Opadanie cząstek w płynie
Pojedyncza cząstka opadająca w płynie ruchem jednostajnym podlega działaniu trzech
sił równoważących się, tj. sile ciężkości, sile wyporu i sile oporu:
Siła ciężkości
p� d3
p
G =� r�s g
6
Siła wyporu
p� d3
p
W =� r� g
6
Siła oporu
p� d2
w2 r�
R =� x�op p
4 2
Bilans sił można zapisać jako:
G =� W +� R
p� d3 p� d3 p� d2
w2 r�
p p
r�s g =� r� g +� x�op p
6 6 4 2
skąd można obliczyć prędkość opadania cząstek kulistych w płynie:
4 dp g (�r�s -� r�)�
w =�
3 x�op r�
lub średnicę opadającej cząstki kulistej:
3 p� x�op w2 r�
d =�
4 g (�r�s -� r�)�
Zastosowanie obu tych równań do obliczeń jest utrudnione, ze względu na
występowanie współczynnika oporu kształtu x�op , który jest wielkością zmienną i zależną od
liczby Reynoldsa cząstki, definiowanej zależnością:
w dp r�
Re =�
h�
gdzie właściwości odnoszą się do ośrodka, w którym odbywa się ruch.
Doświadczalnie stwierdzono, że cząstki mogą poruszać się w sposób laminarny,
przejściowy i burzliwy. Dla tych obszarów ruchu obowiązują specyficzne zależności
pozwalające obliczać współczynnik oporu kształtu:
Obszar ruchu laminarnego, 24
Re Ł� 0,5 x�op =�
Obszar Stokesa Re
18,5
Obszar ruchu przejściowego,
0,5 <� Re <� 500 x�op =�
Obszar Allena Re0,6
Obszar ruchu burzliwego,
x�op =� 0,44
Re Ł� 500
Obszar Newtona
Na wykresie w skali podwójnie logarytmicznej zależność ta, dla wszystkich trzech
obszarów pokazana jest na poniższym rysunku:
1
1,E+06
1,E+05
1,E+04
1,E+03
1,E+02
1,E+01
1,E+00
1,E-01
1,E-04 1,E-02 1,E+00 1,E+02 1,E+04 1,E+06
Re
Jeśli do zależności określającej siłę oporu działającej na cząstkę wstawić zależność dla
ruchu laminarnego, to otrzymuje się wzór:
p� d2
24 h� w2 r�
p
R =� =� 3 p� dp h� w
w dp r� 4 2
znany jako równanie Stokesa. Po wykorzystaniu tego równania do bilansu sił i jego
przekształceniu otrzymuje się:
d2 (�r�s -� r�)�g
p
w =�
18 h�
Postępując analogicznie w obszarze Allena uzyskuje się zależności:
18,5 h�0,6 p� d2 w2 r� 18,5
p
R =� =� p� d1,4 h�0,6 w1,4 r�0,4
p
w0,6 d0,6 r�0,6 4 2 8
p
1,6
1
1 1
1,4
1,4 1,4
dp 1,4 (�r�s -� r�)� g
ć� 4 ��
w =� �� ��
0,6 0,4
3 ��18,5
1,4 1,4
Ł� ł�
h� r�
0,714
d1,143 (�r�s -� r�)�
p
w =� 0,781
h�0,4286 r�0,2857
Natomiast w obszarze Newtona uzyskuje się:
p� d2
w2 r�
p
R =� 0,44
4 2
2
op
x�
dp (�r�s -� r�)� g
4
w =�
3�� 0,44 r�
dp (�r�s -� r�)�
w =� 5,452
r�
Wzory ujęte w ramki pokazują, że prędkość opadania różnie zależy od średnicy cząstki.
