystyki rozrzutu
4. Momenty zwykłe
Przykład 2
5. Momenty centralne
6. Charakterystyki współzależności liniowej
Przykład 4, Przykład 5
7. Standaryzacja zmiennej losowej
8. Rozkład Bernoulliego i jego własności
9. Rozkład równomierny i jego własności
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 1
10. Proces Bernoulliego
11. Rozkład dwumianowy i jego własności
12. Rozkład jednostajny i jego własności
13. Rozkład normalny i jego własności
Przykład 6
Przykład 7
Przykład 8
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 2
1. Charakterystyki liczbowe zm. l.
Niech na (W�, B, P) określone będą zm. l. X1,& , Xn o war-
tościach rzeczywistych. Charakterystykami liczbowymi zm. l.
(lub ich rozkładów prawdop.) nazywamy liczby charakteryzu-
jące zbiór wartości, jakie mogą one przyjmować, np. pod
względem wartości najbardziej prawdop., rozrzutu wokół
pewnej wartości, kształtu wykresu funkcji prawdop. lub
krzywej gęstości, a w przypadku kilku zm. l. współzależności
między nimi.
Charakterystyka liczbowa służy do syntetycznego opisu
wartości zm. l. Za pomocą kilku liczb można uzyskać w pro-
sty sposób dostatecznie dobre informacje o rozkładzie zm. l.
lub zależnościach pomiędzy zm. l.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 3
2. Charakterystyki położenia
Charakterystykę liczbową zm. l. X nazywamy charaktery-
styką położenia, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej zmie-
nia wartość tej charakterystyki o tę stałą.
Do podstawowych charakterystyk położenia wartości zm.
l. należą:
a) wartość oczekiwana (ang. mean),
b) wartość modalna (ang. mode)
c) kwartyle (ang. quartile).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 4
Wartością oczekiwaną (wartością średnią, ang. expected va-
lue, mean) zm. l. X nazywamy liczbę mX =� E(X), przy czym
a) dla zm. l. typu dyskretnego
E(X) =� �� xi pi
b) dla zm. l. typu ciągłego
+�Ą�
E(X ) =� xf (x)dx
��
-�Ą�
przy założeniu, że występujący szereg i całka są bezwzględ-
nie zbieżne. W przeciwnym przypadku powiemy, że zm. l. nie
ma wartości oczekiwanej.
Mianem wartości oczekiwanej jest miano badanej zm. l.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 5
Własności wartości oczekiwanej
Na przestrzeni (W�, B, P) określone są dwie zm. l. X i Y dla
których istnieją wartości oczekiwane oraz niech a, b, c �� R,
wówczas
1. E(c) =� c;
2. E(aX) =� aE(X);
3. E(X +� b) =� E(X) +� b;
4. E(X +� Y) =� E(X) +� E(Y).
5. Jeżeli zm. l. X i Y są niezależne, to
E((X -� EX)(Y -� EY)) =� 0.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 6
Z własności 2, 3 i 4 wynika, że operator E jest operatorem li-
niowym. Własność 4 można uogólnić na przypadek skończo-
nej sumy zm. l.
Jeżeli zm. l. X i Y spełniają warunek z tezy własności 5, to
nazywamy je nieskorelowanymi zm. l.
Jeżeli zm. l. X ma wartość oczekiwaną m, to zm. l.
Y =� X -� m
nazywamy zm. l. scentrowaną (centred r.v.).
Przykład 1. Niech X będzie liczbą punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru {a, b, c}.
a) Wyznaczyć wartość oczekiwaną zm. l. X.
b) Uogólnić wynik na zbiór n elementowy.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 7
Rozwiązanie. a) Doświadczenie jest tu określone poprzez
permutację zbioru {a, b, c}. Stąd zbiór zdarzeń elementarnych
W� =� {(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)}.
Każdy wynik zachodzi z prawdop. 1/6. Liczby punktów sta-
łych podane są w tablicy 1.1.
