Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdo-
podobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geo-
metryczne.
Definicja.
Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (&!, F, P ), gdzie
(a) &! to pewien niepusty zbiór;
(b) F to pewna rodzina podzbiorów zbioru &! o własnościach
" " " F,
" jeżeli A " F, to Ac = &! \ A " F,
"

" jeżeli A1, A2, . . . " F, to An " F;
n=1
(c) P to funkcja, P : F - [0, 1], o własnościach:
" P (&!) = 1 (unormowanie),
" dla A1, A2, . . . " F, parami rozłącznych (tzn. Ai )" Aj = " dla i = j)


" "

P An = P (An) (przeliczalna addytywność).
n=1 n=1
&! zwany jest zbiorem zdarzeÅ„ elementarnych lub przestrzeniÄ… stanów, F to Ã-
ciało zdarzeń losowych, a funkcja P zwana jest prawdopodobieństwem.
1
Zbiór zdarzeń elementarnych &!:
Elementy zbioru &! nazywamy zdarzeniami elementarnymi i oznaczamy zwykle przez É.
Można je interpretować jako możliwe wyniki pewnego doświadczenia. Stąd nazwa  prze-
strzeń stanów dla &!.
Przykłady zbiorów &! w modelach probabilistycznych:
1. zjawisko: awaria urządzenia składającego się z n elementów,
zdarzenie elementarne Éi - i-ty element spowodowaÅ‚ awariÄ™,
&! = {É1, . . . , Én} (zbiór skoÅ„czony).
2. zjawisko: zliczanie przez licznik Geigera-Millera czÄ…stek elementarnych emitowanych
w czasie T przez ciało radioaktywne,
zdarzenie elementarne Éi - zliczono i czÄ…stek,
&! = {É0, É1, . . .} (zbiór nieskoÅ„czony przeliczalny).
3. zjawisko: niezawodność urządzenia, tzn. czas pracy urządzenia do pierwszej awarii,
zdarzenie elementarne Ét - czas pracy urzÄ…dzenia do pierwszej awarii wyniósÅ‚ t
jednostek czasu,
&! = {Ét, t 0} (zbiór nieprzeliczalny).
4. zjawisko: pomiar jednocześnie wagi i wzrostu człowieka,
zdarzenie elementarne Éxy - waga wyniosÅ‚a x kg, wzrost y cm,
&! = {Éxy, x " Z1, y " Z2}, gdzie Z1, Z2 to odpowiednie zakresy np. Z1 = [0, 500] kg,
Z2 = [0, 300] cm (zbiór nieprzeliczalny).
5. zjawisko: rejestr pracy serca w czasie jednej doby,
zdarzenie elementarne Ég - rejestr ma ksztaÅ‚t ciÄ…gÅ‚ej funkcji g,
&! = {Ég, g-to pewna ciÄ…gÅ‚a funkcja } (zbiór nieprzeliczalny).
Rodzina zdarzeń losowych F:
Operacje i działania na zdarzeniach losowych to operacje i działania na zbiorach. Jeżeli
dla A, B " F zachodzi A )" B = ", to mówimy, że zdarzenia A, B wykluczają się.
Dopełnienie zbioru A " F nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Zawsze " " F,
&! " F. " nazywamy zdarzeniem niemożliwym, a &! zdarzeniem pewnym.
2
Własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji:
1. 0 P (A) 1 dla każdego A " F
2. P (") = 0, P (&!) = 1
3. P (Ac) = 1 - P (A)
4. JeÅ›li A ‚" B, to P (A) P (B)
5. P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B) i stÄ…d P (A *" B) P (A) + P (B)
6. JeÅ›li A1, A2, . . . to nierosnÄ…cy ciÄ…g zdarzeÅ„ losowych , tzn. An+1 ‚" An dla każdego
n, to
"

P ( An) = lim P (An)
n"
n=1
7. JeÅ›li A1, A2, . . . to niemalejÄ…cy ciÄ…g zdarzeÅ„ losowych , tzn. An ‚" An+1 dla każdego
n, to
"

P ( An) = lim P (An)
n"
n=1
Przykłady przestrzeni probabilistycznych:
" Trywialna przestrzeń probabilistyczna: &! = " - dowolny, F = {", &!}, P (") = 0,