W obszarze Stokesa jest proporcjonalna do d2 , w obszarze Allena do d1,143 , a w obszarze
p p
Newtona do d0,5 . W postaci wykreślnej zależność ta przedstawiona jest na poniższym
p
rysunku
Obszar Stokesa
Obszar Allena
Obszar Newtona
d
Przedstawione powyżej równania są niewygodne do obliczeń projektowych, bo gdy
trzeba obliczyć prędkość lub gdy trzeba obliczyć średnicę opadającej cząstki, to równocześnie
trzeba znać obszar ruchu, w którym odbywa się opadanie. Zatem obliczenia można wykonać
jedynie zakładając ten obszar i po wykonaniu obliczeń sprawdzić poprawność założenia
(obliczyć wartość liczby Reynoldsa).
Innym sposobem przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy jest
następujące podejście. Z równania bilansowego:
p� d3 p� d3 p� d2
w2 r�
p p
r�s g =� r� g +� x�op p
6 6 4 2
wynika, że:
dp g
4 (�r�s -� r�)�
x�op =�
3 w2 r�
Mnożąc obie strony równania przez Re2 otrzymuje się:
d3 (�r�s -� r�)�r� g
4
p
x�op Re2 =�
3 h�2
Zdefiniujmy bezwymiarową wielkość:
d3 (�r�s -� r�)�r� g
p
Ar =�
h�2
3
w
jako liczbę Archimedesa. Zatem na podstawie dwóch powyższych zależności uzyskuje się
wzór:
3
x�op Re2 =� Ar
4
Zauważmy, że do obliczenia wartości liczby Archimedesa nie jest konieczna
znajomość prędkości opadania cząstki.
W obszarze Stokesa graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 0,5, a współczynnik
24
oporu kształtu wynosi: x�op =� . Po podstawieniu do zależności w ramce uzyskuje się
Re
graniczną wartość liczby Archimedesa:
3 24
Ar =� 0,52 =� 9
4 0,5
Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Stokesa wynosi:
3 24
Re2 =� Ar
4 Re
18 Re =� Ar
Ar
Re =�
18
W obszarze Newtona najmniejsza graniczna wartość liczby Reynoldsa wynosi 500, a
współczynnik oporu opadania wynosi 0,44, zatem:
3
Ar =� 0,44 ��5002 =� 82500
4
Zależność między liczbą Reynoldsa a liczbą Archimedesa w obszarze Newtona wynosi:
3
0,44 Re2 =� Ar
4
Re =� 1,7408 Ar
Obszar Allena zawarty jest zatem w zakresie 9 <� Ar <� 82500 , a współczynnik oporu
18,5
opadania wynosi: x�op =� , zatem:
Re0,6
3 18,5
Re2 =� Ar
4 Re0,6
po przekształceniach otrzymuje się:
1
0,714
1,4
ć� Ar �� ć� Ar ��
Re =� �� �� =� �� ��
��13,875 �� ��13,875 ��
Ł� ł� Ł� ł�
Zestawienie powyższych przekształceń pokazano w tabeli:
Obszar ruchu Zakres liczb Reynoldsa Zakres liczb Archimedesa Re vs Ar
Ar
Stokesa Re Ł� 0,5
Ar Ł� 9 Re =�
18
1
0,714
1,4
ć� Ar �� ć� Ar ��
Allena 0,5 <� Re <� 500
9 <� Ar <� 82500
Re =� �� �� =� �� ��
��13,875 �� ��13,875 ��
Ł� ł� Ł� ł�
Newtona Re ł� 500 Re ł� 500 Ar ł� 82500
Re =� 1,7408 Ar
Reasumując, przy obliczaniu prędkości opadania cząstki o znanej średnicy wygodnie
jest korzystać z liczby Archimedesa, natomiast przy obliczaniu średnicy cząstki o znanej
prędkości opadania obliczenia należy wykonać metodą prób i błędów.
4
 Przedstawione powyżej rozważania dotyczą cząstek o kształcie kulistym. Dla cząstek
o kształcie odbiegającym od kuli prędkość opadania należy skorygować za pomocą
odwrotności współczynnika kształtu czyli współczynnika sferyczności.
