SZEREGI POT
GOWE
Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci
gdzie x jest zmienną a cn stałymi zwanymi współczynnikami szeregu
potęgowego. Gdy ustalimy x to ten szereg staje się zwykłym szeregiem
liczbowym i możemy sprawdzić czy jest on zbieżny lub rozbieżny. Sumą
szeregu potęgowego jest funkcja f
której dziedziną jest zbiór tych wszystkich x dla których szereg liczbowy jest
zbieżny.
Przykład
Szereg
jest zbieżny dla -1 < x < 1 i rozbieżny dla |x| e" 1.
Można ogólniej:
Szereg postaci
nazywamy szeregiem potęgowym zmiennej x o środku w a.
Przykład
A) Dla jakich wartości x szereg
jest zbieżny.
Rozwiązanie. Stosujemy kryterium ułamkowe
Dla x `" 0mamy
Zatem dla x `" 0 szereg jest rozbieżny, skąd wynika, że jedynie dla x=0 szereg
jest zbieżny.
B) Dla jakich wartości x szereg
jest zbieżny?
Rozwiązanie. W tym przypadku
Wtedy
Z naszego kryterium ułamkowego wynika że szereg jest bezwzględnie
zbieżny dla %x-3% < 1 i rozbieżny dla %x-3% > 1. Zatem dla 2 < x < 4 szereg jest
zbieżny, a dla x< 2 lub x> 2 szereg jest rozbieżny. Kryterium ułamkowe nie
daje żadnej informacji dla x=2 i x=4.
Gdy x = 2 otrzymujemy szereg postaci
który jest zbieżny.
Dla x=4 otrzymujemy szereg
który jest rozbieżny. Zatem szereg jest zbieżny dla 2 d" x < 4.
C) Znajdz
dziedzinę funkcji Bessela rzędu 0 danej szeregiem
W tym przypadku
oraz
Zatem szereg jest zbieżny dl każdej wartości x, czyli funkcja jest określona
dla wszystkich liczb rzeczywistych.
oraz
Poniżej niektóre sumy częściowe.
TWIERDZENIE
Dla danego szeregu potęgowego
mamy trzy możliwości:
- (i) szereg jest zbieżny jedynie dla x = a;
- (ii) szereg jest zbieżny dla wszystkich x;

- (iii) istnieje liczba dodatnia R taka że szereg jest zbieżny dla%x-a% < R i
rozbieżny dla %x-a% > R.
Liczbę R nazywamy promieniem zbieżności szeregu; w przypadku (i)
przyjmujemy, że R=0, a w przypadku (iii), że R = ". Przedziałem zbieżności
nazywamy zbiór wszystkich x dla których szereg jest zbieżny.
D) Znajdz
promień i przedział zbieżności szeregu
W tym przypadku
Zatem gdy szereg jest zbieżny gdy 3%x% < 1 i rozbieżny gdy 3%x% >1, czyli
promień zbieżności szeregu jest równy 1/3.
Gdy x = -1/3 mamy szereg
który jest rozbieżny.
Gdy x=1/3 otrzymujemy szereg postaci
który jest zbieżny. Zatem przedział zbieżności to (-1/3,1/3].
Funkcje reprezentowane jako szeregi potęgowe.
Zadanie
Przedstaw funkcję jako szereg potęgowy..
A)
B)
Przedział zbieżności : (-2,2)
C)
Przedział zbieżności : (-2,2)
Różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych
Jeśli szereg potęgowy
ma promień zbieżności R > 0, to wtedy funkcja f zdefiniowana przez ten
szereg
jest różniczkowalna na przedziale (a-R,a+R) oraz
Szeregi potęgowe w (i) i (ii) mają ten sam promień zbieżności R.
Inny zapis
Przykład  funkcja Bessela
Przykład
Przedstaw funkcję
w postaci szeregu potęgowego.
Różniczkujemy
i otrzymujemy
lub
Przykład Przedstaw funkcję
w postaci szeregu potęgowego i znajdz
jego promień zbieżności.
Funkcja ta jest całką funkcji -1/(1-x), zatem
By znalez
ć C musimy ustalić wartość funkcji w x=0. Funkcja po lewej daje 0,
a po prawej mamy C. Czyli C=0. Zatem
i promień zbieżności jest równy R=1.
Przykład Przedstaw funkcję
w postaci szeregu potęgowego, następnie oblicz
z dokładnością 0,0000001.
Całkujemy wyraz po wyrazie
Szereg jest zbieżny dla
czyli dla -1< x< 1.
Obliczamy całkę oznaczoną przy użyciu funkcji pierwotnej z C=0.
Dla n=3 błąd jest mniejszy niż czwarty wyraz, t.j.
Zatem
Szeregi Taylor'a i Maclaurin'a
Kiedy funkcja może być przedstawiona w postaci szeregu potęgowego?
Załóżmy, że tak jest. Wtedy
Po zróżniczkowaniu
oraz
ponownie różniczkując
oraz
Kolejno
& ...
Zatem
Podstawiając mamy wzór
szereg Taylora w punkcie a.
Gdy a= 0 to
szereg Maclaurin'a
Przykład Szereg Maclaurin'a funkcji
Zatem R= ".
Kiedy dana funkcja jest sumą swojego szeregu Taylor'a?
W tym przypadku sumy częściowe
nazywamy wielomianami Taylor'a stopnia n w a.
Funkcja f jest sumą swojego szeregu Taylora gdy
w każdym punkcie swojej dziedziny.
nazywamy n-tą resztą szeregu Taylora.
Jeśli dla %x-a%d" d oraz
to
dla tych samych x.
Twierdzenie. Jeżeli
w otoczeniu a oraz
dla %x-a%< R, to funkcja f jest równa swojemu wielomianowi Taylora na
odcinku %x-a%< R.
Przykład Funkcja
jest równa swojemu szeregowi Maclaurin'a.
Ponieważ pochodna dowolnego rzędu jest równa
to dla -d Zatem
Skąd
dla dowolnych x, czyli
dla dowolnych x.
Przykład Szereg Maclaurin'a dla sinx
Szereg jest wszędzie zbieżny.
Przykład Szereg Maclaurin'a dla cosx
Przykład sinx jako szereg Taylora w Ą/3.