CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE
Ciągi funkcyjne
Niech X oznacza pewien niepusty zbiór liczb.
Definicja 1 (ciągu funkcyjnego).
Ciągiem funkcyjnym w zbiorze X nazywamy przyporządkowanie każdej
liczbie naturalnej n dokładnie jednej funkcji określonej na tym zbiorze,
ozn. fn(x). Ciąg funkcyjny oznaczamy symbolem ( fn(x)). Mówimy, że
ciąg funkcyjny jest określony w zbiorze X. Funkcję fn(x) nazywamy n
tym wyrazem ciągu funkcyjnego.
Uwaga 1.
Jeżeli ciąg ( fn(x)) jest określony w zbiorze X, to dla każdego ustalonego
x0 " X ciąg ( fn(x0)) jest ciągiem liczbowym, który jest zbieżny lub
rozbieżny.
Definicja 2.
Ciąg funkcyjny ( fn(x)) nazywamy zbieżnym w zbiorze X do funkcji gra-
nicznej f (x), co zapisujemy
lim fn(x) = f (x), dla x " X
n"
lub
X
fn(x) - f (x)
jeżeli dla każdego � > 0 i dla każdego x " X istnieje taka liczba �, że
dla każdego n > � spełniona jest nierówność
| fn(x) - f (x)| < �
Piszemy

de f
lim fn(x) = f (x) �!�! | fn(x) - f (x)| < �
n"
�>0 x"X � n>�
Zbieżność w sensie podanej definicji nazywamy zbieżnością zwykłą lub
punktową.
Wniosek 1.
Ciąg ( fn(x)) jest zbieżny w zbiorze X do funkcji granicznej f (x) wtedy i
tylko wtedy, gdy dla każdego x0 " X ciąg liczbowy ( fn(x0)) jest zbieżny
do f (x0).
Definicja 3 (jednostajnej zbieżności).
Ciąg funkcyjny ( fn(x)) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do
funkcji granicznej f (x), co zapisujemy
X
-
fn(x) f (x)
-
jeżeli dla każdego � > 0 istnieje taka liczba �, że dla każdego x " X i
dla każdego n > � spełniona jest nierówność
| fn(x) - f (x)| < �
Piszemy
X

de f
-
fn(x) f (x) �!�! | fn(x) - f (x)| < �
-
�>0 � x"X n>�
Uwaga 2.
Różnica pomiędzy zbieżnością zwykłą a jednostajną ciągu funkcyjnego
polega na tym, że w przypadku zbieżności zwykłej liczba � o żądanej
własności ma istnieć dla każdego � > 0 i dla każdego x " X, gdy
tymczasem dla zbieżności jednostajnej liczba � ma istnieć dla każdego
� > 0, niezależnie od wartości x " X, czyli ma mieć jednakową wartość
dla całego zbioru X.
Twierdzenie 1 (warunek Cauchy ego).
Ciąg funkcyjny ( fn(x)) jest w zbiorze X jednostajnie zbieżny wtedy i
tylko wtedy, gdy dla każdego � > 0 istnieje taka liczba �, że dla każdego
x " X i dla każdych dwóch liczb naturalnych r i s spełniających warunek
min(r, s) > � spełniona jest nierówność
| fr(x) - fs(x)| < �
Twierdzenie 2 (o ciągłości funkcji granicznej).
Jeżeli każdy wyraz ciągu ( fn(x)) jest funkcją ciągłą w zbiorze X oraz
X
-
fn(x) f (x)
-
to funkcja graniczna f (x) jest ciągła w zbiorze X.
Uwaga 3.
Ciągłość każdego wyrazu ciągu ( fn(x)) i jego zbieżność jednostajna nie
stanowią warunku koniecznego dla ciągłości funkcji granicznej, a jedy-
nie warunek wystarczający.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o ciągłości funkcji granicznej jest
fałszywe.
Szeregi funkcyjne
Rozważmy ciąg funkcyjny ( fn(x)) określony na pewnym zbiorze X.
Definicja 4 (szeregu funkcyjnego).
Ciąg (Sn(x)) sum
n

(1) Sn(x) = fk(x)
k=1
nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem
"