Przykładowo w obszarze Stokesa współczynnik oporu kształtu oblicza się z zależności:
a
x�op =� ,
Re
24
gdzie wielkość a =� ,
y�
0,843 log
0,065
a zatem prędkość opadania oblicza się z zależności:
d2 (�r�s -� r�)�g �� y� ł�
z
w =�
ę�0,843 log 0,065ś�
18 h�
�� ��
Z kolei w obszarze Newtona współczynnik oporu kształtu przedstawia zależność:
x�op =� 5,31-� 4,87 y�
a prędkość opadania liczy się z zależności:
dp (�r�s -� r�)�g dp (�r�s -� r�)�
4
-�0,5
w =� =� 3,617 (�5,31-� 4,87 y�)�
3(�5,31-� 4,87 y�)� r� r�
Dla obszaru Allena nie ma jednej zależności na obliczanie prędkości opadania, gdyż
współczynnik oporu kształtu zależy nie tylko od sferyczności, ale także od wartości liczby
Reynoldsa.
Współczynnik sferyczności y� występujący w powyższych równaniach określa
stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni cząstki przy takiej samej objętości, zatem
jest to liczba mniejsza od 1.Przykładowe wartości dla wybranych brył podano poniżej.
Bryła Współczynnik
sferyczności y�
Kula 1
Sześcian 0,806
Graniastosłup a �� a �� 2a 0,766
Graniastosłup a �� 2a ��3a 0,76
Walec h =� 2 r 0,873
Walec h =�10 r 0,691
Opadanie pojedynczych cząstek w aparatach przemysłowych jest wyjątkowo rzadkie.
Najczęściej występuje tak zwane opadanie gromadne, tj. takie w którym sąsiadujące cząstki
mają wpływ na ruch innych. Wówczas ciecz i obecne w niej cząstki należy traktować jako
zawiesinę. Obecność wielu cząstek powoduje zmniejszenie przekroju, w którym jest faza
ciągła i w związku z tym występuje wówczas wsteczny ruch cieczy. Wielkością, która opisuje
wpływ innych cząstek na opadanie w roju jest porowatość zawiesiny e� , czyli udział objętości
swobodnej w całej zawiesinie.
Dla celów praktycznego wykorzystania w projektowaniu prędkość opadania kulistych
cząstek w zawiesinie wz oblicza się mnożąc prędkość opadania pojedynczej cząstki przez
pewien współczynnik f .
e�2
f =�
101,82 (�1-� e�)�
5
Klasyfikacja hydrauliczna
Klasyfikacja hydrauliczna wykorzystuje różnice w prędkościach opadania cząstek o
jednakowej średnicy, ale o innej gęstości. Najprostszą konstrukcję klasyfikatora
zaprezentowano poniżej.
W klasyfikatorach hydraulicznych najczęściej rozdziela się zawiesiny cząstek stałych
rozproszonych w wodzie. Rozdziałowi poddaje się mieszaniny cząstek stałych różnych
materiałów, np. o gęstościach r�s1 i r�s2 o rozmiarach zawartych w pewnym zakresie od dpmin
do dpmax .
W klasyfikatorze poziomym czas, w którym cząstka opada pionowo z prędkością w
jest równy czasowi, w którym przemieszcza się ona poziomo na odległość L z prędkością
przepływu wody w :
H2O
H L
t� =� =�
w wH2O
Zatem miejsce, w którym opadnie cząstka zależy od jej prędkości opadania w kierunku
pionowym w. Znając charakter przebiegu zależności w =� f(�dp)� dla cząstek o różnych
gęstościach r�s1 i r�s2 można określić czy możliwy jest rozdział mieszaniny cząstek na czyste
frakcje (czyste substancje). Przebieg takiego procesu można prześledzić na poniższym
wykresie.
