Metody Obliczeniowe - wykłady
metoda elementów skończonych
dr inż. Jan Jaśkowiec
Kraków, Marzec 2015
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Metodą elementów skończonych znalez
ć rozwiązanie przybliżone
problemu brzegowego. Zastosowac podział na 2 elementy skończone.

u + 2u = sin(x)
(1)
u(0) = 1 , u (2) = -2
Sformułowanie globalne metodą całki ważonej:
2 2 2
wu dx + 2wu dx - w sin(x) dx = 0 , "w (2)
0 0 0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Równanie można rozpisać na dwa elementy skończone:
1 1 1
wu dx + 2wu dx - w sin(x) dx+
0 0 0
(3)
2 2 2
wu dx + 2wu dx - w sin(x) dx = 0
1 1 1
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Całki mogą być obliczone w układach lokalnych elementów skończonych:
1 1 1
L L L

w1u1 dx1 + 2w1u1 dx1 - w1 sin(x1 + a1) dxe+
0 0 0
(4)
2 2 2
L L L

w2u2 dx2 + 2w2u2 dx2 - w2 sin(x2 + a2) dxe = 0
0 0 0
e e e
L L L

weue dxe + 2weue dxe - we sin(xe + ae) dxe = 0 (5)
e
0 0 0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Równanie można rozważać dla każdego elementu e:
e e e
L L L
weue dxe + 2weue dxe - we sin(xe + ae) dxe = 0 (6)
0 0 0
W wyniku całkowania przez części otrzymujemy:
e
L
we(Le)u e(Le) - we(0)u e(0) - we ue dxe+
0
(7)
e e
L L
2weue dxe - we sin(xe + ae) dxe = 0
0 0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
W każdym elemencie skończonym stosuje się interpolację Lagrange a
stopnia 1:

e e e e
ue(xe) = N1 (xe)d1 + N2 (xe)d2 = Nie(xe)die = Nede (8)
i
e e e e
we(xe) = N1 (xe)a1 + N2 (xe)a2 = Nece = ce TNe T (9)

e
d1 e e
de = , d1 , d2  elementowe stopnie swobody
e
d2

e
c1 e e
ce = , c1 , c2  dowolne wartości
e
c2

e e e e
Ne = N1 N2 , N1 (xe), N2 (xe)  funkcje kształtu
xe xe
e e
N1 (xe) = 1 - , N2 (xe) = (10)
Le Le
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Po podstawieniu interpolacji do równania otrzymujemy:
ce TNe T(Le)u e(Le) - ce TNe T(0)u e(0)-
e
L
ce T Ne TNe dxede+
(11)
0
e e
L L
ce T 2Ne TNe dxede - ce T Ne T sin(xe + ae) dxe = 0
0 0

1 0
Ne T(0) = , Ne T(Le) = (12)
0 1
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e e

L L

-u e(0)
ce T + - Ne TNe dxe + 2Ne TNe dxe de-
u e(Le)
0 0
(13)
e

L
Ne T sin(xe + ae) dxe = 0 , " ce
0
�!�!
e e
L L

-u e(0)
+ - Ne TNe dxe + 2Ne TNe dxe de-
u e(Le)
(14)
0 0
e
L
Ne T sin(xe + ae) dxe = 0
0
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e
L
Pe = - Ne T sin(xe + ae) dxe (15)
0

-u e(0)
Pe = (16)
b
u e(Le)
e e
L L
Ke = Ne TNe dxe - 2Ne TNe dxe (17)
0 0
Kede = Pe + Pe , e = 1, 2 (18)
b
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Agregacja:
1
d1 = d1 = u(0)
1 2
d2 = d2 = d1 = u(1) (19)
2
d3 = d2 = u(2)
Agregacja polega na dodaniu równań dla wspólnych stopni swobody
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 1
-u 1(0) = -u (0)
K11 K12 0 d1 P1
1 1 2 2 1 2
1
�łK21 K22 + K11 K12�ł �łd2�ł �łP2 + P1 �ł �łu (L1) - u 2(0) = 0�ł
= +
2 2 2
0 K21 K22 d3 P2
u 2(L2) = u (2)
(20)
Kd = P + Pb (21)
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Uwzględnienie warunków brzegowych:
u(0) = 1 , u (2) = -2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
K11 K12 K13 d1 = 1 P1 -u (0)
�łK21 K22 K23�ł �ł �ł �łP2�ł �ł �ł
d2 = + 0 (22)
K31 K32 K33 d3 P2 u (2) = -2
Z równania wyznacza się trzy niewiadome: q2, q3 oraz u(0).
Ponieważ wielkość u (0) nie pojawia się w równaniach 2 i 3, więc przy
rozwiązywaniu można rozdzielić zmienne:

K22 K23 d2 P2 0 K21
= + - (23)
K32 K33 d3 P3 -2 K31
u (0) = P1 - K11 - K12d2 - K13d3 (24)
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e = 1:
L1 = 1, a1 = 0
1
1 - x -0.1585
P1 = - sin(x) dx = (25)
x -0.3012
0
1 1

