Metody Obliczeniowe - wykłady
metoda elementów skończonych
dr inż. Jan Jaśkowiec
Kraków, Marzec 2013
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Metodą elementów skończonych znalez
ć rozwiązanie przybliżone
problemu brzegowego. Zastosowac podział na 2 elementy skończone.

u + 2u = sin(x)
(1)
u(0) = 1 , u (2) = -2
Sformułowanie globalne metodą całki ważonej:
2 2 2
wu dx + 2wu dx - w sin(x) dx = 0 (2)
0 0 0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Równanie można rozwpisać na dwa elementy skończone:
1 1 1
wu dx + 2wu dx - w sin(x) dx+
0 0 0
(3)
2 2 2
wu dx + 2wu dx - w sin(x) dx = 0
1 1 1
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Całki mogą być obliczone w układach lokalnych elementów skończonych:
1 1 1
L L L

w1u1 dx1 + 2w1u1 dx1 - w1 sin(x1 + s1) dxe+
0 0 0
(4)
2 2 2
L L L

w2u2 dx2 + 2w2u2 dx2 - w2 sin(x2 + s2) dxe = 0
0 0 0
e e e
L L L

weue dxe + 2weue dxe - we sin(xe + se) dxe = 0 (5)
e
0 0 0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Równanie można rozważać dla każdego elementu e:
e e e
L L L
weue dxe + 2weue dxe - we sin(xe + se) dxe = 0 (6)
0 0 0
W wyniku całkowania przez części otrzymujemy:
e
L
we(Le)u e(Le) - we(0)u e(0) - we ue dxe+
0
(7)
e e
L L
2weue dxe - we sin(xe + se) dxe = 0
0 0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
W każdym elemencie skończonym stosuje się interpolację Lagrange a
stopnia 1:

e e e e e
ue(xe) = N1 (xe)q1 + N2 (xe)q2 = Nie(xe)qi = Neqe (8)
i
e e e e
we(xe) = N1 (xe)d1 + N2 (xe)d2 = Nede = de TNe T (9)

e
q1 e e
qe = , q1, q2  elementowe stopnie swobody
e
q2

e
d1 e e
de = , d1 , d2  dowolne wartości
e
d2

e e e e
Ne = N1 N2 , N1 (xe), N2 (xe)  funkcje kształtu
xe xe
e e
N1 (xe) = 1 - , N2 (xe) = (10)
Le Le
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Po podstawieniu interpolacji do równania otrzymujemy:
de TNe T(Le)u e(Le) - de TNe T(0)u e(0)-
e
L
de T Ne TNe dxeqe+
(11)
0
e e
L L
de T 2Ne TNe dxeqe - de T Ne T sin(xe + se) dxe = 0
0 0

1 0
Ne T(0) = , Ne T(Le) = (12)
0 1
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e e

L L

-u e(0)
de T + - Ne TNe dxe + 2Ne TNe dxe qe-
u e(Le)
0 0
(13)
e

L
Ne T sin(xe + se) dxe = 0 , " de
0
�!�!
e e
L L

-u e(0)
+ - Ne TNe dxe + 2Ne TNe dxe qe-
u e(Le)
(14)
0 0
e
L
Ne T sin(xe + se) dxe = 0
0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e
L
Pe = Ne T sin(xe + se) dxe (15)
0

-u e(0)
Pe = (16)
b
u e(Le)
e e
L L
Ke = Ne TNe dxe - 2Ne TNe dxe (17)
0 0
Keqe = Pe + Pe , e = 1, 2 (18)
b
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Agregacja:
1
q1 = q1 = u(0)
1 2
q2 = q2 = q1 = u(1) (19)
2
q3 = q2 = u(2)
Agregacja polega na dodaniu równań dla wspólnych stopni swobody
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 1
-u 1(0) = -u (0)
K11 K12 0 q1 P1
1 1 2 2 1 2
1
�łK21 K22 + K11 K12�ł �łq2�ł �łP2 + P1 �ł �łu (L1) - u 2(0) = 0�ł
= +
2 2 2
0 K21 K22 q3 P2
u 2(L2) = u (2)
(20)
Kq = P + Pb (21)
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Uwzględnienie warunków brzegowych:
u(0) = 1 , u (2) = -2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
K11 K12 K13 q1 = 1 P1 -u (0)
�łK21 K22 K23�ł �ł �ł �łP2�ł �ł �ł
q2 = + 0 (22)
K31 K32 K33 q3 P2 u (2) = -2
Z równania wyznacza się trzy niewiadome: q2, q3 oraz u(0).
Ponieważ wielkość u (0) nie pojawia się w równaniach 2 i 3, więc przy
rozwiązywaniu można rozdzielić zmienne:

K22 K23 q2 P2 0 K21
= + - (23)
K32 K33 q3 P3 -2 K31
u (0) = P1 - K11 - K12q2 - K13q3 (24)
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e = 1:
L1 = 1, s1 = 0
1
1 - x 0.1585
P1 = sin(x) dx = (25)
x 0.3012
0
1 1

-1 1 - x
K1 = -1 1 dx - 2 1 - x x dxe
1 x
(26)
0 0
2 1
1 4
1 -1 -
3 3 3 3
K1 = - =
1 2
-1 1 -4 1
3 3 3 3
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e = 2:
L2 = 1, s2 = 1
1
1 - x 0.4725
P2 = sin(x + 1) dx = (27)
x 0.484
0
1 1

-1 1 - x
K2 = -1 1 dx - 2 1 - x x dxe
1 x
(28)
0 0
2 1
1 4
1 -1 -
3 3 3 3
K2 = - =
1 2
-1 1 -4 1
3 3 3 3
dr inż. Jan Jaśkowiec