Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 2
Granica funkcji
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 2.1:
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oraz o granicach niewłaściwych funkcji obliczyć podane
granice
3
1
1 +
(x + 1)3 (1 + 0)3
x
(a) lim = lim = = 1
2
x" x"
x3 + 2 1 + 1 + 0
x3
(jak dla ciagów)
x 1 1
" "
(b) lim = lim = = -1
x-" x-" 1
x2 + 1 - 1 + 0
- 1 +
x2

"
1
( x2 + 1 = |x| 1 + )
x2
"
x - 1 - 2 (x - 1) - 4 1 1 1
" " "
(c) lim = lim = lim = =
x5 x5 x5
x - 5 (x - 5)( x - 1 + 2) x - 1 + 2 4 + 2
4
(a2 - b2 = (a - b)(a + b))
" "
x2 - 1 (x - 1)(x + 1)
" "
(d) lim = lim = lim (- 1 - x(x + 1)) = - 1 - 1(1 + 1) = 0
x1- x1- x1-
1 - x 1 - x
(a2 - b2 = (a - b)(a + b))
îÅ‚ Å‚Å‚

x 1+
x2 - 1 1 1
ïÅ‚ śł
1 1
y = = "
(e) lim + ln = lim (x + 1) + ln = ðÅ‚ ûÅ‚ =
x-1 0+
x1+ x1+
x - 1 x - 1 x - 1
ln y "
= (1 + 1) + " = "
2 1
x-x2 x -1
( )
1
x
2x2 + 1 2 + 2 + 0 "(0-1) 2 -"
x2
(f) lim = lim = = = "
1
x" x"
3x2 + 1 3 + 3 + 0 3
x2
cos(2x) 1
(g) lim = = "
x0
sin2 x 0+
Przykłady do zadania 2.2:
Korzystając z twierdzeń o trzech i o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości:

1
(a) lim x2 2 + cos = 0
x0
x
Uzasadnienie:
1
" -1 cos 1
x


1

1 2 + cos 3 · x2 > 0

x

1
f(x) = x2 g(x) 3x2 = h(x) dla g(x) = x2 2 + cos
x
" lim f(x) = lim x2 = 0, lim h(x) = lim 3x2 = 0
x0 x0 x0 x0
Zatem z tw. o 3 funkcjach lim g(x) = 0
x0
2
 ex
(b) lim = 1
x"
ex + 1
Uzasadnienie:


" ex - 1 ex ex : ex + 1 > 0


ex - 1 ex ex
f(x) = g(x) = h(x) dla g(x) =
ex + 1 ex + 1 ex + 1
ex - 1 1 - e-x 1 + 0
" lim f(x) = lim = lim = = 1
x" x" x"
ex + 1 1 + e-x 1 + 0
ex 1 1
lim h(x) = lim = lim = = 1
x" x" x"
ex + 1 1 + e-x 1 + 0
Zatem z tw. o 3 funkcjach lim g(x) = 1
x"
(c) lim (sin x - ex) = -"
x"
Uzasadnienie:
" sin x 1
f(x) = sin x - ex 1 - ex = g(x)
" lim g(x) = lim (1 - ex) = 1 - " = -"
x" x"
Zatem z tw. o 2 funkcjach lim f(x) = -"
x"
1
2 + cos
x
(d) lim " = "
x0+
x
Uzasadnienie:
1
" -1 cos
x


"
1

1 2 + cos : x > 0

x
1
1 2 + cos
x
"
f(x) = " = g(x)
x x
1 1
"
" lim f(x) = lim = = "
x0+ x0+
x 0+
Zatem z tw. o 2 funkcjach lim g(x) = "
x"
3
Przykłady do zadania 2.3:
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice funkcji

ex-1
ex - 1 1 1
x

(a) lim = lim = =
sin(2x)
x0 x0
sin(2x) 1 · 2 2
· 2
2x
îÅ‚ Å‚Å‚
y = -2x3
ln(1 - 2x3) ln(1 - 2x3) ln(1 + y)
ïÅ‚ śł
(b) lim = lim ·(-2) = x 0 = lim ·(-2) = 1·(-2) = -2
ðÅ‚ ûÅ‚
x0 x0 y0
x3 -2x3 y
y 0
x
3
- 1
3x - 2x 3 3
2
(c) lim = lim 2x · = 20 ln = ln
x0 x0
x x 2 2
x2 2x-1
2x-1
x2
1 1
(d) lim 1 + = lim 1 + = e0 = 1
x" x"
x2 x2
Obliczenia pomocnicze:
îÅ‚ Å‚Å‚
y
2
x y = x2
1 1
ïÅ‚ śł
" lim 1 + = x " = lim 1 + = e
ðÅ‚ ûÅ‚
x" y"
x2 y
y "

2x - 1 2 1
" lim = lim - = 0 - 0 = 0
x"
x2 x" x x2
cos x
1
1
2x-Ä„
2x-Ä„
cos x
(e) lim (1 + cos x) = lim (1 + cos x) = e-1/2
Ä„ Ä„
x x
2 2
Obliczenia pomocnicze:
îÅ‚ Å‚Å‚
y = cos x
1
1
ïÅ‚ śł
Ä„
y
cos x
" lim (1 + cos x) = x ûÅ‚ = lim(1 + y) = e
ðÅ‚
Ä„ 2
y0
x
2
y 0
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
y = x -
2
ïÅ‚ śł
Ä„
ïÅ‚ x śł
cos x - sin y 1 1
2
ïÅ‚ śł
" lim = = lim = - · 1 = -
ïÅ‚ śł
Ä„
y 0
y0
x - Ä„ 2y 2 2
2x
ðÅ‚ ûÅ‚
2
Ä„
cos x = cos y + = - sin y
2
4
Przykłady do zadania 2.4:
Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją podane granice funkcji
|x - 1|3
(a) lim
x1
x - 1
|x - 1|3
" lim = lim (x - 1)2 = 0
x1+ x1+
x - 1
|x - 1|3
" lim = lim (-(x - 1)2) = 0
x1- x1-
x - 1
" lim f(x) = lim f(x) = 0
x1+ x1-
|x - 1|3
Zatem istnieje granica lim = 0
x1
x - 1
1
(b) lim
1
x0
x
1 + e
1 1 1 1
" lim = = = = 0
1 1
x0+
x 0+ 1 + e" 1 + "
1 + e
1 + e
1 1 1 1
" lim = = = = 1
1 1
x0-
x 0- 1 + e-" 1 + 0
1 + e
1 + e
" lim f(x) = 0 = 1 = lim f(x)

x0+ x0-
Zatem badana granica nie istnieje.
Przykład do zadania 2.5:
Uzasadnić, że podane granice nie istnieją

1
(a) lim sin
x0+
x

1 1

" dla xn = 0+ (bo xn > 0) mamy sin = sin(nĄ) = 0 0

nĄ xn
1

" natomiast dla xn = 0+ (bo xn > 0)
Ä„
+ 2nĄ
2

1
mamy sin = sin(Ą + 2nĄ) = 1 1 = 0


2
xn
Zatem badana granica nie istnieje.
|x - 1|
(b) lim
x1
x - 1

1 |xn - 1| 1/n

" dla xn = 1 + 1 mamy = = 1 1

n xn - 1 1/n

1 |xn - 1| 1/n

" natomiast dla xn = 1 - 1 mamy = = -1 -1 = 1


n xn - 1 -1/n
Zatem badana granica nie istnieje.
5