Temat:
Rozkłady skokowe
i ciągłe
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
1
Anna Rajfura, Matematyka
Zagadnienia
1. Przypomnienie:
a. zmienna losowa
b. rozkład zmiennej losowej
2. Rozkłady skokowe
3. Rozkłady ciągłe
4. Parametry rozkładów
2
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
3
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
Doświadczenie losowe to takie
doświadczenie, w którym nie
wiadomo z góry, jaki będzie
wynik, choć wiadomo, jakie
wyniki mogą się pojawić.
4
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych* to zbiór
wszystkich zdarzeń
elementarnych (wyników
doświadczenia losowego), ozn. &!.
* w skrócie  pze
*
*
*
5
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
Zmienna losowa to funkcja, która
wynikom doświadczenia losowego
przyporządkowuje wartości
liczbowe.
Ozn.: X, Y, Z, ..., X1, X2, X3, ...
X : wynik liczba
6
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie przykładu
Je\
eli w rzucie kostkÄ… wypadnie
więcej ni\
4 oczka, to gracz G
dostaje 10 zł, w przeciwnym razie
płaci 1 zł.
Dośw. losowe D - rzut kostką
Zm. losowa X  wygrana gracza G
7
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie przykładu
D
wyniki dośw. D:
1 2 3 4 5 6
wartości zm. los. X:
-1 -1 -1 -1 10 10
8
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
Opisujemy zmiennÄ… losowÄ…
podając jej rozkład wartości
(wymieniamy wartości liczbowe,
jakie przyjmuje zmienna losowa
oraz p-stwa, z jakimi przyjmuje te
wartości).
9
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
Rozkład wartości zmiennej
losowej X mo\
na podać w postaci:
" tabelki
" funkcji rozkładu p-stwa
" funkcji dystrybuanty
10
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie przykładu
Zmienna losowa X  wygrana
gracza G w grze w kostkÄ™.
Rozkład wartości zmiennej
losowej X przedstawia tabelka:
wartości xi: -1 10
p-stwo pi: 2/3 1/3
11
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie przykładu
Rozkład wartości zm. los. X
przedstawia funkcja rozkładu
p-stwo
p-stwa f (xi)=pi :
p
2/3
2/3
2/3
2/3
1/3
1/3
1/3
1/3
-1 10
-1 10
-1 10
-1 10
wartości
wartości
wartości
wartości
12
Anna Rajfura, Matematyka
x
x
x
x
Przypomnienie przykładu
Rozkład wartości zmiennej
losowej X przedstawia funkcja
dystrybuanty
def
FX(t) = P(X d" t), t "R
13
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres dystrybuanty  przykład
FX (t)
1
2/3
-1
10
0
0
0
t
14
Anna Rajfura, Matematyka
Komentarz
Ró\
nie określone zmienne losowe
X, Y, nawet z ró\
nych
doświadczeń losowych DX, DY
i przestrzeni &!X, &!Y, mogą mieć
jednakowe rozkłady (przykład na
tablicy). Dlatego mo\
na badać
własności samych rozkładów,
pomijając słowny opis zmiennej
losowej.
15
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
16
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
Rozkład
skokowy ciągły
(dyskretny)
17
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady rozkładów skokowych
" dwupunktowy (0-1)
" równomierny
" dwumianowy
" Poissona (czyt.: płasona)
18
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład dwupunktowy
19
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład dwupunktowy
Inne nazwy: zero-jedynkowy, 0-1.
wartości xi 0 1
p-stwo pi 1 - p p " pi = 1
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
pstwo
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,5 1 1,5
wartości zm. los.X
20
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady rozkładów 0-1
p=0,5 p=0,8
Rozkład 0-1
Rozkład 0-1
pstwo
pstwo
1 1
0,5
0,5
0
0
0 0,5 1 1,5
0 0,5 1 1,5
wartości zm. los. X
wartości zm. los. X
Zadanie*
Narysuj wykres dystrybuanty dla
przedstawionych przykładów.