X pi
W�
a b c 3 1/6
a c b 1 1/6
b a c 1 1/6
b c a 0 1/6
c a b 0 1/6
c b a 1 1/6
Tablica 1.1. Liczby punktów stałych.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 8
Obliczamy E(X ) zm .l . typu dyskretnego
1 1 1 1 1 1
3ć� �� +�1ć� �� +�1ć� �� +� 0ć� �� +� 0ć� �� +�1ć� �� =� 1
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
.
6 6 6 6 6 6
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
b) Wyznaczymy oczekiwaną liczbę punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru {1, 2, 3,& , n}. Dla każdego i, 1 Ł� i Ł� n,
niech Xi(w�) równa się 1, jeśli losowa permutacja w� ma punkt
stały na i-tym miejscu, i 0 w p. p. Dla każdego i,
E(Xi) =� 1/n.
Niech Y oznacza liczbę punktów stałych w permutacji w�
Y(w�) =� X1(w�) +� X2(w�) +�& +� Xn(w�).
Z własności liniowości dla n zm. l. wynika, że
E(Y) =� E(X1) +� E(X2) +�& +� E(Xn), stąd E(Y) =� 1.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 9
3. Charakterystyki rozrzutu
Charakterystykę liczbową zm. l. nazywamy charaktery-
styką rozrzutu, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej nie
zmienia wartości tej charakterystyki. Charakterystykami roz-
rzutu wartości zm. l. są:
a) wariancja (ang. variance),
b) odchylenie standardowe (ang. standard deviation),
c) odchylenie ćwiartkowe.
Względną charakterystyką rozrzutu jest współczynnik
zmienności (ang. coefficient of variation).
Niech X będzie zm. l. określoną na (W�, B, P) i ma wartość
oczekiwaną mX =� E(X).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 10
Wariancją (variance) zm. l. X nazywamy wartość oczeki-
s�2 =� D2(X )
waną kwadratu scentrowanej zm. l., tj. liczbę
X
określoną wzorem:
D2(X) =� E(X -� mX)2,
przy czym
a) dla zm. l. typu dyskretnego
2
D2(X ) =�
��(�x -� mX )� f (xi )
i
b) dla zm. l. typu ciągłego
Ą�
D2(X ) =�
��(x -� mX )2 f (x)dx
-�Ą�
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 11
Wariancja zm. l. istnieje, gdy szereg (całka) występujący
w definicji wariancji jest zbieżny. Mianem wariancji jest
kwadrat miana badanej zm. l.
Niech na (W�, B, P) określone będą zm. l. X i Y o skończo-
nych wariancjach oraz a, b ��R. Wówczas
a) D2(a) =� 0 -� wariancja stałej zm. l. jest równa zero,
b) D2(X +� a) =� D2(X) -� niezmienniczość na przesunięcie,
c) D2(aX) =� a2D2(X) dla a ą� 0;
Odchyleniem standardowym (standard deviation) lub dysper-
sją zm. l. X nazywamy dodatni pierwiastek z wariancji, tj.
s�X =� D2(X )
liczbę . Mianem dyspersji jest miano badanej
zmiennej.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 12
4. Momenty zwykłe
Momentem zwykłym r-�tego rzędu (r jest liczbą naturalną)
zm. l. X nazywamy charakterystykę liczbową określoną wzo-
rem:
mr(X) =� E(X r)
Z istnienia momentów wyższych rzędów wynika istnienie
momentów niższych rzędów. Wartość oczekiwana jest mo-
mentem zwykłym rzędu pierwszego.
Związek między wariancją a momentami zwykłymi
Jeżeli istnieje wariancja D2(X) zm. l. X, to
2
D2(X ) =� m2(X ) -� m1 (X )
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 13
Przykład 2. Losujemy liczbę z przedziału (a, b), gdzie a < b.
Niech X oznacza wylosowaną liczbę. Wyznaczyć wariancję
D2(X).
