Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2009/10, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle
rozkładu prawdopodobieństwa. Standaryzacja rozkładu normalnego.
Przykłady do zadania 4.1 :
(a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
n 1 2 3 4
dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli: xn 2 3 4 5
pn 0,1 0,3 0,4 0,2
" EX = 2 · 0, 1 + 3 · 0, 3 + 4 · 0, 4 + 5 · 0, 2 = 3, 7
" D2X = 22 · 0, 1 + 32 · 0, 3 + 42 · 0, 4 + 52 · 0, 2 - (EX)2 = 0, 81
"
( D2X = 0, 9)
" x0,25 = 3, x0,5 = x0,75 = 4
1.5
F(x)
1
1
0.8
0.75
0.5
0.5
0.4
0.25
0.1
x
0
2 4 5
3
x0.25
x0.5
x0.75
-0.5
0 1 2 3 4 5
1
(b) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X, zadanego ciągiem {(xn, pn), n = 1, 2, . . .}, gdzie
2
xn = 2n, pn = , n = 1, 2, . . ..
3n
" " 1

2
3
" EX = xnpn = 2n · = 4 · = 3.
2
1
3n
n=1 n=1
1 -
3
"

x
(Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej: nxn = dla |x| < 1.)
(1 - x)2
n=1

" " " 1

2 8 1 n-1 8 1 +
3
" D2X = x2pn-(EX)2 = (2n)2· -32 = n2· -9 = ·
3 -9 = 3.
n
1
3n 3 3 3
n=1 n=1 n=1
1 -
3
"

1 + x
(Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej: n2xn-1 = dla |x| < 1.)
(1 - x)3
n=1
"
( D2X H" 1, 7230)
" x0,25 = x0,5 = 2, x0,75 = 4
1.5
F(x)
1
26/27
8/9
0.75
2/3
0.5
0.5
0.25
x
0
6
2 4
x0.25
x0.75
x0.5
-0.5
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
2
(c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
n 1 2 3
dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli: -1 5 10
xn
pn 1 1 1
2 3 6
1 1 1 17
" EX = -1 · + 5 · + 10 · = H" 2, 8333
2 3 6 6
1 1 1 629
" D2X = (-1)2 · + 52 · + 102 · - (EX)2 = H" 17, 4722
2 3 6 36
"
( D2X H" 4, 1780)
" x0,25 = -1, x0,5 - dowolna liczba z przedziału [-1, 5], x0,75 = 5
1.5
F(x)
1
1
5/6
0,75
0,5
0.5
1/2
0,25
0
5
-1
10
przedzial
x0,75
x0,25 median
-0.5
0 2 4 6 8 10
3
Przykłady do zadania 4.2 :
(a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
"
3
0 dla x " [0,
/
"3],
ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f(x) =
3
x2 dla x " [0, 3].
"
3
"
"
3
3

" 3
x4 3 3 3

" EX = xf(x)dx = x3dx = = H" 1, 0817

4 4
-" 0
0
"
3
" " "
"
3
3 3 3

" 3
x5 3 3 9 9 9 3 9

" D2X = x2f(x)dx-(EX)2 = x4dx-(EX)2 = = - = H" 0, 0780

5 5 16 80
-" 0
0
"
( D2X H" 0, 2793)
" Dystrybuanta rozkładu X to
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x 0,
ôÅ‚
òÅ‚
x
"

3
x3
F (x) = f(t)dt = dla 0 < x 3,
3
ôÅ‚
"
-" ôÅ‚
ół 3
1 dla x > 3.
"
3
" F (x) = q Ô! x3 = 3q Ô! x = 3q dla 0 < q < 1
" " "
3 3 3
" Zatem x0,25 = 0, 75 H" 0, 9086, x0,5 = 1, 5 H" 1, 1447, x0,75 = 2, 25 H" 1, 3104
(b) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
Å„Å‚
òÅ‚ 0 dla x 1,
ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f(x) = 1
ół
dla x > 1.
3x4/3
" "
dx
" xf(x)dx = - rozbieżna do "
3x4/3
-" 1
Zatem EX nie jest skończona, a D2X nie istnieje
" Dystrybuanta rozkładu X to