21
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład równomierny
22
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład równomierny
Tabelka:
wartości xi x1 x2 ... xn
p-stwo pi p p ... p " p = 1
zatem p = 1/n
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
pstwo
0,2
0,1
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7
wartości zm. los. X
23
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład dwumianowy B(n, p)
24
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład dwumianowy B(n, p)
Wartości zm. los.:
0, 1, 2, ... , n
ëÅ‚nöÅ‚
n-k
ìÅ‚
Pn(X = k) =
P-stwo:
ìÅ‚k÷Å‚ pk(1- p)
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
W tym wzorze: k przyjmuje
wartości zmiennej losowej.
n, p  parametry rozkładu
25
Anna Rajfura, Matematyka
* Interpretacja parametrów
W schemacie n doświadczeń
niezale\
nych Bernoulliego:
n  liczba prób
p  p-stwo sukcesu w pojedynczej
próbie
26
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres frp B(n, p)
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
dla n = 10
pstwo
p = 0,5 p = 0,8
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
wartości zm. los.
27
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład Poissona P()
28
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład Poissona P()
Wartości zm. los.: 0, 1, 2, ...
e-k
P (X = k) =
P-stwo:
k!
W tym wzorze: k przyjmuje
wartości zmiennej losowej.
  parametr rozkładu,  > 0
29
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres frp P()
Wykres funkcji rozkładu p-stwa
0,30
=2
0,25
=10
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0 5 10 15 20 25 30
30
Anna Rajfura, Matematyka
Charakterystyki rozkładu
Nazwy i oznaczenia:
odchylenie
nazwa: średnia
wariancja
standardowe
2
ozn.: EX D2X
D X
31
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu skokowego
X - zmienna losowa skokowa
wartość xi
x1 x2 ... xn
pstwo pi
p1 p2 ... pn
Wartość średnia EX:
EX = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn =
"x pi
i
i
32
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu skokowego
X - zmienna losowa skokowa
wartość xi
x1 x2 ... xn
pstwo pi
p1 p2 ... pn
Wariancja D2X:
2 2 2
D2 X = (x1 - EX ) p1 + (x2 - EX ) p2 + ... + (xn - EX ) pn
2
=
"(x - EX ) pi
i
i
Obliczenia na tablicy.
33
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory
Charakterystyki rozkładu
dwumianowego
EX = np
D 2X = np(1-p)
Charakterystyki rozkładu
Poissona
EX = 
D 2X = 
34
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
Rozkład
skokowy ciągły
(dyskretny)
Przykłady:
" dwupunktowy (0-1)
" równomierny
" dwumianowy
" Poissona
Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego.
35
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład ciągły
36
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej ciągłej
Rokład zmiennej losowej X ciągłej
mo\
na przedstawić za pomocą:
" funkcji gęstości p-stwa (fgp)
y = f(x)
" funkcji dystrybuanty:
def
FX (t) = P(X d" t)
37
Anna Rajfura, Matematyka
Funkcja gęstości p-stwa  idea
38
Anna Rajfura, Matematyka
Funkcja gęstości p-stwa - idea
Funkcja gęstości p-stwa zmiennej
losowej X: y = f (x )
f (x)
wartości zmiennej losowej X
39
Anna Rajfura, Matematyka
* Funkcja gęstości p-stwa  def.
Funkcja gęstości p-stwa (fgp)
zmiennej losowej X, ozn.: y = f (x),
to funkcja spełniająca warunki:
1. wykres le\
y nad lub na osi OX
2. pole obszaru ograniczonego
z góry wykresem funkcji,
a z dołu osią OX jest równe 1
40
Anna Rajfura, Matematyka
* Funkcja gęstości p-stwa  def.
Funkcja gęstości p-stwa (fgp)
zmiennej losowej X, ozn.: y = f (x),
to funkcja spełniająca warunki:
1. f(x) e" 0 dla ka\
dego x " Df
+"
2.
