1 2 Wykład Transformata Fouriera s Letni 2011 12

Politechnika Wrocławska
Wydział Elektroniki
Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki
Katedra Radiokomunikacji i Teleinformatyki
Wrocław
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
1.2. WYKAAD TRANSFORMATA FOURIERA
1.2. WYKAAD TRANSFORMATA FOURIERA
Transmisja Sygnału
Transmisja Sygnału
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera
FT
Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
�
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. CIGAE PRZEKSZTAACENIE FOURIER A
- TRANSFORMATA FOURIER A -
DEF.:
Ciągłym przekształceniem Fourier a, lub krótko
PRZEKSZTAACENIEM FOURIER A, dokonanym
na funkcji f(t) nazywamy przekształcenie całkowe
na funkcji f(t) nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
"
( 2.2.1 )
!{f(t)} = F(�) =
+"f(t)�" e-j�tdt
-"
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 3
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2 CIGAE PRZEKSZTAACENIE FOURIER A
- TRANSFORMATA FOURIER A -
ODWROTNYM PRZEKSZTAACENIEM FOURIER A,
nazywamy przekształcenie całkowe o postaci:
"
1
j�t
!-1{F(�)} = f(t) =
( 2.2.2 )
+"F(�)�"e �"d�
2Ą
-"
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 4
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA -
WARUNKI DIRICHLETA
funkcja f(t) jest jednowartościowa i ma w każdym
skończonym przedziale czasowym skończoną
liczbę maksimów i minimów,
funkcja f(t) ma skończoną liczbę nieciągłości w
dowolnym skończonym przedziale czasu,
dowolnym skończonym przedziale czasu,
funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna:
"
(2.2.3 )
f(t) dt < "
+"
-"
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 5
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA -
Warunek (2.2.3) bezwzględnej całkowalności funkcji f(t) jest
warunkiem wystarczającym ale NIE KONIECZNYM istnienia
transformaty Fouriera.
Istnieją funkcje osobliwe (np.: f. impulsowe: �(t), 1(t), sin �t, cos �t),
1
1
1
które nie są bezwzględnie całkowalne, lecz mają transformaty.
Funkcje, które nie spełniają powyższego warunku, i ściśle mówiąc
Funkcje, które nie spełniają powyższego warunku, i ściśle mówiąc
nie maja transformaty Fouriera, mają je w sensie dystrybucyjnym.
Wszystkie sygnały o skończonej energii, czyli spełniające warunek:
"
2
f(t) dt< " ( 2.2.4)
+"
-"
są transformowane w sensie Fouriera.
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 6
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- widmo amplitudowe i fazowe
Przez PRZEKSZTAACENIE FOURIER A funkcji f(t)
można przyporządkować jej transformatę F(�),
będącą FUNKCJ ZESPOLON zmiennej
rzeczywistej �:
( 2.2.5)
F(�) = F(�) �" ej�(�)
przy czym:
IF(�)I - CIGAE WIDMO AMPLITUDOWE
�(�) - CIGAE WIDMO FAZOWE
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 7
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- widmo amplitudowe i fazowe
WIDMO AMPLITUDOWE
IF(�)I
! {f(t)}=! {e-t1(t)}
Dla rzeczywistej funkcji f(t):
F(-�) = F*(�), co oznacza
IF(-�)I= IF(�)I
IF(-�)I= IF(�)I
- WIDMO AMPLITUDOWE
�
- jest PARZYST funkcją �
�( � )
Ą/2 Rys. 2.2.1.
�k
�(-�) = - �(�)
k =
�1
�
- WIDMO FAZOWE
- jest NIEPARZYST funkcją �
-Ą/2
WIDMO FAZOWE
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 8
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
" " �
- jarctg
1 1
1. JEDNOSTRONNY SYGNAA WYKAADNICZY
-ąt j�t -(ą + j�)t
ą
F(�) = dt = = e
+"e 1(t)e- dt = +"e
2
ą + j�
f (t) = e-ąt 1(t) ą + �2
-" 0
1/ą
IF(�)I
�( � )
1
Ą/2
�
�
t
-Ą/2
" 0 "
2
2. DWUSTRONNY SYGNAA WYKAADNICZY
-ąt (ą-j�)t -(ą+j�)t
F(�) = dt = ; �(�) = 0
+"e �" e-j�tdt = +"e dt + +"e
ą2 + �2
f (t) = e-ąItI -" -" 0
F(�)=IF(�)I
1
2/ą
t
�
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 9
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
�
��
3. FUNKCJA (bramka) PROSTOKTNA
�� sin
2
j -j
1 ��
2
2 2
�
ńł1, t <
F(�) = e-j�tdt = (e - e ) = � = � �" Sa{ }
+"1�"
��
j� 2
�ł
t � �
�
2
-
f(t) = ( ) = =1(t + ) - 1(t - )
�ł
2
� df 2
� 2 2
�ł
0, t >
�
ół 2
1
2Ą 2Ą 6Ą
6Ą
-
-
-
-
� � �
� � �
�
�
�
�
4Ą
4Ą
t
-
�
�
-�/2 �/2
��
� sin2
4. FUNKCJA (bramka) TRÓJKTNA
t
��
F(�) =
ńł t
+"(1- � ) �" e-j�tdt = � �� 2 = � �"Sa2{ 2 }
t
�ł
1- , t < �
-�
( )2
f(t) = �( ) =
�ł
�
2
�
�
�ł
0, t > �
ół
1
2Ą
6Ą
2Ą 4Ą
4Ą
6Ą
-
-
-
�
t
� �
-� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 10
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
f (t) F (�)
5. t - 2
�2
6. � (t) 1
7. 1 2Ą � (�)
7. 1 2Ą � (�)
8. 1 (t) Ą � (�)+(j �)-1
9. cos �0 t Ą [� (�+ �0)+� (�- �0)]
10. sin �0 t jĄ [� (�+ �0)-� (�- �0)]
�
� � �" t
11.