x

0 dla x 1,
F (x) = f(t)dt =
1 - x-1/3 dla x > 1.
-"
" F (x) = q Ô! 1 - x-1/3 = q Ô! x = (1 - q)-3 dla 0 < q < 1
" Zatem x0,25 = 0, 75-3 H" 2, 3704, x0,5 = 0, 5-3 = 8, x0,75 = 0, 25-3 H" 64
4
(c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x < -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
6
ôÅ‚
ôÅ‚ - (x2 - 4) dla -1 x < 1,
òÅ‚
59
ciągłego rozkładu zmiennej losowej X ma rozkład o gęstości f(x) = 0 dla 1 x < 2,
ôÅ‚
ôÅ‚
6
ôÅ‚
ôÅ‚ - (x - 5) dla 2 x < 3,
ôÅ‚
59
ôÅ‚
ół
0 dla 3 x

" 1 3

6
" EX = xf(x)dx = - x(x2 - 4)dx + x(x - 5)dx =
59
-" 2
ëÅ‚ ëÅ‚
3 öÅ‚-1

x3 x2

6 37
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= - 0 + - 5 = H" 0, 6271
59 59

3 2
2
(pierwsza całka w sumie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale sy-
metrycznym względem zera)

2
" 1 3

6 37
" D2X = x2f(x)dx - (EX)2 = - x2(x2 - 4)dx + x2(x - 5)dx - =
59 59
-" -1 2
ëÅ‚ ëÅ‚
1öÅ‚ ëÅ‚ 3 öÅ‚
2
x5 x3 x4 x3

6 37 3748909
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= - 2 - 4 + - 5 - = H" 1, 4050
59 59 10·592

5 3 4 3
0 2
(wykorzystaliśmy fakt, że pierwsza całka jest z funkcji parzystej po przedziale symetrycz-
nym względem zera)
"
( D2X H" 1, 1850) 1.2
F(x)
" Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu 3.5) 1
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x < -1,
ôÅ‚
0.8
ôÅ‚
ôÅ‚
0,75
ôÅ‚
H" 0,7458
ôÅ‚ 2(x(12-x2)+11)
ôÅ‚
ôÅ‚ dla -1 x < 1,
ôÅ‚ 0.6
59
òÅ‚
0,5
44
F (x) =
dla 1 x < 2,
0.4
59
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
3x(10-x)-4
ôÅ‚
ôÅ‚
0,25
dla 2 x < 3,
ôÅ‚
0.2
ôÅ‚ 59
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-1 3
1 dla 3 x 2
1
0
H" 2,014
x0,25 x0,5 x0,75 x
-0.2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
2(x(12-x2)+11)
" F (x) = 0, 25 Ô! = 0, 25; -1 < x < 1 Ô!
59
Ô! -x3 + 12x + 3, 625 = 0; -1 < x < 1
x0,25 jest rozwiązaniem tego równania
Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie x0,25 H" -0, 3125
2(x(12-x2)+11)
" F (x) = 0, 5 Ô! = 0, 5; -1 < x < 1 Ô!
59
Ô! -x3 + 12x - 3, 75 = 0; -1 < x < 1
x0,5 jest rozwiązaniem tego równania
Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie x0,5 H" 0, 3125
3x(10-x)-4
193
" F (x) = 0, 75 Ô! = 0, 75; 2 < x < 3 Ô! x2 - 10x + = 0; 2 < x < 3
59 12
"
107
10-
107
3
" = , x0,75 = H" 2, 0139
3 2
5
(d) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
Å„Å‚
ôÅ‚ 0, 25ex dla x 0,
òÅ‚
0,25
ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f(x) = dla 0 < x ln 2,
ln 2
ôÅ‚
ół
e-x dla x > ln 2
" 0 ln 2 "

0,25
" EX = xf(x)dx = 0, 25 xexdx + xdx + xe-xdx =
ln 2
-" -" 0 ln 2
ëÅ‚ ëÅ‚
0 ln "

x2 2

0,25 0,25 ln 2 ln 2+1
íÅ‚ íÅ‚
= 0, 25 (x - 1)ex + + -(x + 1)e-x = -0, 25 + + =

ln 2 2 2

2
-" 0 ln 2
= 0, 625 ln 2 + 0, 25 H" 0, 6832
Obliczenia pomocnicze:


xexdx = x(ex) dx = xex - exdx = (x - 1)ex + C


xe-xdx = x(-e-x) dx = -xe-x + e-xdx = -(x + 1)e-x + C
H
x-1 1
lim (x - 1)ex = lim = lim = 0
e-x -e-x
x-" x-" x-"
H
x+1 1
lim (x + 1)e-x = lim = lim = 0
ex ex
x" x" x"
" 0 ln 2 "

