Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do List Zadań nr 7 i nr 8
Całka nieoznaczona
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 7.1:
Obliczyć podane całki nieoznaczone.
x2
(a) (x - 2ex)dx = xdx - 2 exdx = - 2ex + C, C " R
2
îÅ‚ Å‚Å‚
x


x ïÅ‚ cos x = 1 - 2 sin2 1 1
śł
2
(b) sin2 dx = ðÅ‚ ûÅ‚ = (1 - cos x)dx = 1dx - cos xdx =
x 1
2 2 2
sin2 = (1 - cos x)
2 2
1
= (x - sin x) + C, C " R
2


x2 x2 1 + x2 - 1 1 1 1
(c) dx = = = 1 - = 1 - dx = 1dx- dx =
1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2
= x - arctgx + C, C " R
Przykłady do zadania 7.2:
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:



f = x g = sin x

(a) x sin xdx = = -x cos x - 1 · (- cos x)dx =
f = 1 g = sin xdx = - cos x

= -x cos x + cos xdx = -x cos x + sin x + C, C " R
îÅ‚ Å‚Å‚


f = arctgx g = x
x2 1 x2
ïÅ‚
(b) xarctgxdx = ðÅ‚ 1 x2 śł
ûÅ‚ = arctgx - · dx =

f = g = xdx = 2 1 + x2 2
1 + x2 2

x2 1 x2 x2 1
= arctgx - dx = arctgx - (x - arctgx) + C, C " R
2 2 1 + x2 2 2
(na podstawie przykładu 7.1 (c))
îÅ‚ Å‚Å‚


f = ln x g = 1
1
ðÅ‚ ûÅ‚
(c) ln xdx = 1 = x ln x - · xdx =

f = g = 1dx = x x
x

= x ln x - 1dx = x ln x - x + C, C " R



f = cos x g = ex

(d) A = ex cos xdx = = ex cos x + ex sin xdx =
f = - sin x g = exdx = ex



f = sin x g = ex
= = ex cos x+(ex sin x - ex cos xdx) = ex(cos x+sin x)-A+c, c " R
f = cos x g = ex
ex(cos x + sin x)
Zatem A = ex cos xdx = + C, C = c/2 " R
2
2
Przykłady do zadania 7.3:
Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone:


y6 sin6 x
y = sin x
(a) sin5 x cos xdx = = y5dy = = + C, C " R
dy = (sin x) dx = cos xdx
6 6
îÅ‚ Å‚Å‚

y = ln x
dx 1 1 y-1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
(b) = · dx = 1 = y-2dy = = + C, C " R

x ln2 x ln2 x x dy = (ln x) dx = dx -1 ln x
x


x7dx 1 1 1 1
y = x8
" "
(c) = x7dx = = dy = arc sin y =
dy = (x8) dx = 8x7dx
1 - y2 8 8
1 - x16
1 - (x8)2
1
= arc sin(x8) + C, C " R
8
îÅ‚ Å‚Å‚
y = e3x > 0

ïÅ‚ śł
1
dx 1 1 1 1
ïÅ‚ x = ln y śł
3
(d) = ïÅ‚ śł = · dy = dy =
ðÅ‚ 1 ûÅ‚

1 + e3x 1 + y 3y 3 y(y + 1)
dx = (1 ln y) dy = dy
3
3y
îÅ‚ Å‚Å‚
1 a b
= +
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł
y(y + 1) y y + 1
ïÅ‚ śł
1 1 1
ïÅ‚ śł
1 = a(y + 1) + by
= = - dy =
ïÅ‚ śł
3 y y + 1
ïÅ‚ śł
y = 0 Ò! a = 1
ðÅ‚ ûÅ‚
y = -1 Ò! b = -1
1 1 1
= (ln |y| - ln |y + 1|) = (ln e3x - ln(e3x + 1)) = x - ln(e3x + 1) + C, C " R
3 3 3
Przykłady do zadania 8.1:
Obliczyć podane całki nieoznaczone z funkcji wymiernych:

1
(a) dy obliczaliśmy w 7.3(d)
y(y + 1)
îÅ‚ Å‚Å‚
2x + 4 2x + 4 a b c
= = + +
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ x3 - 2x2 x2(x - 2) x x2 x - 2 śł
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł
2x + 4 2x + 4 = ax(x - 2) + b(x - 2) + cx2 = (a + c)x2 + (-2a + b)x - 2b
ïÅ‚ Å„Å‚ Å„Å‚ śł
(b) dx = =
śł
x3 - 2x2 ïÅ‚ ôÅ‚ a + c = 0 ôÅ‚ a = -2
ïÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -2a + b = 2 Ô! b = -2 ûÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
-2b = 4 c = 2

-2 -2 2 dx dx dx
= + + dx = -2 - 2 + 2 =
x x2 x - 2 x x2 x - 2

-1
= -2 ln |x| - 2 + 2 ln |x - 2| + C, C " R
x
îÅ‚ Å‚Å‚

" = 1 - 4 < 0
dx
2 2
2
ðÅ‚ ûÅ‚
(c) = =
1 3 3 2 1 3 2x-1
" "
x2 - x + 1 = x - + = x - + 1 = + 1
x2 - x + 1
2 4 4 2 4
3 3
îÅ‚ Å‚Å‚
2x-1
"
"
y =
" "
3
3
"
ïÅ‚ śł
4 dx 4 dy 2 3 2 3 2x - 1
3y+1
2
ïÅ‚ śł
"
= = x = = = arctgy = arctg + C,
2
ðÅ‚ ûÅ‚
2x-1
3 "2 3 y2 + 1 3 3
3
"
+ 1
3
3
dx = dy
2
C " R
3
îÅ‚ Å‚Å‚
" = 4 - 8 < 0

