ÿþA n a l i z a M a t e m a t y c z n a M A E W 1 0 1
M A P 1 0 6 7
W y d z i a B E l e k t r o n i k i
P r z y k Ba d y d o L i s t y Z a d a D n r 1
C i g i l i c z b o w e
O p r a c o w a n i e : d r h a b . A g n i e s z k a J u r l e w i c z
1
P r z y k Ba d y d o z a d a n i a 1 . 1 :
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e D o a r y t m e t y c e g r a n i c o r a z o g r a n i c a c h n i e w Ba [c i w y c h c i g ó w o b l i c z y p o d a n e
g r a n i c e
"
3
( n + 1 ) 8 n 3 + 1
"
( a ) l i m
n ’! "
n n 2 + 1
M e t o d a : D z i e l i m y l i c z n i k i m i a n o w n i k p r z e z n a j w y |s z p o t g n w m i a n o w n i k u ,
"
c z y l i p r z e z n n 2 = n 2 .
"
3 1 3 1
3
n 8 + 8 +
( n + 1 ) 8 n 3 + 1 1 1
n 3 n 3
"
l i m = l i m 1 + = l i m 1 + · =
n ’! " n ’! " 1 n ’! " 1
n n
n n 2 + 1
n 1 + 1 +
n 2 n 2
"
3
8 + 0
"
= ( 1 + 0 ) · = 2
1 + 0
"
( b ) l i m ( n 2 + n - n )
n ’! "
M e t o d a : K o r z y s t a m y z e w z o r u s k r ó c o n e g o m n o |e n i a a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )
"
d l a a = n 2 + n , b = n . N a s t p n i e j a k w p r z y k Ba d z i e ( a )
" "
"
( n 2 + n - n ) ( n 2 + n + n ) ( n 2 + n ) - n 2
" "
l i m ( n 2 + n - n ) = l i m = l i m =
n ’! " n ’! " n ’! "
n 2 + n + n n 2 + n + n
n 1 1 1
" "
= l i m = l i m = =
n ’! " n ’! " 1
2
n 2 + n + n 1 + 0 + 1
1 + + 1
n
2 n - 1 5
( c ) l i m
n ’! "
3 n + 2
M e t o d a : D z i e l i m y l i c z n i k i m i a n o w n i k p r z e z 3 n - s k Ba d n i k o n a j w i e k s z y m i l o r a z i e i k o r z y s t a m y
z f a k t u o g r a n i c y c i g u g e o m e t r y c z n e g o : l i m q n = 0 d l a | q | < 1 .
n n öø5
ëø
2 1 5
-
2 n - 1 5 0 - 0
3 3
íø
n øø
l i m = l i m = = 0
n ’! " n ’! " 1
3 n + 2 1 + 2 · 0
1 + 2
3
( W a |n e j e s t t o , |e m i a n o w n i k 1 + 2 · 0 = 0 . )
( d ) l i m ( 5 n - 4 n - 3 n - 2 n )
n ’! "
M e t o d a : w y c i a g a m y s k Ba d n i k o n a j w i e k s z y m i l o r a z i e p r z e d n a w i a s .
n n n
4 3 2
l i m ( 5 n - 4 n - 3 n - 2 n ) = l i m 5 n 1 - - - = " · ( 1 - 0 - 0 - 0 ) = "
5 5 5
n ’! " n ’! "
2 1
n - n 2 n - 1
( )
1
n
2 n 2 + 1 2 + 2 + 0 "· ( 0 - 1 ) 2 - " 3 "
n 2
( e ) l i m = l i m = = = = "
1
n ’! " n ’! "
3 n 2 + 1 3 + 3 + 0 3 2
n 2
1
1 +
n + 1 1 + 0
n
2 n
2 n 2 2
( f ) l i m ( n 2 + 1 ) n + 1 = l i m ( n 2 + 1 ) = l i m ( n 2 + 1 ) = ( " + 1 ) = "1 / 2 = "
n ’! " n ’! " n ’! "
2
P r z y k Ba d y d o z a d a n i a 1 . 2 :
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e D o t r z e c h i o d w ó c h c i g a c h z n a l e z p o d a n e g r a n i c e
"
n
( a ) l i m 2 n + 3 n + 5 n
n ’! "
R o z w i z a n i e :
"
n
" b n = 2 n + 3 n + 5 n
" " "
n n n
" a n = 5 = 5 n b n 3 · 5 n = 5 3 = c n
" l i m a n = 5 , l i m c n = 5 · 1 = 5
n ’! " n ’! "
"
n
Z a t e m z t w . o 3 c i g a c h l i m b n = l i m 2 n + 3 n + 5 n = 5 .
n ’! " n ’! "
"
n
( b ) l i m 3 n - 2 n
n ’! "
R o z w i z a n i e :
n
"
n n 2
" b n = 3 n - 2 n = 3 1 -
3
n
1
1 2 2
" = 1 - 1 - 1 , a z a t e m
3 3
3
"
n
n 1
a n = 3 b n 3 1 = 3 = c n
3
" l i m a n = 3 · 1 = 3 , l i m c n = 3
n ’! " n ’! "
"
n
Z a t e m z t w . o 3 c i g a c h l i m b n = l i m 3 n - 2 n = 3 .
