Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 2: Transformata Fouriera
Przykłady do zadania 2.1 :
Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Fouriera podanej funkcji f(t):

1 dla 0 t 1
(a) f(t) =
0 dla pozostałych t
" Dla É = 0 mamy



1 1
sin(Ét) cos(Ét) sin É 1 - cos É
t=1 t=1
Ć
f(É) = cos(Ét)dt-i sin(Ét)dt = -i - = -i
t=0 t=0
É É É É
0 0

t=1
1
e-iÉt e-iÉ - 1 i(e-iÉ - 1) sin É 1 - cos É

Ć
II sposób: f(É) = e-iÉtdt = = = = -i
t=0
-iÉ -iÉ É É É
0
1

Ć
" f(0) = dt = 1
0
f(t)
1
1
Re f^ (É)
0
(É)
Im f^
0
-1
0 1 -50 0 50
Ä„
1
0
0
-Ä„
-50 0 50 -50 0 50
widmo amplitudowe widmo fazowe
1

e-t dla t 0
(b) f(t) =
0 dla t < 0
" "
e-T (- cos(ÉT ) + É sin(ÉT )) 1
Ć
f(É) = e-t cos(Ét)dt - i e-t sin(Ét)dt = lim + +
T "
1 + É2 1 + É2
0 0

-e-T (sin(ÉT ) + É cos(ÉT )) É 1 É
-i lim - i = - i
T "
1 + É2 1 + É2 1 + É2 1 + É2
Granice równe są 0, bo e-T 0 przy T ", a reszta funkcji jest ograniczona.
"
e-t(1+iÉ) t=T 1 1 É

Ć
II sposób: f(É) = e-te-iÉtdt = lim = = - i
t=0
T " -(1 + iÉ) 1 + iÉ 1 + É2 1 + É2
0
1
Re f^
f(t) (É)
1
0
0
Im f^ (É)
-0.5
-5 0 5 -50 0 50
2
1
1
0
-1
0
-2
-50 0 50 -50 0 50
widmo amplitudowe
widmo fazowe
Obl.pomocnicze:



f = cos(Ét) g = e-t
e-t cos(Ét)dt = = -e-t cos(Ét) - É e-t sin(Ét)dt =
f = -É sin(Ét) g = -e-t



f = sin(Ét) g = e-t
= = -e-t cos(Ét) - É (-e-t sin(Ét) + É e-t cos(Ét)dx) =
f = É cos(Ét) g = -e-t

= e-t(- cos(Ét) + É sin(Ét)) - É2 e-t cos(Ét)dt + c, c " R
e-t(- cos(Ét) + É sin(Ét))
Zatem e-t cos(Ét)dt = + C, C " R
1 + É2
-e-t(sin(Ét) + É cos(Ét))
Podobnie e-t sin(Ét)dt = + C, C " R
1 + É2
2

1 dla |t| Ä„
(c) f(t) =
0 dla |t| > Ä„
Ä„
sin(Ét) 2 sin(ÉÄ„)
t=Ä„
Ć
" funkcja jest parzysta, zatem f(É) = 2 cos(Ét)dt = 2 = dla É = 0

t=0
É É
0
t=Ä„
Ä„
e-iÉt e-iÉÄ„ - eiÉÄ„ 2 sin(ÉÄ„)

Ć
II sposób: f(É) = e-iÉtdt = = =
t=-Ä„
-iÉ -iÉ É
-Ä„
Ä„

Ć
" f(0) = 2 dt = 2Ä„
0
6
f(t) Re f^(É)
1
0
0
-2
-5 0 5 -10 -5 0 5 10
4
6
0
0
-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
widmo amplitudowe
widmo fazowe
(d) f(t) = e-|t|
funkcja parzysta, zatem
"
2e-T (- cos(ÉT ) + É sin(ÉT )) 2 2
Ć
f(É) = 2 e-t cos(Ét)dt = lim + =
T "
1 + É2 1 + É2 1 + É2
0
(wykorzystaliśmy obl.pom. z przykładu (b))
1 2 (É)
f(t)
Re f^
0
0
-10 0 10 -10 0 10
3

sin t dla |t| Ä„
(e) f(t) =
0 dla |t| > Ä„
Ä„

Ć
" funkcja nieparzysta, zatem f(É) = -2i sin t sin(Ét)dt =
0

Ä„
sin((1 - É)Ä„) sin((1 + É)Ä„)
= -i (cos((1 - É)t) - cos((1 + É)t)dt = -i - dla |É| = 1

1 - É 1 + É
0
ze wzoru 2 sin ax sin bx = cos(a - b)x - cos(a + b)x
Ä„

Ć
" f(1) = -i (1 - cos(2t))dt = -iĄ
0
Ä„

Ć
" f(-1) = -i (cos(2t) - 1)dt = iĄ
0
4
f(t)
Im f^
(É)
1
2
0 0
-2
-1
-4
-5 0 5 -10 -5 0 5 10
4 2
Ä„/2
3
1
2
0
1
-1
0
-2
-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
widmo amplitudowe widmo fazowe
4
Przykłady do zadania 2.2 :
KorzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci transformaty Fouriera wyznaczyć %1Å„(É) dla podanej funkcji g(t):

