SZEREGI
Szeregi liczbowe
Rozważmy nieskończony ciąg liczb
(1) (an) : a1, a2, a3, ..., an, ... n " N
który może być zbieżny lub rozbieżny.
Z wyrazów ciągu (1) utwórzmy nowy ciąg nieskończony
(2) (Sn) : S1, S2, S3, ..., Sn, ... n " N
którego n ty wyraz jest sumą n początkowych wyrazów ciągu (1), tj.
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
...
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
Ogólnie
n

Sn = ak
k=1
Definicja 1 (szeregu liczbowego).
n

Ciąg (Sn) sum Sn = ak nazywamy szeregiem liczbowym nieskończo-
k=1
nym i oznaczamy symbolem
"

(3) an
n=1
n

Sumę skończoną Sn = ak nazywamy n tą sumą częściową szeregu
k=1
(3). Składniki a1, a2, ..., an, ... nazywamy wyrazami szeregu nieskończo-
nego (3), składnik an  ogólnym wyrazem szeregu lub n tym wyrazem
szeregu.
Definicja 2 (zbieżności szeregu liczbowego).
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych
jest zbieżny do granicy właściwej, tj.
(4) lim Sn = S
n"
natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym, tj. kiedy granica ta jest
niewłaściwa lub nie istnieje.
Granicę S nazywamy sumą szeregu nieskończonego (3) lub krótko sumą
szeregu.
Uwaga 1.
Jeżeli w szeregu zbieżnym (lub rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę
początkowych wyrazów, to otrzymamy szereg zbieżny (albo odpowiednio
rozbieżny).
Wniosek 1.
"

Badanie zbieżności szeregu an można więc zastąpić badaniem zbież-
n=1
"

ności szeregu an, przy czym szeregi te mogą mieć oczywiście różne
n=k
sumy.
Definicja 3 (równości szeregów).
" "

an a" bn �!�! an = bn
n=1 n=1 n"N
Uwaga 2.
Z równości szeregów zbieżnych wynika równość ich sum, ale nie na
odwrót.
Definicja 4.
" "

k � an = k � an
n=1 n=1
przy czym k oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Definicja 5.
" " "

Szereg (an + bn) nazywamy sumą szeregów an i bn.
n=1 n=1 n=1
Uwaga 3.
" "

Zbieżność szeregów an i bn zapewnia zbieżność ich sumy, ale nie
n=1 n=1
na odwrót.
Twierdzenie 1.
" "

Jeżeli szeregi an i bn są zbieżne oraz ich sumy wynoszą odpo-
n=1 n=1
wiednio A i B, to
"

(an + bn) = A + B
n=1
oraz
"

k � an = k � A
n=1
gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Twierdzenie 2. (warunek konieczny zbieżności szegeru liczbowego)
"

Jeżeli szereg nieskończony an jest zbieżny, to lim an = 0.
n"
n=1
Wniosek 2.
"

Jeżeli lim an 0, to szereg an jest rozbieżny.
n"
n=1
Definicja 6 (szeregu harmonicznego).
Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg postaci
"

1 1 1 1
= 1 + + + + ...
n 2 3 4
n=1
Uwaga 4.
Szereg harmoniczny jest rozbieżny.
Definicja 7 (szeregu geometrycznego).
Szeregiem geometrycznym o ilorazie q nazywamy szereg postaci
"

a1qn-1 = a1 + a1q + a1q2 + ...
n=1
Twierdzenie 3.
Szereg geometryczny o ilorazie q jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
a1 = 0 lub |q| < 1. Jego suma S wyraża się wówczas wzorem
a1
S =
1 - q
Definicja 8 (szeregu Dirichleta).
Szeregiem Dirichleta (lub uogólnionym szeregiem harmonicznym albo
szeregiem harmonicznym rzędu ą) nazywamy szereg postaci
"

1
ną
n=1
gdzie ą oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Twierdzenie 4.
Szereg Dirichleta postaci
"

1
ną
n=1
jest rozbieżny dla ą 1, natomiast zbieżny dla ą > 1.
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Twierdzenie 5.
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ogra-
niczony z góry, to ten szereg jest zbieżny.
Twierdzenie 6 (kryterium porównawcze I).
" "

