Wydział Inżynierii Środowiska
Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej
Gospodarka Wodna
Gospodarka Wodna
Zakład Gospodarki Wodnej
Wykład nr 8
Wykład nr 8
OPRACOWAA

Kierunek: Ochrona Środowiska
Kierunek: Ochrona Środowiska dr hab.inż. Wojciech Chmielowski prof. PK
S1 : x1+x2d"14
C1 1 2 3 4 5 6
�ł łł �ł łł
S1 : z1+z2d"12
�łC śł �ł
Z1 Z 2
2
�ł śł=�ł1 2 3 2 1 1śł
śł
Z1 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł łł �ł łł
C3 1 2 1 2 1 3
P2
�ł śł �ł śł �łZ śł �ł
1d"z2d"8
2
�łC4�ł �ł6 5 4 3 2 1�ł
�ł śł=�ł1 2 3 2 1 1śł
śł
�ł śł �ł śł
4d"x3d"8 Z3 1 2 1 2 1 3
P1
2d"x2d"8
�ł śł �ł śł
1d"z1d"8
�łZ 4�ł �ł1 2 3 3 2 1�ł
AZ 2=22[m3 s]
1d"x1d"8
Z =20[m3 s]
2
P3
1d"z4d"8
AZ1=12[m3 s]
1d"z3d"8
Z1=10[m3 s]
Z 3
Z 4
4d"x4d"8
ZAOPATRZENE
ZAOPATRZENE
4d"x6d"8
P4
4d"x5d"10
P6
W
W
1d"z6d"8
1d"z5d"8
S 2 : x3+x4d"10
P5
Z 6 Z 5
S 2 : z3+z4d"16
WOD

WOD

S 3 : x5+x6d"14
S 3 : z5+z6d"14
Bilanse Wodnogospodarcze Dorzeczy
Rodzaje i składniki bilansów wodnogospodarczych
Celem oceny możliwości zaspokojenia potrzeb
użytkowników wód powierzchniowych, należy
sporządzić bilans wodnogospodarczy, będący
porównaniem
ZASOBÓW z POTRZEBAMI, czyli:
Zasoby (Z) Potrzeby (P)
Wynik takiego bilansu może być :
" dodatni ( Z>= P)
" ujemny ( Z < P )
Zarówno zasoby jak i potrzeby maja charakter
dynamiczny, gdyż są zmienne w czasie.
Można je zatem porównywać w dwojaki sposób:
(1) dynamiczny, polegający na porównaniu
zasobów i potrzeb w dyskretnych przedziałach
czasu w okresie [0, T] uznanym za
miarodajny dla celów bilansu, co oznacza:
Z(t) "! P(t) , dla t "[0,T ]
Gdzie :
[ ]
Z(t) , t "[0,T ] , m3 s
Zasoby wodne w czasie  t 
[ ]
P(t) , t "[0,T ] , m3 s
Potrzeby wodne w czasie  t 
(2)statyczny, polegający na porównaniu
wybranych charakterystyk zasobów i potrzeb (
wartości średnie, gwarantowane, itp.), co może
oznaczać na przykład
G
Z "!PŚr
Zasoby wodne gwarantowane w
G
Gdzie : Z
czasie [0,T]
Średnie potrzeby wodne w czasie
PŚr [0,T]
W jednym i drugim przypadku miarodajnym
przedziałem czasu powinien być możliwie najdłuższy
okres, dla którego dysponujemy wiarygodnymi danymi
dotyczącymi zasobów i potrzeb, lub tez wybrane lata
charakterystyczne ( rok suchy, rok średni, rok mokry )
Z uwagi na przestrzenne zróżnicowanie zasobów i
potrzeb wodnych oraz różnorakość celów, dla których
sporządza się bilanse wodnogospodarcze , można
wyróżnić:
" bilans punktowy sporządzany dla określonego
przekroju rzeki
" bilans liniowy sporządzany dla określonego
odcinka rzeki,
" bilans obszarowy sporządzany dla określonego
dorzecza lub obszaru
wynikającego z
administracyjnego,
geograficznego czy tez
najczęściej hydrograficznego
podziału kraju
W przypadku bilansu obszarowego
zasoby utożsamia się z sumarycznymi
zasobami w przekrojach
hydrologicznych które zamykają dany
obszar.