Rozwiązanie. Wyznaczamy momenty
b
1 a +� b
m1(X ) =�
��xdx =� 2 ,
b -� a
a
b
1 b3 -� a3 a2 +� ab +� b2
2
m2(X ) =�
��x dx =� 3(b -� a) =�
b -� a 3 .
a
Stąd wariancja
2
D2(X ) =� m2 -� m1 =� (b -� a)2 /12.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 14
5. Momenty centralne
Momentem centralnym k-tego rzędu (k =� 1, 2,& ) (central
moment of order k) zm. l. X nazywamy wartość oczekiwaną k-
tej potęgi scentrowanej zm. l., tj.
m�k (X ) =� E(X -� EX )k
Wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 15
6. Charakterystyki współzależności liniowej
Jeżeli rozważamy kilka zm. l. określonych na tej samej
przestrzeni (W�, B, P), to możemy badać je nie tylko z osobna,
ale również współzależności między nimi.
W szczególności, charakterystykami określającymi współ-
zależność liniową pomiędzy parą zm. l. są:
a) kowariancja,
b) współczynnik korelacji.
Niech na (W�, B, P) określone będą zm. l. X1, X2,& , Xn o
wartościach rzeczywistych.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 16
Kowariancją zm. l. Xi i Xj (i, j =� 1, 2, & , n) spełniających
warunek E��Xi Xj��< Ą�, nazywamy wielkość
cov(Xi, Xj) =� E((Xi -� EXi) ( Xj -� EXj))
Mianem kowariancji jest iloczyn mian badanych zmiennych.
Własności kowariancji:
1) cov(Xi, Xj ) =� cov(Xj, Xi ),
2) cov(Xi, Xi) =� D2(Xi),
3) cov(Xi, Xj) =� E(Xi Xj) -� E(Xi) E(Xj),
4) ��cov(Xi, Xj)��Ł� D(Xi) D(Xj)  nierówność Schwarza.
Z własności 3) wynika, że dla każdej pary niezależnych
zm. l. Xi i Xj cov(Xi, Xj) =� 0.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 17
Odwrotne stwierdzenie jest fałszywe. Ilustruje to przykład.
Przykład 3. Obliczyć kowariancję oraz zbadać niezależność
zm. l. brzegowych dla wektora l. (X, Y) o łącznym rozkładzie:
X \Y 1 2 3
6 0,2 0 0,2
8 0 0,2 0
10 0,2 0 0,2
Rozwiązanie. Po wykonaniu obliczeń mamy: E(X) =� 8, E(Y)
=� 2, E(XY) =� 16, zatem cov(X, Y ) =� 0, więc zm. l. X i Y są
nieskorelowane, ale nie są niezależne, gdyż
P(X =� 6, Y =� 1) =� 0,2 ą� (0,4) (0,4) =� P(X =� 6) P(Y =� 1).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 18
Niech na (W�, B, P) określone będą zm. l. X1, X2,& , Xn o
wartościach rzeczywistych.
Współczynnikiem korelacji (Correlation coefficient) zm. l.
Xi, Xj (i, j =�1, 2,& , n) nazywamy charakterystykę liczbową r�ij
określoną wzorem
Cov(Xi, X )
j
r�ij =�
D(Xi ) D(X ) ,
j
Współczynnik korelacji nie zależy od przyjętej skali oraz od
położenia początku układu współrzędnych, w którym są reje-
strowane zmienne.
Współczynnik korelacji jest wielkością bez miana.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 19
Ponadto -�1 Ł� r�(Xi, Xj) Ł� 1.
Własność ��r�(Xi, Xj)��=�1 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
Xj =� aXi +� b z prawdop. 1.
Przykład 4. (Palenie i rak). Zaprojektować badanie zależno-
ści chorowania na raka od palenia tytoniu w grupie 60 osób
dla których dane są zebrane w tablicy 1.
C\S nie pali pali suma
bez raka 40 10 50
z rakiem 7 3 10
suma 47 13 60
Tablica 1. Palenie i rak
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 20
Projekt.