+"f(x) dx = 1
-"
41
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenie losowe
Wykres fgp y = f (x)
Zdarzenie losowe
f (x)
X " a ; b
"
"
"
a b
wartości zmiennej losowej X
42
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe - przykłady
Przykłady (przy a < b):
X " a , b
"
"
"
( )
( )
(
X " a , b )
" ( )
"
"
) (
) (
X " a , b ) (
" ) (
"
" X " a , b
" "
"
(
(
(
(
X " - " , a
" - "
" - "
" - "
( )
(
( )
(
X " - " , a )
" - " )
" - "
" - "
)
)
)
)
X " a , + "
" + "
" + "
" + "
( )
( )
( )
)
X " a , + "
" ( + "
" + "
" + "
{ }
{ }
{ }
{ }
X " a , a = a
" =
" =
" =
43
Anna Rajfura, Matematyka
P-stwo na wykresie fgp
Wykres fgp y = f (x )
P-stwo zdarzenia
losowego (a ; b) 
zakreskowane pole
f(x)
a b
wartości zmiennej losowej X
44
Anna Rajfura, Matematyka
P-stwo zdarzenia losowego
Zdarzenie losowe:
X " a , b
P-stwo zdarzenia losowego:
b
P { X " a , b }=
+"f(x) dx
a
45
Anna Rajfura, Matematyka
Dystrybuanta - definicja
Dystrybuanta zmiennej losowej X,
ozn.: FX (t)
def
FX (t) = P{ X d" t }= L
46
Anna Rajfura, Matematyka
Dystrybuanta - definicja
Dystrybuanta zmiennej losowej X,
ozn.: FX (t)
t
def
FX (t) = P{ X d" t }=
+"f(x) dx
-"
47
Anna Rajfura, Matematyka
Dystrybuanta  wykres
FX (t)  dystrybuanta zm. los. X
F(t)
1
F(a)
0 a
t
48
Anna Rajfura, Matematyka
* Dystrybuanta  własności
FX (t)  dystrybuanta zm. los. X
1.
( )
( )
( ) =
( )
limFX t = 0
=
=
t-"
-"
-"
-"
2.
( )
( )
( ) =
( )
limFX t = 1
=
=
t+"
+"
+"
+"
3. FX (t) jest funkcjÄ… niemalejÄ…cÄ…
4. FX(t) jest funkcjÄ… (prawostronnie)
ciągłą
49
Anna Rajfura, Matematyka
Dystrybuanta na wykresie fgp
t
def
FX (t) = P(X d" t) =
+"f(x) dx
-"
f(x)
t
wartości zmiennej losowej X
50
Anna Rajfura, Matematyka
Dystrybuanta na wykresie fgp
t
def
FX(t) = P(X d" t) = f(x) dx
= d" =
= d" =
= d" =
+"
+"
+"
+"
-"
-"
-"
-"
f(x)
zakreskowane pole
t
wartości zmiennej losowej X
51
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady rozkładów ciągłych
52
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady rozkładów ciągłych
" jednostajny na odcinku (a,b)
" normalny
53
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład jednostajny na odcinku (a ; b)
Wzór fgp:
1
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
( )
( )
( )
" ( )
"
"
ôÅ‚b - a dla x " a ,b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
-
-
-
f(x) =
=
=
=
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
f(x)
ôÅ‚0 dla x " a ,b
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
( )
( )
( )
" ( )
"
"
ół
ół
ół
ół
1
1/(b-a)
a b
0
x
54
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład normalny
55
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład normalny
Wzór fgp:
( x -µ)2
-
1
2Ã2
f(x) = e
2Ä„ Ã
x " R
56
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład normalny
Parametry w rozkładzie
normalnym:
µ (czyt.: mi)
à (czyt.: sigma)
µ " R
à > 0
57
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład normalny  wykres fgp
f(x)
µ=2, Ã=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
krzywa Gaussa
Własności matematyczne.
58
Anna Rajfura, Matematyka
Parametr µ
µ = -4 Ã = 2
f(x)
µ = 2 Ã = 2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
x
59
Anna Rajfura, Matematyka
Parametr Ã
µ = 2 Ã = 1
µ = 2 Ã = 3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
60
Anna Rajfura, Matematyka
Oznaczenia
Wyra\
enie:
zmienna losowa X ma rozkład
normalny z parametrami µ oraz Ã2
zapisujemy:
X ~ N ( µ, Ã 2)
61
Anna Rajfura, Matematyka
Oznaczenia i terminologia
Definicja
Mówimy, \
e zmienna losowa Z ma
rozkład normalny standardowy,
jeÅ›li µ = 0, à = 1.
Zapisujemy:
Z ~ N ( 0, 1)
62
Anna Rajfura, Matematyka
Tablice statystyczne
63
Anna Rajfura, Matematyka
Tablica dystrybuanty F Z (x )
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
:
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
Zadania.
