Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 4: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady
Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przy-
bliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Definicja.
Zmienna losowa dyskretna (in. o rozkładzie dyskretnym)
to taka zmienna losowa, która przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem jedynie skoń-
czoną lub nieskończoną przeliczalną liczbę różnych wartości.
Technika określania rozkładu
dyskretnej zmiennej losowej X:
Pełna informacja o rozkładzie dyskretnej zmiennej losowej X zawarta jest w ciągu par
{(xn, pn), n " T ‚" N},
gdzie {xn, n " T} to ciąg wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną losową X z
dodatnim prawdopodobieństwem, natomiast pn = P (X = xn), n " T.
Z ciągu tego możemy dostać informację o wartości funkcji PX(B) dla dowolnego zbioru
borelowskiego B:

PX(B) = P (X " B) = pn,
n"TB
gdzie TB to zbiór tych n, dla których xn " B. W szczególności, dystrybuanta ma postać

F (x) = P (X < x) = pn,
n"T(x)
gdzie T(x) to zbiór tych n, dla których xn < x. Inaczej mówiąc, zmienna losowa ma
rozkład dyskretny wtedy i tylko wtedy, gdy jej dystrybuanta jest funkcją schodkową.
Schodki są w punktach x1, x2, . . . i mają wysokości odpowiednio p1, p2, . . .
1
CiÄ…g {(xn, pn), n " T ‚" N speÅ‚nia nastÄ™pujÄ…ce warunki:
" {xn, n " T} to ciąg różnowartościowy;
" pn 0 dla każdego n " T;

" pn = 1.
n"T
Jeżeli pewien ciÄ…g {(xn, pn), n " T ‚" N speÅ‚nia te warunki, to dla pewnej zmiennej
losowej X mamy pn = P (X = xn). CiÄ…g ten ma wtedy probabilistycznÄ… interpretacjÄ™,
reprezentację, może być używany w modelach do definiowania rozkładu dyskretnego.
Przykład: X - zachowanie dziewczyny, gdy jej chłopak spóz
nia sie na randkÄ™, opisane licz-
bowo: X = -1 - gniewa się; X = 0 - nie zauważa; X = 1 - cieszy się, że wreszcie przyszedł:
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
p
3
0.3
0.2
p
p 2
0.1
1
0
-0.1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
1.1
1
F(x)
0.9
0.8
0.7 p 3
0.6
0.5
0.4
0.3
p
0.2 2
0.1 p 1
x
0
-0.1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Przykłady do zad. 3.1
2
Schemat Bernoulliego
Schemat Bernoulliego modeluje sytuację, w której:
1. Wykonujemy doświadczenie, w którym możliwe są dwa wyniki. Jeden z tych wyników
nazywamy sukcesem, drugi porażką. Szansa na wynik  sukces wynosi p.
2. Doświadczenie możemy powtarzać bez zmiany warunków, niezależnie.
Plan I: Wykonamy n takich doświadczeń i zliczymy ilość sukcesów. Oznaczmy ilość
sukcesów przez X. Przed realizacją eksperymentu nie wiemy, jaka jest ta liczba. Wiemy
natomiast, że możliwe wartości X to 0, 1, 2, . . . , n oraz że dla k z tego zbioru możliwych
wartości prawdopodobieństwo, że w n próbach otrzymamy dokładnie k sukcesów wynosi

n
pk(1 - p)n-k.
k
Ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego X to dyskretna zmienna losowa.
Po wykonaniu planu otrzymamy konkretnÄ… liczbÄ™ - realizacjÄ™ tej zmiennej losowej.
X ma rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego)
z parametrami n"N i 0
n
xk = k, pk = P (X = k) = pk(1 - p)n-k dla k = 0, 1, . . . , n.
k
B(1, p) nazywamy rozkładem zerojedynkowym z parametrem p.
3
Plan II: Będziemy wykonywać kolejne doświadczenia tak długo aż pojawi się wynik
 sukces . Oznaczmy przez Y ilość wykonanych doświadczeń, czyli czas oczekiwania na
pierwszy sukces. Przed realizacją eksperymentu nie wiemy, jaka jest ta ilość. Wiemy na-
tomiast, że możliwe wartości Y to 1, 2, . . . oraz że dla k z tego zbioru możliwych wartości
prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces pojawi się w k-tej próbie wynosi p(1 - p)k-1.
Y to czas oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu prób Bernoulliego. Jest to
dyskretna zmienna losowa. Po wykonaniu planu otrzymamy konkretnÄ… liczbÄ™ - realizacjÄ™
tej zmiennej losowej.
Y ma rozkład geometryczny z parametrem 0xk = k, pk = P (Y = k) = p(1 - p)k-1 dla k = 1, 2, . . .
Plan III: Podobnie okreslimy Z - czas oczekiwania na m-ty sukces w ciągu prób
Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p.
Z ma rozkład ujemny dwumianowy (in. Pascala) z parametrami m"N i 0w skrócie N B(m, p)

k-1
xk = k, pk = pm(1 - p)k-m dla k = m, m + 1, . . .
m-1
N B(1, p) to znany nam już rozkład geometryczny Geo(p).
Wzór na pk można uogólnić na dowolne m > 0. X nie ma wtedy interpretacji czasu ocze-
kiwania na m-ty sukces. Nazwa  rozkład Pascala odnosi się tylko do m " N.
Przykłady do zad. 3.2
4
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona z parametrem  > 0; w skrócie P(), definiujemy ciągiem par:
k
xk = k, pk = e- dla k = 0, 1, . . .
k!
Twierdzenie Poissona
(przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego)
Niech Xn oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu pn. Jeżeli pn -0 tak, że npn - > 0, to dla dowolnego ustalonego k " N
n" n"

n k
-
P (Xn = k) = pk(1 - pn)n-k e- = P (Y = k),
n n"
k k!
gdzie Y ma rozkład Poissona P().
Dowód:


n 1 n(n - 1) . . . (n - k + 1) npn n
pk(1 - pn)n-k = · (npn)k 1 - (1 - pn)-k =
n
k k! nk n
k

1 1 k - 1 npn npn n
-
= · 1 · 1 - . . . 1 - 1 -
n"
k! n n 1 - pn n
k
1  k
-
· 1k · e- = e-.
n"
k! 1 k!
Oszacowanie dokładności przybliżenia
w twierdzeniu Poissona:
Niech Xn oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu p, Y - zmienna losową o rozkładzie Poissona P() z  = np. Wtedy dla dowolnego
zbioru borelowskiego B
2
|P (Xn " B) - P (Y " B)| = np2.
n
W praktyce przybliżenie

n k
pk(1 - p)n-k H" e-,
k k!
gdzie  = np, stosuje siÄ™ dla n 50, p 0, 1, np 10.
Przykłady do zad. 3.3
5