1. Oznaczenia i koncepcja badań. Niech W� będzie zbiorem
badanych osób. Każda osoba w���W� badana jest ze względu na
dwie dychotomiczne cechy, których modelami są zm. l. C i S
określona na W� i o wartościach w zbiorze {0, 1}.
Niech C(w�) =� 1, jeśli wylosowana osoba ma raka i 0 jeśli
nie ma oraz niech S(w�) =� 1, jeśli osoba ta pali papierosy i 0 w
p.p.
2. Wyznaczamy łączny rozkład i brzegowe rozkłady.
Zauważmy, że
P(C =� 0; S =� 0) =� 40/60, P(C =� 0, S =� 1) =� 10/60, i tak dalej.
A
ączny rozkład (C, S) jest dany w tablicy 2,
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 21
 0 1
C\S
0 40/60 10/60
1 7/60 3/60
Tablica 2. A
ączny rozkład.
Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:
0 1
0 1
ć� ��
ć� ��
�� ��
�� ��
fS =�
��47 / 60 13/ 60�� , fC =� ��50/ 60 10/ 60�� .
Ł� ł� Ł� ł�
3. Badamy niezależność. Zm. l. S i C nie są niezależne, gdyż
P(C =�1, S =�1) =� 3/60 =� 0,05
natomiast
P(C =�1) P(S =�1) =� 0,036.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 22
4. Obliczamy wartości oczekiwane i wariancje.
E(C) =� 10/60, E(S) =� 13/60,
E(C2) =� 10/60, E(S2) =� 13/60,
D2(C) =� 5/36, D2(S) =� 611/3600,
D(C) � 0,372678, D(S) � 0,411974.
5. Obliczamy kowariancję i współczynnik korelacji
E(CS) =� 3/60, cov(C, S) =� 5/360.
stąd r�(X, Y) � 0,090462.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 23
7. Standaryzacja zmiennej losowej
Standaryzacją zm. l. X o skończonej wartości oczekiwanej
mX i wariancji D2(X) > 0 nazywamy transformację
X -� mX
h(X ) =�
s�X
Zm. l. Z =� h(X) nazywamy standaryzowaną zm. l. (standardi-
zed r. v.)
Standaryzacja zm. l. może być uogólniona na tak zwaną
 zm. l. zredukowaną , która jest określana za pomocą innej
charakterystyki położenia i/lub innej charakterystyki rozrzutu.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 24
Własności. Niech Z będzie standaryzowaną zm. l. dla zm. l.
X, wówczas
a) E(Z) =� 0 -� wartość oczekiwana stand. zm. l. wynosi 0,
b) D2(Z) =� 1 -� wariancja stand. zm. l. wynosi 1,
FX (x) =� FZ ((x -� mX )/s�X )
c) .
Dowody. Własności a), b) d) wynikają z przekształceń:
ć� ��
X -� mX �� 1
��
E(Z) =� E�� =� E( X -� mX ) =� 0
,
s�X �� s�X
Ł� ł�
ć� ��
X -� mX �� 1
��
D2(Z) =� D2�� =� D2(X -� mX ) =�1
.
s�X �� s�2
Ł� ł� X
FX (x) =� P(�X Ł� x)�
=� P(Z Ł� (x -� mX )/ s�X ) =� FZ ((x -� mX )/ s�X )
.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 25
8. Rozkład Bernoulliego i jego własności
Rozkładem Bernoulliego (Bernoulli distribution) (zwa-
nym w polskiej literaturze rozkładem zero-jedynkowym) na-
zywamy rozkład zm. l. X dla której X(W�) =� {0, 1}. Wartość 1
przyjmuje z prawdop. p, a 0 z prawdop. q =� 1-� p, czyli
p dla x =�1,
��
��
fB (x; p) =�
��
��
��1-� p dla x =� 0.
Rozkład ten oznaczamy B(p). Zapis X ~ B(p) oznacza, że
zm. l. X ma rozkład Bernoulliego z parametrem p (p��(0, 1)).