6
 w
1
r�
s1
w1
2
w2
3
r�
w3
s2
4
w4
d
p
d d
p min p maks
Jak widać, w zakresie średnic od dpmin do dp max .cząstki o gęstości r�s1 opadają z
prędkościami w2 <� w <� w1, natomiast cząstki o gęstości r�s2 opadają z prędkościami
w4 <� w <� w3 . Zakresy tych prędkości opadania nie nakładają się na siebie zatem możliwy
jest rozdział mieszaniny na czyste frakcje.
Inny przypadek zamieszczono poniżej:
w
1
r�
s1
w1
5 3
r�
w3 s2
2
6
w2
4
w4
d
p
d d d
d
p min p5 p6 p maks
Jak widać zakresy prędkości opadania różnych cząstek zachodzą na siebie, a zatem
niemożliwy jest rozdział mieszaniny na czyste frakcje. Zatem , jeśli w3 >� w2 , to niemożliwy
jest rozdział na czyste frakcje i w klasyfikatorze otrzyma się:
ż� �frakcję czystych cząstek o gęstości r�s1 o średnicach od dpmax do dp5 ,
ż� �frakcję czystych cząstek o gęstości r�s2 o średnicach od dp6 do dpmin ,
oraz
ż� �frakcję mieszaną o średnicach od dp6 do dp5 .
Wobec powyższego, aby rozwiązać problem jakie cząstki (o jakich średnicach)
odbierze się w postaci pojedynczych substancji oraz z jakich cząstek będzie złożona frakcja
mieszana należy dla każdego punktu zaznaczonego na wykresie poznać prędkości opadania
oraz średnice cząstek. Przypomnijmy, że do obliczania prędkości opadania cząstek o znanej
średnicy wykorzystuje się liczbę Archimedesa, a obliczenia średnicy cząstek o znanej
prędkości opadania wykonuje się metoda prób i błędów.
7
Pozostanie zatem obliczenie gdzie, tj. w jakiej odległości od wlotu spadną poszczególne
cząstki oraz jakie są rozmiary cząstek we frakcji mieszanej. Dla zadanej długości
klasyfikatora L , wysokości H i zadanej prędkości przepływu wody wH2O miejsca
(odległości), w których opadną poszczególne cząstki oblicza się znając prędkość ich opadania
w pionie z zależności, np. dla punktu 1:
wH2O
L1 =� H
w1
Oprócz klasyfikatorów poziomych znane są klasyfikatory pionowe, w których
zawiesina przepływa pionowo od dołu go góry. Zasada działania jest takiego aparatu polega
na odbieraniu cząstek lekkich górą, a cząstek ciężkich dołem. Prędkość przepływu wody
dobiera się tak, aby była ona większa od prędkości opadania cząstek lekkich a mniejsza od
prędkości opadania cząstek ciężkich. Klasyfikatory pionowe, w których fazą ciągłą jest
powietrze nazywa się klasyfikatorami pneumatycznymi i powszechnie wykorzystuje się na
przykład do wydzielania ziaren zbóż z surowca otrzymywanego w trakcie młócenia.
Schematyczną konstrukcję klasyfikatorów pionowych pokazano poniżej.
8
Dynamika warstwy fluidalnej
W niektórych procesach przemysłowych istotne jest, aby cząstki ciała stałego były
dokładnie omywane przez fazę ciągłą. Jako przykład może służyć wykorzystywanie stałych
katalizatorów do wykonywania reakcji w fazie płynnej. Powierzchnia międzyfazowa, którą
stanowi powierzchnia każdej cząstki ciała stałego musi być w doskonałym kontakcie z coraz
to innymi porcjami fazy ciągłej. Takie warunki są spełnione w tak zwanej warstwie fluidalnej.
Przez fluidyzację rozumie się zawieszenie cząstek stałych w przepływającym w górę
strumieniu gazu lub cieczy. W warstwie fluidalnej cząstki stałe są intensywnie mieszane, co
zapewnia zwiększenie szybkości procesów transportu (wymiany) ciepła czy masy pomiędzy
fazą stałą a płynem. W stanie fluidyzacji osiąga się bardzo wysoki stopień jednorodności
mieszaniny, nie występują lokalne przegrzania czy wzrosty stężenia.