Natomiast za potrzeby tego obszaru
uznaje się sumę potrzeb
użytkowników korzystających z
zasobów tego obszaru
A
ączne roczne pobory wody na potrzeby gospodarki
narodowej kształtują się na poziomie 730 mln m3,
w tym na cele:
" produkcyjne 187 mln m3
" rolnictwo i leśnictwo 87 mln m3
" przedsiębiorstwa komunalne 456 mln m3
Ilość odprowadzanych ścieków 497 mln m3, w tym
" komunalnych 230 mln m3,
" odprowadzanych przez zakłady pracy 206 mln
m3
Dane 2004 r
Przepływy nienaruszalne
Jednym z ważniejszych składników bilansu
wodnogospodarczego jest przepływ nienaruszalny,
określany jako ilość wody, która powinna być
pozostawiona w danym przekroju cieku ze względów
" biologicznych,
" ekologicznych,
" społecznych
Konieczność zachowania tego przepływu nie powinna
podlegać ocenom ekonomicznym. W związku z tym
brane pod uwagę w bilansie wodnym zasoby powinny
być pomniejszone o przepływy nienaruszalne
Tak rozumiane zasoby dyspozycyjne mogą być
oceniane w sposób dynamiczny czyli :
Zd (t) = Z(t) - Qn(t), dla t "[0,T ]
gdzie
[ ]
Z(t) , t "[0,T ] , m3 s
Zasoby wodne w czasie  t 
[ ]
Qn(t) , t "[0,T ] , m3 s
Przepływ nienaruszalny wymagany w czasie  t 
lub statyczny
G G
Zd =Z -Qn
G
Zd DYSPOZYCYJNE Zasoby wodne o
Gdzie :
gwarancji G
G
Zasoby wodne o gwarancji G
Z
Qn
Przepływ nienaruszalny (
traktowany jako stały w czasie )
Najogólniejszym sposobem określenia przepływu
nienaruszalnego jest wybór największej wartości z
wartości określonych według następujących kryteriów
Hydrobiologicznego Qh
określającego przepływ minimalny dla zachowania
życia flory i fauny w środowisku wodnym
Ochrony Środowiska określającego
Qp
minimalny przepływ zapewniający zachowanie
równowagi stanów wód powierzchniowych i
podziemnych w obrębie parków narodowych,
rezerwatów przyrody i stref chronionego
krajobrazu
Qr
Rybacko-wędkarskiego
określającego minimalny przepływ umożliwiający
rozwój ryb
Qt
Sportu i turystyki wodnej
określającego minimalne stany wód i
odpowiadające im przepływy umożliwiające
turystykę wodną
Ostateczną wartość przepływu nienaruszalnego
wyznacza więc kryterium
Qn = max(Qh, Qp, Qr , Qt)
Za przepływ spełniający kryterium Hydrobiologiczne przyjmuje
się taki przepływ, którego prędkość nie zakłóca przebiegu
procesów biologicznych w ciekach. Z uwagi na trudność z
określaniem w sposób jednoznaczny prędkości granicznych
przepływów, przepływ ten przyjmuje się jako pewną część
przepływu średniego niskiego ( SNQ) czyli:
Qh = k �" SNQ
Parametr k<=1 zależy od typu hydrologicznego rzeki i jest
odwrotnie proporcjonalny do powierzchni zlewni. Tak określony
przepływ nie może być mniejszy od najmniejszego
zaobserwowanego przepływu NNQ
Za przepływ spełniający kryterium Ochrony
Środowiska przyjmuje się przepływ mieszczący się
w granicach:
NQ <= Qp <= WNQ
Gdzie : NQ Przepływ o prawdopodobieństwie
przekroczenia 0,9
Graniczny przepływ, przy którym zaczyna
WNQ
się obniżać poziom wód gruntowych w
wyniku infiltracji do wód powierzchniowych
Za przepływ spełniający kryterium Rybacko- wędkarskie
proponuje się przyjmować przepływ średni niski z
zaobserwowanych w poszczególnych miesiącach sezonu wzrostu
i przezimowania odpowiednich gatunków ryb.
