Temat:
Zmienna losowa.
Rozkład skokowy
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
1
Anna Rajfura, Matematyka
Zagadnienia
1. Powtórzenie wybranych pojęć
i zagadnień rachunku
prawdopodobieństwa
2. Zmienna losowa. Rozkład
zmiennej losowej
3. Rozkłady skokowe
2
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia
3
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia
" doświadczenie losowe, ozn. D
" zbiór wszystkich wyników
doświadczenia losowego
(przestrzeń zdarzeń
elementarnych), ozn. &!
" zdarzenie losowe, ozn. A
4
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia cd.
" alternatywa, koniunkcja zdarzeń
" zdarzenia wykluczajÄ…ce siÄ™
" zdarzenie przeciwne do A, A
" zdarzenie pewne, niemo\
liwe
5
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia cd.
" p-stwo* zdarzenia losowego P(A)
(wzór Laplace a)
" aksjomatyczna definicja p-stwa
Kołmogorowa,
" własności p-stwa
* skrót słowa  prawdopodobieństwo
6
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady doświadczeń losowych
" rzut kostkÄ… do gry
" rzut monetÄ…
" losowanie kuli z urny
" losowanie karty z talii kart
" strzelanie do celu
Mogą być powtarzane wielokrotnie.
7
Anna Rajfura, Matematyka
Doświadczenie losowe - definicja
Doświadczenie losowe to takie
doświadczenie, w którym nie
wiadomo z góry, jaki będzie
wynik, choć wiadomo, jakie
wyniki mogą się pojawić.
Pojedynczy (najprostszy) wynik
doświadczenia losowego nazywa
siÄ™ zdarzeniem elementarnym.
8
Anna Rajfura, Matematyka
Opis matematyczny dośw. los.
Przykład 1.
Doświadczenie losowe D:
rzut monetÄ…
Zdarzenia elementarne: O, R
Zbiór wszystkich zdarzeń
elementarnych:
{ }
O, R
9
Anna Rajfura, Matematyka
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych* to zbiór
wszystkich zdarzeń
elementarnych (wyników
doświadczenia losowego), ozn. &!,
np.:
{
&! = O, R }
" w skrócie  pze
10
Anna Rajfura, Matematyka
Przykład 2
Doświadczenie losowe D:
rzut kostkÄ… do gry
Pze:
{
&! = 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Wszystkie wyniki sÄ… jednakowo
prawdopodobne (kostka jest
rzetelna, symetryczna).
11
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenie losowe A - przykład cd.
A  zdarzenie losowe polegajÄ…ce
na tym, \
e wypadły dokładnie dwa
oczka
{ }
A = 2
W nawiasach podajemy zdarzenia
elementarne sprzyjajÄ…ce
zdarzeniu losowemu A.
12
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenie losowe B - przykład cd.
B  zdarzenie losowe polegajÄ…ce
na tym, \
e wypadły co najmniej
cztery oczka
{
B = 4, 5, 6 }
W nawiasach podano zdarzenia
elementarne sprzyjajÄ…ce
zdarzeniu losowemu B.
13
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe - przykład cd.
Uwaga
Zdarzenia losowe A, B sÄ…
podzbiorami przestrzeni zdarzeń
elementarnych &!:
A ‚" &!, B ‚" &!
14
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe - terminologia
Zdarzenia losowe opisuje siÄ™ w terminach
teorii mnogości (tak, jak zbiory).
Niech &!  pze; A, B  zdarzenia
losowe
A ‚" &! , B ‚" &!
15
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" alternatywa zdarzeń A, B to
A *" B
suma zbiorów A, B, ozn.:
" koniunkcja zdarzeń A, B to
A )" B
iloczyn zbiorów A, B , ozn.:
16
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" zdarzenia wykluczajÄ…ce siÄ™ A, B
to A, B są zbiorami rozłącznymi,
A )" B = "
zapis:
17
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" zdarzenie przeciwne do A to
dopełnienie zbioru A, ozn. A'
A' = &!  A
18
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" zdarzenie pewne to zbiór &!,
" zdarzenie niemo\
liwe to zbiór
pusty, ozn.
"
19
Anna Rajfura, Matematyka
P-stwo zdarzenia losowego
Przykład
Doświadczenie losowe D - rzut
kostkÄ… do gry. Pze:
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Liczebność zbioru &!, ozn.:
&!
(moc zbioru &!):
&! = 6
20
Anna Rajfura, Matematyka
P-stwo zdarzenia losowego
Przykład cd. Doświadczenie
losowe D - rzut kostkÄ… do gry
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
&! = 6
{ } { }
A = 2 , A = 1, B = 4, 5, 6 , B = 3
Jak obliczyć p-stwo zdarzeń A, B?
21
Anna Rajfura, Matematyka
Wzór Laplace a
P-stwo zdarzenia losowego A,
ozn.: P(A)
Wzór Laplace'a (1812), klasyczna
definicja p-stwa:
A
P(A) =
&!
Komentarz o  definicji i warunkach stosowania wzoru.
22
Anna Rajfura, Matematyka
Przykład cd.
&! = 6 , A = 1 , B = 3
A 1
P(A) = = = 0,167 = 16,(7) %
6
&!
B 3
P(B) = = = 0,5 = 50 %
6
&!
Inne przykłady.