Rozpatrując fluidyzację fizycznie można powiedzieć, że jest ona stanem pośrednim
pomiędzy przepływem płynu przez warstwę nieruchomego, usypanego materiału a
transportem (przepływem) mieszaniny dwufazowej ciało stałe płyn. Zgodnie z tym
stwierdzeniem można przyjąć, że fluidyzacja zaczyna się przy pewnej minimalnej prędkości
strumienia gazu i kończy się przy prędkości maksymalnej, w której wraz z gazem lub cieczą
zostaje porwane złoże stałe.
Straty ciśnienia przy przepływie przez nieruchome złoże stałe oblicza się
z cytowanego już wcześniej równania Mc Leva:
3-�n
L w2 r� (�1 -� e�)�
D�p =� l� y�3-�n
de 2 e�3
Jeśli przedstawić zależność tych strat od prędkości w postaci wykreślnej, to
początkowo obserwuje się wzrost strat ciśnienia proporcjonalny do kwadratu prędkości
(obszar I).
D�p
I II III IV V
w
wkr
Spadek strat ciśnienia w obszarze II zwanym obszarem ekspansji wynika z doskonalszego
upakowania się cząstek w złożu. Obszar III nazywany jest pierwszym stadium fluidyzacji,
obszar IV drugim stadium fluidyzacji, gdzie ustala się spadek ciśnienia i wreszcie obszar V
odpowiada transportowi pneumatycznemu.
Jeśli przez złoże znajdujące się w drugim stadium fluidyzacji przepuszczać coraz
mniej gazu, to zaobserwuje się nieodwracalność procesu fluidyzacji zjawisko to pokazano na
poniższym wykresie. Linia oznaczona nr 1 oznacza tak zwane złoże zbite, tj. przed ekspansją,
linia nr 2 to złoże rozpulchnione, a linia nr 3 oznacza stan fluidalny.
9
D�p 3
1
2
w
wkr
W obliczeniach projektowych najistotniejszą wielkością, którą należy określić jest
krytyczna prędkość fluidyzacji, przy której zaczyna się proces. Można przyjąć, że krytyczna
prędkość fluidyzacji odpowiada takiemu momentowi, w którym ciśnienie statyczne złoża
stałego jest zrównoważone przez parcie gazu równe stratom ciśnienia gazu przepływającego
przez najluz
niej upakowane złoże. Zatem, ciśnienie statyczne złoża o wysokości H można
zapisać wzorem:
D�p =� H (�1-� e�kr)�(�r�s -� r�)�g
lub zaniedbując gęstość gazu
D�p =� H (�1-� e�kr )�r�s g , (1)
a stratę ciśnienia związaną z przepływem gazu przez złoże zapisujemy równaniem Mc Leva
3-�n
H w2 r� (�1-� e�kr )�
kr
D�p =� l� y�3-�n (2)
de 2 e�3
kr
wiedząc, że współczynnik opory przepływu oblicza się z zależności:
400
l� =� (3)
Re
z równań (1)  (3) otrzymuje się wzór:
2
0,005 de r� g e�3
kr
wkr =�
h� y�2 (�1-� e�kr )�
Jak widać w tych wszystkich wzorach występuje wartość porowatości złoża w punkcie
krytycznym, trzeba pamiętać, że jest to inna wielkość niż porowatość złoża w spoczynku, co
utrudnia stosowanie tych wzorów.
W praktyce warstwa fluidalna niestety nie jest jednorodna, obserwuje się szereg
zakłóceń w pracy złoża fluidalnego, co przedstawiają poniższe schematy.
a) powstawanie pęcherzy, b) pulsowanie tłokowe, c) kanalikowanie.
10