Maciej Sac, Marek Blok 2015-02-24
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo
Zagadnienia: definicje prawdopodobieństwa, zdarzenia, kombinatoryka
Definicje prawdopodobieństwa:
©  zbiór wszystkich możliwych zdarzeÅ„ elementarnych; zdarzenie pewne.
5Øß " ©  zdarzenie elementarne,
5ØCÜ(5Ø4Ü)  prawdopodobieÅ„stwo zdarzenia losowego 5Ø4Ü " ©
Aksjomaty:
( )
·ð 0 d" 5ØCÜ 5Ø4Ü d" 1,
( )
·ð 5ØCÜ © = 1,
( ) ( )
·ð jeżeli 5Ø4Ü )" 5Ø5Ü = ", to 5ØCÜ 5Ø4Ü *" 5Ø5Ü = 5ØCÜ 5Ø4Ü + 5ØCÜ(5Ø5Ü)
Definicja klasyczna (Laplace):
5Ø[Ü5Ø4Ü
( )
5ØCÜ 5Ø4Ü = ;
5Ø[Ü
gdzie 5Ø[Ü5Ø4Ü  liczba zdarzeÅ„ elementarnych w 5Ø4Ü oraz 5Ø[Ü  liczba wszystkich zdarzeÅ„ elementarnych
(liczba zdarzeÅ„ elementarnych w ©).
Wady definicji klasycznej:
·ð zdarzenia elementarne muszÄ… być jednakowo prawdopodobne,
·ð liczba zdarzeÅ„ elementarnych nie może być nieskoÅ„czona,
·ð wymagana jest znajomość liczebnoÅ›ci zbiorów 5Ø4Ü i ©.
Dla zdarzeń elementarnych o różnych prawdopodobieństwach
"5Øß"5Ø4Ü 5ØdÜ5ØNÜ5ØTÜ5ØNÜ5Øß
( )
5ØCÜ 5Ø4Ü =
"5Øß"© 5ØdÜ5ØNÜ5ØTÜ5ØNÜ5Øß
Definicja częstościowa:
5Ø[Ü5Ø4Ü
( )
5ØCÜ 5Ø4Ü = lim
5Ø[Ü"
5Ø[Ü
gdzie 5Ø[Ü  liczba powtórzeÅ„ doÅ›wiadczenia losowego oraz 5Ø[Ü5Ø4Ü  liczba zaobserwowanych zdarzeÅ„
elementarnych sprzyjajÄ…cych 5Ø4Ü.
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa:
 
5Ø4Ü
( )
5ØCÜ 5Ø4Ü =
 
©
gdzie || || oznacza miarÄ™ obszaru.
Permutacja bez powtórzeń [ustawienie w pewnej kolejności wszystkich elementów ze zbioru zawierającego n
różnych elementów]:
- w rzÄ™dzie: 5ØCÜ5Ø[Ü = 5Ø[Ü!
- w okrÄ…g: 5ØCÜ5Ø[Ü = (5Ø[Ü - 1)!
Permutacja z powtórzeniami [ustawienie w pewnej kolejności wszystkich elementów n elementowego zbioru,
w którym mamy p grup; elementy w grupach są nierozróżnialne]:
5Ø[Ü!
5ØXÜ
5ØCÜ5Ø[Ü =
5Ø[Ü1!5Ø[Ü2!& 5Ø[Ü5Ø]Ü!
Maciej Sac, Marek Blok 2015-02-24
Wariacja (bez powtórzeÅ„) [ustawienie w pewnej kolejnoÅ›ci 5ØXÜ elementów ze zbioru zawierajÄ…cego n różnych
elementów]:
5Ø[Ü!
5ØXÜ
5ØIÜ5Ø[Ü =
( )
5Ø[Ü-5ØXÜ !
Wariacja (z powtórzeniami) [ustawienie w pewnej kolejnoÅ›ci 5ØXÜ elementów, każdy ze zbioru zawierajÄ…cego n
różnych elementów]:
5ØXÜ
5ØJÜ5Ø[Ü = 5Ø[Ü " 5Ø[Ü " & " 5Ø[Ü = 5Ø[Ü5ØXÜ
Kombinacja [wybranie 5ØXÜ elementów ze zbioru zawierajÄ…cego n różnych elementów; liczba możliwych podzbiorów
 kolejność się nie liczy]:
5Ø[Ü
5Ø[Ü!
5ØXÜ
5Ø6Ü5Ø[Ü = = (5ØXÜ)
( )
5Ø[Ü-5ØXÜ !5ØXÜ!
