Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 5
Różniczka. Wzór Maclaurina.
Twierdzenie de l Hospitala.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykład do zadania 5.1:
"
4
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 15, 96.
"
4
" f(x) = x, x0 = 16, "x = 15, 96 - 16 = -0, 04

" f(15, 96) H" f(16) + f (16)"x
1 1

"
" f (x) = x-3/4 =
4
4
4 x3
1 1

" f(16) = 2, f (16) = =
4 · 23 32
"
1
4
Odp. 15, 96 H" 2 + · (-0, 04) = 1, 99875 (kalkulatorem otrzymujemy 1, 99874883)
32
Przykłady do zadania 5.2:
"
(a) Stosując wzór Maclaurina obliczyć e z dokładnością 10-3.
RozwiÄ…zanie:
"
" f(x) = ex. Chcemy oszacować f(0, 5) = e z dokładnością 10-3.

" Dla dowolnego naturalnego n mamy f (x) = f(n)(x) = ex oraz f(0) = f(n)(0) = 1

f (0) f (0) f(n-1)(0)
" Zatem ex = f(0) + x + x2 + . . . + xn-1 + Rn =
1! 2! (n - 1)!
1 1 1
= 1 + x + x2 + . . . + xn-1 + Rn,
1! 2! (n - 1)!
f(n)(c) ec
gdzie Rn = xn = xn dla pewnego c spomiędzy x i 0.
n! n!
" 1 1
" Dla x = 0, 5 mamy więc e = 1 + 0, 5 + (0, 5)2 + . . . + (0, 5)n-1 + Rn,
2! (n - 1)!
ec
gdzie Rn = (0, 5)n dla pewnego c " (0; 0, 5).
n!
" 1 1
" Stad e H" 1 + 0, 5 + (0, 5)2 + . . . + (0, 5)n-1
2! (n - 1)!
ec
z dokładnością rzędu |Rn| = (0, 5)n dla pewnego c " (0; 0, 5).
n!
Skorzystamy z tego wzoru przybliżonego z takim n, dla którego |Rn| 10-3 (bo wtedy
uzyskamy zakładaną dokładność). Poszukamy teraz takiego n.
ec 41/2 1
" Ponieważ c " (0; 0, 5) oraz e < 3 < 4, mamy |Rn| = (0, 5)n .
n! 2nn! 2n-1n!
1
Dla n = 2 mamy |R2| .
4
1
Dla n = 3 mamy |R3| .
24
1
Dla n = 4 mamy |R4| .
192
1
Dla n = 5 mamy |R5| 10-3.
1920
"
Zatem n = 5 pozwala uzyskać przybliżenie e z założoną dokładnością 10-3.
" 1 1 1 211
Odp: e H" 1 + 0, 5 + (0, 5)2 + (0, 5)3 + (0, 5)4 = = 1, 6484375 z dokładnością 10-3.
2! 3! 4! 128
(dla porównania wartość z kalkulatora to 1,648721271)
2
(b) Stosując wzór Maclaurina obliczyć cos(0, 2) z dokładnością 10-4.
RozwiÄ…zanie:
" f(x) = cos x. Chcemy oszacować f(0, 2) = cos(0, 2) z dokładnością 10-4.
f(x) jest funkcją parzystą, więc będziemy stosować wzór Maclaurina dla parzystych n
(wynika to stąd, że dla parzystej funkcji dla nieparzystych k pochodne f(k)(0) = 0);
szukamy n zapewniajacego dokładność 10-4
" Przyjmijmy n = 2.

f (x) = - sin x, f (x) = - cos x

f(0) = 1, f (0) = 0

f (0)
cos x = f(0) + x + R2 = 1 + R2,
1!

f (c) - cos c
gdzie R2 = x2 = x2 dla pewnego c spomiędzy x i 0.
2! 2!
| - cos c|
Dla x = 0, 2 mamy więc cos(0, 2) H" 1 z dokładnością rzędu |R2| = (0, 2)2
2
2 · 10-2 dla pewnego c " (0; 0, 2).
Ale ta dokładność jest zbyt mała.
" Przyjmijmy n = 4.

f (x) = sin x, f(4)(x) = cos x

f (0) = -1, f (0) = 0

f (0) f (0) f (0) x2
cos x = f(0) + x + x2 + x3 + R4 = 1 - + R4,
1! 2! 3! 2
f(4)(c) cos c
gdzie R4 = x4 = x4 dla pewnego c spomiędzy x i 0.
4! 4!
(0, 2)2
Dla x = 0, 2 mamy więc cos(0, 2) H" 1 - = 0, 98
2
| cos c| 2
z dokładnością rzędu |R4| = (0, 2)4 10-4 10-4 dla pewnego c " (0; 0, 2)
24 3
(dokładność taka, jakiej zażądano w zadaniu.)
Odp: cos(0, 2) H" 0, 98 z dokładnością 10-4.
(dla porównania wartość z kalkulatora to 0,980066577)
3
Przykłady do zadania 5.3:
Stosując regułę de l Hospitala obliczyć podane granice:


x - sin x 0 H (x - sin x) 1 - cos x 0 H sin x 1 1
(a) lim = = lim = lim = = lim = · 1 =

x0 x0 x0 x0
x3 0 (x3) 3x2 0 6x 6 6

-2 1
Ä„ - 2arctgx 0 H
1+x2 1+x2

(b) lim = = lim = lim = lim x = "
1 1
x" 1 x" 1 -2 x" x"
0 ·
ln 1 + ·
1
1+x2 x
x2 x3
1+
x2

