Maciej Sac 2015-04-21
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 5. Charakterystyki pary zmiennych losowych
Zagadnienia: charakterystyki dwóch powiązanych ze sobą zmiennych losowych
Rozkład łączny
( )
Dystrybuanta Å‚Ä…czna: 5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = 5ØCÜ(5ØKÜ < 5ØeÜ, 5ØLÜ < 5ØfÜ)
- niemalejąca względem x i y,
( )
- 5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = 0 dla 5ØeÜ = -" lub 5ØfÜ = -",
( )
- 5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = 1 dla 5ØeÜ = 5ØfÜ = ".
A
ączny rozkład prawdopodobieństwa (zmienne losowe dyskretne):
( )
5Øß25Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ,5ØfÜ
( )
A
Ä…czny rozkÅ‚ad gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa (zmienne losowe ciÄ…gÅ‚e): 5Ø]Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ =
5Øß5ØeÜ5Øß5ØfÜ
Warunek normalizacyjny:
Związek pomiędzy dystrybuantą a rozkładem / gęstością prawdopodobieństwa:
( ) "5ØeÜ5ØVÜ<5ØeÜ "5ØfÜ5ØWÜ<5ØfÜ
5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = 5ØCÜ(5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ, 5ØLÜ = 5ØfÜ5ØWÜ)
Rozkłady brzegowe
Rozkłady wybranej zmiennej losowej (X, Y):
Dystrybuanta brzegowa:
Dla niezależnych X i Y:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ a" 5Ø9Ü5ØKÜ 5ØeÜ " 5Ø9Ü5ØLÜ 5ØfÜ , 5Ø]Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ a" 5Ø]Ü5ØKÜ 5ØeÜ " 5Ø]Ü5ØLÜ 5ØfÜ ,
5ØCÜ(5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ, 5ØLÜ = 5ØfÜ5ØWÜ) a" 5ØCÜ(5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ) " 5ØCÜ(5ØLÜ = 5ØfÜ5ØWÜ)
Á"5ØVÜ,5ØWÜ
Rozkłady warunkowe
( )
5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ,5ØfÜ
Dystrybuanta warunkowa: 5Ø9Ü5ØLÜ|5ØKÜ(5ØfÜ|5ØKÜ = 5ØeÜ) =
( )
5Ø9Ü5ØKÜ 5ØeÜ
( )
5ØCÜ(5ØKÜ=5ØeÜ5ØVÜ,5ØLÜ=5ØfÜ5ØWÜ) 5Ø]Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ,5ØfÜ
RozkÅ‚ady warunkowe: 5ØCÜ(5ØLÜ = 5ØfÜ5ØWÜ| 5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ) = 5Ø]Ü5ØLÜ|5ØKÜ(5ØfÜ|5ØKÜ = 5ØeÜ) =
( )
5ØCÜ(5ØKÜ=5ØeÜ5ØVÜ) 5Ø]Ü5ØKÜ 5ØeÜ
Maciej Sac 2015-04-21
Zad. 1. A
ączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych dany jest tabelą
Y X 2 4 6
1 0.05 0.1 0.2
3 0.2 0.1 0.1
5 0.05 0.05 0.15
a) Sprawdz
warunek normalizacyjny dla rozkładu łącznego.
b) Oblicz 5ØCÜ(2 d" 5ØKÜ d" 4, 1 d" 5ØLÜ d" 3).
c) Oblicz 5Ø9Ü5ØKÜ 5ØLÜ(4, 4).
d) Oblicz rozkłady brzegowe.
e) Oblicz rozkłady warunkowe.
f) Sprawdz
czy X i Y są niezależne statystycznie.
Zad. 2. W kanale komunikacyjnym jak na rysunku zmienna losowa X reprezentuje nadawane bity,
natomiast zmienna losowa Y reprezentuje odbierane bity. Nadanie bitu 1 jest tak samo
prawdopodobne jak nadanie bitu 0.
a) Oblicz rozkład łączny zmiennych losowych (X, Y).
b) Oblicz rozkłady brzegowe.
c) Sprawdz
czy X i Y są niezależne statystycznie.
d) Oblicz prawdopodobieństwo, że nadano bit 0 pod warunkiem, że odbiornik zarejestrował 0.
Zad. 3. Dana jest łączna gęstość prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych
5Ø6Ü5ØeÜ5ØfÜ dla 0 < 5ØeÜ < 5ØNÜ, 0 < 5ØfÜ < 5ØOÜ
( )
5Ø]Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = { .
0 dla pozostaÅ‚ych 5ØeÜ, 5ØfÜ
a) Oblicz stałą C.
b) Oblicz rozkłady brzegowe.
c) Sprawdz
czy X i Y są niezależne statystycznie.
d) Oblicz rozkłady warunkowe.
e) Oblicz dystrybuantÄ™ Å‚Ä…cznÄ….
Skomentuj wyniki.
Zad. 4. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe
liczbie wylosowanych asów, a Y  liczbie wylosowanych pików. Wyznacz rozkład
prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennych losowych (X, Y).
Zad. 5. Dana jest łączna gęstość prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych X i Y:
(5ØeÜ + 5ØfÜ)/8 dla 0 < 5ØeÜ < 2, 0 < 5ØfÜ < 2
1
( )
5Ø]Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = { . Oblicz 5ØCÜ(0 < 5ØLÜ < , |5ØKÜ = 1).
2
0 dla pozostaÅ‚ych 5ØeÜ, 5ØfÜ
Materiały z
ródłowe:
1. J. Konorski,  Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna , materiały do
wykładu, WETI PG, Gdańsk, 2014.
2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska,  Probabilistyka stosowana , Wydawnictwo PG, 2004.
3. B. Czaplewski, notatki.
4. W. Krysicki i in.,  Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach.
Część 1 , Wydanie VII, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.