Maciej Sac 2015-04-28
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 6. Operator uśredniania i momenty statystyczne
Zagadnienia: operator uśredniania statystycznego, momenty zmiennych losowych
Wartość średnia (statystyczna) / oczekiwana / przeciętna / nadzieja matematyczna
Wartość średnia nie musi być:
- jednÄ… z realizacji,
- najbardziej prawdopodobnÄ… realizacjÄ…,
- skończona,
- możliwa do obliczenia.
Dla kombinacji liniowej zmiennych losowych:
Momenty rozkładu zmiennych losowych
- 5ØüÞ = 0 Ò! momenty zwykÅ‚e / momenty, mr = EXr
- 5ØüÞ = 5Ø8Ü5ØKÜ Ò! momenty centralne, źr = E(X  EX)r
- momenty rozkładu dostarczają informacji na temat geometrii rozkładu (rozproszenie, asymetria,
spłaszczenie, & )
- momenty rozkładu nie zawsze istnieją
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancja (moment centralny drugiego rzędu):
"
Odchylenie standardowe: 5Øß5ØKÜ = var(5ØKÜ) = 5ØJÜ5ØKÜ
"
Własności:
- 5ØJÜ(5ØNÜ5ØKÜ + 5ØOÜ) = 5ØNÜ25ØJÜ5ØKÜ
- gdy X, Y sÄ… niezależne: 5ØJÜ(5ØNÜ5ØKÜ + 5ØOÜ5ØLÜ + 5ØPÜ) = 5ØNÜ25ØJÜ5ØKÜ + 5ØOÜ25ØJÜ5ØLÜ
- nierówność Czebyszewa:
Maciej Sac 2015-04-28
Współczynnik kowariancji i korelacji
Korelacja: corr(X, Y) = E(X"Y)
jeżeli corr(X, Y) = 0, to X i Y są ortogonalne
Współczynnik kowariancji: cov(X, Y) =
cov(5ØKÜ,5ØLÜ)
Unormowany współczynnik kowariancji (współczynnik korelacji): 5Øß = ,
5Øß5ØKÜ"5Øß5ØLÜ
Współczynniki kowariancji/korelacji mówią jak silna zależność istnieje pomiędzy zmiennymi
losowymi X i Y:
- 5Øß = 5Øß = 0 X i Y sÄ… nieskorelowane,
- 5Øß > 0 (5Øß > 0) X i Y sÄ… dodatnio skorelowane,
- 5Øß < 0 (5Øß < 0) X i Y sÄ… ujemnie skorelowane,
| |
- 5Øß = 1 X i Y sÄ… liniowo zależne.
Dla niezależnych zmiennych losowych 5Øß = 5Øß = 0. Twierdzenie odwrotne nie jest zawsze
prawdziwe.
Zad. 1. Rozpatrzmy eksperyment polegający na rzucie kostką sześciościenną. Zmienna losowa X
przyjmuje wartości odpowiadające wynikowi rzutu. Oblicz: wartość średnią, momenty zwyczajne
rzędu 2 i 3, wariancję, odchylenie standardowe.
Odp. 5Ø8Ü5ØKÜ = 3.5, 5Ø8Ü5ØKÜ2 = 91/6, 5Ø8Ü5ØKÜ3 = 441/6, 5ØJÜ5ØKÜ = 35/12, 5Øß5ØKÜ = 35/12
"
Zad. 2. Dana jest zmienne losowa ciągła X o rozkładzie równomiernym
1 dla 5ØeÜ " (1,2)
( )
5Ø]Ü 5ØeÜ = {0 dla pozostaÅ‚ych 5ØeÜ. Oblicz: wartość Å›redniÄ…, momenty zwyczajne rzÄ™du 2 i 3, wariancjÄ™,
odchylenie standardowe.
Odp. 5Ø8Ü5ØKÜ = 3/2, 5Ø8Ü5ØKÜ2 = 7/3, 5Ø8Ü5ØKÜ3 = 15/4, 5ØJÜ5ØKÜ = 1/12, 5Øß5ØKÜ = 1/12
"
Zad. 3. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa danym tabelką
xk  2 2 4
P(X = xk) 0,5 0,3 0,2
wyznaczyć: a) wartość średnią, b) wariancję (dwoma sposobami), c) odchylenie standardowe.
Odp. 5Ø8Ü5ØKÜ = 0.4, 5ØJÜ5ØKÜ = 6.24, 5Øß5ØKÜ = 6.24 H" 2.5
"
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa o gęstości
65ØeÜ(1 - 5ØeÜ) dla 5ØeÜ " (0,1)
( )
5Ø]Ü 5ØeÜ = { . Obliczyć wartość przeciÄ™tnÄ… i wariancjÄ™: a) zmiennej losowej X,
0 dla pozostaÅ‚ych 5ØeÜ
b) zmiennej losowej Y = 2X  1.
Odp. 5Ø8Ü5ØKÜ = 1/2, 5ØJÜ5ØKÜ = 1/20, 5Ø8Ü5ØLÜ = 0, 5ØJÜ5ØLÜ = 1/5
Maciej Sac 2015-04-28
Zad. 5. Dana jest łączna gęstość prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych
5Ø6Ü5ØeÜ5ØfÜ dla 0 < 5ØeÜ < 5ØNÜ, 0 < 5ØfÜ < 5ØOÜ
( )
5Ø]Ü5ØKÜ 5ØLÜ 5ØeÜ, 5ØfÜ = { .
0 dla pozostaÅ‚ych 5ØeÜ, 5ØfÜ
a) Oblicz wartości średnie X i Y.
b) Oblicz wariancje X i Y.
c) Oblicz korelację pomiędzy X i Y.
d) Oblicz współczynnik kowariancji pomiędzy X i Y.
e) Oblicz współczynnik korelacji pomiędzy X i Y.
Skomentuj wyniki.
Zad. 6. A
ączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych dany jest tabelą
Y X 2 4 6
1 0.05 0.1 0.2
3 0.2 0.1 0.1
5 0.05 0.05 0.15
a) Oblicz wartości średnie X i Y.
b) Oblicz wariancje X i Y.
c) Oblicz korelację pomiędzy X i Y.
d) Oblicz współczynnik kowariancji pomiędzy X i Y.
e) Oblicz współczynnik korelacji pomiędzy X i Y.
Skomentuj wyniki.
Materiały z
ródłowe:
1. J. Konorski,  Metody probabilistyczne w informatyce , materiały do wykładu, WETI PG,
Gdańsk, 2015.
2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska,  Probabilistyka stosowana , Wydawnictwo PG, 2004.
3. W. Krysicki i in.,  Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach.
Część 1 , Wydanie VII, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
4. B. Czaplewski, notatki.