2x + 3
ïÅ‚ śł
x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1
(d) dx = ðÅ‚ ûÅ‚ =

x2 + 2x + 2
(x2 + 2x + 2) = 2x + 2

2x + 2 + 1 2x + 2 1
= dx = dx+ dx = ln(x2 +2x+2)+arctg(x+1)+C,
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 (x + 1)2 + 1
C " R
Obliczenia pomocnicze:


2x + 2 dy
y = x2 + 2x + 2
dx = = = ln |y| = ln(x2 + 2x + 2)
dy = (2x + 2)dx
x2 + 2x + 2 y


1 dy
y = x + 1
dx = = = arctgy = arctg(x + 1)
dy = dx
(x + 1)2 + 1 y2 + 1
Przykłady do zadania 8.2:
Obliczyć podane całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych:
îÅ‚ Å‚Å‚

u4

sin4 x y4 dy
ïÅ‚ R(u, v) = śł
" "
(a) dx = ðÅ‚ y = sin x = · =
ûÅ‚
v

cos x 1 - y2 1 - y2

R(u, -v) = -R(u, v)
îÅ‚ Å‚Å‚
y4 = (y2 - 1)(y2 + 1) + 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
y4 1 a b
ïÅ‚ śł
= y2 + 1 + = y2 + 1 + +
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ - 1
śł
y4 y4 y2 (y - 1)(y + 1) y - 1 y + 1
ïÅ‚ śł
= dy = - dy = =
ïÅ‚ śł
1 - y2 y2 - 1 1 = a(y + 1) + b(y - 1) = (a + b)y + (a - b)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł
a + b = 0 a = 1/2
ðÅ‚ ûÅ‚
Ô!
a - b = 1 b = -1/2


1/2 -1/2 y3 1 1
= - y2 + 1 + + dy = - + y + ln |y - 1| - ln |y + 1| =
y - 1 y + 1 3 2 2

sin3 x 1 1
= - + sin x + ln | sin x - 1| - ln | sin x + 1| + C, C " R
3 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
2u + 3v


2 sin x + 3 cos x
R(u, v) =
ðÅ‚
(b) dx =
u2v + 9v3 y = tg x ûÅ‚ =

sin2 x cos x + 9 cos3 x

R(-u, -v) = R(u, v)
y 1 2y+3

"
2"1+y + 3"1+y
2 2
dy 1+y2 dy 2y + 3
" < 0
= · = · = dy = =
2 3
2
(y2 + 9) = 2y
1 + y2 "y +9 1 + y2 y2 + 9
y 1 1
" " "
· + 9
( 1+y2)3
1+y2 1+y2 1+y2

2ydy 3dy y tg x
= + = ln(y2 + 9) + arctg = ln(tg2 x + 9) + arctg + C, C " R
y2 + 9 y2 + 9 3 3
Obliczenia pomocnicze:


2y dz
z = y2 + 9
dy = = = ln |z| = ln(y2 + 9)
dz = 2ydy
y2 + 9 z


y
3dy 3dy dz y
z =
3
2
= = = = arctgz = arctg
1
dz = dy
y2 + 9 y z2 + 1 3
3
9 + 1
3
4
îÅ‚ Å‚Å‚

1

2dy
R(u, v) =
ïÅ‚
1 x śł 1+y2 dy
ïÅ‚ u + v śł
(c) dx = ïÅ‚ y = tg śł = = -2 =
2y 1-y2
nie spełnia żadnego
ðÅ‚ ûÅ‚
sin x + cos x 2 y2 - 2y - 1
+

1+y2 1+y2

warunku szczególnego
îÅ‚ " " " Å‚Å‚
" = 8, t1,2 = 1 Ä… 2, y2 - 2y - 1 = (y - 1 - 2)(y - 1 + 2)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 a b
ïÅ‚ śł
" "
= +
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ y2 - 2y - 1 - 1 - 2 y - 1 + 2
śł
y
ïÅ‚ śł
" " " "
= =
ïÅ‚ śł
1 = a(y - 1 + 2) + b(y - 1 - 2) = (a + b)y + a(-1 + 2) + b(-1 - 2)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"
ïÅ‚ śł
a + b = 0 a = 1/(2
ðÅ‚ ûÅ‚
" " "2)
Ô!
(-1 + 2)a + (-1 - 2)b = 1 b = -1/(2 2)
" "

" "
1/(2 2) -1/(2 2) 1 1
" " "
= -2 + dy = -" - 1 - 2| + ln |y - 1 + 2| =
ln |y
y - 1 - 2 y - 1 + 2 2 2


1 x " 1 x "

= -" "
ln tg - 1 - 2 + ln tg - 1 + 2 + C, C " R

2 2
2 2
5