-1 1 - x
K1 = -1 1 dx - 2 1 - x x dxe
1 x
(26)
0 0
2 1
1 4
1 -1 -
3 3 3 3
K1 = - =
1 2
-1 1 -4 1
3 3 3 3
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
e = 2:
L2 = 1, a2 = 1
1
1 - x -0.4725
P2 = - sin(x + 1) dx = (27)
x -0.484
0
1 1

-1 1 - x
K2 = -1 1 dx - 2 1 - x x dxe
1 x
(28)
0 0
2 1
1 4
1 -1 -
3 3 3 3
K2 = - =
1 2
-1 1 -4 1
3 3 3 3
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
Agregacja
�ł łł �ł łł
-0.1585 -0.1585
�ł-0.3012 - 0.4725�ł = �ł-0.7737�ł
P = (29)
-0.484 -0.484
�ł łł �ł łł
1 4 1 4
- 0 - 0
3 3 3 3
�ł- 4 1 + 1 4 �ł �ł- 4 2 4 �ł
K = - = - (30)
3 3 3 3 3 3 3
4 1 4 1
0 - 0 -
3 3 3 3
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1
-4 0 1 -0.1585 -u (0)
3 3
�ł- 4 2 4 �ł �łd2�ł �ł-0.7737�ł �ł �ł
- = + 0 (31)
3 3 3
0 -4 1 d3 -0.484 -2
3 3

2 4 4
- d2 -0.7737 0
3 3 3
= + + (32)
4 1
- d3 -0.484 -2 0
3 3

2 4
- d2 0.5596 d2 2.0092
3 3
= = (33)
4 1
- d3 -2.484 d3 0.5849
3 3
1 4
u (0) = -0.1585 - + 2.0092 � = 2.1871 (34)
3 3
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
MES  3 elementy
e = 1:
L1 = 2/3, a1 = 0
2/3

3 - x -0.0724
1
P1 = - sin(x) dx = (35)
x -0.1417
2
0
2/3 2/3


9 -1 1
9 - x
K1 = -1 1 dx - 1 - x x dxe
1 x
4 2
(36)
0 0

3
-3 4 2 1.0556 -1.7222
2 2 9 9
K1 = - =
3 3 2 4
- -1.7222 1.0556
2 2 9 9
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
MES  3 elementy
e = 2:
L2 = 2/3, a2 = 2/3
2/3

3 - x -0.2555
1
P2 = - sin(x + a2) dx = (37)
x -0.2951
2
0
2/3 2/3


9 -1 1
9 - x
K2 = -1 1 dx - 1 - x x dxe
1 x
4 2
(38)
0 0

3
-3 4 2 1.0556 -1.7222
2 2 9 9
K2 = - =
3 3 2 4
- -1.7222 1.0556
2 2 9 9
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
MES  3 elementy
e = 3:
L3 = 2/3, a3 = 4/3
2/3

3 - x -0.3292
1
P3 = - sin(x + a3) dx = (39)
x -0.3222
2
0
2/3 2/3


9 -1 1
9 - x
K3 = -1 1 dx - 1 - x x dxe
1 x
4 2
(40)
0 0

3
-3 4 2 1.0556 -1.7222
2 2 9 9
K3 = - =
3 3 2 4
- -1.7222 1.0556
2 2 9 9
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
MES  3 elementy
Agregacja
�ł łł �ł łł
-0.0724 -0.0724
�ł-0.1417 - 0.2555śł �ł-0.3972śł
�ł śł �ł śł
P = (41)
�ł-0.2951 - 0.3292�ł = �ł-0.6243�ł
-0.3222 -0.3222
�ł łł
1.0556 -1.7222 0 0
�ł-1.7222 1.0556 + 1.0556 -1.7222 śł
0
�ł śł
K =
�ł
0 -1.7222 1.0556 + 1.0556 -1.7222�ł
0 0 -1.7222 1.0556
�ł łł (42)
1.0556 -1.7222 0 0
�ł-1.7222 2.1111 -1.7222 0 śł
�ł śł
=
�ł
0 -1.7222 2.1111 -1.7222�ł
0 0 -1.7222 1.0556
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
MES  3 elementy
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1.0556 -1.7222 0 0 1 -0.0724 -u (0)
�ł-1.7222 2.1111 -1.7222 0 śł �łd2śł �ł-0.3972śł �ł śł
0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
= +
�ł �ł
0 -1.7222 2.1111 -1.7222�ł �łd3�ł �ł-0.6243�ł �ł 0
0 0 -1.7222 1.0556 d4 -0.3222 -2
(43)
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
2.1111 -1.7222 0 d2 -0.3972 0 -1.7222
�ł-1.7222 2.1111 -1.7222�ł �łd3�ł �ł-0.6243�ł �ł �ł �ł �ł
= + 0 - 0
0 -1.7222 1.0556 d4 -0.3222 -2 0
(44)
�ł łł �ł łł
d2 1.9198
�łd3�ł �ł1.5839�ł
= (45)
d4 0.3843
u (0) = -0.0724 - 1.0556 + 1.9198 � 1.7222 = 2.1783 (46)
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metoda elementów skończonych  1D
dr inż. Jan Jaśkowiec