Za przepływ spełniający kryterium Sportu i
turystyki wodnej proponuje się przyjmować
przepływ umożliwiający w okresie czerwiec- wrzesień
uprawianie turystyki wodnej zgodnie z ustaloną klasą
szlaku wodnego.
REASUMUJ
C zasoby dyspozycyjne a
więc możliwe do rozdysponowania w
poszczególnych przekrojach
hydrologicznych stanowią różnicę
miedzy aktualnymi zasobami a
przepływami nienaruszalnymi w tych
przekrojach.
Warunki korzystania z wód dorzecza
Punktem wyjścia do opracowania  Warunków korzystania z wód
dorzecza są wyniki bilansów wodnogospodarczych ( punktowe,
liniowe, obszarowe )
Określając zasoby możliwe do rozdysponowania w
przyszłości, musimy brać pod uwagę zarówno zasoby w niżej
położonych przekrojach, jak i usytuowanie zrzutu ścieków
przyszłego użytkownika względem miejsca poboru oraz jego
straty bezzwrotne
Można wyróżnić trzy charakterystyczne lokalizacje
miejsca zrzutu ścieków przyszłego użytkownika
1. powyżej miejsca poboru wody,
2. do innej zlewni,
3. poniżej miejsca poboru wody
Ad.1
nowe zasoby
możliwe do
A A
rozdysponowania
B
B
odpowiadają
zasobom
dyspozycyjnym
pomniejszonym o
Zasoby do rozdysponowania
straty bezzwrotne
Nowe zasoby do rozdysponowania
Ad.2
za nowe zasoby możliwe do rozdysponowania w
danym przekroju należy uznać najmniejsze zasoby
dyspozycyjne w przekrojach niżej położonych.
Wynika to z założenia , że pobór wody w tym
przekroju nie może spowodować deficytów wody w
przekrojach niżej położonych
Ad.3
za nowe zasoby możliwe do rozdysponowania w
danym przekroju należy uznać najmniejsze zasoby
dyspozycyjne w przekrojach niżej położonych ale
jedynie do miejsca zrzutu oraz pomniejszone o
straty bezzwrotne
zlewnia
cząstkowa
q1 , F1(q1)
nr 1
NZ1
k1
Nowy
Dla zlewni o złożonej
użytkownik
zlewnia
q2 , F2(q2)
cząstkowa
strukturze
NP1
nr 2
użytkowników i
k2
q3 , F3(q3)
konsumentów wody
3
k3
zagadnienie dotyczące
q4 , F4(q4)
opracowania bilansu
4
k4
wodnogospodarczego i
NP2
q5 , F5(q5) określenia zasobów do
Nowy
5
użytkownik
dalszego
NZ2
rozdysponowania jest
q6 , F6(q6)
NP3
6
bardzo złożonym
Nowy
użytkownik
q7 , F7(q7 )
NZ3
7
k5
q8 , F8(q8)
Nowy
8
użytkownik
NP4
k6 recypient
Jeżeli w dalszej
kolejności bilans
obejmuje kilka
sąsiadujących
ZB.1
zlewni, muszą
ZB.2
być zachowane
x11
Az1
x21
warunki
x12
graniczne
x31
Zlewnia A
Az2
x32
P1
Zlewnia B
( ograniczenia ),
z11
wiążące ze sobą
x42
z31
P2 poszczególne
ciek nr 1.
x43
Az3
zlewnie.
x23
z22
z32
ciek nr 2.
W1
2
AW[km] z13 z33
1
z23
W2
AW[km2]
2
ciek nr 3.
