1. Zmienna losowa i jej rozkład
SM15 W02: ZMIENNE LOSOWE I
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (�, 1!, !).
1. Zmienna losowa i jej rozkład
Zmienną losową (zm. l.) o wartościach rzeczywistych
Przykład 1
(ang. real-valued random variable) nazywamy funkcję:
2. Dystrybuanty i ich własności
: � !
Przykład 2
3. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
taką, że dla każdego " !, {� " �: (�) d" } " 1!.
Przykład 3
Na zbiorze � można określić wiele zm. l. : � !, i = 1,
Przykład 4
2,& , n. Zmienne te łącznie tworzą wektor losowy (w.l.)
4. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
= ( , & , ).
Przykład 5
Współrzędne w. l. X nazywamy zm. l. brzegowymi.
5. Parametry rozkładu
W szczególności, jeśli zbiór � jest skończony, to każda
6. Funkcja kwantylowa
7. Próby niezależne funkcja : � ! jest zm. l.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 1 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 3
Przykład 6 Zbiór wartości zm. l.
8. Do samodzielnego rozwiązania
( )
� = { " !: " " = (�)}
nazywamy jej obrazem. Obraz może być zbiorem skończo-
nym, przeliczalnym lub nieprzeliczalnym, ale zawsze
| | | |
(�) d" �
Zbiór wartości zm. l. decyduje o jej typie.
Jeśli jest on co najwyżej przeliczalny to mówimy, że zm. l.
jest typu dyskretnego.
Jeśli zbiór wartości zm. l. jest nieprzeliczalny, to zm. l.
może być typu ciągłego lub typu mieszanego.
W tym kursie statystyki matematycznej zm. l. typu mie-
szanego są pominięte.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 2 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 4
Przykład 1. Doświadczenie polega na trzy krotnym rzucie
2. Dystrybuanty i ich własności
prawidłową monetą. Niech X oznacza liczbę orłów jakie wy-
Dystrybuantą (cumulative distribution function  CDF)
padną w pierwszych dwóch rzutach, natomiast Y liczbę orłów
zm. l. X nazywamy funkcję : ! !, określoną dla każdego
jakie wypadną w trzech rzutach. Określić funkcje X i Y.
" ! wzorem:
Ponieważ zbiór wyników doświadczenia � jest dziedziną
( ) ( )
= d" = !{ " �: ( ) d" }
dla funkcji X i Y, więc najpierw wprowadzamy oznaczenia i
Uwaga. Podana definicja dystrybuanty jest zgodna z nor-
ustalamy ten zbiór. Niech o oznacza  wypadł orzeł , r  wypa-
mą PN-ISO 3534-1. Wielu autorów książek i wykładowców
dła reszka . Zdarzenie elementarne � jest trójką uporządko-
( )
wciąż definiuje dystrybuantę wzorem = ( < ).
waną, którą zapiszemy jako ciąg = , gdzie
Dla wektora losowego ( , ) funkcję , określoną dla
,
{ }
" , , = 1, 2, 3. Zbiór � składa się z 8 możliwych wy-
każdej pary liczb rzeczywistych ( , ) " ! � !, wzorem:
ników:
( ) ( )
! � ! " , Ś! , = P( d" , d" )
� = { , , , , , , , } ,
nazywamy dystrybuantą łączną (the join CDF.)
Ustalamy zbiory wartości zm. l. X i Y, czyli ich obrazy:
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 5 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 7
( ) ( )
� = {0, 1, 2}, � = {0, 1, 2, 3}; Dystrybuantami brzegowymi (marginal distribution func-
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tion) zm. l. X i Y nazywamy funkcje , , przy czym
, � = { 0, 0 , 0, 1 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 2 , (2, 3)}.
( ) ( )
Sposoby przyporządkowania wartości są zestawione w tabeli. = lim ( , ), = lim ( , ).
� ( ) ( )
ooo 2 3
Twierdzenie o dystrybuancie
oor 2 2
Funkcja ( ) jest dystrybuantą zm. l. wtedy i tylko wtedy,
oro 1 2
gdy
roo 1 2
1. jest funkcją niemalejącą, tj.
orr 1 1
( )
" , "! < �! ( ) d" ( ) ;
ror 1 1
rro 0 1
2. ma własności graniczne
rrr 0 0
( ) ( )
lim = 0; lim = 1;

Tabela. Wartości zm. l. X i Y.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 6 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 8
3. jest funkcją co najmniej prawostronnie ciągłą1, tj.
3. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
( ) ( )
" "!, " + ]" lim + = ( ).
Zm. l. X określoną na (�, 1!, !) nazywamy zm. l. typu dys-
kretnego (discrete R.V.), jeżeli zbiór wartości (�) jest co
najwyżej przeliczalny, tzn.
( ) { } ( ) { }
albo � = , , & , albo � = , , & .
Dystrybuanta FX zm. l. X typu dyskretnego jest funkcją
przedziałami stałą. Skoki ma tylko w punktach nieciągłości
" (�). Skoki w tych punktach mają wartości , gdzie
( ) ( ) "
= = = !{ " �: = } oraz = 1.
Rys. 1. Graficzne przedstawienie własności dystrybuanty
Rozkład zm. l. typu dyskretnego najlepiej jest podawać za
pomocą funkcji prawdopodobieństwa.
1
Przyjęta co najmniej prawostronna ciągłość jest zgodna z obowiązującą normą PN-ISO 3534-1:2002.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 9 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 11
( )
Przykład 2. Sprawdzić, czy funkcja = 1 - D dla
Funkcja prawdopodobieństwa
( )
e" 1, = 0 dla < 1 jest dystrybuantą pewnej zm. l. X,
Niech zm. l. X będzie typu dyskretnego.
np. chwili pogwarancyjnego wycofania z użytkowania (w la-
Funkcją prawdopodobieństwa (probability mass function
tach) telewizora. Jeśli jest dystrybuantą, to obliczyć prawd.
PMF) zm. l. X nazywamy funkcję : ! [0, 1] taką, że
zdarzeń: < 2, d" 2, = , > 10, 5 d" d" 7.
( ) ( )
= =
Podana funkcja jest dystrybuantą dla parametru > 0. Za-
( ) ( )
Ponieważ dla " � , = 0, więc funkcję PMF okre-
stosujemy ją do obliczenia prawd. podanych zdarzeń:
( )
ślamy wyłącznie dla " � , tj. dla x1, x2,... podajemy
( ) ( )
P < 2 = P d" 2 = 1 - 2
[ ];
( )
= .
Funkcja PMF jest więc zbiorem par postaci:
( )
P = = 0 dla każdego x;
( ) ( ) ( )
P > 10 = 1 - P d" 10 = 1 - 10 = [ ];
( )
{ , , = 1, 2, & }
10
{( ( ) ) ( )}
np. , 1 - : = 1, 2, & ; " 0, 1 .
2
( ) ( ) ( ) [ ]
P 5 d" d" 7 = P d" 7 - P < 5 = �" = .
35
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 10 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 12
W zadaniach często pary te są zestawiane w postaci dwuwier-
\ &
szowej tablicy,
&
"
&
&
"
( )
: = &
& & & & & &
&
Pomiędzy funkcjami CDF i PMF istnieją związki:
"
& 1
" " "
dla każdej liczby rzeczywistej x
Tablica 1. Schemat tablicy dwudzielczej
( ) " ( ) ( ) ( ) - ( -)
= ; =
Twierdzenie (o funkcji prawd. niezależnych zm. l.). Zm. l. X
Dla wektora l. ( , ), z obrazami (�) i (�), dla każdej
i Y o rozkładach typu dyskretnego są niezależne wtedy i tylko
( ) ( )
pary ich wartości ( , ), gdzie " � , " � , moż-
wtedy, gdy dla każdej pary ( , ) ich wartości
na rozważać zdarzenia łączne { = , = }.
= , = = ( = ) ( = )
P{ = , = } określa łączny rozkład pary ( , ).
lub pisząc krótko = .
" "
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 13 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 15
Funkcję : ! � ! [0, 1] określoną dla ( , ) wzorem: Przykład 3. Zbadać czy wprowadzone w przykładzie 1 zm. l.
,
X i Y są niezależne. Przyjąć, że moneta jest symetryczna.