Momenty zwykłe: E(Xk) =� 1k��p +� 0k��(1 -� p) =� p, dla k =� 1, 2,&
Stąd E(X) = p, E(X 2) = p, D2(X) =� p(1 -� p).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 26
9. Rozkład równomierny i jego własności
Zm. l. X typu dyskretnego ma rozkład równomierny
(discrete uniform distribution) na zbiorze X(W�) =� W, gdzie
W =� {x1, x2,& , xn}, co oznaczamy X�~ U(W), jeżeli każdą z
wartości xk��W przyjmuje z tym samym prawdop., tj.
fU(xk; W) =� P(X =� xk) =� 1/n.
Rozkład równomierny jest modelem losowania liczby
w totalizatorze sportowym, wyniku rzutu idealną kostką, lo-
sowania numeru produktu z ponumerowanej ich partii, itp.
Własności X ~� U(W)
E(X) =� (S�xk)/n, D2(X) =� S�(xk2)/n -� E2(X),
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 27
10. Proces Bernoulliego
Procesem Bernoulliego1 (Bernoulli process) nazywamy
skończony lub nieskończony ciąg X1, X2,& identycznych i
niezależnych zm. l. (i.i.d.) o rozkładzie Bernoulliego, tj.
przyjmujących dwie wartości: 1 z prawdop. p zwanym sukce-
sem i 0 z prawdop. q =� 1 -� p zwanym porażką.
Z procesem Bernoulliego związane są rozkłady: Bernoul-
liego, dwumianowy i Pascala.
1
Jakub Bernoulli (1654-1705)
Matematyk szwajcarski, jeden z licznej rodziny Bernoullich, autor Ars conjectandi, pierw-
szego dzieła poświęconego rachunkowi prawdopodobieństwa.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 28
11. Rozkład dwumianowy i jego własności
Zm. l. X: W� �� {0, 1,& , n} ma rozkład dwumianowy
(binomial distribution) z parametrami n i p (n��N, p��(0, 1)),
co oznaczamy X ~ B(n, p), jeżeli jej funkcja prawdop. (PMF)
fB wyraża się wzorem:
n
ć� ��
�� ��
fB (x; n, p) =� px (1-� p)n-�x
��
dla x =� 0, 1, 2,& , n.
x��
Ł� ł�
Zm. l. X o rozkładzie B(n, p) zlicza liczbę sukcesów (jedy-
nek), w ciągu n niezależnych doświadczeń, których modelem
jest proces Bernoulliego.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 29
Rys. 1. A
amane funkcji prawdop. rozkładów dwumianowych
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 30
Własności
1. Jeżeli Xi ~ B(p) dla i =� 0, 1, 2,& , n jest ciągiem zm. l.
iid o tym samym rozkładzie Bernoulliego, to ich suma
Yn =� X1 +� X2 +� & +� Xn
ma rozkład dwumianowy Yn ~ B(n, p).
2. Jeżeli X ~ B(n, p), to E(X) =� np, D2(X) =� np(1-�p),
dla (n +�1) p �� N0
��
��(n +�1) p��,
��
mo(X ) =�
��
,
��
��(n +�1) p, (n +�1) p -�1,dla (n +�1) p �� N0
gdzie symbol ��x�� oznacza część całkowitą z liczby x.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 31
12. Rozkład jednostajny i jego własności
Zm. l. X: W� �� (a, b) ma rozkład jednostajny na przedziale
[a, b] (uniform distribution), co oznaczamy X�~ U(a, b), je-
żeli jej gęstość prawdop. (PDF) wyraża się wzorem
1
��
dla x ��(a, b),
��
fU (x;a,b) =�
b -� a
��
dla x ��(a, b).