Jeżeli wyrazy szeregów an oraz bn są nieujemne, a ponadto ist-
n=1 n=1
nieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n > N jest spełniona
nierówność
an bn
to
" "

10 ze zbieżności szeregu bn wynika zbieżność szeregu an,
n=1 n=1
" "

20 z rozbieżności szeregu an wynika rozbieżność szeregu bn.
n=1 n=1
Twierdzenie 7 (kryterium porównawcze II).
" "

Jeżeli wyrazy szeregów an oraz bn są dodatnie oraz istnieje gra-
n=1 n=1
nica k:
an
k = lim
n"
bn
skończona i większa od zera, to rozpatrywane szeregi są jednocześnie
zbieżne lub rozbieżne.
Twierdzenie 8 (kryterium d Alemberta).
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
an+1
(5) g = lim
n"
an
"

to szereg an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g < 1, natomiast
n=1
rozbieżny, gdy g > 1.
Uwaga 5.
Jeżeli granica (5) jest równa jedności, to kryterium d Alemberta nie
roztrzyga, czy szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny.
Twierdzenie 9 (kryterium Cauchy ego).
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
"
n
(6) g = lim an
n"
"

to szereg an o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, gdy g < 1, nato-
n=1
miast rozbieżny, gdy g > 1.
Uwaga 6.
Jeżeli granica (6) jest równa jedności, to kryterium Cauchy ego nie
roztrzyga o zbieżności szeregu.
Uwaga 7.
Kryterium Cauchy ego jest mocniejsze od kryterium d Alemberta w tym
sensie, że jeżeli kryterium d Alemberta roztrzyga o zbieżności szeregu,
to i kryterium Cauchy ego o niej roztrzyga, ale nie zawsze na odwrót.
Twierdzenie 10 (kryterium całkowe).
Jeżeli m " N oraz funkcja f (x) jest nierosnąca i nieujemna na przedziale
m, +"), to
+"

"

f (x)dx jest zbieżna �!�! f (n) jest zbieżny
n=m
m
Szeregi o wyrazach dowolnych
Definicja 9 (szeregu naprzemiennego).
"

Szereg postaci (-1)n+1an, gdzie an > 0, nazywamy szeregiem naprze-
n=1
miennym.
Twierdzenie 11 (kryterium Leibniza).
Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący oraz lim an = 0, to szereg naprzemienny
n"
jest zbieżny.
Definicja 10 (szeregu anharmonicznego).
Szeregiem anharmonicznym (lub aharmonicznym) nazywamy szereg po-
staci
"

1 1 1 1
(-1)n+1 = 1 - + - + ...
n 2 3 4
n=1
Uwaga 8.
Szereg anharmoniczny jest zbieżny.
Uwaga 9.
Jeżeli szereg naprzemienny spełnia założenia kryterium Leibniza, to dla
każdego naturalnego n zachodzi
|S - Sn| an+1
Definicja 11 (zbieżności bezwzględnej i warunkowej).
"

Szereg an o wyrazach dowolnych nazywamy szeregiem bezwzględnie
n=1
"

zbieżnym, jeśli zbieżny jest jednocześnie szereg |an|. Jeżeli zbieżny
n=1
" "

jest szereg an, zaś szereg |an| jest jednocześnie rozbieżny, to sze-
n=1 n=1
"

reg an nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.
n=1
Twierdzenie 12.
" "

Jeżeli szereg |an| jest zbieżny, to zbieżny jest szereg an.
n=1 n=1
Niech dane będą dwa szeregi
" "

(7) an i bn
n=1 n=1
Definicja 12 (iloczynu Cauchy ego szeregów).
Szereg
"

(8) cn
n=1
o wyrazach
n

cn = akbn+1-k, n = 1, 2, 3...
k=1
nazywamy iloczynem Cauchy ego szeregów (7).
Twierdzenie 13 (Cauchy ego o iloczynie szeregów).
Jeżeli szeregi (7) są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest
bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn (8) jest zbieżny, przy czym
�ł �ł �ł �ł
" "
�ł

�ł �ł �ł " �ł
�ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
cn = an�ł � bn�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł łł �ł łł
n=1 n=1 n=1