Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2009/10, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 4: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady
Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przy-
bliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Definicja.
Zmienna losowa dyskretna (in. o rozkładzie dyskretnym)
to taka zmienna losowa, która przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem jedynie skoń-
czoną lub nieskończoną przeliczalną liczbę różnych wartości.
Technika określania rozkładu
dyskretnej zmiennej losowej X:
Pełna informacja o rozkładzie dyskretnej zmiennej losowej X zawarta jest w ciągu par
{(xn, pn), n " T ‚" N},
gdzie {xn, n " T} to ciąg wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną losową X z
dodatnim prawdopodobieństwem, natomiast pn = P (X = xn), n " T.
Z ciągu tego możemy dostać informację o wartości funkcji PX(B) dla dowolnego zbioru
borelowskiego B:
PX(B) = P (X " B) = pn,
n"TB
gdzie TB to zbiór tych n, dla których xn " B. W szczególności, dystrybuanta ma postać
F (x) = P (X < x) = pn,
n"T(x)
gdzie T(x) to zbiór tych n, dla których xn < x. Inaczej mówiąc, zmienna losowa ma
rozkład dyskretny wtedy i tylko wtedy, gdy jej dystrybuanta jest funkcją schodkową.
Schodki są w punktach x1, x2, . . . i mają wysokości odpowiednio p1, p2, . . .
1
CiÄ…g {(xn, pn), n " T ‚" N speÅ‚nia nastÄ™pujÄ…ce warunki:
" {xn, n " T} to ciąg różnowartościowy;
" pn 0 dla każdego n " T;
" pn = 1.
n"T
Jeżeli pewien ciÄ…g {(xn, pn), n " T ‚" N speÅ‚nia te warunki, to dla pewnej zmiennej
losowej X mamy pn = P (X = xn). CiÄ…g ten ma wtedy probabilistycznÄ… interpretacjÄ™,
reprezentację, może być używany w modelach do definiowania rozkładu dyskretnego.
Przykład: X - zachowanie dziewczyny, gdy jej chłopak spóznia sie na randkę, opisane licz-
bowo: X = -1 - gniewa się; X = 0 - nie zauważa; X = 1 - cieszy się, że wreszcie przyszedł:
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
p
3
0.3
0.2
p
p 2
0.1
1
0
-0.1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
1.1
1
F(x)
0.9
0.8
0.7 p 3
0.6
0.5
0.4
0.3
p
0.2 2
0.1 p 1
x
0
-0.1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Przykłady do zad. 3.1
2
Schemat Bernoulliego
Schemat Bernoulliego modeluje sytuację, w której:
1. Wykonujemy doświadczenie, w którym możliwe są dwa wyniki. Jeden z tych wyników
nazywamy sukcesem, drugi porażką. Szansa na wynik sukces wynosi p.
2. Doświadczenie możemy powtarzać bez zmiany warunków, niezależnie.
Plan I: Wykonamy n takich doświadczeń i zliczymy ilość sukcesów. Oznaczmy ilość
sukcesów przez X. Przed realizacją eksperymentu nie wiemy, jaka jest ta liczba. Wiemy
natomiast, że możliwe wartości X to 0, 1, 2, . . . , n oraz że dla k z tego zbioru możliwych
wartości prawdopodobieństwo, że w n próbach otrzymamy dokładnie k sukcesów wynosi
n
pk(1 - p)n-k.
k
Ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego X to dyskretna zmienna losowa.
Po wykonaniu planu otrzymamy konkretnÄ… liczbÄ™ - realizacjÄ™ tej zmiennej losowej.
X ma rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego)
z parametrami n"N i 0
n
xk = k, pk = P (X = k) = pk(1 - p)n-k dla k = 0, 1, . . . , n.
k
B(1, p) nazywamy rozkładem zerojedynkowym z parametrem p.
3
Plan II: Będziemy wykonywać kolejne doświadczenia tak długo aż pojawi się wynik
sukces . Oznaczmy przez Y ilość wykonanych doświadczeń, czyli czas oczekiwania na
pierwszy sukces. Przed realizacją eksperymentu nie wiemy, jaka jest ta ilość. Wiemy na-
tomiast, że możliwe wartości Y to 1, 2, . . . oraz że dla k z tego zbioru możliwych wartości
prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces pojawi się w k-tej próbie wynosi p(1 - p)k-1.
Y to czas oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu prób Bernoulliego. Jest to
dyskretna zmienna losowa. Po wykonaniu planu otrzymamy konkretnÄ… liczbÄ™ - realizacjÄ™
tej zmiennej losowej.
Y ma rozkład geometryczny z parametrem 0
xk = k, pk = P (Y = k) = p(1 - p)k-1 dla k = 1, 2, . . .
Plan III: Podobnie okreslimy Z - czas oczekiwania na m-ty sukces w ciągu prób
Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p.
Z ma rozkład ujemny dwumianowy (in. Pascala) z parametrami m"N i 0
w skrócie N B(m, p)
k-1
xk = k, pk = pm(1 - p)k-m dla k = m, m + 1, . . .
m-1
N B(1, p) to znany nam już rozkład geometryczny Geo(p).
Wzór na pk można uogólnić na dowolne m > 0. X nie ma wtedy interpretacji czasu ocze-
kiwania na m-ty sukces. Nazwa rozkład Pascala odnosi się tylko do m " N.
Przykłady do zad. 3.2
4
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona z parametrem > 0; w skrócie P(), definiujemy ciągiem par:
k
xk = k, pk = e- dla k = 0, 1, . . .
k!
Twierdzenie Poissona
(przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego)
Niech Xn oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu pn. Jeżeli pn -0 tak, że npn - > 0, to dla dowolnego ustalonego k " N
n" n"
n k
-
P (Xn = k) = pk(1 - pn)n-k e- = P (Y = k),
n n"
k k!
gdzie Y ma rozkład Poissona P().
Dowód:
n 1 n(n - 1) . . . (n - k + 1) npn n
pk(1 - pn)n-k = · (npn)k 1 - (1 - pn)-k =
n
k k! nk n
k
1 1 k - 1 npn npn n
-
= · 1 · 1 - . . . 1 - 1 -
n"
k! n n 1 - pn n
k
1 k
-
· 1k · e- = e-.
n"
k! 1 k!
Oszacowanie dokładności przybliżenia
w twierdzeniu Poissona:
Niech Xn oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu p, Y - zmienna losową o rozkładzie Poissona P() z = np. Wtedy dla dowolnego
zbioru borelowskiego B
2
|P (Xn " B) - P (Y " B)| = np2.
n
W praktyce przybliżenie
n k
pk(1 - p)n-k H" e-,
k k!
gdzie = np, stosuje siÄ™ dla n 50, p 0, 1, np 10.
Przykłady do zad. 3.3
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
R Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad5 rozklady ciagleR Pr MAP1151 wyklad8 CTG(1)R Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad7 wektory losoweR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 wyklad3 zmienna los dystrybuantaR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab(1)R Pr MAP1151 wyklad6 srednia(1)R Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkowe(1)R Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkoweR Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 przyklady dyskretne ciagle lista3R Pr MAP1151 przyklady dyskretne ciagle lista3(1)więcej podobnych podstron