Zlewnia C
Zastosowania optymalizacji
w gospodarce wodnej
Zadania
optymalizacji
POLITECHNIKA KRAKOWSKA
im.Tadeusza Kościuszki
Zadania Zadania
programowania programowania
liniowego nieliniowego
Wojciech Z. Chmielowski
ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI
ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI
ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI
optymalizacja optymalizacja
metody analityczne metody numeryczne
statyczna dynamiczna
W GOSPODARCE WODNEJ
W GOSPODARCE WODNEJ
W GOSPODARCE WODNEJ
graficzne m.Simplex
rozwiązania bazowe m. reverse Simplex
�łĆ1 0 0 łł
1
śł inne
[Ś]=�ł 0 Ć2 0 metody
�ł śł
2
VG
�ł 0 0 Ć3śł
�ł �ł
3 analityczne
V metody wykorzystujące
b
zadania bez
warunki konieczne i metody metody
Zasada optymalności Bellmana
ograniczeń
istnienie funkcji kryterialnej Zasada max Pontiagina
analityczne numeryczne
2
M.funkcjonałów Lagrange'a
x2 ,1 x
2, n
V
a
AZ AZ zadania z
2 ,1 2 , n
Metoda
q1, 2 =-q2 ,1 q 2,3=-q 3,2
Mnożników Lagrange'a ograniczeniami
1 3
=-q1,3
x1,1 x1,m q 3 ,1
2 x
3,1 x 3, p równościowymi
AZ
1,1 AZ AZ
1,m AZ 3, p metody
3 ,1
x x
2 ,1 2 , n
AZ AZ numeryczne
2 ,1 2 , n
q1 ,2 =-q
2 ,1 q =-q V
2 ,3 3, 2
c
zadania z
1 3 Metoda wykorzystująca
q =-q1,3
x1,1 x1, m 3,1
x3,1 x 3 , p warunki Kuhna-Tuckera ograniczeniami
AZ
1,1 AZ 1, m AZ 3 , p Programowanie dynamiczne
AZ
3 ,1
nierównościowymi
2
M.gradientu w przestrzeni funkcyjnej sterowań
x x
2 ,1 2 , n
AZ AZ
2 ,1 2 , n
q1,2 =-q2 ,1 q =-q
2 ,3 3 , 2
metody
1 3 M.Hooka-Jeevesa
=-q1,3
x1,1 x1, m q 3,1
x3,1 x3 , p
M.rosenbrocka bezgradientowe
AZ
1,1 AZ AZ
1, m AZ 3, p
3 ,1
M.Gausa-Seidela
zadania
bez ograniczeń
Kraków 2005
metody
M. gradientu prostego
Zmodyfikowana gradientowe
m.Newtona
zadania
M. z zastosowaniem funkcji kary
z ograniczeniami
M. z zastosowaniem modyfikacji kierunków
Zadania programowania liniowego
Zadania programowania liniowego dotyczą znajdowania
ekstremum funkcji liniowej przy liniowych ograniczeniach
równościowych i nierównościowych .
Mają duże znaczenie praktyczne zarówno jako niezależne
problemy optymalizacyjne jak również pierwsze przybliżenia
zadań optymalizacji nieliniowej .
Stosowane są często jako etapy pomocnicze przy
rozwiązywaniu bardziej skomplikowanych zagadnień
programowania nieliniowego .
Podstawowe definicje i sformułowania
Dana jest liniowa funkcja skalarna n zmiennych
o postaci :
z=c1x1+c2 x2+.....+cn xn
x1
�ł łł
�łx śł
2
�ł śł
�ł
z=[c1 c2 " " cn]�" " śł
�ł śł
�ł" śł
�łxnśł
�ł �ł
z =< c, x >
zwana dalej funkcją kosztów, (funkcją kryterialna
, wskaz
nikiem jakości) oraz układ  m
nierówności liniowych w postaci np.:
a11x1+a12x2+....+a1n xne"b1
a21x1+a22x2+....+a2n xnd"b2
...........................................