3 + 2 sin t dla |t| Ä„
(a) g(t) =
0 dla |t| > Ä„

1 dla |t| Ä„ sin t dla |t| Ä„
" Mamy g(t) = 3f1(t)+2f2(t), gdzie f1(t) = , f2(t) =
0 dla |t| > Ä„ 0 dla |t| > Ä„
to funkcje odpowiednio z przykładów 2.1 (c) i (e).
Ć Ć
" Zatem %1Å„(É) = 3f1(É) + 2f2(É) =

Å„Å‚
sin((1 - É)Ä„) sin((1 + É)Ä„)
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -i - dla |É| = 1

2 sin(ÉÄ„)
òÅ‚ òÅ‚
dla É = 0 1 - É 1 + É

= 3 + 2
É
ół ôÅ‚
-iÄ„ dla É = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
2Ä„ dla É = 0
ół
iÄ„ dla É = -1

1 dla |t - 4| Ä„
(b) g(t) =
0 dla |t - 4| > Ä„

1 dla |t| Ä„
" Mamy g(t) = f(t - 4), gdzie f(t) = to funkcja z przykładu 2.1 (c)
0 dla |t| > Ä„
Å„Å‚
2 sin(ÉÄ„)
òÅ‚
e-4iÉ dla É = 0

Ć
" Zatem %1Å„(É) = f(É)eiÉ(-4) =
É
ół
2Ä„e-4iÉ dla É = 0
(c) g(t) = e-5|t|
" Mamy g(t) = f(5t), gdzie f(t) = e-|t| to funkcja z przykładu 2.1 (d).

10
1 É
Ć
" Zatem %1Å„(É) = f =
5 5
25 + É2

e-2(t+1) dla t -1
(d) g(t) =
0 dla t < -1

e-t dla t 0
" Mamy g(t) = f(2(t + 1)), gdzie f(t) = to funkcja z przykładu 2.1 (b).
0 dla t < 0
RozpisujÄ…c, g(t) = h(t + 1) dla h(t) = f(2t).


4 2É
1 É 1
Ć
" Zatem %1Å„(É) = %
(É) eiÉ = f eiÉ = - i eiÉ
2 2 2
4 + É2 4 + É2
5
2
(e) g(t) = e-t
"
"
2
" Pokażemy najpierw, że e-t dt = Ą.
-"
2
" " " 2Ä„ "

2 2 2 2 2
e-t dt = e-x dx e-y dy = e-(x +y2) dxdy = dÕ e-Á Á dÁ =
2
-" -" -" 0 0
R
"

"

1 2
2
= 2Ä„ · - e-Á = Ä„, przy czym e-t dt 0.


2
-"
0
" Z własności pochodnej w spektrum
ëÅ‚ öÅ‚
" "

" 2
"
i d 2 i 2
2
íÅ‚
(%1Å„) (É) = -i te-t e-iÉtdt = (e-t )e-iÉtdt = e-t e-iÉt + e-t iÉe-iÉtdtÅ‚Å‚ =

-"
2 dt 2
-"
-" -"
É
= 0 - %1Å„(É)
2
"
2 2 2
przy czym e-t e-iÉt = 0, gdyż |e-t e-iÉt| e-t 0 przy t Ä…"

-"
" Otrzymaliśmy zatem równanie różniczkowe
É
(%1Å„) (É) = - %1Å„(É) (1)
2
"
"
2
z warunkiem poczÄ…tkowym %1Å„(0) = e-t dt = Ä„.
-"
É É2

" Równoważnie (ln %1Å„(É)) = - Ð!Ò! ln %1Å„(É) = - + C,
2 4
"
É2
co wraz z war.pocz. daje %1Å„(É) = Ä„e- 4

te-t dla t 0
(f) g(t) =
0 dla t < 0

e-t dla t 0
" Mamy g(t) = tf(t), gdzie f(t) = to funkcja z przykładu 2.1(b)
0 dla t < 0

Ć
" Wtedy wiemy, że (f) (É) = -i%1Å„(É).


1 1

Ć
" StÄ…d %1Å„(É) = i(f) (É) = i = i · (-i)(1 + iÉ)-2 =
1 + iÉ (1 + iÉ)2
2 2
(g) g(t) = (e-t ) = -2te-t
2
" g(t) = f (t), gdzie f(t) = e-t to funkcja z przykładu 2.2(e).
" "

2 2
" g(t) jest ciągła oraz |g(t)|dt = 2 2te-t dt = 2 lim (-e-T + 1) = 2 < "
T "
-" 0
"
É2
Ć
4
" Zatem %1Å„(É) = iÉf(É) = iÉ Ä„e-
6
Przykłady do zadania 2.3 :
Ć
Podać funkcjÄ™ f(t), jeÅ›li jej transformata Fouriera ma postać f(É):
2
Ć
(a) f(É) =
1 + 2iÉ

e-t dla t 0
" Na podstawie przykÅ‚adu 2.1(b) wiemy, że dla g(t) = mamy %1Å„(É) =
0 dla t < 0
1
1 + iÉ
Ć
" f(É) = 2%1Å„(2É)

e-t/2 dla t 0
" Zatem f(t) = g(t/2) = dla prawie wszystkich t
0 dla t < 0
Å„Å‚
8 sin(É/4)
òÅ‚
dla É = 0

