Materiały
Wykład 10 h. ćwiczeń 16 h.
Egzamin pisemny- szczegóły na ostatnim
Zmienne losowe
wykładzie, promocja dla osób, które zdobędą co
najmniej 4,5 z ćwiczeń
Moodle  kurs Statystyka Anna BÅ‚aczkowska,
hasło: STATAB12Z
[e-mail]
Na zajęcia należy nosić kalkulatory
Na egzaminie można mieć wzory
Co to jest statystyka ?
Literatura
dyscyplina naukowa wg, której:
S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka:
Statystyka  to nauka o metodach ilościowych
Statystyka. Elementy teorii i zadania. Wyd.
wykrywania i badania prawidłowości
AE im. O.Langego we Wrocławiu, W-w 2006, zachodzących w zjawiskach ( procesach)
masowych.
wyd.6 poprawione
Każda książka z nazwą statystyka w tytule BADANIE STATYSTYCZNE - ogół prac mających
na celu poznanie struktury określonej zbiorowości
statystycznej.
Rodzaje badań statystycznych Wstępne pojęcia
Zbiorowość statystyczna, populacja generalna (populacja)
kompletne (pełne, całkowite, wyczerpujące)  zbadane
- zbiór (na ogół duży) jednostek statystycznych mających
są wszystkie jednostki danej populacji( zbiorowość
przynajmniej jedną cechę stałą oraz pewną liczbę cech
generalna)  np. spis powszechny, ewidencja urodzeń i
zmiennych
zgonów;
Próba, populacja próbna  wyodrębniona przy pomocy
częściowe (niepełne)  zbadany jest skończony odpowiedniej metody statystycznej część (na ogół nieduża)
populacji generalnej
podzbiór populacji generalnej, zwany populacją próbną
Jednostka statystyczna  obiekt wyodrębniony na
lub próbką (jest reprezentacyjne lub subiektywne)
potrzeby badania statystycznego
wyniki badań próby są uogólniane na zbiorowość generalną.
Cecha statystyczna  właściwość jednostek statystycznych
n>30 - duża próba
podlegajÄ…ca badaniu
nd"30 - mała próba
6
Wyróżniamy
Czym zajmuje siÄ™ statystyka?
Statystykę opisową  która zajmuje się:
metodami obserwacji statystycznej,
I. pomiarem i gromadzeniem danych
konstruowaniem badań statystycznych,
opracowywaniem i prezentacją danego materiału statystycznego
II. syntetyzacjÄ… i prezentacjÄ… informacji
sumarycznym opisem danych statystycznych.
III. przetwarzaniem i analizÄ…
Statystykę matematyczną - która zajmuje się metodami
IV. wnioskowaniem
wnioskowania o całej zbiorowości generalnej na podstawie
zbadania wybranej w sposób losowy pewnej części, zwanej
próbą.
Elementy prawdopodobieństwa
Statystyka a rachunek prawdopodobieństwa
Zdarzenie losowe  takie, którego wyniku nie
można przewidzieć; to pewien zbiór możliwych
wyników danego eksperymentu; może składać się
Statystyka korzysta z rachunku
z pojedynczego wyniku jak i z większej ilości
prawdopodobieństwa  działu matematyki
elementów.
zajmującego się badaniem zdarzeń
Przykłady:
przypadkowych (losowych). otrzymanie orła w wyniku rzutu monetą,
suma oczek 5 przy rzucie dwoma kostkami sześciennymi,
natrafienie na zepsutą pomarańczę w zakupionej siatce owoców,
wystÄ…pienie odbiornika telewizyjnego z usterkami technicznymi,
wygrana w lotto,
Elementy prawdopodobieństwa
Elementy prawdopodobieństwa
Zdarzenie elementarne  jest to zdarzenie losowe,
Wśród wszystkich podzbiorów przestrzeni zdarzeń dwa
zasługują na szczególną uwagę
które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia.
zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe,
Zdarzeniem elementarnym jest każdy z
cała przestrzeń zdarzeń przedstawiająca zdarzenie pewne .
możliwych wyników doświadczenia losowego,
np.
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego  jest to
wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry,
szansa zajścia tego zdarzenia.
wylosowanie asa w grze karcianej,
wylosowanie sprawnego odbiornika telewizyjnego,
Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału domkniętego
wylosowanie 4 w lotto.