1 1
x + ln x " H 1 + 1 + 1 + 0 1
x x
(c) lim = = lim = lim = = = 0
1
x" x" x"
x ln x " ln x + x · ln x + 1 " + 1 "
x
2
1
ctg x -" H -
1 x 1
sin2 x
(d) lim = = lim = lim - · = - · 12 = -"
1
x0+ x0+ x0+
ln x -" x sin x 0+
x


1
ln x -" H x2
x

(e) lim x2 ln x = [0 · (-")] = lim = = lim = lim - = 0
2
1
x0+ x0+ x0+ x0+
" - 2
x3
x2
f

(SkorzystaliÅ›my z przeksztaÅ‚acenia f · g = .)
1
g

x
(f) lim (ex - x) = [" - "] = lim ex 1 - = "(1 - 0) = "
ex
x" x"

-" H 1 1
x
" Obliczenie pomocnicze: lim = = lim = = 0
ex ex
x" x"
" "
(Wykorzystaliśmy tutaj niestandardowy pomysł własny.)

1 1 Ä„ - x - sin x 0 H -1 - cos x
(g) lim - = ["-"] = lim = = lim =
xĄ- xĄ- xĄ-
sin x Ä„ - x (Ä„ - x) sin x 0 - sin x + (Ä„ - x) cos x

0 H sin x 0
= = lim = = 0
xĄ-
0 - cos x - cos x + (Ä„ - x)(- sin x) 1 + 1 + 0
(Sprowadziliśmy do wspólnego mianownika.)
1
x2 -
1 x2 - tg2 x 0 H
ctg2 x
(h) lim ctg2 x - = [" - "] = lim = lim = =
1
x0 x0 x0
x2 x2 · x2 tg2 x 0
ctg2 x

2x - 2 tg x(1 + tg2 x) 0 H
= lim = =
x0
2x tg2 x + x2 · 2 tg x(1 + tg2 x) 0
1 - (1 + tg2 x)2 - tg x · 2 tg x(1 + tg2 x)
= lim =
x0
tg2 x + x · 2 tg x(1 + tg2 x) + 2x tg x(1 + tg2 x) + x2((1 + tg2 x)2 + 2 tg2 x(1 + tg2 x))
1 - 1 - 2 tg2 x - tg4 x - 2 tg2 x(1 + tg2 x)
= lim =
x0
tg2 x + 4x tg x(1 + tg2 x) + x2(1 + 3 tg2 x)(1 + tg2 x)
2 2 2
tg x tg x tg x
-2 - tg2 x - 2 (1 + tg2 x)
-2 - 0 - 2 2
x x x
= lim = = -
2
x0 tg x tg x
1 + 4 + 1 3
+ 4 (1 + tg2 x) + (1 + 3 tg2 x)(1 + tg2 x)
x x

1 1
-
g f

(Skorzystaliśmy ze wzoru f - g = .)
1
f·g
4
lim sin2 x ln x
2 2
x0+
(i) lim xsin x = [00] = lim esin x ln x = e = e0 = 1
x0+ x0+

sin x 2
" Obliczenie pomocnicze: lim sin2 x ln x = lim · (x2 ln x) = 12 · 0 = 0
x0+ x0+
x
na podstawie przykładu (e)
x 2
2 lim x ln arctgx
( )
2 Ä„
Ä„ x"
(j) lim arctgx = [1"] = lim ex ln( arctgx) = e = e-2/Ä„
Ä„
x" x"

2


ln arctgx
0 H
Ä„
2

" Obliczenie pomocnicze: lim x ln arctgx = [" · 0] = lim = =
Ä„
x" x" 1
0
x

1 2 1
· ·
2
Ä„ 1+x2 -1 1 -1 1 2
arctgx
Ä„
= lim = lim · = · = -
1 1
x" x"
- arctgx + 1 Ä„/2 0 + 1 Ä„
x2 x2
Przykłady do zadania 5.4:
"
(a) Uzasadnić, że sin(arc cos x) = 1 - x2 dla każdego x " (-1, 1).
Uzasadnienie:
"
" f(x) = sin(arc cos x), g(x) = 1 - x2, I = (-1, 1), x0 = 0 " I
" f(x0) = f(0) = sin(Ä„/2) = 1 = g(0) = g(x0)

-1 -1

" "
" f (x) = cos(arc cos x) · = x · dla x " I
1 - x2 1 - x2
1 -x

" "
g (x) = · (-2x) = dla x " I
2 1 - x2 1 - x2

Zatem f (x) = g (x) dla każdego x " I
Wniosek: f(x) = g(x) dla każdego x " I.
Ä„
(b) Uzasadnić, że arc sin x + arc cos x = dla każdego x " [-1, 1].
2
Uzasadnienie:
Ä„
" f(x) = arc sin x + arc cos x, g(x) = , I = (-1, 1), x0 = 0 " I
2
" f(x0) = f(0) = 0 + Ä„/2 = Ä„/2 = g(0) = g(x0)
1 -1

" "
" f (x) = + = 0 dla x " I
1 - x2 1 - x2

g (x) = 0 dla x " I

Zatem f (x) = g (x) dla każdego x " I
" Wynika stąd, że f(x) = g(x) dla każdego x " I.
" f(1) = Ä„/2 + 0 = g(1), f(-1) = -Ä„/2 + Ä„ = g(-1)
Wniosek: f(x) = g(x) dla każdego x " [-1, 1].
5