Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 3: Transformata Fouriera
Załóżmy, że f(t) jest określona na R, ograniczona, okresowa o okresie 2T i spełnia warunki
Ä„
Dirichleta. Oznaczmy "É = . Wtedy
T
T
"

"É
f(t) = cnein"Ét, gdzie cn = f(t)e-in"Étdt. (1)
2Ä„
n=-"
-T
Możemy zapisać to w postaci
ëÅ‚ öÅ‚
T
"

"É
ìÅ‚
f(t) = íÅ‚ f(s)e-in"Ésds÷Å‚ ein"Ét
Å‚Å‚
2Ä„
n=-"
-T
lub
"

1
f(t) = F (n"É)"É,
2Ä„
n=-"
gdzie
T
F (n"É) = f(s)e-in"É(s-t)ds
-T
W granicy, przy T ", a równoważnie "É 0+, tzn. gdy funkcja f(t) przestaje być
okresowa, zachodzi:
Twierdzenie całkowe Fouriera:
Dla dowolnego t
" "

1
f(t) = dÉ f(s)e-iÉ(s-t)ds
2Ä„
-" -"
przy założeniach, że:
"

" f(t) jest bezwzględnie całkowalna na R, czyli |f(t)|dt < "
-"
(tzn. całka ta jest zbieżna)
" f(t) spełnia warunki Dirichleta na dowolnym przedziale ograniczonym.
Inny zapis pokazuje analogiÄ™ do (1):
" "

1
f(t) = c(É)eiÉtdÉ, gdzie c(É) = f(s)e-iÉsds
2Ä„
-" -"
StÄ…d idea transformaty Fouriera.
1
Definicja.
Niech f(t) będzie funkcją określoną na R.
TransformatÄ… Fouriera funkcji f(t) nazywamy funkcjÄ™ zespolonÄ…
" " "

Ć
f(É) = f(t)e-iÉtdt = f(t) cos(Ét)dt - i f(t) sin(Ét)dt, É " R.
-" -" -"
Ć
Inne oznaczenie: f(É) = F(f(t))(É).
Popularna interpretacja: t - czas (lub dÅ‚ugość fali), É - czÄ™stotliwość (lub liczba falowa))
Ć
f(É)- widmo (charakterystyka widmowa, gÄ™stość widmowa) funkcji f(t),
Ć
|f(É)| - widmo amplitudowe,
Ć
¸(É) = Arg(f(É)), argument główny z przedziaÅ‚u [-Ä„, Ä„] - widmo fazowe
Fakt.
Jeżeli f(t) jest bezwzględnie całkowalna na R, to transformata Fouriera funkcji f(t) jest
dobrze określona.
Wynika to z tego, że |f(t)e-iÉt| = |f(t)|.
Uwaga.
" Jeżeli f(t) jest funkcją parzystą, to
"

Ć
f(É) = 2 f(t) cos(Ét)dt.
0
" Jeżeli f(t) jest funkcją nieparzystą, to
"

Ć
f(É) = -2i f(t) sin(Ét)dt.
0
Przykłady do zad. 2.1
2
Podstawowe własności transformaty Fouriera:
Załóżmy, że f(t), g(t) są określone na R i bezwzględnie całkowalne na R
"

Ć
(1) |f(É)| |f(t)|dt < ",
-"
Ć
zatem f(É) to funkcja ograniczona
Ć
(2) f(É) to funkcja ciÄ…gÅ‚a (dowód wymaga zaawansowanych metod)
(3) liniowość
Dla dowolnych Ä…, ² " R, dla h(t) = Ä…f(t) + ²g(t) mamy
Ć
%
(É) = Ä…f(É) + ²%1Å„(É)
Dowód:
" " "

