1. Zmienna losowa i jej rozkład
SM15 W02: ZMIENNE LOSOWE I
Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ probabilistyczna (©, 1!, !).
1. Zmienna losowa i jej rozkład
Zmienną losową (zm. l.) o wartościach rzeczywistych
Przykład 1
(ang. real-valued random variable) nazywamy funkcjÄ™:
2. Dystrybuanty i ich własności
: © !
Przykład 2
3. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
takÄ…, że dla każdego " !, {É " ©: (É) d" } " 1!.
Przykład 3
Na zbiorze © można okreÅ›lić wiele zm. l. : © !, i = 1,
Przykład 4
2,& , n. Zmienne te Å‚Ä…cznie tworzÄ… wektor losowy (w.l.)
4. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
= ( , & , ).
Przykład 5
Współrzędne w. l. X nazywamy zm. l. brzegowymi.
5. Parametry rozkładu
W szczególnoÅ›ci, jeÅ›li zbiór © jest skoÅ„czony, to każda
6. Funkcja kwantylowa
7. Próby niezależne funkcja : © ! jest zm. l.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 1 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 3
Przykład 6 Zbiór wartości zm. l.
8. Do samodzielnego rozwiÄ…zania
( )
© = { " !: " " = (É)}
nazywamy jej obrazem. Obraz może być zbiorem skończo-
nym, przeliczalnym lub nieprzeliczalnym, ale zawsze
| | | |
(©) d" ©
Zbiór wartości zm. l. decyduje o jej typie.
Jeśli jest on co najwyżej przeliczalny to mówimy, że zm. l.
jest typu dyskretnego.
Jeśli zbiór wartości zm. l. jest nieprzeliczalny, to zm. l.
może być typu ciągłego lub typu mieszanego.
W tym kursie statystyki matematycznej zm. l. typu mie-
szanego są pominięte.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 2 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 4
Przykład 1. Doświadczenie polega na trzy krotnym rzucie
2. Dystrybuanty i ich własności
prawidłową monetą. Niech X oznacza liczbę orłów jakie wy-
DystrybuantÄ… (cumulative distribution function  CDF)
padną w pierwszych dwóch rzutach, natomiast Y liczbę orłów
zm. l. X nazywamy funkcję : ! !, określoną dla każdego
jakie wypadną w trzech rzutach. Określić funkcje X i Y.
" ! wzorem:
Ponieważ zbiór wyników doÅ›wiadczenia © jest dziedzinÄ…
( ) ( )
= d" = !{ " ©: ( ) d" }
dla funkcji X i Y, więc najpierw wprowadzamy oznaczenia i
Uwaga. Podana definicja dystrybuanty jest zgodna z nor-
ustalamy ten zbiór. Niech o oznacza  wypadł orzeł , r  wypa-
mą PN-ISO 3534-1. Wielu autorów książek i wykładowców
dÅ‚a reszka . Zdarzenie elementarne É jest trójkÄ… uporzÄ…dko-
( )
wciąż definiuje dystrybuantę wzorem = ( < ).
waną, którą zapiszemy jako ciąg = , gdzie
Dla wektora losowego ( , ) funkcję , określoną dla
,
{ }
" , , = 1, 2, 3. Zbiór © skÅ‚ada siÄ™ z 8 możliwych wy-
każdej pary liczb rzeczywistych ( , ) " ! × !, wzorem:
ników:
( ) ( )
! × ! " , Åš! , = P( d" , d" )
© = { , , , , , , , } ,
nazywamy dystrybuantÄ… Å‚Ä…cznÄ… (the join CDF.)
Ustalamy zbiory wartości zm. l. X i Y, czyli ich obrazy:
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 5 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 7
( ) ( )
© = {0, 1, 2}, © = {0, 1, 2, 3}; Dystrybuantami brzegowymi (marginal distribution func-
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tion) zm. l. X i Y nazywamy funkcje , , przy czym
, © = { 0, 0 , 0, 1 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 2 , (2, 3)}.
( ) ( )
Sposoby przyporządkowania wartości są zestawione w tabeli. = lim ( , ), = lim ( , ).