0,25
" D2X = x2f(x)dx - (EX)2 = 0, 25 x2exdx + x2dx + x2e-xdx =
ln 2
-" -" 0 ln
ëÅ‚ ëÅ‚
0 ln 2
"
x3 2

0,25 0,25 ln2 2
íÅ‚ íÅ‚
= 0, 25 (x2 - 2x + 2)ex + + -(x2 + 2x + 2)e-x = -0, 5 + +

ln 2 3

3
-" 0 ln 2
2
3.5 ln2 2
+ln 2+2 ln 2+2 - (0, 625 ln 2 + 0, 25)2 = 1, 25 + 0, 375 ln 2 + H" 1, 7902
2 6
Obliczenia pomocnicze:


x2exdx = x2(ex) dx = x2ex - 2 xexdx = (x2 - 2x + 2)ex + C


x2e-xdx = x2(-e-x) dx = -x2e-x + 2 xe-xdx = -(x2 + 2x + 2)e-x + C
H
x2-2x+2 2x-2
lim (x2 - 2x + 2)ex = lim = lim = 0
e-x -e-x
x-" x-" x-"
H
x2+2x+2 2x+2
lim (x2 + 2x + 2)e-x = lim = lim = 0
ex ex
x" x" x"
"
( D2X H" 1, 3380)
" Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu 3.6(c))
1.5
F(x)
Å„Å‚
ôÅ‚
0, 25ex dla x 0,
ôÅ‚
òÅ‚
1
x
F (x) = 0, 25 + 1 dla 0 < x ln 2,
ln 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół 0,75
1 - e-x dla x > ln 2
0.5
0,5
0,25
x
0
" F (x) = 0, 25 Ô! x = 0
= ln4
x0,75
x0,25 = 0
= ln2
x0,5
Zatem x0,25 = 0
-0.5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
" F (x) = 0, 5 Ô! x = ln 2
Zatem x0,5 = ln 2 H" 0, 6931
" F (x) = 0, 75 Ô! 1 - e-x = 0, 75 Ô! x = ln 4
Zatem x0,75 = ln 4 H" 1, 3863
6
(e) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla z 0,
òÅ‚
rozkładu zmiennej losowej Z o dystrybuancie F (z) = 1 - (1 - z)2 dla 0 < z 1,
ôÅ‚
ół
1 dla z > 1.

2(1 - z) dla 0 < z < 1,
" Jest to rozkład ciągły o gęstości f(z) = F (z) =
0 poza tym.
ëÅ‚
1öÅ‚

" 1


1
íÅ‚z2 z3 Å‚Å‚
" EZ = zf(z)dz = 2 z(1 - z)dz = 2 - = H" 0, 3333
2 3 3

-" 0
0
ëÅ‚
1öÅ‚
2 2
" 1


1 z3 z4 1 1
íÅ‚ Å‚Å‚
" D2Z = z2f(z)dz-(EZ)2 = 2 z2(1-z)dz- = 2 - - = H" 0, 0556
3 3 4 3 18

-" 0
0
"
( D2Z H" 0, 2357)
"
" F (z) = q Ô! (1 - z)2 = 1 - q Ô! z = 1 - 1 - q dla 0 < q < 1
" " "
" Zatem z0,25 = 1 - 0, 75 H" 0, 1340, z0,5 = 1 - 0, 5 H" 0, 2929, z0,75 = 1 - 0, 25 H" 0, 5
Przykłady do zadania 4.3 :
(a) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4, 9; 5, 1) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88
g/cm3. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję losowej masy M tej kuli
wykorzystując rozkład promienia losowego R (patrz także przykład 3.7 (c)).
" Masa kuli równa jest M = a-3R3, gdzie a = (4 · 7, 88Ä„/3)-1/3 H" 0, 3117.