P (&!) = 1.
" SkoÅ„czona przestrzeÅ„ stanów: &! = {É1, . . . , Én} - zbiór skoÅ„czony,
F = 2&! - rodzina wszystkich podzbiorów zbioru &!,
każde prawdopodobieństwo P można wtedy skonstruować w następujący sposób:
1. wybieramy liczby p1, p2, . . . , pn spełniające warunki pi 0 dla każdego i =
n

1, 2, . . . , n oraz pi = 1,
i=1
2. definiujemy P ({Éi}) := pi dla i = 1, 2, . . . , n.
Z własności prawdopodobieństwa mamy wtedy dla dowolnego A " F

P (A) = pi,
{i : Éi"A}
np. dla A = {É2, É5} mamy P (A) = P ({É2}) + P ({É5}) = p2 + p5.
3
Przypadek szczególny - prawdopodobieństwo klasyczne:
p1 = p2 = . . . = pn = 1/n. Wtedy
#A
P (A) = ,
#&!
gdzie #A oznacza liczność zbioru A. Innymi słowy, P (A) to częstość występowania
zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A w zbiorze &! wszystkich zdarzeń
elementarnych. Do określania liczności zbiorów stosujemy kombinatorykę.
Podstawowe wzory kombinatoryczne:
{i1, i2, . . . , ik} - nieuporządkowana k-tka elementów zbioru n-elementowego (kombi-
nacja).
Ilość nieuporządkowanych k-tek bez powtórzeń wynosi

n n!
= , k = 0, 1, . . . , n.
k k!(n - k)!
Ilość nieuporządkowanych k-tek z powtórzeniami wynosi

n + k - 1
, k = 0, 1, . . .
k
(i1, i2, . . . , ik) - uporządkowana k-tka elementów zbioru n-elementowego (wariacja).
Ilość uporządkowanych k-tek bez powtórzeń wynosi
n!
, k = 0, 1, . . . , n.
(n - k)!
(Uporządkowana n-ka bez powtórzeń zwana jest permutacją, ilość permutacji wynosi
n!.)
Ilość uporządkowanych k-tek z powtórzeniami wynosi
nk, k = 0, 1, . . .
Przykłady do zad. 1.1
4
" Przeliczalna przestrzeÅ„ stanów: &! = {É1, É2, . . .} - zbiór nieskoÅ„czony, przeli-
czalny,
F = 2&! - rodzina wszystkich podzbiorów zbioru &!,
każde prawdopodobieństwo P można wtedy skonstruować w następujący sposób:
1. wybieramy ciąg liczbowy p1, p2, . . . spełniający warunki pi 0 dla każdego
"

i = 1, 2, . . . , oraz pi = 1,
i=1
2. definiujemy P ({Éi}) := pi dla i = 1, 2, . . ..
Z własności prawdopodobieństwa mamy wtedy dla dowolnego A " F

P (A) = pi,
{i : Éi"A}
" "

np. dla A = {É3, É6, . . .} mamy P (A) = P ({É3k}) = p3k.
k=1 k=1
Przykłady do zad. 1.2
" Nieprzeliczalna przestrzeń stanów: &! - zbiór nieskończony, nieprzeliczalny,
F ‚" 2&!, na ogół nie sÄ… to wszystkie podzbiory zbioru &!,
nie ma prostego przepisu na określenie prawdopodobieństwa P , dużo zależy od po-
staci zbioru &!.
Szczególny przypadek - prawdopodobieństwo geometryczne:
Def. Zbiory borelowskie w R (R2, R3) to najmniejsza rodzina podzbiorów pro-
stej (płaszczyzny, przestrzeni) o własnościach rodziny F, która zawiera przedziały
(koła, kule).
&! ‚" R- zbiór borelowski np. przedziaÅ‚, F to podzbiory borelowskie zbioru &!.
Definiujemy dla A " F
długość A
P (A) = .
długość &!
&! ‚" R2- zbiór borelowski, F to podzbiory borelowskie zbioru &!.
Definiujemy dla A " F
pole A
P (A) = .
pole &!
&! ‚" R3- zbiór borelowski, F to podzbiory borelowskie zbioru &!.
Definiujemy dla A " F
objętość A
P (A) = .
objętość &!
Przykłady do zad. 1.3
5