Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2009/10, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 5: Zmienne losowe dwuwymiarowe. Rozkłady łączne,
brzegowe. Niezależność zmiennych losowych. Współczynnik korelacji.
Sumowanie niezależnych zmiennych losowych. Prawo wielkich liczb.
Przykłady do zadania 5.1 :
(a) Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:
P (X = 0, Y = -2) = C; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 2;
P (X = 2, Y = -2) = P (X = 2, Y = 0) = 0, 2; P (X = 2, Y = 1) = 0, 3.
Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy X i Y są niezależne?
" Stała C musi być nieujemna oraz spełniać warunek C + 0 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 3 = 1, co
daje C = 0, 1
" Rozkład łączny wektora losowego (X, Y ) razem z rozkładami brzegowymi zmiennych lo-
sowych X i Y możemy podać w postaci tabeli:
xn 0 2 r.brzeg.
yk Y
-2 0, 1 0, 2 0, 3
0 0 0, 2 0, 2
1 0, 2 0, 3 0, 5

r.brzeg.X 0, 3 0, 7 = 1
" X i Y nie sÄ… niezależne, bo np. P (X = 0, Y = 0) = 0 = 0, 3 · 0, 2 = P (X = 0)P (Y = 0).

(b) Znalez
ć rozkład łączny wektora losowego (X, Y ), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi loso-
wymi o rozkładach P (X = -1) = 0, 1; P (X = 3) = 0, 9; P (Y = 0) = 0, 45; P (Y = 2) = 0, 55.
" Zmienne losowe są niezależne, zatem np.
P (X = -1, Y = 0) = P (X = -1)P (Y = 0) = 0, 1 · 0, 45 = 0, 045.
Podobnie obliczamy pozostałe prawdopodobieństwa łączne.
" Rozkład łączny wektora losowego (X, Y ) razem z rozkładami brzegowymi zmiennych lo-
sowych X i Y podajemy w tabeli:
xn -1 3 r.brzeg.
yk Y
0 0, 045 0, 405 0, 45
2 0, 055 0, 495 0, 55

r.brzeg.X 0, 1 0, 9 = 1
1
Przykład do zadania 5.2 :

C(x2y + y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2
(a) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f(x, y) = była
0 poza tym.
gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P ((X, Y ) " "), gdzie " to
obszar 0 y 2, 0 x y. Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).
Czy X i Y są niezależne?
" f(x, y) 0 dla każdego (x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy C 0
(bo dla 0 < x < 1, 0 < y < 2 mamy x2y + y > 0).
" " 1 2

8
f(x, y)dxdy = C dx (x2y + y)dy = C = 1 wtedy
3
-" -" 0 0
3
i tylko wtedy, gdy C = .
8
3
Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C = .
8
2.5
K)""
2 2
"
1.5
1
y=x
0.5
K
0
1
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" Oznaczmy przez K prostokÄ…t 0 < x < 1, 0 < y < 2.

1 2
3 3
P ((X, Y ) " ") = f(x, y)dxdy = (x2y + y)dxdy = dx (x2 + 1)ydy =
0 x
8 8
" ")"K

1
3 3 1 1
= (x2 + 1)(2 - x2/2)dx = (2 - + 2 - ) = 0, 9
0
8 8 3 10 6
" Wyznaczamy rozkłady brzegowe:
Å„Å‚
2

ôÅ‚
òÅ‚ 3 3
"

(x2 + 1) ydy = (x2 + 1) dla 0 < x < 1,
8 4
fX(x) = f(x, y)dy =
0
ôÅ‚
-" ół
0 dla pozostalych x.
Å„Å‚
1

ôÅ‚
òÅ‚ 3 1
"

y (x2 + 1)dx = y dla 0 < y < 2,
8 2
fY (y) = f(x, y)dx =
0
ôÅ‚
-" ół
0 dla pozostalych y.
" Ponieważ dla każdego (x, y) mamy fX(x)fY (y) = f(x, y),
zmienne losowe X i Y są niezależne.
2

C dla (x, y) " K
(b) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f(x, y) = gdzie K to obszar ograniczony
0 poza tym,
krzywymi y = 1 - x2, y = 0, była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć
następnie P (0 < X < 0, 5; 0 < Y < 1). Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).
Czy X i Y są niezależne?
" K: -1 x 1, 0 y 1 - x2.
" f(x, y) 0 dla każdego (x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy C 0
" " 1 1-x2 1

4
f(x, y)dxdy = C dx dy = C (1 - x2)dx = C = 1 wtedy
3
-" -" -1 0 -1
3
i tylko wtedy, gdy C = .
4
3
Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C = .
4
1.5
y=1-x2
1
1
"
x=-(1-y)1/2
x=(1-y)1/2
0.5
K)""
K
0
-1 0
0,5 1
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" " : 0 < x < 0, 5; 0 < y < 1