Ć
(b) f(É) =
É
ół
2 dla É = 0
Å„Å‚

2 sin(É)
òÅ‚
1 dla |t| 1
dla É = 0

" Wiemy, że dla g(t) = mamy %1Å„(É) =
É
ół
0 dla |t| > 1
2 dla É = 0

1 É
Ć
" f(É) = 4 · %1Å„
4 4

4 dla |t| 1/4
" Zatem f(t) = 4g(4t) = dla prawie wszystkich t
0 dla |t| > 1/4
Przykład do zadania 2.4 :
Korzystając z twierdzenia o transformacie odwrotnej wyznaczyć transformatę Fouriera
1
funkcji g(t) = .
t2 + 1
2
Ć
" Z przykÅ‚adu 2.1(d) dla ciÄ…gÅ‚ej funkcji f(t) = e-|t| mamy f(É) = .
1 + É2
"

Ć
" |f(É)|dÉ = 2Ä„ < ".
-"
"

1
Ć
" Z twierdzenia o transformacie odwrotnej mamy f(t) = f(É)eitÉdÉ, czyli
2Ä„
-"
"

2
eitÉdÉ = 2Ä„e-|t|
1+É2
-"
" Równoważnie (zastÄ™pujÄ…c literÄ™ É przez literÄ™ t, zaÅ› t przez -É) otrzymujemy:
"

1
e-itÉdt = Ä„e-|-É|.
t2+1
-"
" StÄ…d %1Å„(É) = Ä„e-|É|
7
Przykłady do zadania 2.5 :
Wyznaczyć z definicji splot h(t) = f " g(t) dla podanych funkcji f i g. Wyznaczyć transformatę
Fouriera splotu h(t):

4 dla 0 t 1
(a) f(t) = , g(t) = e-|t|
0 dla pozostałych t
4 4
g(t)
f(t)
0 0
-4 0 4 -4 0 4
4
4 4
f(x)
f(x) f(x)
g(t-x) g(t-x)
g(t-x)
0 0 0
-4 0 1 4 -4 0 1 4 -4 0 1 4
te"1 td" 0
04 4 4
4e-(t-x)
4e-(t-x) 4e-(x-t)
4e-(x-t)
0 0 0
-4 0 1 4 -4 0 1 4 -4 0 t 1 4
f(x)g(t-x)
Å„Å‚
1

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
4 e-(t-x)dx dla t 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ 1
" 1


4 e-(x-t)dx dla t 0
" h(t) = f(x)g(t-x)dx = 4e-|t-x|dx = =
ôÅ‚
0
-" 0 ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚ t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 4 e-(t-x)dx + e-(x-t)dx dla 0 < t < 1
ół
0 t
Å„Å‚
ôÅ‚ 4e-t(e - 1) dla t 1
òÅ‚
= 4et(-e-1 + 1) dla t 0
ôÅ‚
ół
4 (2 - et-1 - e-t) dla 0 < t < 1

sin É 1 - cos É 2
Ć
" %
(É) = f(É)%1Å„(É) = 4 - i dla É = 0, %
(0) = 8

É É 1 + É2
8

e-t dla t 0
(b) f(t) = g(t) =
0 dla t < 0
f(t)=g(t)
1
0
-4 0 4
f(x)
g(t-x)
1 1
f(x)
g(t-x)
0 0
-4 0 t>0 4 -4 t<0 0 4
1 1
e-t
0 0
-4 0 4 -4 -2 0 2 4
f(x)g(t-x)
Å„Å‚

t
ôÅ‚
òÅ‚
"

e-xe-(t-x)dx dla t 0 te-t dla t 0
" h(t) = f(x)g(t - x)dx = =
0
ôÅ‚
0 dla t < 0
-" ół
0 dla t < 0
2
1
Ć
" %
(É) = f(É)%1Å„(É) =
1 + iÉ
Przykłady do zadania 2.6 :
Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji h(t) = f " g(t) dla podanych funkcji f i g.
Na tej podstawie podać postać funkcji h(t):
2
(a) f(t) = g(t) = e-t
2
"
"
" Ä„ "
2
Ć
" %
(É) = f(É)%1Å„(É) = Ä„e-É /4 = 2 Ä„e-( 2É)2/4
2

"
Ä„ Ä„
2
" StÄ…d h(t) = e-(t/ 2)2 = e-t /2
2 2
1
(b) f(t) = g(t) =
1 + 4t2
2
Ä„ Ä„
Ć
" %
(É) = f(É)%1Å„(É) = e-|É/2| = (Ä„e-|É|)
2 4
Ä„ 1
" StÄ…d h(t) =
4 1 + t2
9