Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 11: Zmienne losowe dwuwymiarowe. Roz-
kłady łączne, brzegowe. Niezależność zmiennych lo-
sowych. Momenty. Współczynnik korelacji.
Zmienne losowe dwuwymiarowe, rozkład łączny, rozkłady
brzegowe.
Definicja.
Zmienna losowa dwuwymiarowa to wektor (X, Y ), którego składowe X, Y są
zmiennymi losowymi.
Rozkład wektora losowego (X, Y ) to funkcja P ((X, Y ) " C), gdzie C to bo-
relowski podzbiór płaszczyzny R2. Nazywamy go rozkładem łącznym zmiennych
losowych X, Y .
Rozkład zmiennej losowej X i rozkład zmiennej losowej Y nazywamy rozkładami
brzegowymi wektora losowego (X, Y ).
Pełna informacja o rozkładzie łącznym zmiennych losowych X, Y zawarta jest:
(a) w dystrybuancie tego rozkładu, czyli funkcji
FX,Y (x, y) = P (X < x, Y < y)
(b) w przypadku dyskretnego wektora losowego (X, Y ) zawarta jest także w ciągu
trójek {(xn, yk, pnk), n " T1 ‚" N, k " T2 ‚" N}, gdzie {xn, n " T1} oraz {yk, k " T2}
to ciągi wszystkich wartości przyjmowanych odpowiednio przez X i Y z dodatnimi
prawdopodobieństwami, natomiast pnk = P (X = xn, Y = yk), n " T1, k " T2.
(Ciągi {xn, n " T1} oraz {yk, k " T2} muszą być różnowartościowe, natomiast

pnk 0 dla wszystkich n, k oraz pnk = 1, aby rozkład był dobrze określony.)
n"T1 k"T2
(c) w przypadku ciągłego rozkładu wektora losowego (X, Y ) zawarta jest także w
gęstości łącznej f(x, y), czyli takiej funkcji f(x, y) 0 dla każdego (x, y), że
x y
FX,Y (x, y) = ds f(s, t)dt
-" -"
(Aby funkcja f(x, y) była gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa musi
" "

spełniać warunki: f(x, y) 0 dla każdego (x, y) oraz dx f(x, y)dy = 1.)
-" -"
1
Fakt: Jeśli znamy rozkład łączny, to znamy też rozkłady brzegowe, gdyż:
FX(x) = P (X < x) = P (X < x, Y < ") = lim FX,Y (x, y),
y"
FY (y) = P (Y < y) = P (X < ", Y < y) = lim FX,Y (x, y)
x"
W przypadku dyskretnego wektora losowego (X, Y ) zadanego ciagiem
{(xn, yk, pnk), n " T1, k " T2}:
rozkÅ‚ad zmiennej losowej X zadany jest ciÄ…giem {(xn, pn·), n " T1}, gdzie

pn· = P (X = xn) = P (X = xn, Y = yk) = pnk
k"T2 k"T2
Podobnie, rozkÅ‚ad zmiennej losowej Y zadany jest ciÄ…giem {(yk, p·k), k " T2},

gdzie p·k = P (Y = yk) = P (X = xn, Y = yk) = pnk
n"T1 n"T1
W przypadku wektora o rozkładzie ciągłym o gęstości łącznej f(x, y)
można pokazać, że:
"

rozkład zmiennej losowej X jest ciągły o gęstości fX(x) = f(x, y)dy,
-"
"

rozkład zmiennej losowej Y jest ciągły o gęstości fY (y) = f(x, y)dx.
-"
Niezależność zmiennych losowych
Definicja.
Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy dla dowolnych borelowskich zbiorów B1 i B2
zdarzenia {X " B1} i {Y " B2} są niezależne, tzn. P (X " B1, Y " B2) = P (X "
B1)P (Y " B2).
Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn są niezależne, gdy dla dowolnych borelowskich zbiorów
B1, B2, . . . , Bn rodzina {{Xi " Bi}, i = 1, 2, . . . , n} jest rodziną zdarzeń niezależnych.
Fakt.
Zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (x, y)
FX,Y (x, y) = FX(x)FY (y).
W przypadku rozkładu dyskretnego warunek ten jest równoważny warunkowi
pnk = pn·p·k
dla każdego (n, k) z odpowiedniego zakresu.
W przypadku rozkładu ciągłego warunkiem równoważnym jest
f(x, y) = fX(x)fY (y)
dla prawie wszystkich (x, y) (tzn. równość może nie zachodzić na zbiorze o polu 0).
Przykłady do zad. 10.1, 10.2
2
Wartość oczekiwana i macierz kowariancji zmiennej loso-
wej dwuwymiarowej. Współczynnik korelacji.
Definicja.
(EX, EY ) to wektor wartości oczekiwanych zmiennej losowej dwuwymiarowej (X, Y ).
Cov(X, Y ) = EXY - EXEY - współczynnik kowariancji zmiennych X i Y

D2X Cov(X, Y )
to macierz kowariancji zmiennej losowej dwuwymiarowej (X, Y )
Cov(X, Y ) D2Y
Parametry te są dobrze określone, o ile istnieją wartości oczekiwane i wariancje zmiennych
losowych X i Y
Fakt.
Dla dowolnej funkcji borelowskiej
" "

EZ = Eg(X, Y ) = g(x, y)dFX,Y (x, y) =
-" -"
Å„Å‚

ôÅ‚ g(xn, yk)pnk, gdy X ma rozkÅ‚ad dyskretny
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ n"T1 k"T2
òÅ‚
zadany ciÄ…giem {(xn, yk, pnk), n " T1, k " T2};
=
ôÅ‚ " "
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
g(x, y)f(x, y)dxdy, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x, y).
ół
-" -"
o ile całka (szereg) zbieżne.
Stąd jeśli istnieją EX i EY , to
E(X + Y ) = EX + EY
oraz jeśli istnieją D2X i D2Y , to
D2(X + Y ) = D2X + D2Y + 2Cov(X, Y ).
Definicja.
Przy założeniu, że istnieją D2X > 0 i D2Y > 0, określamy współczynnik korelacji
zmiennych losowych X i Y jako:
Cov(X, Y )
"
ÁXY = .
D2X · D2Y
Własności współczynnika korelacji:
" |ÁXY | 1.
" |ÁXY | = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy Y = aX + b dla pewnych staÅ‚ych a = 0, b, przy

czym ÁXY = 1 odpowiada a > 0, a ÁXY = -1 odpowiada a < 0 (peÅ‚na liniowa
zależność Y od X).
" Gdy ÁXY = 0, mówimy, że X i Y sÄ… nieskorelowane.
Przykłady do zad. 10.3
3