��
0
��
Własności. Niech Xk ~ U(a, b) dla k =� 1, 2,& wówczas
bk +�1 -� ak+�1
k
E(X ) =�
,
(b -� a)(k +�1)
stąd E(X) =� (a +� b)/2, D2(X) =� (b -� a)2/12.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 32
13. Rozkład normalny i jego własności
Zm. l. X typu ciągłego ma rozkład normalny z parametra-
mi m i s� (m��R, s� > 0), co oznaczamy X ~ N(m, s�), jeśli
ć� ��
1 (x -� m)2 ��
��
fN (x;m,s�) =� exp��-�
2s�2 �� , x��R.
s� 2p�
Ł� ł�
Gęstość rozkładu normalnego została zaproponowana
przez Gaussa2, jako model rozkładu częstości błędów pomia-
2
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
-� matematyk niemiecki. Jeden z najwybitniejszych matematyków wszystkich
czasów, zwany przez współczesnych książę matematyków. Profesor uniwersytetu w Getyndze.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 33
rowych. Na jego cześć krzywe gęstości rozkładów normal-
nych nazywamy krzywymi Gaussa.
Rys. 3 Krzywe Gaussa.
Gęstość osiąga maksimum w punkcie x =� m, natomiast dla
x =� m ą� s� ma punkty przegięcia.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 34
Własności: Jeżeli X ~ N(m, s�), to E(X) =� m, D2(X) =� s�2.
Rys. 4. Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 35
Przykład 6. Wytrzymałość lin stalowych (wyrażona w
[MPa]), pochodzących z masowej produkcji, jest zm. l. W i
PDF dana jest wzorem:
ć� ��
1 (w -�100)2 ��
��
f (w;m,s�) =� exp��-�
��
50 , w��R.
s� 2p�
Ł� ł�
Ile wynoszą średnia i wariancja wytrzymałości lin.
Odp.: E(W) =� 100 MPa, D2(W) =� 25 [MPa]2.
Zastosowanie rozkładu normalnego
Rozkład normalny jest najważniejszym i najczęściej sto-
sowanym rozkładem w MP i SM oraz najczęściej stosowa-
nym rozkładem w zastosowaniach inżynierskich i ekono-
micznych.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 36
Standaryzowany rozkład normalny
Jeśli X ~ N(m,s�) i zm. l. X poddamy standaryzacji Z, to Z~
N(0, 1). Rozkład N(0, 1) nazywamy standardowym rozkła-
dem normalnym. Dystrybuanta stand. rozkładu normalnego
jest oznaczana F� i ma postać
z
ć� ��
1 x2 ��
��
F�(z) =� exp��-�
��
��dx , z��R.
2
2p�
Ł� ł�
-�Ą�
Z symetrii gęstości stand. rozkładu normalnego względem osi
Oy wynika zależność:
F�(-�z) =� 1-� F�(z).
Wartości funkcji F� są stablicowane. Dla X ~ N(m,s�) ko-
rzystamy z tej tablicy po jej standaryzacji.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 37
Przykład 7. Wytrzymałość W (w [MPa]) lin stalowych, po-
chodzących z pewnej partii, ma rozkład jak w przykładzie 6.
Obliczyć prawdop. zdarzenia, że losowo wybrana lina z tej
partii będzie miała wytrzymałość większą niż 105 [MPa],
Rozwiązanie. Z praw wielkich liczb możemy przyjąć, że czę-
stość przyjmowania wartości z przedziału (-�Ą�; w) jest równa
prawdop. przyjmowania wartości z tego przedziału.
Obliczamy prawdop. zdarzenia W > 105 [MPa]
W -� 100 105 -�100
��
P(W >�105) =�1-� P(W Ł� 105) =�1-� Pć� Ł�
�� ��
5 5
Ł� ł�
=�1-� P(Z Ł�1) =�1-� F�(1)
.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 38
F�(w) odczytujemy z tablic lub obliczamy komputerowo.
Otrzymujemy F�(1) � 0,8413. Stąd prawdop., że losowo wy-
brana lina z rozważanej partii ma wytrzymałość większą niż
105 [MPa] wynosi 0,1587.
Kwantyle rozkładu normalnego
Niech FX(x; m, s�) będzie CDF zm. l. X ~ N(mX, s�X).
