Studia stacjonarne II st.
Niezawodność i bezpieczeństwo systemów inżynierskich
Wykład 7
Identyfikacja modeli funkcyjnych
wskaz
ników niezawodności
Prof. dr hab. inż. Marian Kwietniewski
Politechnika Warszawska
Wydział Inżynierii Środowiska
Zakład Zaopatrzenia w Wodę i Odprowadzania Ścieków
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. 1
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail]
Prawdopodobieństwo czasu przebywania obiektu w danym
stanie np. prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy P(t):
" identyfikacja typu rozkładu czasu przebywania obiektu w
danych stanie
" ocena punktowa i przedziałowa parametrów rozkładu.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Prof. Marian
2
Kwietniewski, [e-mail]
Identyfikacja typu rozkładu prawdopodobieństwa
Identyfikacja postaci rozkładu odbywa się na podstawie:
a) wstępnej oceny typu rozkładu na podstawie przesłanek wynikających z
praktycznych zachowań się obiektu,
b) wstępnej oceny rozkładu na podstawie podobieństwa histogramu lub dystrybuanty
empirycznej do postaci gęstości prawdopodobieństwa lub dystrybuanty
odpowiedniego rozkładu teoretycznego (sposób graficzny  siatki rozkładów -
subiektywna ocena),
c) analitycznego zweryfikowania powyższego podobieństwa przy użyciu
odpowiedniego testu zgodności (typowe najczęściej stosowane):
- testu l� (Kołmogorowa-Smirnowa) zalecanego do testowania zgodności rozkładów
zmiennych losowych typu ciągłego
- testu c�2 (Pearsona) nadającego się do testowania zarówno rozkładów zmiennych
losowych typu ciągłego jak i rozkładów zmiennych losowych typu skokowego.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Prof. Marian
3
Kwietniewski, [e-mail]
Test l� (Kołmogorowa-Smirnowa)
W teście l� wyznacza się porównawczą statystykę, będącą maksymalną
różnicą między dystrybuantą empiryczną i teoretyczną
d �� n Ł� l�a�
d �� n
gdzie: - statystyka porównawcza (empiryczna),
d - największe odchylenie rzędnej dystrybuanty empirycznej
od modelowej,
n  liczność próby danych,
l�a� - wartość krytyczna statystyki  Kołmogorowa-Smirnowa na
poziomie istotności ą (odczytana z tablic statystycznych)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Prof. Marian
4
Kwietniewski, [e-mail]
Test c�2 (Pearsona)
W teście c�2 wyznacza się porównawczą statystykę, będącą sumą
kwadratów odchyleń dystrybuanty empirycznej od dystrybuanty
teoretycznej
r
2
i
��(n -� n�� pi )2 Ł�c�a� ,k
n�� pi
i=�1
r
(ni -� �� )2
gdzie: n npipi- - statystyka porównawcza (empiryczna),
��
��
i=�1
r  liczba przedziałów (klas) na jakie podzielono dane w próbie,
n  liczność próby danych,
ni  liczność i-tego przedziału,
pi  częstość empiryczna w przedziale  i
c�a� wartość krytyczna statystyki c�2 na poziomie istotności ą
2, k
i przy k = n-l (l  liczba przedziałów) stopniach
swobody (odczytana z tablic statystycznych)
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Prof. Marian
5
Kwietniewski, [e-mail]
Jeśli warunek jest spełniony to:
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności
rozkładu empirycznego zmiennej losowej z rozkładem
modelowym.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Prof. Marian
6
Kwietniewski, [e-mail]
Przedziały (pasma) ufności dla prawdopodobieństwa
bezawaryjnej pracy
obiektu zidentyfikowanego w postaci rozkładu wykładniczego.
a) dolna granica pasma ufności
1
Pmin (t) =� exp(-� ��t) =� exp(-�l�max ��t)
Tp min
b) górna granica pasma ufności
1
Pmax (t) =� exp(-� ��t) =� exp(-�l�min ��t)
Tp max
gdzie: l� - górna wartość intensywności uszkodzeń z przedziału ufności,
max
- górna wartość średniego czasu pracy między uszkodzeniami z
Tp max
przedziału ufności,
l�min
- dolna wartość intensywności uszkodzeń z przedziału ufności,
- dolna wartość średniego czasu pracy między uszkodzeniami z
Tp
min przedziału ufności,
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Prof. Marian
7
Kwietniewski, [e-mail]
Przedział ufności dla wartości średniej czasu pracy między
uszkodzeniami
P(Tp -� u Ł� Tpr Ł� Tp +� u) =� 1-�a�
gdzie: Tpr  wartość średnia czasu pracy między uszkodzeniami z
populacji,
Tp  oszacowanie wartości średniej na podstawie próby,
u  największe odchylenie oceny parametru Tp od wartości Tpr (bład
oceny wartości średniej)
1  ą  poziom ufności tj. prawdopodobieństwo, że wartość
średnia Tpr będzie się mieścić w przedziale (Tp  u, Tp +u),
ą  poziom istotności oznaczający prawdopodobieństwo tego,
że wartość średnia nie znajdzie się w podanym wyżej
przedziale .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Prof. Marian Kwietniewski, [e-mail] 8