Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 12
Szeregi potęgowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 12.1:
Wyznaczyć przedział zbieżności podanego szeregu potegowego
"

1
(a) (x - 2)n
n
n=1
1
" cn = , c0 = 0, x0 = 2
n
"
1
n

" promień zbieżności: R = lim = lim n = 1
n" n"
n
|cn|
" krańce przedziału zbieżności to x0 - R = 1 oraz x0 + R = 3
" Badamy zbieżność szeregu w tych krańcach:
"

1
dla x = 1 mamy (-1)n szereg anharmoniczny zbieżny
n
n=1
"

1
dla x = 3 mamy szereg harmoniczny rozbieżny
n
n=1
" Odp.: Przedział zbieżności badanego szeregu potęgowego to [1, 3).
"

(-1)n
(b) xn
n!
n=0
(-1)n
" cn = , x0 = 0
n!


cn

" promień zbieżności: R = lim = lim (n + 1) = "
n" n"
cn+1
" Odp.: Przedział zbieżności badanego szeregu potęgowego to cała prosta (-", ").
"

1
(c) (x + 1)n
8n
n=1
1
" cn = , c0 = 0, x0 = -1
8n
1

" promień zbieżności: R = lim = 8
n"
n
|cn|
" krańce przedziału zbieżności to x0 - R = -9 oraz x0 + R = 7
" Badamy zbieżność szeregu w tych krańcach:
"

dla x = -9 mamy (-1)n szereg rozbieżny, bo (-1)n nie zbiega do 0
n=1
"

dla x = 7 mamy 1n szereg rozbieżny, bo 1n nie zbiega do 0
n=1
" Odp.: Przedział zbieżności badanego szeregu potęgowego to (-9, 7).
2
Przykłady do zadania 12.2:
Znalez
ć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
(a) f(x) = e-2x
"

1
" Wiemy, że ey = yn dla y " R
n!
n=0
" "

1 (-1)n 2n
" StÄ…d dla y = -2x mamy f(x) = (-2x)n = xn dla -2x " R Ô! x " R.
n! n!
n=0 n=0
"

(-1)n 2n
Odp. e-2x = xn dla x " R (przedział zbieżności to (-", ")).
n!
n=0
1
(b) f(x) =
(x + 2)(x - 1)
îÅ‚ Å‚Å‚
1 = a(x - 1) + b(x + 2) = (a + b)x - a + 2b

1 a b
ïÅ‚ śł
" f(x) = = + = ðÅ‚ a + b = 0 a = -1/3 ûÅ‚ =
Ô!
(x + 2)(x - 1) x + 2 x - 1
-a + 2b = 1 b = 1/3

1 1 1 1 1 1 1
- ·
= - + = - ·
3 x + 2 x - 1 6
1 - -x 3 1 - x
2
"

1
" Wiemy, że = yn dla -1 < y < 1
1 - y
n=0
"

1
" StÄ…d mamy = xn dla -1 < x < 1
1 - x
n=0

"

x 1 x n " (-1)n

" Podobnie, dla y = - mamy = - = xn
2 2 2n
1 - -x
n=0 n=0
2
x
dla -1 < - < 1 Ô! -2 < x < 2.
2


" " "

1 1 1 1 1 (-1)n 1 1 (-1)n
- · = - ·
" Zatem f(x) = - · xn- · xn = - + 1 xn
6
1 - -x 3 1 - x 6 n=0 2n 3 n=0 n=0 3 2n+1
2
dla x jednocześnie takich, że -1 < x < 1 i -2 < x < 2, czyli -1 < x < 1


"

1 1 (-1)n
Odp. = - + 1 xn dla -1 < x < 1
(x + 2)(x - 1) 3 2n+1
n=0
(przedział zbieżności to (-1, 1)).
(c) f(x) = cos(x2)
"

(-1)n
" Wiemy, że cos y = y2n dla y " R
(2n)!
n=0
" "

(-1)n (-1)n
" StÄ…d dla y = x2 mamy f(x) = (x2)2n = x4n dla x2 " R Ô! x " R.
(2n)! (2n)!
n=0 n=0
"

(-1)n
Odp. cos(x2) = x4n dla x " R (przedział zbieżności to (-", ")).
(2n)!
n=0
3
Przykłady do zadania 12.3:
Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne:
x
(a) f(49)(0) dla f(x) =
1 + x2
x 1
" f(x) = = x ·
1 + x2 1 - (-x2)
"

