Maciej Sac, Marek Blok 2015-03-25
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 3. Twierdzenie Bayesa
Zagadnienia: twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, twierdzenie Bayesa
Tw. o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia 5Ø4Ü1, 5Ø4Ü2, ..., 5Ø4Ü5ØAÜ tworzÄ… ukÅ‚ad zupeÅ‚ny zdarzeÅ„, to dla każdego zdarzenia A
( ) ( ) ( ) ( )
5ØCÜ 5Ø4Ü = 5ØCÜ 5Ø4Ü )" 5Ø4Ü1 + 5ØCÜ 5Ø4Ü )" 5Ø4Ü2 + ï" + 5ØCÜ 5Ø4Ü )" 5Ø4Ü5ØAÜ
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
= 5ØCÜ 5Ø4Ü 5Ø4Ü1 5ØCÜ 5Ø4Ü1 + 5ØCÜ 5Ø4Ü 5Ø4Ü2 5ØCÜ 5Ø4Ü2 + ï" + 5ØCÜ 5Ø4Ü 5Ø4Ü5ØAÜ 5ØCÜ 5Ø4Ü5ØAÜ
Tw. Bayesa
Niech 5Ø;Ü1, 5Ø;Ü2, ..., 5Ø;Ü5ØAÜ tworzÄ… ukÅ‚ad zupeÅ‚ny zdarzeÅ„ (hipotezy), których prawdopodobieÅ„stwa a
priori 5ØCÜ(5Ø;Ü5Ø[Ü) znamy. Dla dowolnego zdarzenia 5Ø5Ü o prawdopodobieÅ„stwie 5ØCÜ(5Ø5Ü) różnym od zera,
znajÄ…c prawdopodobieÅ„stwa: 5ØCÜ(5Ø5Ü|5Ø;Ü1), 5ØCÜ(5Ø5Ü|5Ø;Ü2), ..., 5ØCÜ(5Ø5Ü|5Ø;Ü5ØAÜ), możemy obliczyć
prawdopodobieństwa a posteriori
( | )
5ØCÜ 5Ø5Ü 5Ø;Ü5Ø[Ü 5ØCÜ(5Ø;Ü5Ø[Ü)
( | )
5ØCÜ 5Ø;Ü5Ø[Ü 5Ø5Ü =
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
5ØCÜ 5Ø5Ü 5Ø;Ü1 5ØCÜ 5Ø;Ü1 + 5ØCÜ 5Ø5Ü 5Ø;Ü2 5ØCÜ 5Ø;Ü2 + ï" + 5ØCÜ 5Ø5Ü 5Ø;Ü5ØAÜ 5ØCÜ(5Ø;Ü5ØAÜ)
Zad. 1. Prawdopodobieństwo awarii serwera w ciągu roku wynosi 1% jeżeli pracuje on w suchym
pomieszczeniu. Jeżeli kiedykolwiek pracował on w wilgotnym pomieszczeniu, to
prawdopodobieństwo awarii wzrasta do 5%. Jeżeli 90% obsługiwanych przez firmę serwisową
serwerów pracuje w pomieszczeniach suchych, a 10% w pomieszczeniach, w których występują
okresy zwiększonej wilgotności, to jaka część serwerów będzie wymagała serwisowania w
przeciÄ…gu roku?
Odp. 1.4% serwerów prawdopodobnie ulegnie awarii.
Zad. 2. Dyski twarde są pakowane przez dystrybutora w małe i lekkie albo w duże i ciężkie
opakowania. 3% dysków w małych opakowaniach oraz 1% dysków w dużych opakowaniach ulega
uszkodzeniu w trakcie transportu. Jaka część wysyłanych dysków ulega uszkodzeniu w transporcie,
jeżeli 60% dysków jest przesyłane w małych opakowaniach, a 40% w dużych?
Odp. 2.2%.