{ }
�"Sa{ }
2Ą 2 �
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 11
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
PRZEKSZTAACENIE FOURIER A jest pewnym środkiem do
wyrażania funkcji przez jej składowe wykładnicze o różnych
częstotliwościach.
Transformata jest zatem innym sposobem przedstawiania tej
funkcji.
funkcji.
Mamy więc dwa opisy tej samej funkcji:
DZIEDZINIE CZASU
w DZIEDZINIE CZASU i
w DZIEDZINIE CZSTOTLIWOŚCI.
Bardzo poglądowe jest badanie efektu w jednej dziedzinie,
spowodowanego pewnymi operacjami (np. różniczkowania,
przesuwania w dziedzinie, skalowania, itp. ) na funkcji w innej
dziedzinie.
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 12
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. REPREZENTACJA SYGNAAU W DWÓCH DZIEDZINACH
2.2. REPREZENTACJA SYGNAAU W DWÓCH DZIEDZINACH
�
t
4�1
T4=T1/4
3�1
t
T =T /3
T3=T1/3
2�1
t
T2=T1/2
�1
t
T1=2Ą/�1
Rys. 2.2.2.
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 13
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
Poniżej przedstawimy przegląd właściwości przekształcenia
L.p WAAŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
LINIOWŚĆ
LINIOWŚĆ
1 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(�)+ a2F2(�)
PODOBIECSTWO
PODOBIECSTWO
PODOBIECSTWO
PODOBIECSTWO
1 �
1 �
2 f (at)
2 f (at)
F( )
F( )
a a
PRZESUNICIE
PRZESUNICIE
3 f (t t0) F(�) e-j�to
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
PRZESUNICIE
PRZESUNICIE
4 f(t) e-j�ot F(�- �0 )
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
- Tw. O MODULACJI
- Tw. O MODULACJI
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 14
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
L.p WAAŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
5 (j�)n F (�)
dnf(t)
)
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
dt
dtn
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
6 (-jt)n f (t)
dnF(�)
)
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
d�n
t
CAAKOWANIE
CAAKOWANIE
7
1
f(�)�" d�
�"F(�)
+"
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
j�
0
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 15
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
L.p WAAŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
SPLOT
SPLOT
8 F1 (�) � F2 (�)
"
f1(t) " f2(t) = f1(�)�" f2(t - �)�" d�
+"
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
�=-"
SPLOT
SPLOT
SPLOT
SPLOT
9
9
1
f
(t)�f2(t)
�"[F1(�) "F2(�)]
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
1
2Ą
ENARGIA GSTOŚĆ WIDMOWA
ENERGIA
ENERGIA
10
[R=1&!; i(t) lub u(t) = f(t)]
ENARGII
- wzór PARSEVAL A
- wzór PARSEVAL A
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 16
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
Dla danego sygnału s(t) w dziedzinie czasu
składowe widmowe S(f) otrzymujemy z zależności:
j2Ąft
S( f ) = dt
S( f ) = dt
+"s(t) �" e
+"s(t) �" e-
i vice versa:
j2Ąft
s(t) = df
+"S( f ) �" e
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
Podstawowe informacje wynikające z Transformaty Fouriera:
- j2Ąft
S( f ) = dt
+"s(t)e
(1) Dla ustalonej częstotliwości f całkowanie pokazuje
nam jak wiele harmonicznych zawiera sygnał s(t).
nam jak wiele harmonicznych zawiera sygnał s(t).