am1x1+am2x2+....+amn xn=bm
d"
x1
�ł łł
a11 a12 " " a1n �łx śł b1
�ł łł �ł łł
�ła a22 " " a2n śł 2 �łb śł
�ł śł
21 2
�ł śł �ł śł
�ł
�" " śł
d", =, e"
�ł �ł śł
" " " " " śł
"
�ł śł
"
�ł śł �ł śł
�ł śł
m1 m
�ła am2 " " amn �ł �łb �ł
�łxn śł
�ł �ł
Axd"b
wektor
wektor
zmiennych
zmiennych
decyzyjnych +
decyzyjnych
zmienne
dopeniające
wektor rozszerzona
macierz
wyrazów macierz
A
wolnych
A
x1
�ł łł
�łx śł
a a12 x b
�ł11 łł �ł łł �ł łł
a11 a12 -1 0 b1
�ł łł �ł łł
2
�ł śł
�" =
�ła a22śł�"�ł1śłe",d"�ł1śł wprowadzenie nowych �ła
zmiennych
�ł śł
21 2 2 a22 0 1śł x3 �łb2śł
�ł �ł �łx�ł �łb�ł
�ł 21 �ł �ł �ł
�ł śł
4
�łx �ł
Wprowadzenie zmiennych uzupełniających
Postaćkanoniczna :
dowolna postać programowania liniowego
może być sprowadzona do zapisu :
znalez
ć taki wektor zmiennych decyzyjnych dla
którego
Ć
z=f (x)=min c, x
x
przy ograniczeniach Ax = b
Podstawowe definicje dotyczące rozwiązania ZPL
Niech będzie dane ZPL w postaci kanonicznej ;
znalez
ć wektor
Ć Ć
x taki że z =< c, x > = min < c, x >
x"Xo
X = {x :Ax = b , x e" 0 , x " Rn}
o
A[m x n] , b" Rm , c " Rn
a. Wektor
x"X
ograniczenia liniowe
nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym
b. Macierzą bazową układu równań
Ax=b rz(A)=m , n>m
[m * m]
nazywamy nieosobliwą macierz kwadratową o wymiarze
utworzoną z liniowo niezależnych kolumn macierzy .
A
c. rozwiązaniem bazowym układu równań
Ax=b rz(A)=m , n>m
nazywamy wektor
xB=B-1�"b
Składowe wektora noszą nazwę zmiennych
bazowych .
d. rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem dopuszczalnym
jeżeli wektor jest
xB=B-1�"b
nieujemny
xBe"0
n!
e. maksymalna ilość rozwiązań bazowych
m!�"(n-m)!
wynosi
f. niezdegenerowanym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym
nazywamy rozwiązanie bazowe , w którym wszystkie
zmienne są dodatnie
xB>0
g. rozwiązaniem optymalnym zadania ZPL
Ć
x
nazywamy rozwiązanie dopuszczalne które minimalizuje
funkcje kosztów (wskaz
nik jakości , funkcje celu )
z=
Przykład nr 1
Aglomeracja zasilana jest w wodę przez dwa ujęcia wody
znajdujące się na tym samym cieku w miejscach poboru .
x1
Ilość wody z ujęcia nr 1 to zmienna decyzyjna ,
ilość wody z ujęcia nr 2 to zmienna decyzyjna .
x2
Zapotrzebowanie na wodę jest zmienne
i zawiera się w przedziale
co można zinterpretować jako ograniczenia w postaci:
2d"Azd"3
g1 : x1+x2e"2
g2 : x1+x2d"3
P1
S
P2
Aglomeracja , ujęcia wody , przekrój wodowskazowy
Z uwagi na zasadę nienaruszalności przepływu wody
w rzece w przekroju wodowskazowym  S
zależności między poborami wyrażają się w postaci
przykładowych ograniczeń :
g3 : x2 e" 0.5�" x1
g4 : x2 d" 0.5�" x1 +1
Koszt poboru wody z ujęcia zawarty jest we współczynniku
kosztów c1 , oraz koszt poboru wody z ujęcia odzwierciedla
współczynnik kosztów c2.
Przy ograniczeniach G :{gi , i=1,..,4} oraz wskaz
nika
jakości (sumaryczny koszt poboru wody
z=
), wyznaczyć wektor optymalnych zmiennych decyzyjnych
x
�łĆ1łł
Ć
x=�ł
Ć2śł
�łx �ł
minimalizujący jego wartość .Wektor współczynników kosztów
wyraża się liczbowo
c=[c1 , c2]=[1 2]
x2
g2
Zbiór rozwiązań
dopuszczalnych
g4
g1
Ć
x1 1.33
�ł łł �ł łł
2 B
D = =
�łx śł �ł0.66śł
A C
Ć2
�ł �ł �ł �ł
1.33
�ł łł
z =[1 2]�" = 2.67
Ć
x2
�ł0.66śł
D
�ł �ł
x1
0
2
Ć
x1
g3
Interpretacja graficzna do przykładu
Interpretacja graficzna w/w zadania przedstawia się
następująco. Zaznaczony na rysunku czworokąt stanowi obszar
rozwiązań dopuszczalnych. Minimalną wartość wskaz
nika jakości
można odczytać wprost z rysunku uwzględniając współrzędne
punktów i przemnażając przez współczynniki kosztów .
