Wykład 05 Pręt i Układ Prętów

Wprowadzenie do MES
Pręt i układy prętów
Pręt
p(x)
P
N=P
u=0
dN
+ p = 0
równanie równowagi
dx
równanie równowagi przekroju
du
du
związek geometryczny
związek geometryczny
N
N
� =
� =
� =
dx
A
związek fizyczny
� = E�
du � N du
= � = = �! N = EA
dx E EA dx
d du
�łEA łł
+ p = 0
�ł śł
dx dx
�ł �ł
2
Pręt - przykład
p(x)
P
EA = const
p(x)= const
L
N=P
u=0
d du
�łEA łł
+ p = 0
�ł śł
dx dx
�ł �ł
du p C
du p C
= - x +
dx EA EA
1 p P pL
�ł �łx
1 p C
u = - x2 + +
�ł �ł
u = - x2 + x + D
2 EA EA EA
�ł łł
2 EA EA
Length
u(0)= 0 �! D = 0
du
EA = P �! C = P + pL
du p P pL
�ł �ł
dx
p P pL
�ł �ł
� = = - x + +
x=L �ł �ł
� = E� = - x + +
�ł �ł
dx EA EA EA
�ł łł
A A A
�ł łł
Length Length
1 p P pL
�ł �łx
u = - x2 + + 3
�ł �ł
2 EA EA EA
�ł łł
Elongation
Strain
Stress
Element prętowy
du du
- EA EA
p(x)
dx dx
x=xi-1 x=xi
N(x=xi-1) N(x=xi)
e
h =xi-xi-1
x=xi-1 x=xi
�=0 �=1
d du
�łEA łł
+ p = 0 "x " xi-1, xi
�ł śł
dx dx
�ł �ł
xi �(x) funkcja wagowa
ńł �ł
d
(x)dx �łEA du łł +� (x)pżłdx = 0 k = 1,2
�ł�
k k
�ł śł
+"
dx
�ł �ł
ół �ł
xi-1
xi xi
du du d� du
k
� (xi )EA -� (xi-1)EA - EA dx + (x)pdx = 0
k k k
+" +"�
dx dx dx dx
x=xi x=xi-1 xi-1
xi-1
4
Element prętowy aproksymacja liniowa
L1 L2(�)=�
(�)=1-�
1 1
�
�
0 1 0 1
F(x)=F1L1(�)+F2L2(�)
e e e e e e
x = x L (� )+ x L (�)= xeL1(� )+ xeL (�)= xe +(xe - xe)� = xe + he�
x = xi-1L1(� )+ xiL2(�)= x1 L (� )+ x2L2(�)= x1 +(x2 - x1 )� = x1 + he�
d x
e e
u = u1 L1(� )+ u2L2(� )
J = = he
d�
ńł
du d d
e e
= [L1(� )]+ u2 [L2(� )]�ł d�
d� 1
�łu żł
1
dx d� d� dx
=
ół �ł
dx
he
�1(�)= L1(�)
� (� )= L2(� )
2
5
Element prętowy aproksymacja liniowa
xi
ńł d du �ł
�łEA łł
(x) +�k(x)pżłdx = 0 k = 1,2
�ł�
k
+"
�ł śł
dx dx
�ł �ł
ół �ł
xi-1
1
ńł �ł
(� )dd �ł du d� łł d� +�k(� )pżłJd� = 0
�ł�
k
+" �łEA śł
� d� dx dx
�ł �ł
0 ół �ł
1 1
d� du d� du d�1 d� du d�
(� (� = 0
�42= 1) -�424)EA - EA Jd� + (�)pJd� = 0
1 1 1
+" +"�
1 4 1 3
3EA
dx d� dx d� d� dx d� dx
0
� = � =
{ {
=0 =1
=0 =1
14243 14244
14243 142440 0 {{ { {
4 4 4 3
4 41 4 3
1
1 1
e e
=-
=-1
= u2 -u1 1
=
e e
N2 -N1
he he
1 1
d� du d� du d�2 d� du d�
(� (�
�42= 1) -�42= 0) - EA Jd� + (� )pJd� = 0
2 2 2
+" +"�
1 4 1 4
3EA 3EA
dx d� dx d� d� dx d� dx
� = � = 0
=1 =0
14243 142440 0 {{ { {
4 41 4 3
1
e e
=1
= u2 -u1 1
=
e e
N2 -N1
he he
1 1 1
EA EA
e e e
- N1 + u1