Spectrogram - Widmo
f
A
f
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
(2) Gładkość:
Bardzo gładka
s(t) |S(f)|
FT
t f
s(t)
s(t)
|S(f)|
|S(f)|
Gładka FT
50Hz
50Hz
t
f
s(t) |S(f)|
100Hz FT
Szybko-zmienna
100Hz
t f
(więcej zmian w czasie!)
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
(2) Gładkość :
s(t) |S(f)|
FT
50Hz
Gładka
50Hz
t f
+
s(t) |S(f)|
100Hz FT
100Hz FT
Zmienna
100Hz
t f
=
s(t) |S(f)|
50Hz + 100Hz FT
równomiernie
zmienna
50Hz 100Hz
t f
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
(2) Gładkość:
gładka
s(t) |S(f)|
FT
50Hz
t f
wyboista
s(t) |S(f)|
FT
100Hz
t f
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
(2) Gładkość:
s(t) |S(f)|
FT
sinc(f)
50Hz
t f
T=20ms
s(t) |S(f)|
FT
100Hz
t f
T=10ms
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
FILTR: Co powoduje, że widmo jest nieskończone?
s(t) |S(f)|
FT
sinc(f)
50Hz
t f
T=20ms
s(t) |S(f)|
IFT
50Hz
t f
T=20ms
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
FILTR: W Telekomunikacji każdy użytkownik ma
przydzielone określone PAMO CZSTOTLIWOŚCI.
Dlatego też stosuje się FILTRY ograniczające
nieskończone pasmo impulsów prostokątnych.
filtr
s(t) |S(f)|
FT
FT
T=20ms
50Hz
t f
s(t)
|S(f)|
IFT
T=20ms
50Hz
t
f
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
Sygnał o dużej zmienności amplitudy
w czasie, zawiera więcej składowych
w czasie, zawiera więcej składowych
widma o wysokiej częstotliwości
- zajmuje szersze PASMO.
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
UWAGA!!!
Nie ZAPOMINAJMY, że Transformata jest GLOBALNA!
Sumujemy składowe w całej dziedzinie czasu. Dlatego
też, wszystko co dzieje się z sygnałem w określonej
sytuacji lub w krótkim przedziale czasu
JEST UŚREDNIANE!
s(t) |S(f)|
s(t) |S(f)|
FT
0 1 0 sinc(f)
T=20ms
50Hz
t f
s(t)
|S(f)|
00 11 00
T=10ms
FT
100Hz
teoretycznie
t
f
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transformata Fouriera - właściwości
Blackboard!
Tak więc tradycyjna transformata Fouriera, FT
ma WAD (niedoskonałość):
Informuje nas które częstotliwości są wykorzystane,
ale NIE kiedy!
Przykład: CHIRP (co powoduje, że widmo jest nieskończone?)
Morał:
Stosuj FT, gdy jesteś zainteresowany tym jakie (w przybliżeniu) widmo
zajmuje sygnał w ciągu całego czasu trwania!
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
Transmisja
Transmisja
(przenoszenie) sygnału
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
UKAAD ELEKTRONICZNY
pobudzenie reakcja / odpowiedz
na WE a WY
SLS
SLS
r(t)
r(t)
p(t)
p(t)
h(t) H(�)
R(�)
P(�)
transmitancja /
funkcja przenoszenia
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 29
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
Niech pobudzenie pewnego STABILNEGO układu SLS o
charakterystyce impulsowej*/ h(t) będzie bezwzględnie
całkowalną funkcją czasu.
Reakcję układu na pobudzenie p(t) można wyznaczyć
stosując CAAK SPLOTU :
stosując CAAK SPLOTU :
( 2.2.6)
r(t) = p(t) * h(t) = +" p(�) h(t-�) d�
Po ! - przekształceniu tej równości otrzymujemy:
R(�) = P(�) H(j�)
( 2.2.7)
gdzie: R(�)= !{r(t)}, P(�)= !{p(t)}, H(j�)= !{h(t)}
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 30
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
Wielkość H(j�) nazywa się
CHARAKTERYSTYK WIDMOW
CHARAKTERYSTYK WIDMOW układu
Zespoloną funkcję zmiennej rzeczywistej � można
zapisać w postaci:
H(j �) = IH(j �)I ej�(�) ( 2.2.8)
H(j �) = IH(j �)I ej�(�) ( 2.2.8)
przy czym:
IH(j � �)
�)I = A(� AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA
� �
� �
WIDMOWA
�(� - FAZOWA CHARAKTERYSTYKA
� �
� �)
� �
WIDMOWA
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 31
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
Będziemy rozważać tylko układy ściśle stabilne, tj. takie
dla których
( 2.2.9)
"
"
h(t) dt < "
+"
-"
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 32
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.2. CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKAADU
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKAADU
CHARAKTERYSTYK IMPULSOW h(t) lub REAKCJ IMPULSOW układu,
nazywamy reakcję wywołaną przez pobudzenie
p(t) = � (t)
( 2.2.10)
Uwzględniając, że ! {� (t)}=1,z równania R(s) = H(s) P(s)
otrzymujemy:
( 2.2.11)
h(t) = !-1 {IH(j �)}
! �
REAKCJA IMPULSOWA h(t) jest zatem równa odwrotnej
transformacie Laplace a funkcji układu H(s) , s=j �:
r(t) = !-1{H(s) �" P(s)} = h(t) "p(t) =
( 2.2.12)
t+ t+
= p(t - �) �" h(�) �" d� =
+" +"h(t - �) �" p(�) �" d�
0- 0-
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 33
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.3. UKAADY KSZTAATUJCE
2.2.3. UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
Często w praktyce konstruuje się układy, które w
sposób celowy powinny wprowadzać zniekształcenia
(przekształcenie) sygnału wejściowego.