Minimum wskaz
nika jakości o wartości 2.67 znajduje się w
punkcie .
Sprowadzamy układ równań ograniczeń do postaci
kanonicznej przez wprowadzenie dodatkowych zmiennych ,
które pozwalają zapisać równania ograniczeń w postaci
równościowej
g1 : x1 + x2 - x3 = 2
g2 : x1 + x2 + x4 = 3
g3 : -0,5x1 + x2 - x5 = 0
g4 : -0,5x1 + x2 + x6 =1
a następnie przekształcając do liniowego równania
macierzowego otrzymujemy
x1
�ł łł
�łxśł
1 -1 0 0 0 2
1
�ł łł �ł łł
2
�ł śł
�ł
1 1 0 1 0 0śł �ł3śł
�ł śł�"�łx3śł śł
�ł śł=�ł
�ł śł �ł śł
-0,5 1 0 0 -1 0 0
4
�łxśł
�ł śł �ł śł
�ł-0,5 1 0 0 0 1�ł �łx5śł �ł1�ł
�ł śł
�ł
6 �ł
�łxśł
Stosując metodę rozwiązań bazowych , ilość możliwych
macierzy bazowych
�ł �ł
n! 6!
�ł �ł
= =15
�ł
B
m!�"(n - m)!�ł 4!�"(6 - 4)!
�ł łł
tworzymy kolejne macierze bazowe z kolumn
macierzy
B1=[a1 a2 a3 a4]
B2=[a1 a2 a3 a5]
B3=[a1 a2 a3 a6]
B4=[a1 a2 a4 a5]
B5=[a1 a2 a4 a6]
B6=[a1 a2 a5 a6]
(-1)
x1 1 1 -1 0 2 0 0,666 0 - 0,666 2 1,33
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�łx śł �ł śł �ł3śł �ł śł �ł3śł �ł1,66śł
1 1 0 0 0 0,333 0 0,666
2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
xB2 = = �" = �" =
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
x3 -,5 1 0 -1 0 -1 1 0 0 0 1
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
0 0 -1 1 1
5
�łx �ł �ł-,5 1 0 0 �ł �ł1�ł �ł �ł �ł1�ł �ł �ł
Otrzymane rozwiązania bazowe tworzą zbiór
rozwiązań dopuszczalnych
ńł �ł
1,33 2 0,66 1,33
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł �ł
�ł śł �ł1śł �ł1,33śł �ł0,66śł
�ł�ł1,66śł, �ł śł, �ł
XO L ={xB2 , xB3 , xB4 , xB5}=
�ł�ł 1 śł �ł1śł �ł 1 śł, �ł 1 śł�ł
śł �ł śłżł
�ł�ł
�ł�ł 1 śł �ł śł �ł 1 śł �ł 1 śł�ł
�ł �ł1�ł �ł �ł �ł �ł�ł
ół �ł
W następnej kolejności sprawdzamy warunki ograniczające
dla rozwiązań bazowych i przyjmujemy to rozwiązanie jako
optymalne dla którego występuje minimalna wartość
wskaz
nika jakości .
z
Rozwiązaniem optymalnym jest rozwiązanie
bazowe B5
Ć
x
dla którego wskaz
nik jakości wynosi 2,667.
P2
Przykład nr 2
P1
S
g1 : x1 + x2 - x3 = 5
g2 : x1 + x2 + x4 =10
g3 : x1 - x5 = 2
g4 : x1 + x6 = 6
g5 : x2 - x7 = 2
g6 : x2 + x8 = 6
g7 : 0,5�" x1 - x2 + x9 = 0
g2
x2
Zbiór
rozwiązań
dopuszczalnych
g1
�ł �ł
n! 9!
�ł �ł
B = = 36
A
�ł
m!�"(n - m)!�ł 7!�"(9 - 7)!