1
+"d� - u2+"d� - phe+"� (�)d� = 0
he he
0 0 0
1 1 1
EA EA
e e e
- N2 - u1
6
2
+"d� + u2+"d� - phe+"� (�)d� = 0
he he
0 0 0
Element prętowy aproksymacja liniowa
�ł
EA EA
�ł łł phe łł
-
e e
śł
�ł �łN1 łł
0
�ł łł
he he śł�łu1 łł �ł 2
- �ł śł - =
�ł śł�ł śł �ł śł
e e
EA EA
phe śł �łN2 �ł �ł0śł
�ł �ł �ł
2
�ł śł�łu �ł
-
�ł
�ł śł
he he śł
�ł �ł
2
�ł �ł
e e
�łN1 łł �łu1 łł
1 -1 1
�ł łł �ł łł
EA phe
e
ke = f = Ne = ue =
�ł śł �ł śł
śł �ł1śł
e e
2
he �ł
�ł-1 1 �ł �ł �ł
2 2
�łN �ł �łu �ł
e
keu - f - Ne = 0
7
Element prętowy agregacja
P
1 2
1 2
u1 u1
u2 u2
1 1 2 2
1 1 2 2
element 1 element 2
element 1 element 2
N N N N
N1 N2 N1 N2
u1
=0 u2 u3
1 2
N1 N2 N1 N3
=R + =0 =P
8
Element prętowy agregacja
e e
1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 �ł łł 1 2 �ł łł
u1 N1
�ł łł �ł łł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e
1
u2 0
�ł śł �ł śł
�ł-1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 śł �ł śł
e
�ł śł �ł śł
�ł 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 śł �ł 1 śł
u3 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e
0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 1
u4 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 1
u5 0
EA
= 0
�ł śł - phe �ł śł - �ł śł
�ł śł
he �ł
�ł śł �ł śł
śł �ł śł
�łue śł �ł śł
�łun-2śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 1
0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 1
0
0
-
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 1
0
�łue śł �ł śł
�ł śł n-1 �ł śł
�ł śł
�ł �ł śł
0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1śł�ł e śł 1
un 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e e
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1
�ł śł�łun+1�ł �ł śł
�ł �ł�ł śł �ł1 2�ł �ł śł
�łNn+1�ł
e
p(x) EA
u1 = 0
Warunki brzegowe:
e
un+1 = 0
x
L
L
he =
n
9
Element prętowy aproksymacja paraboliczna
1
0.8
N1(�)= (� -1)(2� -1)
P1
0.6
P2
N2(�)= 4�(1- �)
P3
0.4
0.2
N3(�) = �(2� -1)
0
0 0.5 1
0 0.5 1
-0.2
u1 u2 u3
e e e
ue(x) = u1 N1(�)+ u2N2(�)+ u3N3(�)
x1 x2 x3
� � �
= = =1
0 0.5
x = x1 N1(� )+ x2N2(� )+ x3 N3(� )
10
Element prętowy aproksymacja paraboliczna
dx dN1 dN2 dN3 d� 1
J = = x1 + x2 + x3 = he =
d� d� d� d� dx he
du du d� �ł dN1 dN2 dN3 łł d�
e e e
= = + u2 + u3 =
1
�łu śł
dx d� dx d� d� d� dx
�ł �ł
1
e e e