© ( ) ( )
ooo 2 3
Twierdzenie o dystrybuancie
oor 2 2
Funkcja ( ) jest dystrybuantÄ… zm. l. wtedy i tylko wtedy,
oro 1 2
gdy
roo 1 2
1. jest funkcjÄ… niemalejÄ…cÄ…, tj.
orr 1 1
( )
" , "! < Ò! ( ) d" ( ) ;
ror 1 1
rro 0 1
2. ma własności graniczne
rrr 0 0
( ) ( )
lim = 0; lim = 1;

Tabela. Wartości zm. l. X i Y.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 6 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 8
3. jest funkcją co najmniej prawostronnie ciągłą1, tj.
3. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
( ) ( )
" "!, " + ]" lim + = ( ).
Zm. l. X okreÅ›lonÄ… na (©, 1!, !) nazywamy zm. l. typu dys-
kretnego (discrete R.V.), jeżeli zbiór wartoÅ›ci (©) jest co
najwyżej przeliczalny, tzn.
( ) { } ( ) { }
albo © = , , & , albo © = , , & .
Dystrybuanta FX zm. l. X typu dyskretnego jest funkcjÄ…
przedziałami stałą. Skoki ma tylko w punktach nieciągłości
" (©). Skoki w tych punktach majÄ… wartoÅ›ci , gdzie
( ) ( ) "
= = = !{ " ©: = } oraz = 1.
Rys. 1. Graficzne przedstawienie własności dystrybuanty
Rozkład zm. l. typu dyskretnego najlepiej jest podawać za
pomocą funkcji prawdopodobieństwa.
1
Przyjęta co najmniej prawostronna ciągłość jest zgodna z obowiązującą normą PN-ISO 3534-1:2002.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 9 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 11
( )
Przykład 2. Sprawdzić, czy funkcja = 1 - D dla
Funkcja prawdopodobieństwa
( )
e" 1, = 0 dla < 1 jest dystrybuantÄ… pewnej zm. l. X,
Niech zm. l. X będzie typu dyskretnego.
np. chwili pogwarancyjnego wycofania z użytkowania (w la-
Funkcją prawdopodobieństwa (probability mass function
tach) telewizora. Jeśli jest dystrybuantą, to obliczyć prawd.
PMF) zm. l. X nazywamy funkcję : ! [0, 1] taką, że
zdarzeń: < 2, d" 2, = , > 10, 5 d" d" 7.
( ) ( )
= =
Podana funkcja jest dystrybuantÄ… dla parametru > 0. Za-
( ) ( )
Ponieważ dla " © , = 0, wiÄ™c funkcjÄ™ PMF okre-
stosujemy ją do obliczenia prawd. podanych zdarzeń:
( )
Å›lamy wyÅ‚Ä…cznie dla " © , tj. dla x1, x2,... podajemy
( ) ( )
P < 2 = P d" 2 = 1 - 2
[ ];
( )
= .
Funkcja PMF jest więc zbiorem par postaci:
( )
P = = 0 dla każdego x;
( ) ( ) ( )
P > 10 = 1 - P d" 10 = 1 - 10 = [ ];
( )
{ , , = 1, 2, & }
10
{( ( ) ) ( )}
np. , 1 - : = 1, 2, & ; " 0, 1 .
2
( ) ( ) ( ) [ ]
P 5 d" d" 7 = P d" 7 - P < 5 = ï" = .
35
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 10 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 12
W zadaniach często pary te są zestawiane w postaci dwuwier-
\ &
szowej tablicy,
&
"
&
&
"
( )
: = &
& & & & & &
&
Pomiędzy funkcjami CDF i PMF istnieją związki:
"
& 1
" " "
dla każdej liczby rzeczywistej x
Tablica 1. Schemat tablicy dwudzielczej
( ) " ( ) ( ) ( ) - ( -)
= ; =
Twierdzenie (o funkcji prawd. niezależnych zm. l.). Zm. l. X
Dla wektora l. ( , ), z obrazami (©) i (©), dla każdej
i Y o rozkładach typu dyskretnego są niezależne wtedy i tylko
( ) ( )
pary ich wartoÅ›ci ( , ), gdzie " © , " © , moż-
wtedy, gdy dla każdej pary ( , ) ich wartości
na rozważać zdarzenia łączne { = , = }.
= , = = ( = ) ( = )
P{ = , = } określa łączny rozkład pary ( , ).
lub pisząc krótko = .
" "
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 13 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 15
FunkcjÄ™ : ! × ! [0, 1] okreÅ›lonÄ… dla ( , ) wzorem: PrzykÅ‚ad 3. Zbadać czy wprowadzone w przykÅ‚adzie 1 zm. l.