64
Anna Rajfura, Matematyka
* Wzór (1)
Wzór na wyznaczanie wartości
dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego przy u\
yciu
tablic:
Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to:
FZ ( a) = 1  FZ (a) (1)
65
Anna Rajfura, Matematyka
* Wzór (2)
Wzór na standaryzację zmiennej
losowej o dowolnym rozkładzie
normalnym:
JeÅ›li Z~N (0, 1), X~N (µ, Ã2), to:
x0 -µ
( )
FX (x0) = FZ
Ã
(2)
66
Anna Rajfura, Matematyka
* Prawo trzech sigm
JeÅ›li X ~ N( µ, Ã2), to:
P{ X " µ - Ã ; µ + Ã } H" 0,68
P{ X " µ - 2Ã ; µ + 2Ã } H" 0,95
P{ X " µ - 3Ã ; µ + 3Ã } H" 0,9973
Rysunek na tablicy.
67
Anna Rajfura, Matematyka
* Rozkłady z próby
Próba prosta
X1, X2, ... Xn  niezale\
ne zmienne
losowe o jednakowym rozkładzie
68
Anna Rajfura, Matematyka
* Rozkład chi  kwadrat
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn
sÄ…:
" niezale\
ne
" Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n
to X12 + X22 + ...+ Xn2 jest zmiennÄ…
losowÄ… o rozkÅ‚adzie Ç2 z liczbÄ…
stopni swobody n.
Ozn. Ç2 czytamy: chi-kwadrat
69
Anna Rajfura, Matematyka
* Rozkład chi  kwadrat cd.
Fgp dla rozkÅ‚adu Ç2:
0, dla x d" 0,
Å„Å‚
n n x
f(x) =
òÅ‚2 “-1(n x e- , dla x > 0
- -1
2 2 2
)
2
ół
gdzie:
+"
t -1
“(t) =
+"u e-u du, t " R+
0
70
Anna Rajfura, Matematyka
* Rozkład chi  kwadrat cd.
Wykres fgp dla rozkÅ‚adu Ç2:
Chi-Square Distribution
0,25 Deg. of freedom
3
0,2 10
50
0,15
0,1
0,05
0
0 20 40 60 80 100
x
71
Anna Rajfura, Matematyka
density
* Rozkład t-Studenta
Jeśli zmienne losowe X0, X1, ..., Xn
sÄ…:
" niezale\
ne
" Xi~N (0, 1), i = 1, 2, ..., n
X
0
2 2 2
1
to jest
( X + X + K + X )
n
n
1 2
zmienną losową o rozkładzie
t-Studenta z liczbÄ… stopni
swobody n.
72
Anna Rajfura, Matematyka
* Rozkład t-Studenta cd.
Wykres fgp dla rozkładu t  Studenta:
Student's t Distribution
0,4 Deg. of freedom
10
50
0,3
0,2
0,1
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
73
Anna Rajfura, Matematyka
density
* Rozkład F Fishera  Snedecora
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ...,
Xn oraz Y1, Y2, ..., Ym sÄ…:
" niezale\
ne
" Xi, Yj~N(0, 1)
2 2 2
1
( X + X + K + X )
n
n
1 2
2 2
1
to jest
(Y12 + Y + K + Y )
m
m
2
zmienną losową o rozkładzie
F Fishera  Snedecora z liczbami
stopni swobody n i m.
74
Anna Rajfura, Matematyka
* Rozkład F Fishera  Snedecora
Wykres fgp dla rozkładu F
F (variance ratio) Distribution
1,5 Numerator d.f,Denomin
10,10
1,2 50,40
0,9
0,6
0,3
0
0 1 2 3 4 5
x
75
Anna Rajfura, Matematyka
density
Charakterystyki rozkładu
Nazwy i oznaczenia:
odchylenie
nazwa: średnia
wariancja
standardowe
2
ozn.: EX D2X
D X
76
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu ciągłego
X - zmienna losowa ciągła
fgp y = f (x)
+"
EX = x f(x) dx
+"
-"
+"
2
D2X =
+"(x - EX) f(x) dx
-"
77
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu normalnego
Wzory na charakterystyki
rozkładu normalnego
EX = µ
D2X = Ã2
78
Anna Rajfura, Matematyka