Kwantyle zm. l. X wyznaczamy za pomocą funkcji kwanty-
lowej FX-�1(p; m, s�), która dla p��(0, 1) jest określona wzorem:
FX-�1(p; m, s�) =� mX +� s�X F�-�1(p),
gdzie F�-�1(p) jest funkcją kwantylową rozkładu N(0, 1).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 39
Ponieważ
F�-�1(p) =� -�F�-�1(1 -� p),
więc wystarczy znać wartości tej funkcji dla p��(0,5; 1).
Wartości funkcji odwrotnej F�-�1 podobnie jak samej dys-
trybuanty F� są zestawiane w tablicach statystycznych. Często
stosowane kwantyle są zestawione w tablicy kwantyli.
p 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999
zp 0,6745 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0902
Tablica. Wybrane kwantyle rozkładu N(0, 1)
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 40
Przykład 8. Zużycie paliwa niezbędnego do przebycia przez
odrzutowiec odległości między dwoma miastami jest zm. l. X
o rozkładzie normalnym ze średnią m =� 5,7 ton i odchyleniu
standardowym s� =� 0,5 tony. Linia lotnicza chce ustalić taką
ilość paliwa, przy zatankowaniu której prawdop. dotarcia do
miejsca przeznaczenia wynosiłoby ponad 0,99.
Rozwiązanie. Wiemy, że X ~ N(5,7; 0,5) [ton].
Mamy znalez
ć taką wartość x dla której P(X < x) =� 0,99,
czyli kwantyl rzędu 0,99, tj. x0,99.
Kwantyl ten wyznaczamy z zależności
x0,99 =� mX +� s�X z0,99.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 41
Ponieważ mX =� 5,7; s�X =� 0,5, z0,99 =� F�-�1(0,99) =� 2,3263, więc
x0,99 =� 6,86315 ton.
Należy zatankować 6,9 ton paliwa, gdyż daje to co najmniej
99% pewność, że wystarczy paliwa na cały lot.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 42
Przykład projektu zaliczeniowego
Uwaga. Należy przytaczać wzory i składnie funkcji wykorzystywanych w roz-
wiązaniach. Udzielać pełnych odpowiedzi. Sporządzić tabelę ocen według
wzoru. W przypadku braku rozwiązania etapu, pod jego numerem, w polu
 uzyskano wpisać  0 .
Etap 1 2 3 4 5 6 7 A
ącznie
do uzyskania 1 2 3 1 2 1 3 13
uzyskano
Długość X (w mm) detalu produkowanego na pewnym automacie jest zmienną
losową o gęstości prawdopodobieństwa
ć� ��
1 (x -� 20)2 ��
��
fX (x) =� exp��-�
��, x �� R
,
0,08
s� 2p�
Ł� ł�
1. Rozpoznać rozkład długości detalu i ustalić parametry rozkładu.
2. Wyznaczyć współczynnik zmienności i drugi moment zwykły długości deta-
lu.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 43
(�X -�19,98 ł� 0,01)� (�X -� m <� s�)�
3. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń: , .
4. Obliczyć dla jakiej wartości stałej b zachodzi równość
P(x0,05 <� X <� b) =� 0,90
.
5. Wyznaczyć kwartyle długości detalu oraz obliczyć gęstości dla nich.
6. Wyznaczyć przedział, w którym mieści się 95% produkowanych detali, po
złomowaniu 5% detali o największej odchyłce długości od wymiaru prze-
ciętnego.
7. Detal spełnia normę długości, jeśli jego długość mieści się w przedziale
(19,6; 20,4). W celu sprawdzenia dokładności produkcji zmierzona zostanie
długość partii 180 losowo wybranych detali.
a) Wprowadzić zmienną losową opisującą wynik sprawdzenia normy długości
badanej partii detali i podać jej rozkład.
b) Obliczyć prawdop. zdarzenia, że w badanej partii detali, co najmniej 175 z
nich spełni normę długości.
c) Wyznaczyć dominantę liczby detali, które spełnią normę długości i praw-
dopodobieństwo dla niej.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II 44