1
" Wiemy, że = yn dla -1 < y < 1
1 - y
n=0
" "

1
" StÄ…d dla y = -x2 mamy = (-x2)n = (-1)n x2n
1 - (-x2)
n=0 n=0
dla -1 < -x2 < 1 Ô! -1 < x < 1
" "

" StÄ…d f(x) = x (-1)n x2n = (-1)n x2n+1 dla -1 < x < 1.
n=0 n=0
f(49)(0)
" Wiemy, że to współczynnik przy x49
49!
" 2n + 1 = 49 Ô! n = 24, stÄ…d przy x49 jest współczynnik (-1)24 = 1
" Otrzymujemy zatem f(49)(0) = 1 · 49! = 49!
2
(b) f(31)(0) dla f(x) = e-3x
"

1
" Wiemy, że ey = yn dla y " R
n!
n=0
" "

1 (-1)n 3n
" StÄ…d dla y = -3x2 mamy f(x) = (-3x2)n = x2n
n! n!
n=0 n=0
dla -3x2 " R Ô! x " R
f(31)(0)
" Wiemy, że to współczynnik przy x31
31!
" W otrzymanym szeregu nieparzyste potęgi x nie wystepują w sposób jawny,
zatem przy x31 jest współczynnik 0
" Otrzymujemy zatem f(31)(0) = 0 · 31! = 0
4
Przykłady do zadania 12.4:
Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu potęgowego obliczyć sumę podanego
szeregu liczbowego:
"

n2n
(a)
3n
n=1
"

2
" Rozważany szereg jest postaci nxn dla x = .
3
n=1

" " " "


" nxn = x nxn-1 = x (xn) = x xn dla x " (-1, 1)
n=1 n=1 n=1 n=1
z tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego
"

x
" xn = dla x " (-1, 1)
1 - x
n=1

"

x x
" Zatem otrzymaliśmy, że nxn = x = dla x " (-1, 1)
1 - x (1 - x)2
n=1
"

n2n 2/3
2
" Stosując powyższy wzór dla x = " (-1, 1) otrzymujemy = = 6
3
3n (1 - 2/3)2
n=1
"

(-1)n
(b)
(2n + 1)3n
n=0
"

(-1)n 1
"
" Rozważany szereg jest postaci x2n dla x = .
2n + 1
3
n=0
" Dla x = 0 mamy

x x "
" " "

(-1)n (-1)n
x2n = x-1 x2n+1 = x-1 (-1)nt2ndt = x-1 (-1)nt2ndt
2n + 1 2n + 1
n=0 n=1 n=0 n=0
0 0
dla x " (-1, 1) z tw. o całkowaniu szeregu potęgowego
" "

1
" (-1)nt2n = (-t2)n = dla t " [0, x] ‚" (-1, 1)
1 + t2
n=0 n=0
x
"

(-1)n 1
" Zatem otrzymaliśmy, że x2n = x-1 dt = x-1arctgx dla x " (-1, 1)
2n + 1 1 + t2
n=0
0
1
"
" Stosując powyższy wzór dla x = " (-1, 1) otrzymujemy
3
"
"
" "
(-1)n 3Ä„
= 3 arctg(1/ 3) =
(2n + 1)3n 6
n=0
5
"

n + 2
(c)
n5n
n=1
"

(-1)n+1
" Wiemy, że ln(1 + x) = xn dla x " (-1, 1]
n
n=1
"

(-1)n+1
" StÄ…d x2 ln(1 + x) = xn+2 dla x " (-1, 1]
n
n=1
" Zatem z tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego dla x " (-1, 1) mamy

" "

(-1)n+1 (-1)n+1(n + 2)

(x2 ln(1 + x)) = xn+2 = xn+1
n n
n=1 n=1
"

(-1)n+1(n + 2) x2
" Zatem otrzymaliśmy, że xn+1 = 2x ln(1 + x) + dla x " (-1, 1)
n 1 + x
n=1

" "

n + 2 (-1)n+1(n + 2) 1 n+1
" StÄ…d = 5 - =
n5n n 5
n=1
n=1
(-0, 2)2
= 5 -0, 4 ln(0, 8) + = -2 ln(0, 8) + 0, 25
0, 8
(zastosowaliśmy otrzymany wczesniej wzór dla x = -1 = -0, 2 " (-1, 1))
5
6