Ć
%
(É) = h(t)e-iÉtdt = Ä… f(t)e-iÉtdt + ² g(t)e-iÉtdt = Ä…f(É) + ²%1Å„(É)
-" -" -"
(4) przesunięcie w czasie
Dla dowolnego a " R, dla h(t) = f(t + a) mamy
Ć
%
(É) = eiaÉf(É)
Dowód:
îÅ‚ Å‚Å‚
s=t+a
ïÅ‚ śł
" " "

ds=dt
śł
Ć
%
(É)= f(t + a)e-iÉtdt=ïÅ‚ śł= f(s)e-iÉ(s-a)ds = eiaÉ f(s)e-iÉsds=eiaÉf(É)
ïÅ‚
ðÅ‚ t -" " ûÅ‚
-" -" -"
s -" "
(5) modulacja
Dla dowolnego a " R, dla h(t) = f(t)e-iat mamy
Ć
%
(É) = f(É + a)
Dowód:
" "

Ć
%
(É)= f(t)e-iate-iÉtdt = f(s)e-i(É+a)tds = f(É + a)
-" -"
(6) skalowanie
Dla dowolnego a = 0, dla h(t) = f(at) mamy


1 É
Ć
%
(É) = f
|a| a
Dowód: Dla a > 0 mamy
îÅ‚ Å‚Å‚
s=at
"

ïÅ‚ śł
"
É 1 É
ds=adt 1
śł
Ć
a
%
(É)= f(at)e-iÉtdt=ïÅ‚ śł
ïÅ‚ = f(s)e-i sds = f
ðÅ‚ t -" " ûÅ‚
a a a
-"
-"
s -" "
Dla a < 0 mamy
îÅ‚ Å‚Å‚
s=at
-"

ïÅ‚ śł
"
É 1 É 1 É
ds=adt 1
śł
Ć Ć
a
%
(É)= f(at)e-iÉtdt=ïÅ‚ śł= f(s)e-i sds = - f = f
ïÅ‚
ðÅ‚ t -" " ûÅ‚
a a a |a| a
-"
"
s " -"
Przykłady do zad. 2.2 (a)-(d)
3
(7) pochodna w spektrum
"

Jeżeli h(t) = tf(t) jest bezwzględnie całkowalna na R (tzn. |tf(t)|dt < "),
-"
d

Ć Ć
to istnieje ciÄ…gÅ‚a pochodna f (É) = f(É) oraz
dÉ
"


Ć
f (É) = f(t)(-it)e-iÉtdt = -i%
(É)
-"
Jeżeli hm(t) = tmf(t), m " N, jest bezwzględnie całkowalna na R
"
dm
Ć Ć
(tzn. |tmf(t)|dt < "), to istnieje ciÄ…gÅ‚a pochodna f(m)(É) = f(É) oraz
dÉm
-"
"

Ć
f(m)(É) = f(t)(-it)me-iÉtdt = (-i)m%
m(É)
-"
(8) pochodna w czasie
d

Jeżeli f (t) = f(t) jest ciągła oraz bezwzględnie całkowalna na R
dt
"


(tzn. |f (t)|dt < "), to
-"


Ć
f (É) = iÉf(É)
dm
Jeżeli f(m)(t) = f(t), m " N, jest ciągła oraz
dtm
"

|f(r)(t)|dt < " dla każdego 0 < r m, to
-"
(m) Ć
f (É) = (iÉ)mf(É)
Przykłady do zad. 2.2 (e)-(g)
Tabela: Własności transformaty Fouriera
h(t) %
(É) Uwagi
Ć
liniowość Ä…f(t) + ²g(t) Ä…f(É) + ²%1Å„(É)
Ć
przesuniÄ™cie w czasie f(t + a) eiaÉf(É)
Ć
modulacja f(t)e-iat f(É + a)