Przykładem mogą być
UKAADY RÓŻNICZKUJCE,
UKAADY RÓŻNICZKUJCE,
UKAADY CAAKUJCE,
UKAADY MNOŻCE,
UKAADY SUMUJCE,
UKAADY ODWRACAJCE,
ITP.
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 34
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.4. UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
UKAAD RÓŻNICZKUJCY
Reakcja r(t) układu różniczkującego powinna być
proporcjonalna do pochodnej pobudzenia p(t):
d
r(t) = �r �" p(t)
( 2.2.13)
dt
�r jest współczynnikiem proporcjonalności o wymiarze czasu.
Dokonując przekształcenia Fourier a na (15.12)
Dokonując przekształcenia Fourier a na (15.12)
otrzymujemy:
( 2.2.14)
Rr(�) = j��r �"P(�)
Co oznacza, że charakterystyka widmowa układu
różniczkującego jest wyrażona wzorem
Hr(j�) = j��r ( 2.2.15)
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 35
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.4. UKAAD RÓŻNICZKUJCY
PRZYKAAD 2.2.1
PRZYKAAD 2.2.1
Schemat układu różniczkującego
przedstawiono na rys. 15.3.
C
Charakterystyka widmowa układu:
j�RC
R
U1 U2
Hr(j�) =
1+ j�RC
1+ j�RC
Jeśli parametry dobierze się tak, że
�RC<<1,
Rys. 2.2.3.
Układ może w przybliżeniu realizować
operację różniczkowania
H(j�) E" j�RC = j��r
1
�r = RC <<
Przy czym:
�max
- stała czasowa MUSI być jak najmniejsza
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 36
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.5. UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
UKAAD CAAKUJCY
Reakcja r(t) układu całkującego powinna być
proporcjonalna do całki pobudzenia p(t):
r(t) H" k �"
( 2.2.16)
+"p(t) �" dt
lub
lub
d 1
d 1
�C r(t) = p(t) Rc(�) = �"P(�)
"!
dt j��r
!{.}
Charakterystyka widmowa układu całkującego jest zatem
wyrażona wzorem:
1
HC(j�) =
( 2.2.17)
j��C
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 37
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji
2.2.5. UKAAD CAAKUJCY
PRZYKAAD 2.2.2
PRZYKAAD 2.2.2
Schemat układu całkującego przedstawiono na rys.
15.4.
R
Charakterystyka widmowa układu:
C
U1 U2 1
H(j�) =
1+ j�RC
Jeśli parametry dobierze się tak, że �RC>>1,
Rys. 2.2.4.
Układ może w przybliżeniu realizować operację
całkowania, ponieważ
1 1
HC(j�) E" =
j�RC j��C
1
Przy czym:
�C = RC >>
�min
- stała czasowa MUSI być jak największa
�
�
�
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 38
�
�
1.2 Podstawy Telekomunikacji

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1 1 Wykład Szereg Fouriera s Letni 2011 12
R Pr MAEW104 wyklad3 transformata Fouriera
Prace 2011 12 v1
gm geograficzny szkolny zadania 2011 12
PRAWO WYKLAD VII 06 02 2011 1
cke 2011 12 czerwiec PR arkusz
Biologia Egzamin praktyczny 2011 12 MAKRO
Egzamin Teoria Wykład 01 (10) 14 (15) v 0 12 63 BETA
cw8 analiza widmowa metoda szybkiej transformaty fouriera (FFT)
(UW MPZ 2011 12 wyk I [tryb zgodno ci])
Pig 2011 12, cz 1
Bieńkowska i inni Wykład Prawa Karnego Procesowego Ro 12
cke 2011 12 maj PP arkusz
zimaKat 2011 12

więcej podobnych podstron