Zad. 3. Ułożenie głowicy dysku twardego względem ścieżki zapisu wpływa na jakość odczytu
danych. 10% operacji odczytu danych ma pogorszoną jakość z powodu ukośnego ustawienia
głowicy, 5% z powodu złego wyśrodkowania głowicy, a 1% z obydwu przyczyn na raz. W
pozostałych przypadkach głowica jest ustawiona prawidłowo. Prawdopodobieństwo błędnego
odczytu danych wynosi 0.01 w przypadku ukośnego ustawienia głowicy, 0.02 w przypadku złego
wyśrodkowania głowicy, 0.06 w przypadku wystąpienia obydwu problemów jednocześnie oraz
0.001 w przypadku prawidłowego ustawienia głowicy. Jakie jest prawdopodobieństwo błędnego
odczytu danych z dysku?
Odp. P(E) = 0.0034.
Maciej Sac, Marek Blok 2015-03-25
Zad. 4. W węz
le pracują 3 aparaty obsługi, ale 2 z nich uległy uszkodzeniu (to już się stało). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że zepsuł się aparat nr 1 i 2? Prawdopodobieństwo uszkodzenia
( ) ( ) ( )
poszczególnych aparatów to 5ØCÜ 5Ø4Ü1 = 0.1, 5ØCÜ 5Ø4Ü2 = 0.2, 5ØCÜ 5Ø4Ü3 = 0.3.
Odp. 0.152
Zad. 5. Rozpatrzmy układ kanałów transmisyjnych jak na rysunku. Kanały działają niezależnie,
prawdopodobieństwo poprawnego działania kanału wynosi p. Nadany sygnał nie został przekazany
(fakt).
a) Znajdz
prawdopodobieństwo, że uszkodzony został 1 kanał.
b) Znajdz
prawdopodobieństwo, że uszkodzone zostały 2 kanały.
k2
in out
k1 k3
k4
( )2
5Ø]Ü3(1-5Ø]Ü) 35Ø]Ü2 1-5Ø]Ü
Odp. a) 1-5Ø]Ü(1-(1-5Ø]Ü)3), b) 1-5Ø]Ü(1-(1-5Ø]Ü)3),
Zad. 6. W kanale cyfrowym przesyłane są symbole binarne. Nadanie każdego symbolu jest
równoprawdopodobne. Zarejestrowano sygnał 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że faktycznie
nadano 1? Działanie kanału zilustrowano na rysunku. Przyjąć p = 0.1.
Odp. 0.9
Zad. 7. Wiadomo, że 0.001 % całej populacji ludzi choruje na nowotwory. Pacjent odwiedzający
lekarza skarży się na objawy mogące wskazać obecność nowotworu. Lekarz wykonuje test krwi,
który potwierdza chorobę z prawdopodobieństwem 0.99, jeśli pacjent jest naprawdę chory. Test
może także błędnie wskazać obecność nowotworu u osoby zdrowej (prawdopodobieństwo 0.2).
Jeżeli test wypadnie pozytywnie, to jakie jest prawdopodobieństwo, że badana osoba ma
nowotwór?
Odp. 4.95 " 10-5
Maciej Sac, Marek Blok 2015-03-25
1
( | )
Zad. 8. Dwustanowy Å‚aÅ„cuch Markowa ma prawdopodobieÅ„stwa przejÅ›cia stanów 5ØCÜ 0 0 = ,
4
3 1
( | ) ( )
5ØCÜ 0 1 = i poczÄ…tkowe prawdopodobieÅ„stwo stanu 5ØCÜ 0 = . Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo
4 2
sekwencji stanów 0, 1, 0, 1, 0?
Odp. 81/512
Zad. 9. Pracownik serwisu komputerowego twierdzi, że jeżeli komputer jest zarażony wirusami A i
B, to potrafi powiedzieć, który z wirusów zaatakował system pierwszy. Żeby zweryfikować to
przygotowano 10 zestawów komputerowych, które w losowej kolejności zarażono wirusami A i B.
Pracownik poprawnie określił kolejność zarażania wirusami w 8 przypadkach. Jaka była szansa na
uzyskanie takiego wyniku, jeżeli pracownik zgadywał?
Odp. P(8 z 10 | zgadywał) = 0.0439
Materiały z
ródłowe:
1. B. Czaplewski, notatki.
2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska,  Probabilistyka stosowana , Wydawnictwo PG, 2004.
3. D. C. Montgomery, G. C. Runger,  Applied Statistics and Probability for Engineers , Willey,
2003.
4. M. Kay,  Intuitive Probability and Random Processes Using MATLAB , Springer, 2006.