�ł łł
Ć
x1 2
�ł łł �ł łł
Ć
[x]= =
�łx śł �ł3śł
g5
Ć2 C
�ł �ł �ł �ł
g4
2
�ł łł
zmin =[4 1]* =11
�ł3śł
�ł �ł
G
D
F E
x1
0
x1
�ł łł
g3
�łx śł
1 1 1 0 0 0 0 0 0
�ł łł
5
2 �ł łł
�ł śł
�ł
1 1 0 1 0 0 0 0 0śł x3 �ł10śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
1 0 0 0 -1 0 0 0 0
�ł śł
2
4
�łx śł
�ł śł
�" =
1 0 0 0 0 1 0 0 0śł �łx5 śł �ł 6 śł
�ł
�ł śł
�łx śł
�ł
0 1 0 0 0 0 -1 0 0śł �ł śł 2
6 �ł śł
�ł śł
0 1 0 0 0 0 0 1 0śł �łx7 śł �ł 6 śł
�ł
�ł śł
�ł0,5 -1 0 0 0 0 0 0 1śł �ł 8 śł �ł śł
0
�ł �ł
�łx śł
�ł �ł
�łx9 śł
�ł �ł
Przykład nr 3
C1 1 2 3 4 5 6
�ł łł �ł łł
S1 : x1+x2d"14
�łC śł �ł1 2 3 2 1 1śł
2
�ł śł �ł śł
=
�ł śł �ł śł
C3 1 2 1 2 1 3
P2
�ł śł �ł śł
�łC4 �ł �ł6 5 4 3 2 1�ł
2d"x2d"8
P1
1d"x1d"8
AZ 2=
22[m3 s]
P3
4d"x3d"8
AZ1=
4d"x4d"8
12[m3 s]
P4
P6
4d"x6d"8
4d"x5d"10
S2 : x3+x4d"10
P5
S3 : x5+x6d"14
20!
= 38760
14! �" (20 -14)!
D
g1 : x1 - x7 = x1(=1[ m3/s)
]
G
g2 : x1 + x8 = x1(= 8[ m3/s)
]
D
g3 : x2 - x9 = x2(= 2 [ m3/s)
]
G
g4 : x2 + x10 = x2(= 8[ m3/s)
]
g5 : x3 - x11 = 4
g6 : x3 + x12 = 8
g7 : x4 - x13 = 4
g8 : x4 + x14 = 8
g9 : x5 - x15 = 4
g10 : x5 + x16 =10
g11 : x6 - x17 = 4
g12 : x6 + x18 = 8
g13 : x1 + x4 + x6 + x19 = AZ1(=12 [ m3/s)
]
g14 : x2 + x3 + x5 - x20 = AZ(= 22 [ m3/s)
]
2
Wydział Inżynierii Środowiska
Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej
Gospodarka Wodna
Gospodarka Wodna
Zakład Gospodarki Wodnej
Wykład nr 8
Wykład nr 8
OPRACOWAA

Kierunek: Ochrona Środowiska
Kierunek: Ochrona Środowiska dr hab.inż. Wojciech Chmielowski prof. PK
S1 : x1+x2d"14
C1 1 2 3 4 5 6
�ł łł �ł łł
S1 : z1+z2d"12
�łC śł �ł
Z1 Z 2
2
�ł śł=�ł1 2 3 2 1 1śł
śł
Z1 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł łł �ł łł
C3 1 2 1 2 1 3
P2
�ł śł �ł śł �łZ śł �ł
1d"z2d"8
2
�łC4�ł �ł6 5 4 3 2 1�ł
�ł śł=�ł1 2 3 2 1 1śł
śł
�ł śł �ł śł
4d"x3d"8 Z3 1 2 1 2 1 3
P1
2d"x2d"8
�ł śł �ł śł
1d"z1d"8
�łZ 4�ł �ł1 2 3 3 2 1�ł
AZ 2=22[m3 s]
1d"x1d"8
Z =20[m3 s]
2
P3
1d"z4d"8
AZ1=12[m3 s]
1d"z3d"8
Z1=10[m3 s]
Z 3
Z 4
4d"x4d"8
ZAOPATRZENE
ZAOPATRZENE
4d"x6d"8
P4
4d"x5d"10
P6
W
W
1d"z6d"8
1d"z5d"8
S 2 : x3+x4d"10
P5
Z 6 Z 5
S 2 : z3+z4d"16
WOD

WOD

S 3 : x5+x6d"14
S 3 : z5+z6d"14