1 É
Ć
skalowanie f(at) f a = 0

|a| a
Ć
pochodna w spektrum (-i)mtmf(t) f(m)(É) m " N
Ć
pochodna w czasie f(m)(t) (iÉ)mf(É) m " N
Ć
splot (f " g)(t) f(É) · %1Å„(É)
4
Jednoznaczność przekształcenia Fouriera
Ć
Transformata Fouriera F : f(t) - f(É) to odwzorowanie z jednej rodziny funkcji w
drugÄ….
Twierdzenie.
" Jeżeli f(t), g(t) są bezwzględnie całkowalne na R
oraz f(t) = g(t) dla prawie wszystkich t
(tzn. zbiór {t : f(t) = g(t)} jest skończony albo nieskończony przeliczalny,

albo nieprzeliczalny o długości (mierze Lebesgue a) 0, jak np. zbiór Cantora),
Ć
to f(É) = %1Å„(É) dla każdego É.
Ć
" Na odwrót, jeżeli f(t), g(t) sÄ… bezwzglÄ™dnie caÅ‚kowalne na R oraz f(É) = %1Å„(É) dla
każdego É, to f(t) = g(t) dla prawie wszystkich t.
Odwrotna transformata Fouriera.
Z twierdzenia całkowego Fouriera wynika, że jeżeli f(t) jest bezwzględnie całkowalna na R
i spełnia warunki Dirichleta na dowolnym odcinku ograniczonym, to dla dowolnego t
"

1
Ć
f(t) = f(É)eiÉtdÉ. (2)
2Ä„
-"
Ć
Po prawej stronie mamy tzw. odwrotnÄ… transformatÄ™ Fouriera funkcji f(É).
W ogólnym przypadku zachodzi
Twierdzenie.
Ć
Jeżeli f(t) i f(É) sÄ… bezwzglÄ™dnie caÅ‚kowalne na R, to równość (2) zachodzi dla prawie
wszystkich t.
Przykłady do zad. 2.3, 2.4
5
Splot funkcji:
Definicja.
Załóżmy, że f2(t), g2(t) są bezwzględnie całkowalne na R.
Definiujemy nowÄ… funkcjÄ™ - splot funkcji f i g:
"

def
h(t) = (f " g)(t) = f(s)g(t - s)ds.
-"
Uwaga.
Przy podanych założeniach splot f " g jest dobrze określony dla wszystkich t.
(W ogólnym przypadku wystarczy, że f(t), g(t) są bezwzględnie całkowalne na R, i wtedy splot
jest dobrze określony dla prawie wszystkich t.)
Własności splotu funkcji:
(1) przemienność f " g = g " f
Dowód:
îÅ‚ Å‚Å‚
t-s=u
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł -"

"
śł
ïÅ‚ -ds=du
1
śł
(f " g)(t)= f(s)g(t - s)ds=ïÅ‚ = f(t - u)g(u)(-du) = (g " f)(t)
ïÅ‚ śł
a
-" ïÅ‚ śł
s -" "
"
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
u " -"
(2) łączność f " (g " h) = (f " g) " h
(3) f " (g + h) = f " g + f " h
(cf) " g = c(f " g), c " R
Twierdzenie.
Jeżeli f(t) i g(t) są bezwzględnie całkowalne na R, to h(t) = (f " g)(t) jest bezwzględnie
całkowalna na R oraz
Ć
%
(É) = f(É) · %1Å„(É)
Szkic dowodu:
Całkowalność h wynika z twierdzenia Fubiniego.

" " " "

tw.Fubiniego
%
(É)= f(s)g(t - s)ds e-iÉtdt = f(s) g(t - s)e-iÉtdt ds =
-" -" -" -"

" "

Ć
= f(s)e-iÉs g(u)e-iÉudt ds = f(É) · %1Å„(É)
-" -"
Przykłady do zad. 2.5, 2.6
6
 Funkcja delta Diraca ´(t)
Definicja (nieformalna):
Delta Diraca ´(t) to  funkcja speÅ‚niajÄ…ca warunki:
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla t = 0

" ´(t) =
ôÅ‚
ół
" dla t = 0
"