Kombinacja z powtórzeniami [wybranie 5ØXÜ elementów, gdzie każdy element wybieramy ze zbioru
zawierającego n różnych elementów; liczba możliwych podzbiorów  kolejność się nie liczy]:
5ØXÜ
5Ø>Ü5Ø[Ü = (5Ø[Ü + 5ØXÜ - 1)
5ØXÜ
Zad. 1. Rzucono kostką 6-cio ścienną oraz zanotowano wynik rzutu. Zdefiniuj eksperyment, zbiór
zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego. Zaproponuj
zdarzenia losowe niebędące zdarzeniem elementarnym oraz oblicz jego prawdopodobieństwo.
Zad. 2. Eksperyment polega na 4-krotnym rzucie monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wypadnÄ… 3 reszki?
Odp. 5ØCÜ(5Ø4Ü) = 1/4.
Zad. 3. Wiadomość może być przekazywana pomiędzy serwerami różnymi drogami. Wysłana
wiadomość może w pierwszym kroku dotrzeć do pięciu serwerów, w drugim kroku każdy z tych
serwerów może ją przekazać do jednego z kolejnych pięciu serwerów oraz w trzecim kroku
wiadomość może być przekazana do czterech serwerów, z tych serwerów wiadomość trafia do
odbiorcy. Jak wiele możliwych ścieżek przejścia wiadomości istnieje? Jeżeli każda ścieżka jest
jednakowo prawdopodobna, to jakie jest prawdopodobieństwo, że wiadomość w trzecim kroku
przejdzie przez pierwszy z czterech serwerów?
Zad. 4. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że w grupie 5ØAÜ studentów (a) przynajmniej dwóch
studentów ma urodziny tego samego dnia oraz (b) przynajmniej dwóch studentów ma urodziny 1
kwietnia?
D ( )
365! 365-5ØAÜ !
( )
5ØCÜ 5Ø4Ü
( ) ( ) ( )
Odp. (a) 5ØCÜ 5Ø4Ü2 = ; 5ØCÜ 5Ø4Ü = 1 - 5ØCÜ 5Ø4Ü ;
3655ØAÜ
3645ØAÜ 5ØAÜ"364(5ØAÜ-1)
( ) ( ) ( )
(b) 5ØCÜ 5Ø5Ü = 1 - 5ØCÜ 0 - 5ØCÜ 1 = 1 - -
3655ØAÜ 3655ØAÜ
Maciej Sac, Marek Blok 2015-02-24
Zad. 5. W zbiorze 1000 rekordów wprowadzonych do bazy 12 rekordów zawiera błędy. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych 100 rekordów: (a) wszystkie rekordy są
poprawne, (b) tylko jeden rekord zawiera błędy oraz (c) co najwyżej 2 rekordy zawierają błędy.
(1000-12) (1000-12)(12)
100 100-1 1
( ) ( )
Odp. (a) 5ØCÜ 5Ø4Ü0 = H" 0.28; (b) 5ØCÜ 5Ø4Ü1 = H" 0.38;
(1000) (1000)
100 100
(1000-12)(12)
100-2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(c) 5ØCÜ 5Ø4Ü2 = H" 0.23; 5ØCÜ 5Ø6Ü = 5ØCÜ 5Ø4Ü0 + 5ØCÜ 5Ø4Ü1 + 5ØCÜ 5Ø4Ü2 H" 0.28 + 0.38 + 0.23 = 0.89
(1000)
100
Zad. 6. Mamy dwa łącza z prawdopodobieństwem poprawnego przesłania ramki i otrzymania
potwierdzenia jej prawidłowego odbioru równym 0.25 dla łącza A oraz 0.5 dla łącza B. Próby
przesłania ramki są podejmowane na przemian łączem A i łączem B, aż do otrzymania
potwierdzenia odbioru ramki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ramka dotrze do celu łączem A,
gdy rozpoczynamy transmisjÄ™: (a) od Å‚Ä…cza A oraz (b) od Å‚Ä…cza B.
Odp. a) 5ØCÜ(5Ø6Ü) = 2/5, b) 5ØCÜ(5Ø6Ü) = 1/5.
Zad. 7. Mamy dwa łącza z zad. 6. Użytkownik nr 1 korzysta z łącza typu A, a użytkownik nr 2
korzysta z łącza typu B. Obaj użytkownicy transmitują ramki jednocześnie. Oblicz
prawdopodobieństwo, że użytkownik nr 1 pierwszy otrzyma potwierdzenie odbioru ramki.
Odp. 5ØCÜ(5Ø6Ü) = 1/5.
Zad. 8. Losowo wybierano punkt należący do kwadratu o boku równym 10cm, w którym
narysowano koło o promieniu 2cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrano punkt wewnątrz
koła?
Odp. 5ØCÜ(5Ø6Ü) = 5Øß/25.
Materiały z
ródłowe:
1. Bartosz Czaplewski, notatki.
2. Douglas C. Montgomery, George C. Runger,  Applied Statistics and Probability for Engineers ,
Willey, 2003.
3. Steven Kay,  Intuitive Probability and Random Processes Using MATLAB , Springer, 2006.