Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 11: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i
jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera.
Prawo wielkich liczb.
Przykłady do zadania 11.1 :

1
(a) Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp , a Y rozkład
5
normalny N (-1, 2). Znalez
ć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 2X -3Y -2.

1 1 1
" X ma rozkład wykładniczy Exp  = , zatem EX = = 5 i D2X = = 25.
5  2
" Y rozkład normalny N (-1, 2), zatem EY = -1 i D2Y = 22 = 4.
" EZ = 2EX - 3EY - 2 = 2 · 5 - 3 · (-1) - 2 = 11.
" X i Y są niezależne, więc D2Z = D2(2X - 3Y - 2) = D2(2X - 3Y ) =
= D2(2X) + D2(-3Y ) = 22D2X + (-3)2D2Y = 4 · 25 + 9 · 4 = 136.
(b) Niech Y = X + N, gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4; a N ma rozkład
normalny N (1, 1), przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik
korelacji ÁXY .
" X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p = 0, 4,
zatem EX = p = 0, 4 i D2X = p(1 - p) = 0, 24.
" N ma rozkład normalny N (1, 1), zatem EN = 1 i D2N = 1.
" EY = EX + EN = 0, 4 + 1 = 1, 4
" Zmienne losowe X i N są niezależne.
Zatem D2Y = D2X + D2N = 0, 24 + 1 = 1, 24 oraz
EXY = EX2 + EXN = D2X + (EX)2 + EXEN = 0, 24 + (0, 4)2 + 0, 4 · 1 = 0, 8.
EXY - EXEY 0, 24
" " "
" Otrzymujemy ÁXY = = H" 0, 44.
0, 24 · 1, 24
D2X D2Y
1
Przykład do zadania 11.2 :
(a) Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P(2), a Y rozkład normalny
N (1, 2). Jaka jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej X + Y , a jaka zmiennej
losowej 4X - Y ?
it it
" X ma rozkÅ‚ad Poissona P( = 2), wiÄ™c ÕX(t) = e(e -1) = e2(e -1).
2 2
" Y ma rozkÅ‚ad normalny N (m = 1, à = 2), wiÄ™c ÕY (t) = eitm-t Ã2/2 = eit-2t .
" Zmienne X i Y są niezależne.
it 2
Zatem ÕX+Y (t) = ÕX(t) · ÕY (t) = e2(e -1) · eit-2t
i(4t) 2
" Õ4X-Y (t) = ÕX(4t) · ÕY (-t) = e2(e -1) · e-it-2t , gdyż
dla dowolnej stałej a i zmiennej losowej X mamy
ÕaX(t) = Eeit(aX) = Eei(at)X = ÕX(at).
(b) Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach gamma
G(, p1) i G(, p2) ma również rozkład gamma.
-p1
it
" X ma rozkÅ‚ad gamma G(, p1), wiÄ™c ÕX(t) = 1 - .

-p2
it
" Y ma rozkÅ‚ad gamma G(, p2), wiÄ™c ÕY (t) = 1 - .

" Zmienne X i Y są niezależne.
-p1 -p2 -(p1+p2)
it it it
Zatem ÕX+Y (t) = ÕX(t) · ÕY (t) = 1 - · 1 - = 1 - .
  
" Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu gamma G(, p1 + p2), zatem X + Y ma taki
właśnie rozkład gamma.
(c) Niech X1, X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
X1 + X2
Cauchy ego C(0, 1). Znalez
ć rozkład zmiennej losowej Y = .
2
" X1 i X2 majÄ… rozkÅ‚ad Cauchy ego C(0, 1), wiÄ™c ÕX (t) = ÕX (t) = e-|t|.
1 2
X1 + X2
" Zmienne X1 i X2 są niezależne. Zatem dla Y = mamy
2

t t t t t
2 2
ÕY (t) = ÕX +X2 = ÕX · ÕX = e-| |e-| | = e-|t|
1 1 2
2 2 2
" Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy ego C(0, 1), zatem Y ma taki właśnie
rozkład.
2
Przykłady do zadania 11.3 :
(a) Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie takim, że
P (X1 = i) = 0, 75(0, 25)i-1, i = 1, 2, . . . .
X1 + . . . + Xn
Do czego jest zbieżna średnia arytmetyczna ? W sensie jakiej zbieżności?
n
" Zmienne losowe X1, X2, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie geometrycznym
1 4
Geo(p = 0, 75). Zatem EX1 = = istnieje.
p 3
" Zachodzi zatem mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa, czyli
X1 + . . . + Xn 4
lim = EX1 = ,
n"
n 3
" przy czym jest to zbieżność z prawdopodobieństwem 1.
(b) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
jednostajnym U(0, 1). Zdefiniujmy

2
Xn z prawdopod. 0, 1;
Yn =
Xn z prawdopod. 0, 9;
2
tzn. Yn = TnXn + (1 - Tn)Xn, gdzie Tn jest zmienną losową niezależną od ciągu (Xn) i taką,
że P (Tn = 1) = 1 - P (Tn = 0) = 0, 1; ponadto T1, T2, . . . są niezależne.
n

1
Znalez
ć granicę lim Yi z prawdopodobieństwem 1.
n"
n
i=1
" Zmienne Y1, Y2, . . . zdefiniowane w zadaniu są niezależne o jednakowym rozkładzie.
2
Ponadto EY1 = ET1EX1 + (1 - ET1)EX1 = 0, 1(D2X1 + (EX1)2) + 0, 9EX1 =

2
(1-0)2 1+0
1+0 29
= 0, 1 + + 0, 9 = istnieje.
12 2 2 60
" Zachodzi więc mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa,
n

1 29
czyli lim Yi = EY1 = z prawdopod. 1.
n"
n 60
i=1
3