Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 9
Całka oznaczona
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 9.1:
Korzystajac z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki oznaczone.
0
0
1
(a) exdx = ex = e0 - e-1 = 1 -

-1
e
-1
1
1
dx Ä„
(b) = arctgx = arctg1 - arctg0 =

0
x2 + 1 4
0

4
4
" " "
2 1 10 1

"
(c) " - 5 x - " dx = [1, 4] ‚" (0, ") = 4 x - x x + 2 =
1
x x x 3 x
1

10 1 10 61
= 4 · 2 - · 4 · 2 + 2 · - 4 - + 2 = -
3 2 3 3
Obliczenie pomocnicze:


"
2 1 x1/2 x3/2 x-1/2
" - 5 x - " dx = 2 x-1/2dx - 5 x1/2dx - x-3/2dx = 2 - 5 - =
x x x 1/2 3/2 -1/2
"
" 10 1
"
= 4 x - x x + 2 + C, C " R, x " (-", 0) lub x " (0, ")
3 x
1/2

1/2
dx 1 1

(d) = [-1/2, 1/2] ‚" (-2, 2) = ln |x - 2| - ln |x + 2| =
-1/2
x2 - 4 4 4
-1/2

1 1 1 1 ln(0, 6)
= ln(3/2) - ln(5/2) - ln(5/2) - ln(3/2) =
4 4 4 4 2
Obliczenie pomocnicze:
îÅ‚ Å‚Å‚
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
ïÅ‚ śł
1 a b
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
= +
ïÅ‚ śł
dx
x2 - 4 x - 2 x + 2
ïÅ‚ śł
= =
ïÅ‚ śł
1 = a(x + 2) + b(x - 2) = (a + b)x + 2(a - b)
x2 - 4
ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł
a + b = 0 a = 1/4
ðÅ‚ ûÅ‚
Ô!
2(a - b) = 1 b = -1/4


1/4 -1/4 1 1
= + dx = ln |x - 2| - ln |x + 2| + C, C " R,
x - 2 x + 2 4 4
dla x " (-", -2) lub x " (-2, 2) lub x " (2, ").
Przykłady do zadania 9.2:
Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone:

Ä„
Ä„ Ä„
f = x g = sin x

(a) x sin xdx = = (-x cos x + cos xdx =

0
f = 1 g = sin xdx = - cos x
0 0
Ä„
Ä„
= (-Ä„ cos Ä„ + 0 cos 0) + cos xdx = Ä„ + (sin x = Ä„ + (sin Ä„ - sin 0) = Ä„

0
0
2

1
1 1
f = sin(Ä„x) g = ex

(b) ex sin(Ä„x)dx = = (ex sin(Ä„x) - Ä„ ex cos(Ä„x)dx =

0
f = Ä„ cos(Ä„x) g = exdx = ex
0 0

1
f = cos(Ä„x) g = ex
= (e sin Ä„ - sin 0) - Ä„ ex cos(Ä„x)dx = =
f = -Ä„ sin(Ä„x) g = ex
0
ëÅ‚ öÅ‚
1
1 1
íÅ‚
= 0 - Ą (ex cos(Ąx) + Ą ex sin(Ąx)dxłł = -Ą(e cos Ą - cos 0) - Ą2 ex sin(Ąx)dx

0
0 0
1
Zatem (1 + Ä„2) ex sin(Ä„x)dx = -Ä„(-e - 1),
0
1
Ä„(e + 1)
a stÄ…d ex sin(Ä„x)dx =
1 + Ä„2
0
Przykłady do zadania 9.3:
Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
îÅ‚ Å‚Å‚
y = x2
2 4
ïÅ‚ śł 4
1 1 1
2 dy = (x2) dx = 2xdx
ïÅ‚ śł
(a) xex dx = ïÅ‚ śł = ey dy = ey = (e4 - 1)