0, gdy r " [4, 9; 5, 1],
/
" Gęstość R ma postać: fR(r) =
1
= 5, gdy r " [4, 9; 5, 1].
5,1-4,9
5,1
"

" EM = a-3ER3 = a-3 r3fR(r)dr = 5a-3 r3dr = 5a-3 5,14-4,94 H" 4127, 6 g.
4
-" 4,9
"

" D2M = EM2 - (EM)2 = a-6ER6 - (EM)2 = a-6 r6fR(r)dr - (EM)2 =
-"
5,1 2

= 5a-3 r6dr - (EM)2 = 5a-3 5,16-4,96 - 5a-3 5,14-4,94 H" 20433, 686 g2.
6 4
4,9
(b) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(0, 1). Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość ocze-
kiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = arctgX wykorzystując rozkład zmiennej losowej X,
(patrz też przykład 3.7 (d)).
1
" X ma gęstość postaci fX(x) = .
Ä„(1+x2)
"

"
1 1
" EY = EarctgX = arctgxfX(x)dx = arctgx · dx =
Ä„ x2 + 1
-"
-"
ëÅ‚
0 "öÅ‚

1
íÅ‚
= arctg2x + arctg2x Å‚Å‚ = 0.


2Ä„
-" 0
"

2
" D2Y = EY - (EY )2 = Earctg2X = arctg2xfX(x)dx =
-"
ëÅ‚ öÅ‚
0
"
3

1 1 1 2 Ä„ Ä„2
íÅ‚
= arctg2x dx = arctg3x + arctg3x "Å‚Å‚ = · = H" 0, 8225.


Ä„ x2 + 1 3Ä„ 3Ä„ 2 12
-" 0
-"
7
Przykłady do zadania 4.4 :
(a) Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znalez
ć prawdopodobieństwo,
że błąd zawarty będzie w przedziale [0; 0,5], [-1; 1], [-2,3; 2].
" Oznaczmy błąd pomiaru długości śruby przez B.
Wiemy, że B to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym.
P (B < x) = P (B x) = Åš(x).
Wartości funkcji Ś odczytujemy z tablic.
" P (B " [0; 0, 5]) = P (0 B 0, 5) = Åš(0, 5) - Åš(0) = 0, 6915 - 0, 5 = 0, 1915
" P (B " [-1; 1]) = P (-1 B 1) = Åš(1) - Åš(-1) = Åš(1) - (1 - Åš(1)) = 2Åš(1) - 1 =
= 2 · 0, 8413 - 1 = 0, 6828
" P (B " [-2, 3; 2]) = P (-2, 3 B 2) = Åš(2) - Åš(-2, 3) = Åš(2) - (1 - Åš(2, 3)) =
= 0, 9772 - (1 - 0, 9893) = 0, 9665
(b) Długość produkowanych detali ma rozkład N(0, 9; 0, 003). Norma przewiduje wyroby o wymia-
rach 0, 9 ą 0, 005. Jaki procent produkowanych detali nie spełnia wymogów normy?
" Oznaczmy długość produkowanych detali przez L.
Jest to zmienna losowa o rozkładzie N (m = 0, 9; à = 0, 003).
L-m
Wiemy, że ma rozkład N (0, 1).
Ã
" Detal spełnia wymogi normy, gdy 0, 9 - 0, 005 L 0, 9 + 0, 005.
" P (detal nie spełnia wymogów normy)= 1 - P (0, 9 - 0, 005 L 0, 9 + 0, 005) =

0,9-0,005-0,9 L-m 0,9+0,005-0,9 5
= 1 - P = 1 - Åš - Åš -5 =
0,003 Ã 0,003 3 3

5
= 2 1 - Åš H" 2(1 - Åš(1, 67)) = 2(1 - 0, 9525) = 0, 095.
3
" Odp. 9,5% produkowanych detali nie spełnia wymogów normy.
(c) Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół 2 minuty przed wyzna-
czoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym z à = 2 minuty, okreÅ›lić, jakie jest prawdopodobieÅ„stwo spóz
nienia siÄ™ tego asy-
stenta na zajęcia. (Czy asystent powinien zmienić zwyczaje?)
" Przyjmiemy, że moment rozpoczęcia zajęć t0 = 0.
Oznaczmy przez T moment przyjścia asystenta.
Jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N (m = -2, à = 2)
(m = -2, bo asystent przychodzi na ogół 2 minuty przed chwilą t0 = 0).

0-(-2)
T -m
" P (asystent się spóz
ni)= P (T > 0) = P > = 1 - Åš(1) =
à 2
= 1 - 0, 8413 = 0, 1587.
8