Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 3: Przekształcenie Laplace a
Przykłady do zadania 3.1 :
Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Laplace a podanej
funkcji f(t), t 0, (dla t < 0 f(t) = 0):
(a) f(t) a" 1 (czyli f(t) = Ç(t) - funkcja Heavyside a)
t=T
"
e-st 1 - e-sT 1

" Dla Re s > 0 mamy e-stdt = lim = lim =
t=0
T " -s s s
T "
0
1
" Zatem L[1](s) = L[Ç(t)](s) = , Re s > 0
s
(b) f(t) = et, f(t) = e-t
" Dla Re s > 1 mamy
t=T
" "
e-(s-1)t 1 - e-(s-1)T 1

ete-stdt = e-(s-1)tdt = lim = lim =
t=0
T " -(s - 1) s
T " - 1 s - 1
0 0
1
" Zatem L[et](s) = , Re s > 1
s - 1
1
" Podobnie L[e-t](s) = , Re s > -1
s + 1
(c) f(t) = sin t, f(t) = cos t
" Dla Re s > 0 mamy
"
e-st(- cos t - s sin t) e-sT (- cos T - s sin T ) + 1 1
t=T
e-st sin tdt = lim = lim =
t=0
T " T "
1 + s2 1 + s2 1 + s2
0
oraz
"
e-st(-s cos t + sin t) e-sT (-s cos T + sin T ) + s s
t=T
e-st cos tdt = lim = lim =
t=0
T " T "
1 + s2 1 + s2 1 + s2
0
" Granice obliczamy korzystając z tego, że dla Re s > 0 mamy e-sT 0 przy T ", a
to, co w nawiasie, jest ograniczone.
1 s
" Zatem otrzymaliśmy: L[sin t](s) = , Re s > 0, L[cos t](s) = , Re s > 0
1 + s2 1 + s2
Obl.pomocnicze:



f(t) = e-st g (t) = sin t
e-st sin tdt = = -e-st cos t - s e-st cos tdt =

f (t) = -se-st g(t) = - cos t



f = e-st g = cos t
= = -e-st cos t - s e-st sin t + s e-st sin tdt

f = -se-st g = sin t

e-st(- cos t - s sin t)
Zatem e-st sin tdt = + C, C " R
1 + s2

e-st(-s cos t + sin t)
oraz e-st cos tdt = + C, C " R
1 + s2
1

1 - t dla 0 t 1
(d) f(t) =
0 dla t > 1
" Dla s = 0 mamy



" 1

f(t) = 1 - t g (t) = e-st
f(t)e-stdt = (1 - t)e-stdt = -st =

f (t) = -1 g(t) = -e
0 0
s

t=1 1 t=1
e-st 1 1 1 e-st 1 e-s - 1

= -(1 - t) - e-stdt = - - = +
t=0 t=0
s s s s s s s2
0
s - 1 + e-s
" Zatem L[f(t)](s) = , s = 0

s2
Przykłady do zadania 3.2 :
Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć L(g(t))(s) dla podanej
funkcji g(t), t 0 (dla t < 0 g(t) = 0):
(a) g(t) = eÄ…t, g(t) = e-Ä…t, Ä… > 0

1 s 1 1 1
" Mamy L[eÄ…t](s) = L[et] = = , Re s > Ä…
s
Ä… Ä… Ä… - 1 s - Ä…
Ä…
1
" Podobnie L[e-Ä…t](s) = , Re s > -Ä…
s + Ä…
(b) g(t) = sh(Ä…t), g(t) = ch(Ä…t), Ä… > 0

1
" Mamy sh(Ä…t) = eÄ…t - e-Ä…t ,
2


1 1 1 1 Ä…
zatem L[sh(Ä…t)](s) = L[eÄ…t] - L[e-Ä…t] (s) = - =
2 2 s - Ä… s + Ä… s2 - Ä…2

1
" Podobnie ch(Ä…t) = eÄ…t + e-Ä…t ,
2


1 1 1 1 s
zatem L[ch(Ä…t)](s) = L[eÄ…t] + L[e-Ä…t] (s) = + =
2 2 s - Ä… s + Ä… s2 - Ä…2
" W obu przypadkach Re s > Ä…
(c) g(t) = sin(Ä…t), g(t) = cos(Ä…t)