23
Anna Rajfura, Matematyka
Definicja aksjomatyczna p-stwa
Kołmogorowa (1933)
P-stwo zdarzenia losowego A, dla
A ‚" &! ,
ma spełniać następujące
warunki (aksjomaty):
1. P(A) e" 0,
2. P(&!) = 1,
3. P(A *" A *" K) = P(A )+ P(A )+ L
1 2 1 2
gdzie A1, A2, ... - zdarzenia losowe
wykluczajÄ…ce siÄ™.
24
Anna Rajfura, Matematyka
Pojęcie zmiennej losowej
25
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa - przykład
Je\
eli w rzucie kostkÄ… wypadnie
więcej ni\
4 oczka, to gracz G
dostaje 10 zł, w przeciwnym razie
płaci 1 zł.
Dośw. losowe D - rzut kostką.
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
26
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa  przykład cd.
Dośw. losowe D - rzut kostką.
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Wygrana gracza G ....
27
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa  przykład cd.
Dośw. losowe D - rzut kostką.
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Wygrana gracza G to zmienna
losowa, ozn.: X
28
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa  przykład cd.
D
wyniki dośw. D:
1 2 3 4 5 6
wartości zm. los. X:
-1 -1 -1 -1 10 10
wartości xi: -1 10
p-stwo pi: 4/6 = 2/3 2/6 = 1/3
29
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa - definicja
Zmienna losowa to funkcja, która
wynikom doświadczenia losowego
przyporządkowuje wartości
liczbowe.
Ozn.: X, Y, Z, ..., X1, X2, X3, ...
X : wynik liczba
30
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej
Przykład
Zmienna losowa X  wygrana
gracza G w grze w kostkÄ™.
wartości xi: -1 10
Tabelka:
:
:
:
p-stwo pi: 2/3 1/3
przedstawia rozkład wartości
zmiennej losowej X.
31
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej
Przykład cd.
Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi
* w skrócie frp
32
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej
Przykład cd.
Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi
p-stwo pi
Frp (tak\
e jej
wykres) przedstawia
rozkład wartości
2/3
2/3
2/3
2/3
zmiennej losowej X.
1/3
1/3
1/3
1/3
-1 10
-1 10
-1 10
-1 10
33
Anna Rajfura, Matematyka
wartości xi
wartości xi
wartości xi
wartości xi
Dystrybuanta - definicja
Dystrybuanta zmiennej losowej X:
def
FX (t) = P(X d" t), t " R
34
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres dystrybuanty  przykład
35
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres dystrybuanty  przykład
FX (t)
1
2/3
-1
10
0
0
0
t
36
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
Rozkład zmiennej losowej
skokowy ciągły
(dyskretny)
37
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady rozkładów skokowych
" dwupunktowy (0-1)
" równomierny
" dwumianowy
" Poissona (czyt.: płasona)
38
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład dwupunktowy
Inne nazwy: zero-jedynkowy, 0-1.
wartości xi 0 1
p-stwo pi p0 = 1 - p p1 = p " pi = 1
p  parametr rozkładu 0-1
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
pstwo
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,5 1 1,5
wartości zm. los.X
39
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady rozkładów 0-1
p=0,5 p=0,8
Rozkład 0-1
Rozkład 0-1
pstwo
pstwo
1 1
0,5
0,5
0
0
0 0,5 1 1,5
0 0,5 1 1,5
wartości zm. los. X
wartości zm. los. X
Zadanie. Narysuj wykres dystrybuanty
dla przedstawionych przykładów.
40
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład równomierny
Tabelka:
wartości xi x1 x2 ... xn
p-stwo pi p p ... p " p = 1
zatem p = 1/n
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
pstwo
0,2
0,1
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7
wartości zm. los. X
41
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład dwumianowy B(n, p)
Komentarz.
n, p  parametry rozkładu
Interpretacja parametrów:
n  liczba prób,
p  p-stwo sukcesu w pojedynczej
próbie;
Wartości zm. los.: k = 0, 1, 2, ... , n
ëÅ‚nöÅ‚
n-k
ìÅ‚
p-stwo: Pn(X = k) =
ìÅ‚k÷Å‚ pk(1- p)
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
42
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres frp B(n, p)
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
dla n = 10
pstwo
p = 0,5 p = 0,8
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
wartości zm. los.
43
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład Poissona P()
  parametr rozkładu,  > 0
Wartości zmiennej losowej:
k = 0, 1, 2, ...
P-stwo:
e-k
P (X = k) =
k!
44
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres frp P()
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
0,30
=2
0,25
=10
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0 5 10 15 20 25 30
45
Anna Rajfura, Matematyka
Charakterystyki rozkładu
Charakterystyki (parametry)
- nazwy i oznaczenia
odchylenie
nazwa: średnia
wariancja
standardowe
2
ozn.: EX D2X
D X
46
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu skokowego
X - zmienna losowa skokowa
wartość xi
x1 x2 ... xn
pstwo pi
p1 p2 ... pn
Wartość średnia EX:
EX = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn =
"x pi
i
i
47
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu skokowego
X - zmienna losowa skokowa
wartość xi
x1 x2 ... xn
pstwo pi
p1 p2 ... pn
Wariancja D2X:
2 2 2
D2 X = (x1 - EX ) p1 + (x2 - EX ) p2 + ... + (xn - EX ) pn
2
=
"(x - EX ) pi
i
i
Obliczenia na tablicy.
48
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory
Parametry rozkładu
dwumianowego
EX = np
D 2X = np(1-p)
Parametry rozkładu Poissona
EX = 
D 2X = 
49
Anna Rajfura, Matematyka