,
X i Y są niezależne. Przyjąć, że moneta jest symetryczna.
( , ) = { = , = }
,
nazywamy Å‚Ä…cznÄ… funkcjÄ… prawd. (join PMF) dla pary ( , ),
Korzystając z tabeli wartości zm. l. X i Y najpierw wyzna-
a jej wartości oznaczamy krótko .
czymy dla nich rozkłady łączny i brzegowe
Brzegowe funkcje prawd. (marginal PMFs) ( = )
\ 0 1 2 3
i ( = ), otrzymujemy poprzez sumowanie po wszyst-
kich wartościach pozostałej zm. l., tj.
0 1/8 1/8 0 0 2/8
( ) "
= = , =
1 0 2/8 2/8 0 4/8
"
= = , =
2 0 0 1/8 1/8 2/8
Elementy Å‚Ä…cznej funkcji prawd. zwykle umieszczamy
1/8 3/8 3/8 1/8 1
w tablicy dwudzielczej.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 14 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 16
Ponieważ 0 1
\
0 40/60 10/60
1 2 1
( )
= 0, = 0 = `" " = ( = 0) " ( = 0)
1 7/60 3/60
8 8 8
Tablica 2. A
ączny rozkład.
więc zm. l. X i Y nie są niezależne.
Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:
0 1 0 1
Przykład 4. (Palenie i rak). W grupie 60 osób, liczby tych
= 47/60 13/60 , = 50/60 10/60
którzy palą lub nie palą i mają lub nie mają raka są zebrane w
Zm. l. S i C nie są niezależne, ponieważ
tablicy 1. Zbiór © jest zbiorem osób biorÄ…cych udziaÅ‚ w bada-
niach. Ze zbioru © losujemy osobÄ™ É.
( )
= 1, = 1 = = 0,05,
natomiast
( ) ( )
= 1 = 1 = 0,036.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 17 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 19
4. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
( )
Niech = 1, jeÅ›li osoba É ma raka i 0 jeÅ›li nie ma ra-
( )
ka oraz niech = 1, jeśli osoba ta pali papierosy i 0 w Zm. l. X o wartościach w ! nazywamy zm. l. typu ciągłe-
p.p.
go (continuous random variable), jeśli jej dystrybuanta jest
funkcją absolutnie ciągłą, tj. istnieje taka funkcja e" 0, że
\ nie pali pali suma
bez raka 40 10 50
( )
" "! = ( )
z rakiem 7 3 10
suma 47 13 60
Obraz (©) zm. l. X typu ciÄ…gÅ‚ego jest zbiorem nieprzeli-
Tablica 1. Palenie i rak
czalnym, a prawd., że X przyjmie szczególną wartość x wyno-
( )
si zero, tj. = = 0 dla wszystkich x.
Każdą osobę możemy wylosować z tym samym prawd., więc
do wyznaczenia rozkładu łącznego stosujemy prawd. kla-
Zm. l. typu ciągłego jest często modelem pomiarów wiel-
syczne. A
ączny rozkład ( , ) jest dany w tablicy 2. Przykła-
kości fizycznej, np.: ilości dobowego zużycia EE przez firmę.
( ) ( )
dowo = 0; = 0 = 40/60, = 0; = 1 = 10/60.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 18 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 20
Gęstością prawd. (krótko gęstością, ang. probability densi- gdzie c jest stałą jest gęstością pewnej zm. l. X, np. stanu za-
sobów paliwa na stacji paliw. Wyznaczyć jej dystrybuantę.
ty function - PDF) zm. l. X typu ciągłego, nazywamy funkcję
Sporządzić wykresy funkcji PDF i CDF. Obliczyć ( d"
f(x), która występuje pod znakiem całki określającej jej dys-
trybuantÄ™. 0,1).
Krzywą gęstości nazywamy wykres gęstości prawd. ( ).
Aby podana funkcja była gęstością pewnej zm. l. potrzeba
Jeżeli gęstość jest różna od zera na zbiorze , to mówimy że
i wystarcza, by miała dwie podane własności. Własność nieu-
zbiór jest nośnikiem rozkładu lub, że rozkład jest skon-
jemności posiada dla stałej > 0. Stałą c wyznaczamy z wła-
centrowany na .
sności unormowania
Własności gęstości. Funkcja ( ) jest gęstością zm. l. X typu
ciągłego wtedy i tylko wtedy, gdy ma dwie własności:
1 = 0 + (1 - ) + 0
1. jest nieujemna, tj. " "! ( ) e" 0,
( )
2. jest unormowana, tj. = 1.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 21 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 23
Rozkład zm. l. X typu ciągłego zwykle jest podawany po-
1
przez określenie jej gęstości. Wówczas dystrybuantę wyzna-
= ( - ) = - =
2 3 0 6
czamy poprzez jej całkowanie.