ðÅ‚ ûÅ‚ 0
x 0 2
2 2 2
0 0
y 0 4
îÅ‚ Å‚Å‚
y = 5 - 4x
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
x = (5 - y)/4
1 1 9
1
ïÅ‚ śł
xdx (5 - y)(-1)dy 1
ïÅ‚ śł
4 4
dx = -1dy
"
(b) = ïÅ‚ śł = = + (5y-1/2 - y1/2)dy =
4 "
ïÅ‚ śł
y 16
5 - 4x
ïÅ‚ śł
-1 9 1
x -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
y 9 1


9
1 y1/2 y3/2 1 2 2 1

= 5 - = 10 · 3 - · 9 · 3 - 10 - =
1
16 1/2 3/2 16 3 3 6
Przykłady do zadania 9.4:
Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych, okresowych uzasadnić podane
równości:
1
2
(a) ex sin xdx = 0
-1
Uzasadnienie:
2 2
Równość wynika z tego, że funkcja f(x) = ex sin x jest nieparzysta (f(-x) = e(-x) sin(-x) =
2
= -ex sin x = -f(x)), a przedział całkowania [-1, 1] jest symetryczny względem 0.
3 3
(b) x sin3 xdx = 2 x sin3 xdx
-3 0
Uzasadnienie:
Równość wynika z tego, że funkcja f(x) = x sin3 x jest parzysta (f(-x) = -x sin3(-x) =
= -x(- sin x)3 = f(x)), a przedział całkowania [-3, 3] jest symetryczny względem 0.
3
5Ä„

sin5 x
(c) dx = 0
1 + cos x
-Ä„
Uzasadnienie:
sin5 x
Funkcja f(x) = jest okresowa o okresie T = 2Ä„.
1 + cos x
5Ä„ 3Ä„ 5Ä„
Ä„ Ä„
Zatem f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx = 3 f(x)dx
-Ä„ -Ä„ Ä„ -Ä„
3Ä„
sin5(-x) (- sin x)5
f(x) jest także nieparzysta (f(-x) = = = -f(x)), a przedział całko-
1 + cos(-x) 1 + cos x
Ä„
wania [-Ą, Ą] jest symetryczny względem 0, więc f(x)dx = 0.
-Ä„
5Ä„

sin5 x
Zatem dx = 3 · 0 = 0
1 + cos x
-Ä„
Przykłady do zadania 9.5:
Obliczyć podane całki oznaczone:
5/2

(a) E(x)dx
0
Funkcja ma  skoki w punktach 1 i 2, dlatego dzielimy przedział całkowania w tych miejscach.
5/2 5/2 5/2
1 2 1 2
Zatem E(x)dx = E(x)dx + E(x)dx + E(x)dx = 0dx + 1dx + 2dx =
0 1 2 0 1 2
2 5/2 0
= 0 + (x + (2x = (2 - 1) + 2(5/2 - 2) = 2

1 2

10

x dla x " Z - {0}
/
(b) g(x)dx, gdzie g(x) = .
1
dla x " Z - {0}
x
-2
g(x) ma  luki w punktach -2, 2, 3, ...,10.
Domykajac te luki otrzymujemy f(x) = x, przy czym zbiór {x " [-2, 10] : f(x) = g(x)} jest

skończony.
10 10 10

10
x2 100 4

Zatem g(x)dx = f(x)dx = xdx = = - = 48
-2
2 2 2
-2 -2 -2
3
(c) |x - 2|dx
-1

2 - x dla x < 2
f(x) = |x - 2| = .
x - 2 dla x 2
x0 = 2 to miejsce zmiany wzoru, więc tu dzielimy przedział całkowania
3 2 3 2 3
Zatem |x - 2|dx = |x - 2|dx + |x - 2|dx = (2 - x)dx + (x - 2)dx =
-1 -1 2 -1 2

2 3
x2 x2

= 2x - + - 2x = ((4 - 2) - (-2 - 1/2)) + ((9/2 - 6) - (2 - 4)) = 5
-1 2
2 2
4