" ´(t)dt = 1
-"
Paul Dirac wprowadził nieformalnie taki obiekt w mechanice kwantowej w 1928 r. Ścisłą
i poprawną definicję podała teoria dystrybucji w latach 40-tych i 50-tych XX wieku.
Intuicje: ´(t) reprezentuje nieskoÅ„czenie wielki impuls pojawiajÄ…cy siÄ™ w chwili t = 0 i
trwający nieskończenie krótko, przy czym efekt działania tego impulsu (mierzony całką
po całej prostej) jest jednostkowy.
Inna interpretacja: ´(t) reprezentuje masÄ™ jednostkowÄ… skupionÄ… w punkcie 0.
Konstrukcja delty Diraca:
Å„Å‚
ôÅ‚ 1
òÅ‚
0 dla |t| >
n
Bierzemy ciąg impulsów prostokątnych pn(t) =
ôÅ‚
ół n 1
dla |t|
2 n
"
n 2
Zauważmy, że pn(t)dt = · = 1 dla każdego n.
2 n
-"
DeltÄ™ Diraca definiujemy jako granicÄ™ ´(t) = lim pn(t).
n"
" "

Wtedy (nieformalnie) mamy ´(t)dt = lim pn(t)dt = 1.
n"
-" -"
50
pn(t)
n=1
n=2
n/2
n=10
n=100
pole=1
0
0
0
-1/n 0 1/n
7
Własności delty Diraca:
"

(1) JeÅ›li f(t) jest ciagÅ‚a w punkcie t = 0, to f(t)´(t)dt = f(0).
-"
(Jest to jedna z alternatywnych definicji delty Diraca.)
(2) f(t)´(t - a) = f(a)´(t - a) dla dowolnego a " R
"

(3) JeÅ›li f(t) jest ciagÅ‚a w punkcie t = a, to f(t)´(t - a)dt = f(a).
-"
"

(4) f(t) " ´(t - a) = f(s)´(t - a - s)ds = f(t - a)
-"
t
(5) ´(s - a)ds = Ç(t - a),
-"
Å„Å‚
1
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla t 0
gdzie Ç(t) = (funkcja Heavyside a).
ôÅ‚
ół
0
1 dla t > 0
0

funkcja Heavyside a Ç(t)
1 b
(6) ´(at + b) = ´ t + dla dowolnych a = 0, b " R

|a| a
Uwaga:
a´(t), a " R, to  funkcja speÅ‚niajÄ…ca warunki:
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
"
0 dla t = 0


a´(t) = oraz a´(t)dt = a.
ôÅ‚
ół -"
" dla t = 0
Transformata Fouriera delty Diraca:
Ć
" Z wÅ‚asnoÅ›ci (1) mamy ´(É) = e-iÉ·0 a" 1.
1

n
É
n sin(Ét) t= 1 sin
n
n
(Zauważmy, że pn(É) = 2 cos(Ét)dt = n = dla É = 0, a pn(0) = 1
Ć Ć
É
t=0
2 É
n
0
Ć
StÄ…d lim pn(É) = 1 = ´(É) dla każdego É.)
Ć
n"
Ć
" Dla f(t) a" 1 mamy zatem f(É) = 2Ä„´(É) (z transformaty odwrotnej).
8
Tabela: Transformaty Fouriera podstawowych funkcji
Ć
f(t) f(É)
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ e-t dla t 0
1
ôÅ‚
1 + iÉ
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 dla t < 0
2
e-|t|
1 + É2
"
É2
2
4
e-t Ä„e-
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2 sin(É)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ 1 dla |t| 1 òÅ‚ dla É = 0

É
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 dla |t| > 1 2 dla É = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -i(1 - e-iÉ)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ 1 dla 0 t 1 òÅ‚ dla É = 0

É
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 dla pozostaÅ‚ych t 1 dla É = 0
1 2Ä„´(É)
´(t) 1
9