( , ) = { = , = }
,
nazywamy łączną funkcją prawd. (join PMF) dla pary ( , ),
Korzystając z tabeli wartości zm. l. X i Y najpierw wyzna-
a jej wartości oznaczamy krótko .
czymy dla nich rozkłady łączny i brzegowe
Brzegowe funkcje prawd. (marginal PMFs) ( = )
\ 0 1 2 3
i ( = ), otrzymujemy poprzez sumowanie po wszyst-
kich wartościach pozostałej zm. l., tj.
0 1/8 1/8 0 0 2/8
( ) "
= = , =
1 0 2/8 2/8 0 4/8
"
= = , =
2 0 0 1/8 1/8 2/8
Elementy łącznej funkcji prawd. zwykle umieszczamy
1/8 3/8 3/8 1/8 1
w tablicy dwudzielczej.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 14 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 16
Ponieważ 0 1
\
0 40/60 10/60
1 2 1
( )
= 0, = 0 = `" " = ( = 0) " ( = 0)
1 7/60 3/60
8 8 8
Tablica 2. A
ączny rozkład.
więc zm. l. X i Y nie są niezależne.
Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:
0 1 0 1
Przykład 4. (Palenie i rak). W grupie 60 osób, liczby tych
= 47/60 13/60 , = 50/60 10/60
którzy palą lub nie palą i mają lub nie mają raka są zebrane w
Zm. l. S i C nie są niezależne, ponieważ
tablicy 1. Zbiór � jest zbiorem osób biorących udział w bada-
niach. Ze zbioru � losujemy osobę �.
( )
= 1, = 1 = = 0,05,
natomiast
( ) ( )
= 1 = 1 = 0,036.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 17 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 19
4. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
( )
Niech = 1, jeśli osoba � ma raka i 0 jeśli nie ma ra-
( )
ka oraz niech = 1, jeśli osoba ta pali papierosy i 0 w Zm. l. X o wartościach w ! nazywamy zm. l. typu ciągłe-
p.p.
go (continuous random variable), jeśli jej dystrybuanta jest
funkcją absolutnie ciągłą, tj. istnieje taka funkcja e" 0, że
\ nie pali pali suma
bez raka 40 10 50
( )
" "! = ( )
z rakiem 7 3 10
suma 47 13 60
Obraz (�) zm. l. X typu ciągłego jest zbiorem nieprzeli-
Tablica 1. Palenie i rak
czalnym, a prawd., że X przyjmie szczególną wartość x wyno-
( )
si zero, tj. = = 0 dla wszystkich x.
Każdą osobę możemy wylosować z tym samym prawd., więc
do wyznaczenia rozkładu łącznego stosujemy prawd. kla-
Zm. l. typu ciągłego jest często modelem pomiarów wiel-
syczne. A
ączny rozkład ( , ) jest dany w tablicy 2. Przykła-
kości fizycznej, np.: ilości dobowego zużycia EE przez firmę.
( ) ( )
dowo = 0; = 0 = 40/60, = 0; = 1 = 10/60.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 18 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 20
Gęstością prawd. (krótko gęstością, ang. probability densi- gdzie c jest stałą jest gęstością pewnej zm. l. X, np. stanu za-
sobów paliwa na stacji paliw. Wyznaczyć jej dystrybuantę.
ty function - PDF) zm. l. X typu ciągłego, nazywamy funkcję
Sporządzić wykresy funkcji PDF i CDF. Obliczyć ( d"
f(x), która występuje pod znakiem całki określającej jej dys-
trybuantę. 0,1).
Krzywą gęstości nazywamy wykres gęstości prawd. ( ).
Aby podana funkcja była gęstością pewnej zm. l. potrzeba
Jeżeli gęstość jest różna od zera na zbiorze , to mówimy że
i wystarcza, by miała dwie podane własności. Własność nieu-
zbiór jest nośnikiem rozkładu lub, że rozkład jest skon-
jemności posiada dla stałej > 0. Stałą c wyznaczamy z wła-
centrowany na .
sności unormowania
Własności gęstości. Funkcja ( ) jest gęstością zm. l. X typu
ciągłego wtedy i tylko wtedy, gdy ma dwie własności:
1 = 0 + (1 - ) + 0
1. jest nieujemna, tj. " "! ( ) e" 0,
( )
2. jest unormowana, tj. = 1.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 21 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 23
Rozkład zm. l. X typu ciągłego zwykle jest podawany po-
1
przez określenie jej gęstości. Wówczas dystrybuantę wyzna-
= ( - ) = - =
2 3 0 6
czamy poprzez jej całkowanie.
