Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 6: Wartość oczekiwana, wariancja, kwan-
tyle rzędu q. Standaryzacja rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana (in. wartość średnia)
ńł

�ł xnpn, gdy X ma rozkład dyskretny
�ł
�ł
"
�ł
n"T
�ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
EX = xdF (x) =
�ł "

�ł
�ł
-" �ł
xf(x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
ół
-"
Wartość oczekiwana istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
Przykłady:
Rozkład Bernoulliego: Dla X o rozkładzie B(n, p) mamy

n n

n n - 1
EX = k pk(1 - p)n-k = np pk-1(1 - p)n-1-(k-1) =
k k - 1
k=0 k=1

n-1

n - 1
= np pl(1 - p)n-1-l = np(p + 1 - p)n-1 = np.
l
l=0
Rozkład wykładniczy: Dla X o rozkładzie Exp() mamy
" "

1 1 1
EX = xe-xdx = t2-1e-tdt = � �(2) = .
  
0 0
Kwantyle rzędu q, 0 < q < 1.
Mediana (in. wartość środkowa), kwartyle.
Kwantyl rzędu q to taki punkt xq, dla którego
F (xq) q lim F (x).
xxq
Jeśli dystrybuanta jest funkcją ciągłą, to warunek ten upraszcza się do
F (xq) = q.
Mediana to x0,5, kwantyl rzędu q = 0, 5.
Kwartyle to x0,25 i x0,75, kwantyle rzędu q = 0, 25 i q = 0, 75.
Zarówno mediana jak wartość oczekiwana są miarami położenia
rozkładu zmiennej losowej X.
1
Wariancja (in. dyspersja)
D2X = EX2 - (EX)2 = E(X - EX)2
Inne oznaczenie: VarX.
Można pokazać, że
"

D2X = x2dF (x) - (EX)2 =
-"

ńł
�ł x2pn - (EX)2, gdy X ma rozkład dyskretny
�ł n
�ł
�ł
�ł n"T
�ł
�ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
=
"

�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
x2f(x)dx - (EX)2, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
�ł
ół
-"
Inaczej,
"

D2X = (x - EX)2dF (x) =
-"

ńł
�ł (xn - EX)2pn, gdy X ma rozkład dyskretny
�ł
�ł
�ł
�ł n"T
�ł
�ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
=
"

�ł
�ł
�ł
�ł
�ł - EX)2f(x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
(x
�ł
ół
-"
Wariancja istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
"
DX = D2X to odchylenie standardowe.
Wariancja i odchylenie standardowe są miarami rozproszenia rozkładu X.
Fakt:
(a) Zawsze D2X 0.
(b) D2X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P (X = EX) = 1 tzn. gdy X przyjmuje tylko
jedną wartość (identyczną wtedy z wartością oczekiwaną). Taka zmienna losowa
(taki rozkład) nazywana jest zdegenerowaną.
Moment rzędu r > 0, moment centralny rzędu r > 0
EXr, E|X - EX|r, określone wtedy, gdy zbieżne są odpowiednie całki, szeregi.
(Wariancja X to moment centralny rzędu 2.)
Przykłady do zad. 4.1 - 4.2
2
Wartość oczekiwana transformacji zmiennej losowej X:

ńł
�ł g(xn)pn, gdy X ma rozkład dyskretny
�ł
�ł
�ł
�ł n"T
"
�ł

�ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
EY = Eg(X) = g(x)dF (x) =
"

�ł
�ł
�ł
-" �ł
�ł
g(x)f(x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
�ł
ół
-"
o ile całka (szereg) zbieżna.
Wniosek:
Jeśli istnieje EX, to
E(aX + b) = aEX + b
oraz jeśli istnieje D2X, to
D2(aX + b) = a2D2X.
Dowód: D2(aX + b) = E(aX + b - (aEX + b))2 = a2E(X - EX)2 = a2D2X.
Przykłady do zad. 4.3
Rozkład normalny z parametrami m " R i � > 0
w skrócie N (m, �).
(x-m)2
1
2�2
"
Jest to rozkład o gęstości f(x) = e- .
2Ą�
Jeżeli X ma rozkład N (m, �), to EX = m oraz D2X = �2.
X - m
" Jeśli X ma rozkład N (m, �), to ma rozkład N (0, 1),
�
zwany standardowym rozkładem normalnym.
" Dystrybuantę rozkładu N (0, 1) oznaczamy zwykle Ś(x).
Wartości Ś(x) dla 0 x 4, 417 znajdują się w tablicach,
dla większych x wartość Ś(x) to prawie 1.
Natomiast dla x < 0 stosujemy wzór Ś(-x) = 1 - Ś(x).
Carl Gauss (1777-1855), Niemiec, zastosował ten rozkład do losowych błędów.
Wcześniej rozkład był wprowadzony przez A. de Moivre a w 1733 r.
Nazwa  normalny wprowadzona przez H. PoincarŁ.
Przykłady do zad. 4.4
3