[u1 (4� - 3)+ u2(4 - 8�)+ u3(4� -1)]h
[u1 (4� - 3)+ u2(4 - 8�)+ u3(4� -1)]h
e
e
x3
ńł d du �ł
�łEA łł
(x) +�k(x)pżłdx = 0 k = 1,2,3
�ł�
k
+"
�ł śł
dx dx
�ł �ł
ół �ł
x1
�1(�) = N1(�)
1
ńł �ł
d �ł du d� łł d�
�2(�) = N2(� )
(�) +�k(� )pżłJd� = 0
�ł�
k
+" �łEA śł
d� d� dx dx
�ł �ł
0 ół �ł
�3(� )= N3(� )
11
1
ńł �ł
d �ł du d� łł d�
(�) +�k(� )pżłJd� = 0
�ł�
k
+" �łEA śł
d� d� dx dx
�ł �ł
0 ół �ł
1 1
du d� du d� d�1 d� du d�
(� (� = 0
EA �42= 1)- EA �424)- EA Jd� + (� )pJd� = 0
1 1 1
+" +"�
1 4 1 3
3
d� dx d� dx d� dx d� dx
� = � = 0 0
14243 14 3
4 41 0 42440 1
e e
N2 -N1
1 1
1 1
e e e e 2
N1 - (2� - 3� +1)d� = 0
e
+"(4� - 3)he EA[u1 (4� - 3)+ u2(4 - 8� )+ u3(4� -1)]h hed� + he p+"
0 0
0 0
EA 7 8 1 1
�ł
e e e e
N1 - u1 - u2 + u3 �ł + he p = 0
�ł �ł
7 8 1 1
�ł+ łł �ł łł
he �ł 3 3 3 6
- +
łł
e
�ł �ł6śł
3 3 3śł e �ł łł
�ł łł
u1 N1 0
�ł łł
�ł �ł2śł
EA 8 16 8 2
�ł �ł
e e e EA 8 16 8śł
�ł śł �ł śł
e �ł0śł
- he p = 0
�ł- u1 + u2 - u3 �ł
u2
�ł- + - śł - phe - 0 =
�ł śł
�ł śł
�ł śł
he �ł 3 3 3 3
łł he �ł 3 3 3śł�ł śł
�ł3śł
e e
�łN1 śł
�ł0śł
8 7śł�łu śł
3 �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł+ 1 �ł1śł
EA 1 8 7 1
�ł - +
e e e e
N2 - u1 - u2 + u3 �ł + he p = 0
�ł �ł6śł
�ł �ł
3 3 3śł
�ł �ł �ł �ł
he �ł 3 3 3 6
łł
12
Agregacja
ei+1
ei+1 ei+1
u3
u1 u2
ei
ei ei
i
i i
ue
u3
ue ue
u1 u2
ei ei+1
u3 + u1
13
Po zagregowaniu
e1 e1
7 3 - 8 3 - 8 3 �ł łł 1 6 �ł łł
�ł łł u1 �ł łł N1
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł2 3śł
e1
�łu2 śł �ł śł
�ł- 8 3 16 3 - 8 3 śł �ł śł
e1
�łu3 śł �ł śł
�ł 1 3 - 8 3 14 3 - 8 3 1 3 śł �ł1 3śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł2 3śł
e2
- 8 3 16 3 - 8 3
2
�łu śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e2
�łu3 śł �ł śł
�ł śł �ł śł
1 3 - 8 3 14 3 - 8 3 1 3 1 3
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e3
- 8 3 16 3 - 8 3
�łu śł �ł śł
2
�ł śł �ł2 3śł
EA
e
�łu33 śł �ł śł
�ł śł
1 3 - 8 3 14 3 - 8 3 1 3 = phe �ł1 3śł +
he �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e4
- 8 3 16 3 - 8 3
�łu2 śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł2 3śł
e4
�ł śł �ł śł
�łu śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł1 3śł
1 3 - 8 3 14 3 - 8 3 1 3
3
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e5
- 8 3 16 3 - 8 3
u2
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł2 3śł