1 s Ä…
" Mamy L[sin(Ä…t)](s) = L[sin t] = , Re s > 0,
Ä… Ä… s2 + Ä…2

1 s s
" L[cos(Ä…t)](s) = L[cos t] = , Re s > 0
Ä… Ä… s2 + Ä…2
(d) g(t) = tn, n " N
dnL[Ç(t)] dn 1 n!
Mamy L[tn · Ç(t)](s) = (-1)n (s) = (-1)n = , Re s > 0
dsn dsn s sn+1
(e) g(t) = tneÄ…t, n " N
n!
Mamy L[tneÄ…t](s) = L[tn](s - Ä…) = , Re s > Ä…
(s - Ä…)n+1
2
(f) g(t) = eÄ…t sin(²t), g(t) = eÄ…t cos(²t)
²
" Mamy L[eÄ…t sin(²t)](s) = L[sin(²t)](s - Ä…) =
(s - Ä…)2 + ²2
s - Ä…
" Podobnie L[eÄ…t cos(²t)](s) = L[cos(²t)](s - Ä…) =
(s - Ä…)2 + ²2
(g) g(t) = Ç(t - 2)sh(t - 2)
1
Mamy L[Ç(t - 2)sh(t - 2)](s) = e-2sL[sht](s) = e-2s
s2 - 1
Przykłady do zadania 3.3 :
Podać funkcję f(t), ciągłą na [0, "), jeśli jej transformata Laplace a ma postać L(f(t))(s):
s + 3
(a) L[f(t)](s) =
s2 + 6s + 10
s + 3 s + 3
= = L[e-3t cos t](s)
s2 + 6s + 10 (s + 3)2 + 1
Zatem f(t) = e-3t cos t, t 0
s - 2
(b) L[f(t)](s) =
s2 + 4
s - 2 s 2
= - = L[cos(2t)](s) - L[sin(2t)](s) = L[cos(2t) - sin(2t)](s)
s2 + 4 s2 + 22 s2 + 22
Zatem f(t) = cos(2t) - sin(2t), t 0
5
(c) L[f(t)](s) =
s2 + 5s
5 5 1 1
= = - = L[1](s) - L[e-5t](s) = L[1 - e-5t](s)
s2 + 5s s(s + 5) s s + 5
Zatem f(t) = 1 - e-5t, t 0
6
(d) L[f(t)](s) =
s2 - 4s + 3
6 6
= = 6L[e2tsht](s)
s2 - 4s + 3 (s - 2)2 - 12
Zatem f(t) = 6e2tsht, t 0
se-3s
(e) L[f(t)](s) =
s2 - 2
" "
se-3s s
"
= e-3s = e-3sL[ch( 2t)](s) = L[Ç(t - 3)ch( 2(t - 3))](s)
s2 - 2
s2 - ( 2)2
"
Zatem f(t) = Ç(t - 3)ch( 2(t - 3)), t 0
3
Przykłady do zadania 3.4 :
StosujÄ…c rachunek operatorowy znalez
ć rozwiązanie szczególne y(t), t 0, podanego równania róż-
niczkowego spełniające podany warunek początkowy:

(a) y - y - 1 = -t, y(0) = 2

" Równanie różniczkowe dla oryginału: y - y - 1 = -t, y(0) = 2
" Wykorzystując własności transformaty Laplace a układamy równanie algebraiczne
dla obrazu:

L[y - y - 1] = L[-t]

L[y ] - L[y] - L[1] = -L[t]
sL[y] - y(0) - L[y] - L[1] = -L[t]
1 1
sL[y] - 2 - L[y] - = -
s s2
2s2 + s - 1 1 2
" Z otrzymanego równania wyznaczamy obraz: L[y] = = +
(s - 1)s2 s2 s - 1
1 2
" Na podstawie obrazu wyznaczamy oryginał: + = L[t] + 2L[et],
s2 s - 1
a stÄ…d y(t) = t + 2et

(b) y + y = 1, y(0) = y (0) = 0
"

L(y + y) = L(1)

s2L(y) - sy(0) - y (0) + L(y) = L(1)
1
s2L(y) - 0 - 0 + L(y) =
s
1 1 s
" L(y) = = -
(s2 + 1)s s s2 + 1
1 s
" - = L[1] - L[cos t], a stÄ…d y(t) = 1 - cos t
s s2 + 1

(c) y - y = sin t, y(0) = 2, y (0) = 0, y (0) = 1
"

L(y - y ) = L(sin t)

s3L(y) - s2y(0) - sy (0) - y (0) - (sL(y) - y(0)) = L(sin t)
1
s3L(y) - 2s2 - 0 - 1 - sL(y) + 2 =
s2 + 1
2s4 + s2 2s3 + s 3/4 3/4 s/2
" L(y) = = = + +
(s2 + 1)(s3 - s) (s + 1)(s - 1)(s2 + 1) s - 1 s + 1 s2 + 1
3/4 3/4 s/2 3 3 1
" + + = L[et](s) + L[e-t](s) + L[cos t](s),
s - 1 s + 1 s2 + 1 4 4 2
3 3 1
a stÄ…d y(t) = et + e-t + cos t
4 4 2
4