Stąd dla c = 6 podana funkcja jest gęstością zm. l. X.
Jeśli rozkład jest określony za pomocą dystrybuanty, to gę-
Dystrybuantę wyznaczymy z definicji zm. l. typu ciągłego.
stość w punktach ciągłości x wyznaczamy poprzez różnicz-
kowanie dystrybuanty, tj.
Rozważamy trzy przedziały:
( )
( )
I. Dla < 0, oczywiście = 0,
( )
= .
II. Dla " [0, 1),
Przykład 5. Sprawdzić, czy funkcja
( )
= 6 (1 - ) = 6 - 0 = 3 - 2 .
( - " (0, 1)
)
1
( )
=
0 . . ( )
III. Dla e" 1, = 1.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 22 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 24
Stąd Ustalenie wartości parametrów jest zadaniem statystyki ma-
< 0,
0 dla
tematycznej.
( )
= - 2 dla
[ )
3 " 0, 1 ,
1 dla e" 1.
Przykłady rozkładów z parametrami:
1. jednoparametrowy rozkład Bernoulliego,
Graficzną interpretacją całki dla , " ! i < , jest pole
2. jednoparametrowy rozkład geometryczny,
obszaru ograniczonego wykresem gęstości f(x), osią odciętych
3. dwuparametrowy rozkład dwumianowy,
i prostymi = , = .
4. trójparametrowy rozkład hipergeometryczny,
Prawd. zdarzenia d" 0,1 obliczamy z def. dystrybuanty
5. dwuparametrowy rozkład jednostajny,
( ) ( )
d" 0,1 = 0,1 = 0,028.
6. jednoparametrowy rozkład wykładniczy,
7. dwuparametrowy rozkład normalny.
Wprowadzone funkcje CDF, PDF i PMF opisujące roz-
kład zm. l. nazywamy jej charakterystykami funkcyjnymi.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 25 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 27
5. Parametry rozkładu 6. Funkcja kwantylowa
Parametrem rozkładu zm. l. X nazywamy wielkość stałą
Niech F będzie dystrybuantą zm. l. X. Funkcją kwantylową
od której zależy jej rozkład. Najczęściej stosowane rozkłady
(ICDF) nazywamy funkcję określoną, dla " (0; 1),
zależą od jednego lub dwóch parametrów rzeczywistych.
wzorem:
Zapis " , gdzie ą" ! oznacza, że parametr jest do- ( )
= inf{ " !: ( ) e" }
wolną stałą rzeczywistą ze zbioru .
Jeżeli F jest funkcją ciągłą i rosnącą, to jest funkcją
Jeśli CDF ( ) i PDF (lub PMF) ( ) zm. l. X zależą
odwrotną w zwykłym sensie (inverse cumulative distribution
od parametrów , & , , to piszemy
function) i dla danego p funkcja kwantylowa podaje wartość x
| |
( , & , ), ( , & , ), spełniającą warunek:
( )
z podaniem zakresów wartości parametrów. d" =
Zapis ten podkreśla, że CDF, PDF i PMF są rodzinami funk-
Wartość = ( ) oznaczamy i nazywamy kwantylem
cji zależnymi od podanych parametrów.
rzędu p zm. l. X.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 26 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 28
Kwantyle rzędów 0,25; 0,50 i 0,75 nazywamy kwartylami, Obserwację powtarzamy niezależnie n razy. Do opisania cią-
przy czym kwantyl nazywamy kwartylem środkowym gu prób wybieramy zbiór = zwany przestrzenią prób
,
(sample space), zawierający wszystkie możliwe ciągi warto-
lub medianą (ang. median), natomiast kwantyle i
, ,
ści = ( , & , ), gdzie " dla = 1, & , . Ciąg zm. l.
odpowiednio kwartylem dolnym i górnym.