0,5 1 0,5 1-x2
3 3
P (0 < X < 0, 5; 0 < Y < 1) = dx f(x, y)dy = dxdy = dx dy =
0 0 0 0
4 4
")"K

0,5
11
= (1 - x2)dx = = 0, 34375
0
32
" Wyznaczamy rozkłady brzegowe:
Å„Å‚
1-x2
ôÅ‚
òÅ‚
" 3 3

dy = (1 - x2) dla - 1 x 1,
4 4
fX(x) = f(x, y)dy =
0
ôÅ‚
-" ół
0 dla pozostalych x.
" "
K: 0 y 1, - 1 - y x 1 - y.
Å„Å‚
"
1-y
ôÅ‚
"
ôÅ‚
òÅ‚ 3 3
"

dx = 1 - y dla 0 y 1,
4 2
"
fY (y) = f(x, y)dx =
- 1-y
ôÅ‚
-" ôÅ‚
ół
0 dla pozostalych y.
" Ponieważ dla wszystkich (x, y) " (-1, 1) × (0, 1) mamy fX(x)fY (y) = 0 w przeciwieÅ„stwie

do f(x, y), zmienne losowe X i Y nie są niezależne.
3
Przykłady do zadania 5.3 :
Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji wektora losowego (X, Y ) o po-
danym rozkładzie. Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y , które są składowymi
tego wektora.
(a) Rozkład dyskretny podany w tabeli
xn 0 2 r.brzeg.
yk Y
-2 0, 1 0, 2 0, 3
0 0 0, 2 0, 2
1 0, 2 0, 3 0, 5

r.brzeg.X 0, 3 0, 7 = 1
" EX = 0 · 0, 3 + 2 · 0, 7 = 1, 4;
D2X = 02 · 0, 3 + 22 · 0, 7 - (1, 4)2 = 0, 84;
" EY = -2 · 0, 3 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 5 = -0, 1;
D2Y = (-2)2 · 0, 3 + 02 · 0, 2 + 12 · 0, 5 - (-0, 1)2 = 1, 69;
" EXY = 0 · (-2) · 0, 1 + 0 · 0 · 0 + 0 · 1 · 0, 2 + 2 · (-2) · 0, 2 + 2 · 0 · 0, 2 + 2 · 1 · 0, 3 = -0, 2;
Cov(X, Y ) = EXY - EXEY = -0, 2 - 1, 4 · (-0, 1) = -0, 06
0,06
"Cov(X,Y ) "
"
ÁXY = = - H" -0, 05.
1,3 0,84
D2X D2Y
" Odp. (EX, EY ) = (1, 4; -0, 1);

D2X Cov(X, Y ) 0, 84 -0, 06
macierz kowariancji to = ;
Cov(X, Y ) D2Y -0, 06 1, 69
0,06
"
ÁXY = - H" -0, 05
1,3 0,84
(b) Rozkład dyskretny podany w tabeli
xn -1 3 r.brzeg.
yk Y
0 0, 045 0, 405 0, 45
2 0, 055 0, 495 0, 55

r.brzeg.X 0, 1 0, 9 = 1
" EX = -1 · 0, 1 + 3 · 0, 9 = 2, 6;
D2X = (-1)2 · 0, 1 + 32 · 0, 9 - (2, 6)2 = 1, 44;
" EY = 1, 1; D2Y = 0, 99;
" Cov(X, Y ) = 0; ÁXY = 0, bo zmienne sÄ… niezależne.

1, 44 0
" Odp. (EX, EY ) = (2, 6; 1, 1); macierz kowariancji to ; ÁXY = 0
0 0, 99
4

3
(x2y + y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2
8
(c) Rozkład ciągły o gęstości f(x, y) =
0 poza tym.
" " 1 2

3 9
" EX = xf(x, y)dxdy = dx x(x2 + 1)ydy = ;
8 16
-" -" 0 0
" " 1 2

3 9 107
D2X = x2f(x, y)dxdy - (EX)2 = dx x2(x2 + 1)ydy - (16)2 = ;
8 1280
-" -" 0 0
" " 1 2

3 4
" EY = yf(x, y)dxdy = dx y(x2 + 1)ydy = ;
8 3
-" -" 0 0
" " 1 2

3 2
D2Y = y2f(x, y)dxdy - (EY )2 = dx y2(x2 + 1)ydy - (4)2 = ;
8 3 9
-" -" 0 0
" Cov(X, Y ) = 0; ÁXY = 0, bo zmienne sÄ… niezależne.