n ’! " n ’! "
1 1 1
" " "
( c ) l i m + + . . . +
n ’! "
n 2 + 1 n 2 + 2 n 2 + n
R o z w i z a n i e :
1 1 1
" " "
" b n = + + . . . +
n 2 + 1 n 2 + 2 n 2 + n
n a j w i k s z y j e s t p i e r w s z y s k Ba d n i k s u m y , n a j m n i e j s z y - o s t a t n i , s u m a m a n s k Ba d n i k ó w
1 1 1 1
" "
" a n = = n · b n n · = = c n
1 1
n 2 + n n 2 + 1
1 + 1 +
n n 2
1 1
" "
" l i m a n = = 1 , l i m c n = = 1
n ’! " n ’! "
1 + 0 1 + 0
1 1 1
" " "
Z a t e m z t w . o 3 c i g a c h l i m b n = l i m + + . . . + = 1 .
n ’! " n ’! "
n 2 + 1 n 2 + 2 n 2 + n
( d ) l i m ( 4 n + ( - 1 ) n )
n ’! "
R o z w i z a n i e :
" a n = 4 n - 1 4 n + ( - 1 ) n = b n
" l i m a n = l i m ( 4 n - 1 ) = " - 1 = "
n ’! " n ’! "
Z a t e m z t w . o 2 c i g a c h l i m b n = ".
n ’! "
3
( e ) l i m ( 2 n + 3 n )
n ’! "
R o z w i z a n i e :
" a n = 3 n 2 n + 3 n = b n
" l i m a n = l i m 3 n = "
n ’! " n ’! "
Z a t e m z t w . o 2 c i g a c h l i m b n = ".
n ’! "
( f ) l i m ( 2 c o s n - 5 ) n 2 .
n ’! "
R o z w i z a n i e :
" c o s n 1 , z a t e m a n = ( 2 c o s n - 5 ) n 2 ( 2 · 1 - 5 ) n 2 = - 3 n 2 = b n
" l i m b n = l i m ( - 3 n 2 ) = - "
n ’! " n ’! "
Z a t e m z t w . o 2 c i g a c h l i m a n = - ".
n ’! "
1 1 1
" "
( g ) l i m + + . . . + "
n ’! "
n
1 2
R o z w i z a n i e :
" 1 1 1 1
" " " "
" a n = n = n · + + . . . + = b n
n n
1 2
( o d d o Bu o g r a n i c z a m y s u m p r z e z i l o [ s k Ba d n i k ó w r a z y n a j m n i e j s z y - o s t a t n i - s k Ba d n i k )
"
" l i m a n = l i m n = "
n ’! " n ’! "
Z a t e m z t w . o 2 c i g a c h l i m b n = ".
n ’! "
P r z y k Ba d y d o z a d a n i a 1 . 3 :
K o r z y s t a j c z d e f i n i c j i l i c z b y e o b l i c z y p o d a n e g r a n i c e
2 n 2
n + 1
2
1 1
( a ) l i m 1 + = l i m 1 + = e 2
n ’! " n ’! "
2 n 2 n
( a n = 2 n > 0 , a n ’! ", 2 n + 1 = 2 · 2 n )
ëø öø- 1
3 n + 4 - 4 / 3
- 3
3 n + 1 n 1 1
ìø ÷ø
( b ) l i m = l i m 1 + øø 1 + = e - 1 · 1 - 4 / 3 = e - 1
íø
3 n + 4 3 n + 4
n ’! " n ’! "
3 n + 4
- 3 - 3
3 n + 4 3 n + 4 4
( a n = < 0 , a n ’! - ", n = ( - 1 ) · - )
- 3 - 3 3
2 n + 1 2 n
1 1 1 1
( c ) l i m 1 - = l i m 1 + · 1 - · 1 - =
n ’! " n ’! "
n 2 n n n 2
n 2 - n - 2
1 1 1
= l i m 1 + · 1 - · 1 - = e 2 · e - 2 · 1 = 1
n ’! "
n n n 2
( a n = - n < 0 , a n ’! - ")
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
am przyklady szeregi liczb lista11am przyklady szeregi potegowe lista12am przyklady styczna i ekstrema fun wielu zm lista14przyklady?lki podwojne lista1R Pr MAEW104 przyklady CTG lista12am przyklady?lki lista9am przyklady?lki nieozn lista7 i 8am przyklady poch lista5am przyklady poch lista4R Pr MAEW104 przyklady PWL lista11am przyklady f ciagle lista3am przyklady gra funk lista2Ciagi liczbowe przykladyCiągi liczbowe przykładyR Pr MAEW104 przyklady wektory losowe lista10cw6 arkusz obliczeniowy przykladprzykładowy test AprzykladowyJrkusz150UM[1] drukowwięcej podobnych podstron