, & , opisujący losowe obserwacje tworzy SRS oraz
Zastosowanie: Kwantyle rozkładów zm. l. mają zastosowanie
( ) " ( )
= , = , & , = = =
w statystyce m. in. do konstrukcji przedziałów ufności dla
nieznanych parametrów oraz do wyznaczania obszarów kry-
Twierdzenie (o dystrybuancie próby prostej). Jeżeli , & ,
tycznych przy testowaniu hipotez statystycznych.
jest SRS z populacji, której badana cecha ma rozkład o dys-
Do najczęściej stosowanych kwantyli należą kwantyle
trybuancie , to
rozkładów:
( ) "
" ,& , "! ,& ,
, & , = ( )
normalnego, t-Studenta, chi-kwadrat i F-Snedecora.
Zmienne losowe, które są funkcjami prób losowych nazy-
Wartości tych kwantyli są stablicowane.
wamy statystykami.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 29 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 31
Przykład 6. Niech , będą niezależnymi zm. l. o dystry-
7. Próby niezależne
buantach , . Wyznaczyć dystrybuanty statystyk
W zastosowaniach szczególną rolę odgrywają ciągi
a) = max{ , },
( )
, & , niezależnych zm. l. o tym samym rozkładzie (IID
independent and identically distributed) co zm. l. X, zwane
b) = min{ , }.
( )
w statystyce matematycznej prostymi próbami losowymi
Rozwiązanie. Z definicji dystrybuanty i niezależności zm. l.
(SRS simple random sample) z populacji, której modelem ba-
( ) ( { } )
a) = d" = max , d"
( )
( )
danej cechy jest zm. l. X.
( )
= d" , d" = ( ) ( )
W praktyce statystycznej ciągi niezależnych prób występu-
ją w naturalny sposób. Na przykład eksperyment polega na
( )
b) = d" = 1 - >
( ) ( )
( )
obserwacji wartości = { , & } zm. l. X o nieznanej
( ) ( ) ( )
= 1 - > , > = 1 - > >
funkcji prawd.
( ) ( )
& = 1 - 1 - d" 1 - d"
: = &
= 1 - (1 - ( ))(1 - ( )).
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 30 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 32
0, d" 1,
( )
8. Do samodzielnego rozwiązania Zadanie 3. Dana jest funkcja =
D
, > 1 .
Zadanie 1. Spośród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losu-
a. Dla jakiej wartości stałej b funkcja ta jest PDF zm.
jemy jednocześnie 3 elementy. Niech X oznacza liczbę wyloso-
l. X ?
wanych elementów wadliwych, a Y liczbę wylosowanych ele-
b. Naszkicuj krzywą gęstości.
mentów dobrych.
c. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę.
a) Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. X.
b) Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. Y.
d. Obliczy prawd. zdarzenia > .
c) Sprawdzić czy zm. l. X i Y są niezależne.
e. Wyznacz kwantyle rzędu 0,1 i 0,9.
0 1 2
Odp.: a) PMF: = 0,1 0,6 0,3 ,
Zadanie 4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny z pa-
0, < 0,
rametrami , " !, przy czym < , jeśli jej dystrybuanta
CDF: 0,1, 0 d" < 1,
wyraża się wzorem:
0,7, 1 d" < 2,
1, e" 2.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 33 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 35
Zadanie 2. Dobrać stałe a, b tak, aby podana funkcja F(x) by-
0, < 0,
-
ła dystrybuantą zm. l. X typu ciągłego
|
( , ) = , d" < ,
+ 1, < -1,
-
1, e" .
( )
= ( + 1) , -1 d" < 1,
a) Wyznacz gęstość zm. l. X.
1, e" 1.
b) W których punktach dystrybuanta nie jest różniczkowal-
a) Wyznaczyć PDF zm. l. X.
na ?
b) Które zdarzenie < , czy > jest bardziej prawd. ?
c) Sporządz
wykresy dystrybuanty i gęstości.
c) Wyznaczyć funkcję kwantylową oraz kwartyle.
d) Przyjmując, że = -1, = 3, oblicz prawd., że zm. l. X
przyjmie wartość ujemną.
Odp.: = -1, = .
e) Niezależne zm. l. , są prostą próbą z rozkładu jed-
nostajnego o parametrach = -1, = 3. Oblicz prawd.,
że statystyka max{ , } będzie dodatnia.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 34 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 36