Stąd dla c = 6 podana funkcja jest gęstością zm. l. X.
Jeśli rozkład jest określony za pomocą dystrybuanty, to gę-
Dystrybuantę wyznaczymy z definicji zm. l. typu ciągłego.
stość w punktach ciągłości x wyznaczamy poprzez różnicz-
kowanie dystrybuanty, tj.
Rozważamy trzy przedziały:
( )
( )
I. Dla < 0, oczywiście = 0,
( )
= .
II. Dla " [0, 1),
Przykład 5. Sprawdzić, czy funkcja
( )
= 6 (1 - ) = 6 - 0 = 3 - 2 .
( - " (0, 1)
)
1
( )
=
0 . . ( )
III. Dla e" 1, = 1.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 22 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 24
Stąd Ustalenie wartości parametrów jest zadaniem statystyki ma-
< 0,
0 dla
tematycznej.
( )
= - 2 dla
[ )
3 " 0, 1 ,
1 dla e" 1.
Przykłady rozkładów z parametrami:
1. jednoparametrowy rozkład Bernoulliego,
Graficzną interpretacją całki dla , " ! i < , jest pole
2. jednoparametrowy rozkład geometryczny,
obszaru ograniczonego wykresem gęstości f(x), osią odciętych
3. dwuparametrowy rozkład dwumianowy,
i prostymi = , = .
4. trójparametrowy rozkład hipergeometryczny,
Prawd. zdarzenia d" 0,1 obliczamy z def. dystrybuanty
5. dwuparametrowy rozkład jednostajny,
( ) ( )
d" 0,1 = 0,1 = 0,028.
6. jednoparametrowy rozkład wykładniczy,
7. dwuparametrowy rozkład normalny.
Wprowadzone funkcje CDF, PDF i PMF opisujÄ…ce roz-
kład zm. l. nazywamy jej charakterystykami funkcyjnymi.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 25 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 27
5. Parametry rozkładu 6. Funkcja kwantylowa
Parametrem rozkładu zm. l. X nazywamy wielkość stałą
Niech F będzie dystrybuantą zm. l. X. Funkcją kwantylową
od której zależy jej rozkład. Najczęściej stosowane rozkłady
(ICDF) nazywamy funkcję określoną, dla " (0; 1),
zależą od jednego lub dwóch parametrów rzeczywistych.
wzorem:
Zapis " , gdzie ą" ! oznacza, że parametr jest do- ( )
= inf{ " !: ( ) e" }
wolną stałą rzeczywistą ze zbioru .
Jeżeli F jest funkcją ciągłą i rosnącą, to jest funkcją
Jeśli CDF ( ) i PDF (lub PMF) ( ) zm. l. X zależą
odwrotną w zwykłym sensie (inverse cumulative distribution
od parametrów , & , , to piszemy
function) i dla danego p funkcja kwantylowa podaje wartość x
| |
( , & , ), ( , & , ), spełniającą warunek:
( )
z podaniem zakresów wartości parametrów. d" =
Zapis ten podkreśla, że CDF, PDF i PMF są rodzinami funk-
Wartość = ( ) oznaczamy i nazywamy kwantylem
cji zależnymi od podanych parametrów.
rzędu p zm. l. X.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 26 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 28
Kwantyle rzędów 0,25; 0,50 i 0,75 nazywamy kwartylami, Obserwację powtarzamy niezależnie n razy. Do opisania cią-
przy czym kwantyl nazywamy kwartylem środkowym gu prób wybieramy zbiór = zwany przestrzenią prób
,
(sample space), zawierający wszystkie możliwe ciągi warto-
lub medianÄ… (ang. median), natomiast kwantyle i
, ,
ści = ( , & , ), gdzie " dla = 1, & , . Ciąg zm. l.
odpowiednio kwartylem dolnym i górnym.