[0; 1]
Elementy prawdopodobieństwa Obliczanie prawdopodobieństw
Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zajścia
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
dowolnego zdarzenia losowego A można korzystaćz
losowego  jest to szansa zajścia tego tzw. klasycznej definicji Laplace a:
zdarzenia.
k
P(A) =
n
Prawdopodobieństwo jest liczbąz przedziału
gdzie
domkniętego [0; 1]
k  jest liczbązdarzeńelementarnych tworzących zdarzenie A,
n  liczbąwszystkich zdarzeńelementarnych w zbiorze &!.
Zmienne losowe - definicja
Zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa X to zmienna,
skokowe (dyskretne)  zmienna przyjmuje dowolne
która przyjmuje różne wartości liczbowe, wyznaczone przez los wartości ze zbioru przeliczalnego
jeżeli wartości zmiennej (cechy) są określone przez przypadek lub
(tzn. przyjmuje ona te wartości z określonymi
jeśli zbiór wartości funkcji X jest zbiorem przeliczalnym
prawdopodobieństwami), to zmienna ta jest zmienną losową.
to zmienna losowa jest zmiennÄ… losowÄ… dyskretnÄ… (jest
Zmienne losowe oznacza się dużymi literami alfabetu (np. typu skokowego).
X, Y, Z), a ich wartości odpowiednio małymi literami (np. Przykłady:
x, y, z). liczba błędów na stronie pewnej książki,
liczba dzieci posiadanych przez rodziny,
Ze względu na możliwy zbiór wartości rozróżnia się dwa
liczba pożarów w pewnym mieście,
podstawowe typy zmiennych losowych:
zbiór liczb całkowitych z określonego przedziału,
skokowe
ciągłe.
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Zmienna losowa ciągła
Przyporządkowanie każdej wartości zmiennej losowej
przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału (w
szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych) typu skokowego prawdopodobieństwa jej realizacji
nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa
lub
jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału
liczbowego to jest ciągłą zmienną losową X.
Rozkład może byćpodany w formie tabelki, wzoru lub
wykresu.
Przykłady:
wzrost dzieci w wieku szkolnym,
Funkcja spełnia warunki:
miesięczne spożycie chleba przez członków rodzin
czas oczekiwania na usługę przy okienku bankowym
zawartość tłuszczu w mleku
P( X = xi ) = pi pi "< 0, 1 >
zawartość witaminy C w owocach
= 1
"pi
i
Funkcja dystrybuanty
Parametry rozkładu zmiennych losowych
DystrybuantÄ… zmiennej losowej X jest funkcja F(x) o postaci:
wartość oczekiwana zmiennej losowej X (wartośćśrednia):
to skumulowana funkcja rozkładu
zmiennej losowej
n
F(x) = P(X d" x)
E ( X ) = pi
"xi
i =1
Co oznacza, że dystrybuanta dla konkretnej wartości zmiennej losowej, tj.
wariancja zmiennej losowej X
dla X= x jest równa prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa X będzie
przyjmowała wartości nie większe niż konkretna wartość x
n
2 2
V ( X ) = - E ( X )) pi = E ( X ) - [E ( X )]2
"(xi
0 dla x< x1
Å„Å‚ i =1
ôÅ‚p dla x1 d" x< x2
odchylenie standardowe
ôÅ‚1
F(x)=ôÅ‚p1 + p2 dla x2 d" x< x3
òÅ‚
à = V (X )
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚1 dla xe"xi-1
ół
Własności wartości oczekiwanej i
Parametry rozkładu zmiennych losowych
wariancji
E(C)=C
Współczynnik zmienności zmiennej losowej X
E(CX)=CE(X)
Ã
½ = Å"100
E(X+Y)=E(X)+E(Y) Ã
½ * = 10 %
E ( X )
E(X-Y)=E(X)-E(Y)
V(C)=0
V(CX)=C2V(X)
V(X+Y)=V(X)+V(Y) dla niezależnych zmiennych
V(X-Y)=V(X)+V(Y) dla niezależnych zmiennych
21
Dodatkowe charakterystyki pozycyjne
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
Mediana zmiennej losowej X to wartośćMe spełniająca w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką)
nierówności:
xi 0 1 2 3
1 1
pi 0,1 0,3 a 0,2
P( X d" Me) e" i P( X e" Me) e"
2 2
" Obliczyć a i narysować rozkład prawdopodobieństw zmiennej X
" Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres
" Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby startów helikoptera w
Dominanta Do (moda Mo) zmiennej losowej X to taka
ciÄ…gu doby
wartośćx tej zmiennej, której odpowiada największe
" Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:
prawdopodobieństwo realizacji (najbardziej prawdopodobne
P(X < 3), P(X e" 1), P(1 d" X < 4), P(1 < X < 3)
zajście zdarzenia).
" ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości
oczekiwanej jest statystycznie istotne
" wyznaczyć medianę i dominantę
Przykład 1 Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera w ciągu
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką)
doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką)
xi 0 1 2 3
xi 0 1 2 3
0 dla xńł
pi 0,1 0,3 0,4 0,2
ôÅ‚p dla x1 d" xpi 0,1 0,3 a 0,2
ôÅ‚1
F(x) 0,1 0,4 0,8 1,0 ôÅ‚
F(x) =òÅ‚p1 + p2 dla x2 d"x< x3
" Obliczyć a i narysować rozkład prawdopodobieństw zmiennej X
ôÅ‚
" Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres
ôÅ‚
a = 1- (0,1+0,3+0,2) = 0,4
ôÅ‚1 dla xe" xi-1
ół
pi F(x)
0,4 1,0 0 dla x <0
0,8
0,3
0,1 dla 0d"x <1
0,2
0,4
0,1+0,3= 0,4 dla 1d"x < 2
F(x) =
0,1
0,1 0,1+0,3+0,4 =0,8 dla 2d"x <3
0
0 1 2 3 xi 1 2 3 xi
1 dla xe"3
Przykład 1
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką)
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką)
" Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby startów helikoptera w
xi 0 1 2 3
ciÄ…gu doby
pi 0,1 0,3 0,4 0,2
x p xi pi xi2 pi
i i
" Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:
0 0,1
0 0
n
P(X < 3), P(X e" 1), P(1 d" X < 4), P(1 < X < 3)
1 0,3
0,3 0,3 E( X ) = pi = 1,7 H" 2
"xi
i=1
2 0,4
0,8 1,6
P(X < 3) = 0,1+ 0,3 + 0,4 = 0,8
3 0,2
0,6 1,8
1,7 3,7
P(X e"1) = 0,3 + 0,4 + 0,2 = 0,9
P(1 d" X < 4) = 0,3 + 0,4 + 0,2 = 0,9
2 2
V ( X ) = E ( X ) - [E ( X )]2 = 3,7 - 1,7 = 0,81
P(1 < X < 3) = 0,4
à = V (X ) = 0,81 = 0,9 H"1
Przykład 1 Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką) w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa (danym tabelką)
xi 0 1 2 3 xi 0 1 2 3
pi 0,1 0,3 0,4 0,2 pi 0,1 0,3 0,4 0,2
" wyznaczyć medianę i dominantę
" ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości
oczekiwanej jest statystycznie istotne
Dominanta wynosi 2 interwencje  najbardziej prawdopodobne
à 0,9
Mediana P( X d" Me) e" 0,5 i P(X e" Me) e" 0,5
½ = Å"100 = Å"100 = 52 ,9% > 10 %
Ã
E ( X ) 1,7
P( X d" 2) = 0,1+ 0,3 + 0,4 = 0,8 > 0,5
Me = 2 interwencje
i P(X e" 2) = 0,4 + 0,2 = 0,6 > 0,5
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
W produkcji wyrobów pewnego wytwórcy znajduje się 25% wyrobów I
Rozkład powstaje w wyniku n- krotnego powtarzania eksperymentu, w
gatunku. Pozostała część to gatunek II.
którym realizuje się zmienna zero-jedynkowa.
Odbiorca zakupił od tego wytwórcy 10 sztuk wyrobów.
są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia: sukces p i porażka q=1-p
prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym doświadczeniu stałe
n  niezależnych doświadczeń - wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
na wyniki pozostałych doświadczeń
tylko 1 sztuka będzie I gatunku.