�łue5 śł �ł śł
�ł śł �ł1 3śł
1 3 - 8 3 14 3 - 8 3 1 3
3
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
e6
- 8 3 16 3 - 8 3 �ł śł 2 3 �ł śł
u2
�ł śł �ł śł
�ł śł �łN śł
�ł śł e6 �ł1 6śł e6
1 3 - 8 3 7 3
�ł �ł �ł �ł
�łu3 �ł �ł 3 �ł
e
u1 = 0
Warunki brzegowe:
e6
u3 = 0
14
Przykład
p(x) EA
x
L
0,02
10 elementów
0,018
20 elementów
0,016
40 elementów
40 elementów
0,014
rozwiązanie ścisłe
0,012
0,01
0,008
0,006
2 elementy
aproksymacja paraboliczna
0,004
0,002
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
15
Element prętowy w 2D i 3D
x, �
e
�łu1 łł
1
�ł -1
łł
EA
1D : ke = ue =
�ł śł
śł
e
he �ł
�ł-1 1 �ł
2
y �łu �ł
�
e
�łu1 łł
1 0 -1 0
�ł łł
�
�ł śł
�ł
e
0 0 0 0śł
EA
1
�łv śł
�ł śł
2D : ke = ue =
e
�łu2 śł
śł
0 1 0
he �ł-1
�ł śł
�ł
e
x
0 0 0 0śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
2
2
�łv �ł
�łv �ł
z
ś
e
�łu1 łł
1 0 0 -1 0 0
�ł łł
�
�ł śł
�ł
e
0 0 0 0 0 0śł
v1
�ł śł
�ł śł
�
e
�łw1 śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0
EA
3D : ke = ue =
�ł śł
�ł
e
0 0 1 0 0śł
he �ł-1
�łu śł
2
śł
e
�ł śł
�ł
0 0 0 0 0 0śł
y v2
�ł śł
�ł śł
e
0 0 0 0 0 0�ł
�ł śł
�ł
2
�łw �ł
x
16
Element prętowy w 2D i 3D
cos(�, x) cos(�, y) cos(� , z)�ł
�ł �ł
�ł
a� = Tax ax = T-1a� T-1 = TT
T = cos(�, x) cos(�, y) cos(�, z)�ł
�ł
�łcos , x) cos(ś , y) cos(ś , z)�ł
(ś
�ł łł
e
e
�ł łł
�ł łł u1�
u1x
�ł śł
�ł śł
e
e
v1�
v1x
�ł śł
�ł śł
T
e
e
�łw1� śł
�łw1x śł
T 0
�ł łł
ue = =
�ł śł
x
�ł0 Tśł �ł śł
e
e
u2�
�ł śł
�łu śł �ł �ł
2x
�ł śł
�ł śł
e e
�ł śł
�ł śł
ve ve
v2x v2�
�ł śł
�ł śł
e e
�łw2� śł
�ł śł
2x
�łw �ł
�ł �ł
1 0 0 -1 0 0
�ł łł
�ł
0 0 0 0 0 0śł
�ł śł
T
�ł śł�ł łł
T 0 0 0 0 0 0 0 T 0
EA �ł łł
ke =
x
Tśł �ł 0 0 1 0 0śł�ł0 Tśł
he �ł0 �ł �ł-1
�ł
śł�ł �ł
�ł
0 0 0 0 0 0śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł
1444 3
424444�ł
e
k�
17

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 05 Belki i Układ Belek
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja
Wyklad 05
Techniki negocjacji i mediacji w administracji wykłady 05 11 2013
wykład 05
Analiza Finansowa Wykład 05 02 12 09
wyklad 05 03 2011
Wykład 05 Narzędzia i maszyny do umieszczania sadzonek w glebie
wyklad 05
Konstrukcje metalowe Sem[1][1] VI Wyklad 05
logika wyklad 05
Wyklad 05 dyrektywa o informacji srodek b
Wyklad 05 14 15 GW

więcej podobnych podstron