, & , opisujÄ…cy losowe obserwacje tworzy SRS oraz
Zastosowanie: Kwantyle rozkładów zm. l. mają zastosowanie
( ) " ( )
= , = , & , = = =
w statystyce m. in. do konstrukcji przedziałów ufności dla
nieznanych parametrów oraz do wyznaczania obszarów kry-
Twierdzenie (o dystrybuancie próby prostej). Jeżeli , & ,
tycznych przy testowaniu hipotez statystycznych.
jest SRS z populacji, której badana cecha ma rozkład o dys-
Do najczęściej stosowanych kwantyli należą kwantyle
trybuancie , to
rozkładów:
( ) "
" ,& , "! ,& ,
, & , = ( )
normalnego, t-Studenta, chi-kwadrat i F-Snedecora.
Zmienne losowe, które są funkcjami prób losowych nazy-
Wartości tych kwantyli są stablicowane.
wamy statystykami.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 29 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 31
Przykład 6. Niech , będą niezależnymi zm. l. o dystry-
7. Próby niezależne
buantach , . Wyznaczyć dystrybuanty statystyk
W zastosowaniach szczególną rolę odgrywają ciągi
a) = max{ , },
( )
, & , niezależnych zm. l. o tym samym rozkładzie (IID
independent and identically distributed) co zm. l. X, zwane
b) = min{ , }.
( )
w statystyce matematycznej prostymi próbami losowymi
Rozwiązanie. Z definicji dystrybuanty i niezależności zm. l.
(SRS simple random sample) z populacji, której modelem ba-
( ) ( { } )
a) = d" = max , d"
( )
( )
danej cechy jest zm. l. X.
( )
= d" , d" = ( ) ( )
W praktyce statystycznej ciągi niezależnych prób występu-
ją w naturalny sposób. Na przykład eksperyment polega na
( )
b) = d" = 1 - >
( ) ( )
( )
obserwacji wartości = { , & } zm. l. X o nieznanej
( ) ( ) ( )
= 1 - > , > = 1 - > >
funkcji prawd.
( ) ( )
& = 1 - 1 - d" 1 - d"
: = &
= 1 - (1 - ( ))(1 - ( )).
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 30 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 32
0, d" 1,
( )
8. Do samodzielnego rozwiÄ…zania Zadanie 3. Dana jest funkcja =
D
, > 1 .
Zadanie 1. Spośród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losu-
a. Dla jakiej wartości stałej b funkcja ta jest PDF zm.
jemy jednocześnie 3 elementy. Niech X oznacza liczbę wyloso-
l. X ?
wanych elementów wadliwych, a Y liczbę wylosowanych ele-
b. Naszkicuj krzywą gęstości.
mentów dobrych.
c. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantÄ™.
a) Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. X.
b) Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. Y.
d. Obliczy prawd. zdarzenia > .
c) Sprawdzić czy zm. l. X i Y są niezależne.
e. Wyznacz kwantyle rzędu 0,1 i 0,9.
0 1 2
Odp.: a) PMF: = 0,1 0,6 0,3 ,
Zadanie 4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny z pa-
0, < 0,
rametrami , " !, przy czym < , jeśli jej dystrybuanta
CDF: 0,1, 0 d" < 1,
wyraża się wzorem:
0,7, 1 d" < 2,
1, e" 2.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 33 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 35
Zadanie 2. Dobrać stałe a, b tak, aby podana funkcja F(x) by-
0, < 0,
-
ła dystrybuantą zm. l. X typu ciągłego
|
( , ) = , d" < ,
+ 1, < -1,
-
1, e" .
( )
= ( + 1) , -1 d" < 1,
a) Wyznacz gęstość zm. l. X.
1, e" 1.
b) W których punktach dystrybuanta nie jest różniczkowal-
a) Wyznaczyć PDF zm. l. X.
na ?
b) Które zdarzenie < , czy > jest bardziej prawd. ?
c) SporzÄ…dz
wykresy dystrybuanty i gęstości.
c) Wyznaczyć funkcję kwantylową oraz kwartyle.
d) Przyjmując, że = -1, = 3, oblicz prawd., że zm. l. X
przyjmie wartość ujemną.
Odp.: = -1, = .
e) Niezależne zm. l. , są prostą próbą z rozkładu jed-
nostajnego o parametrach = -1, = 3. Oblicz prawd.,
że statystyka max{ , } będzie dodatnia.
K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 34 K. J. Andrzejczak, SM15 W02: Zmienne losowe I 36