X  zmienna losowa zliczająca liczbę sukcesów w n doświadczeniach
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
X- B(n,p)
tylko 4 sztuki będą II gatunku.
wzór:
n
ëÅ‚ öÅ‚ Jakiej Å›redniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać siÄ™
P(X = k ) = pk qn-k gdzie
ìÅ‚ ÷Å‚
odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?
k
íÅ‚ Å‚Å‚
Parametry rozkładu są odpowiednio równe:
E( X ) = np, V ( X ) = npq, Ã = npq
Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
zmienna losowa X określa liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
10 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę. tylko 1 sztuka będzie I gatunku.
Zmienna losowa X przyjmuje wartości: 0, 1, 2, ...,10 i podlega rozkładowi
Bernoulliego (wybór sztuk do zakupu jest losowy).
10
ëÅ‚ öÅ‚
1
w pojedynczej próbie  sukcesem jest wylosowanie z caÅ‚ej produkcji wyrobu I P(X =1) =ìÅ‚ 0,7510-1 H" 0,19
ìÅ‚1÷Å‚0,25
÷Å‚
gatunku.
íÅ‚ Å‚Å‚
Wówczas:
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
p = 0,25 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu I gatunku),
tylko 4 sztuki będą II gatunku  czyli 6 sztuk będzie I gatunku.
q = 0,75 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu II gatunku),
k - liczba sztuk wyrobów I gatunku w zakupionej partii 10 sztuk.
10
ëÅ‚ öÅ‚
6
P(X = 6) =ìÅ‚ 0,7510-6 H" 0,02
rozkład rozważanej zmiennej losowej jest postaci:
ìÅ‚6÷Å‚0,25
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
10
ëÅ‚ öÅ‚ Jakiej Å›redniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać siÄ™
P( X = k) = ìÅ‚ ÷Å‚0,25k0,7510-k
odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
E( X ) = np
Dla k = 1, 2,& ,10
E( X ) = 60 Å" 0,25 = 15,
k
P(X =k) = e-
k!
Przykład  rozkład Poissona
Przybliżenie rozkładu dwumianowego
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską
rozkładem Poissona
cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z  = 2. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
Jeżeli n>20 i jednocześnie p<0,2 to zamiast rozkładu
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
dwumianowego B(n, p) do obliczania prawdopodobieństw
mniej niż 1 rodzynkę
można zastosować przybliżenie rozkładem Poissona
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
P(=np)
21
X- B(n, p) n>20, p<0,2 X- P(=np)
P( X = 1) = e-2 = 2 Å" 2,72-2 = 0,270
(ð
1!
E ( X ) = 2, V ( X ) = 2, Ã = 2 = 1,41
35
Przykład  rozkład Poissona
Przykład  rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię
k
P(X = k) = e-
jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z  = 2. Obliczyć
k!
Rozkład Poissona jest rozkładem stablicowanym
prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
Tablice dla P(Xd"k)
co najmniej 5 rodzynek czyli P(X>5)
Fragment tablicy
k
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4

mniej niż 1 rodzynkę
lambda 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,2 0,819 0,982 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
0,4 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
0,6 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 P ( X > 5) = 1 - P ( X < 5) = 1 - P ( X d"4)
0,8 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
lambda 0 1 2 3 4
1 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
= 1- 0,947 = 0,053
0,2 0,819 0,982 0,999 1,000 1,000
1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000
0,4 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000
1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000
0,6 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000
1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000
0,8 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999
1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964 0,990 0,997 0,999 1,000 1,000
1 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996
2 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,999 1,000 1,000
1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992
2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,993 0,998 1,000 1,000
1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986
2,4 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999 1,000
1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976
2,6 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999 1,000
1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964
2,8 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999
2 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947
3 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,966 0,988 0,996 0,999
2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928
37
Przykład  rozkład Poissona
Przykład  rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z  = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
losową o rozkładzie Poissona z  = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:
trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
mniej niż 1 rodzynkę czyli 0 rodzynek P(X=0)
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
P(1 < X d"4) =
P( X d"4) - P( X d"1) =
P(X = 0) = 0,135
0,947 - 0,406 = 0,541
Przykład  rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z  = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
P ( 2 d" X d" 5 ) = P ( X d" 5 ) - P ( X d"1)
= 0 ,983 - 0 , 406 = 0 ,577
lambda 0 1 2 3 4 5
0,2 0,819 0,982 0,999 1,000 1,000 1,000
0,4 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000 1,000
0,6 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000 1,000
0,8 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999 1,000
1 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999
1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998
1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997
1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994
1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964 0,990
2 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983
2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975