Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2009/10, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 6: Wartość oczekiwana, wariancja, kwan-
tyle rzędu q. Standaryzacja rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana (in. wartość średnia)
ńł
ł xnpn, gdy X ma rozkład dyskretny
ł
ł
"
ł
n"T
ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
EX = xdF (x) =
ł "
ł
ł
-" ł
xf(x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
ół
-"
Wartość oczekiwana istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
Przykłady:
Rozkład Bernoulliego: Dla X o rozkładzie B(n, p) mamy
n n
n n - 1
EX = k pk(1 - p)n-k = np pk-1(1 - p)n-1-(k-1) =
k k - 1
k=0 k=1
n-1
n - 1
= np pl(1 - p)n-1-l = np(p + 1 - p)n-1 = np.
l
l=0
Rozkład wykładniczy: Dla X o rozkładzie Exp() mamy
" "
1 1 1
EX = xe-xdx = t2-1e-tdt = (2) = .
0 0
Kwantyle rzędu q, 0 < q < 1.
Mediana (in. wartość środkowa), kwartyle.
Kwantyl rzędu q to taki punkt xq, dla którego
F (xq) q lim F (x).
xxq
Jeśli dystrybuanta jest funkcją ciągłą, to warunek ten upraszcza się do
F (xq) = q.
Mediana to x0,5, kwantyl rzędu q = 0, 5.
Kwartyle to x0,25 i x0,75, kwantyle rzędu q = 0, 25 i q = 0, 75.
Zarówno mediana jak wartość oczekiwana są miarami położenia
rozkładu zmiennej losowej X.
1
Wariancja (in. dyspersja)
D2X = EX2 - (EX)2 = E(X - EX)2
Inne oznaczenie: VarX.
Można pokazać, że
"
D2X = x2dF (x) - (EX)2 =
-"
ńł
ł x2pn - (EX)2, gdy X ma rozkład dyskretny
ł n
ł
ł
ł n"T
ł
ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
=
"
ł
ł
ł
ł
ł
x2f(x)dx - (EX)2, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
ł
ół
-"
Inaczej,
"
D2X = (x - EX)2dF (x) =
-"
ńł
ł (xn - EX)2pn, gdy X ma rozkład dyskretny
ł
ł
ł
ł n"T
ł
ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
=
"
ł
ł
ł
ł
ł - EX)2f(x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
(x
ł
ół
-"
Wariancja istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
"
DX = D2X to odchylenie standardowe.
Wariancja i odchylenie standardowe są miarami rozproszenia rozkładu X.
Fakt:
(a) Zawsze D2X 0.
(b) D2X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P (X = EX) = 1 tzn. gdy X przyjmuje tylko
jedną wartość (identyczną wtedy z wartością oczekiwaną). Taka zmienna losowa
(taki rozkład) nazywana jest zdegenerowaną.
Moment rzędu r > 0, moment centralny rzędu r > 0
EXr, E|X - EX|r, określone wtedy, gdy zbieżne są odpowiednie całki, szeregi.
(Wariancja X to moment centralny rzędu 2.)
Przykłady do zad. 4.1 - 4.2
2
Wartość oczekiwana transformacji zmiennej losowej X:
ńł
ł g(xn)pn, gdy X ma rozkład dyskretny
ł
ł
ł
ł n"T
"
ł
ł
zadany ciągiem {(xn, pn), n " T};
EY = Eg(X) = g(x)dF (x) =
"
ł
ł
ł
-" ł
ł
g(x)f(x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x).
ł
ół
-"
o ile całka (szereg) zbieżna.
Wniosek:
Jeśli istnieje EX, to
E(aX + b) = aEX + b
oraz jeśli istnieje D2X, to
D2(aX + b) = a2D2X.
Dowód: D2(aX + b) = E(aX + b - (aEX + b))2 = a2E(X - EX)2 = a2D2X.
Przykłady do zad. 4.3
Rozkład normalny z parametrami m " R i > 0
w skrócie N (m, ).
(x-m)2
1
22
"
Jest to rozkład o gęstości f(x) = e- .
2Ą
Jeżeli X ma rozkład N (m, ), to EX = m oraz D2X = 2.
X - m
" Jeśli X ma rozkład N (m, ), to ma rozkład N (0, 1),
zwany standardowym rozkładem normalnym.
" Dystrybuantę rozkładu N (0, 1) oznaczamy zwykle Ś(x).
Wartości Ś(x) dla 0 x 4, 417 znajdują się w tablicach,
dla większych x wartość Ś(x) to prawie 1.
Natomiast dla x < 0 stosujemy wzór Ś(-x) = 1 - Ś(x).
Carl Gauss (1777-1855), Niemiec, zastosował ten rozkład do losowych błędów.
Wcześniej rozkład był wprowadzony przez A. de Moivre a w 1733 r.
Nazwa normalny wprowadzona przez H. PoincarŁ.
Przykłady do zad. 4.4
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
R Pr MAP1151 wyklad6 srednia(1)R Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 wyklad8 CTG(1)R Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad5 rozklady ciagleR Pr MAP1151 wyklad7 wektory losoweR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 przyklady srednia lista4(1)R Pr MAP1151 wyklad3 zmienna los dystrybuantaR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab(1)R Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkowe(1)R Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretne(1)R Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkoweR Pr MAP1151 przyklady srednia lista4R Pr MAP1151 wyklad8 CTGwięcej podobnych podstron