107
0
9 4
1280
" Odp. (EX, EY ) = (16; ); macierz kowariancji to ; ÁXY = 0
2
3
0
9

3
dla (x, y) " K
4
(d) Rozkład ciągły o gęstości f(x, y) = gdzie K to obszar ograniczony krzy-
0 poza tym,
wymi y = 1 - x2, y = 0
" " 1 1-x2

3
" EX = xf(x, y)dxdy = dx xdy = 0;
4
-" -" -1 0
" " 1 1-x2

3
D2X = x2f(x, y)dxdy - (EX)2 = dx x2dy - 0 = 0, 2;
4
-" -" -1 0
" " 1 1-x2

3
" EY = yf(x, y)dxdy = dx ydy = 0, 4;
4
-" -" -1 0
" " 1 1-x2

3 12
D2Y = y2f(x, y)dxdy - (EY )2 = dx y2dy - (0, 4)2 = ;
4 175
-" -" -1 0
" " 1 1-x2

3
" Cov(X, Y ) = xyf(x, y)dxdy - EXEY = dx xydy - 0 = 0; stÄ…d ÁXY = 0.
4
-" -" -1 0

0, 2 0
" Odp. (EX, EY ) = (0; 0, 4); macierz kowariancji to ; ÁXY = 0
12
0
175
Przykłady do zadania 5.4 :

1
(a) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp , a Y rozkład
5
normalny N (-1, 2). Znalez
ć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 2X -3Y -2.

1 1 1
" X ma rozkład wykładniczy Exp  = , zatem EX = = 5 i D2X = = 25.
5  2
" Y rozkład normalny N (-1, 2), zatem EY = -1 i D2Y = 22 = 4.
" EZ = 2EX - 3EY - 2 = 2 · 5 - 3 · (-1) - 2 = 11.
" X i Y są niezależne, więc D2Z = D2(2X - 3Y - 2) = D2(2X - 3Y ) =
= D2(2X) + D2(-3Y ) = 22D2X + (-3)2D2Y = 4 · 25 + 9 · 4 = 136.
5
(b) Niech Y = X + N, gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4; a N ma rozkład
normalny N (1, 1), przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik
korelacji ÁXY .
" X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4,
zatem EX = p = 0, 4 i D2X = p(1 - p) = 0, 24.
" N ma rozkład normalny N (1, 1), zatem EN = 1 i D2N = 1.
" EY = EX + EN = 0, 4 + 1 = 1, 4
" Zmienne losowe X i N są niezależne.
Zatem D2Y = D2X + D2N = 0, 24 + 1 = 1, 24 oraz
EXY = EX2 + EXN = D2X + (EX)2 + EXEN = 0, 24 + (0, 4)2 + 0, 4 · 1 = 0, 8.
EXY - EXEY 0, 24
" " "
" Otrzymujemy ÁXY = = H" 0, 44.
0, 24 · 1, 24
D2X D2Y
Przykłady do zadania 5.5 :
(a) Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że
P (X1 = i) = 0, 75(0, 25)i-1, i = 1, 2, . . . .
X1 + . . . + Xn
Do czego jest zbieżna średnia arytmetyczna ? W sensie jakiej zbieżności?
n
" Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie geometrycznym
1 4
Geo(p = 0, 75). Zatem EX1 = = istnieje.
p 3
" Zachodzi zatem mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa, czyli
X1 + . . . + Xn 4
lim = EX1 = ,
n"
n 3
" przy czym jest to zbieżność z prawdopodobieństwem 1.
(b) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
jednostajnym U(0, 1). Zdefiniujmy

2
Xn z prawdopod. 0, 1;
Yn =
Xn z prawdopod. 0, 9;
2
tzn. Yn = TnXn + (1 - Tn)Xn, gdzie Tn jest zmienną losową niezależną od ciągu (Xn) i taką,
że P (Tn = 1) = 1 - P (Tn = 0) = 0, 1; ponadto T1, T2, . . . są niezależne.
n

1
Znalez
ć granicę lim Yi z prawdopodobieństwem 1.
n"
n
i=1
" Zmienne Y1, Y2, . . . zdefiniowane w zadaniu są niezależne o jednakowym rozkładzie.
2
Ponadto EY1 = ET1EX1 + (1 - ET1)EX1 = 0, 1(D2X1 + (EX1)2) + 0, 9EX1 =

2
(1-0)2 1+0
1+0 29
= 0, 1 + + 0, 9 = istnieje.
12 2 2 60
" Zachodzi więc mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa,
n

1 29
czyli lim Yi = EY1 = z prawdopod. 1.
n"
n 60
i=1
6