(2) fn(x)
n=1
Funkcje f1(x), f2(x), ... nazywamy wyrazami szeregu (2). Sumy (1), bę-
dące funkcjami określonymi na zbiorze X, w którym określony jest ciąg
( fn(x)), nazywamy sumami częściowymi szeregu (2). Wyraz ogólny ciągu
(Sn(x)) nazywamy n tą sumą częściową szeregu (2).
Definicja 5 (zbieżności szeregu funkcyjnego).
Szereg funkcyjny (2) nazywamy zbieżnym w zbiorze X, jeżeli ciąg jego
sum częściowych (Sn(x)) jest zbieżny w tym zbiorze, tj.
X
Sn(x) - S(x)
natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.
Funkcję graniczną S(x) nazywamy sumą szeregu (2) w zbiorze X i pi-
szemy
"

X
fn(x) = S(x)
n=1
Jeżeli ciąg (Sn(x)) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X, to szereg (2)
nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym zbiorze.
Jeżeli szereg (2) jest zbieżny w zbiorze X i ma tę własność, że jest zbieżny
w tym zbiorze szereg utworzony z wartości bezwzględnych jego wyrazów,
"

tj. | fn(x)|, to nazywamy go bezwzględnie zbieżnym w zbiorze X.
n=1
Twierdzenie 3 (kryterium Weierstrassa).
Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n N i dla
każdego x " X spełniona jest nierówność
| fn(x)| an
przy czym szereg liczbowy
"

(3) an
n=1
jest zbieżny, to szereg funkcyjny
"

(4) fn(x)
n=1
jest zbieżny w zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie.
Szereg (3) nazywamy majorantą liczbową szeregu (4).
Twierdzenie 4 (o całkowaniu szeregu funkcyjnego).
Jeżeli szereg
"

fn(x)
n=1
o wyrazach ciągłych w przedziale a, b jest w tym przedziale jednostaj-
nie zbieżny, to
�ł �ł
łł
�ł �ł
b �ł "
" �ł b �ł
�ł śł

�ł �ł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł
�ł
�ł �ł
�ł śł
�ł �ł
fn(x)śł dx = fn(x)dx�ł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł łł
n=1 n=1
a a
Twierdzenie 5 (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego).
Jeżeli wyrazy szeregu
"

fn(x)
n=1

mają ciągłe pochodne fn(x) w przedziale a, b , szereg ten jest zbieżny
w tym przedziale, a ponadto szereg
"


fn(x)
n=1
jest jednostajnie zbieżny w przedziale a, b , to
�ł łł
" "
�ł śł

�ł śł
�ł śł
�ł
�ł śł
fn(x)śł = fn(x)
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
n=1 n=1
dla każdego x " a, b .
Szeregi potęgowe
Definicja 6 (szeregu potęgowego).
Szereg postaci
"

(5) an(x - x0)n = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + a3(x - x0)3 + ...
n=0
gdzie a0, a1,..., an,... są pewnymi ustalonymi liczbami, x jest zmienną,
x0 pewną ustaloną wartością tej zmiennej, nazywamy szeregiem potę-
gowym. Liczby ai, i = 0, 1, ..., n, ..., nazywamy współczynnikami szeregu
potęgowego.
Przyjmując różnicę x - x0 jako nową zmienną szereg (5) można spro-
wadzić do postaci
"

(6) anxn = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ...
n=0
Szereg (6) jest zbieżny dla x = 0, przy czym jego suma wynosi wówczas
a0. Dla x 0 szereg ten może być zbieżny albo rozbieżny.
Twierdzenie 6.
Jeżeli szereg potęgowy (6) jest zbieżny dla x0 = � 0, to jest zbieżny
(bezwzględnie) dla każdego x spełniającego warunek |x| < |�|.
Definicja 7.
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego (6) nazywamy liczbę R > 0
tak dobraną, że dla |x| < R szereg jest zbieżny, a dla |x| > R rozbieżny.
Przedział (-R, R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego
(6). Jest to największy przedział, wewnątrz którego szereg potęgowy jest
zbieżny.
Jeżeli szereg potęgowy (6) jest zbieżny dla wszystkich x, to przyjmujemy,
że R = ", jeżeli jest on zbieżny tylko dla x = 0, to przyjmujemy R = 0.
Na krańcach przedziału zbieżności szereg może być bądz
zbieżny, bądz

też rozbieżny.
Twierdzenie 7 (o zbieżności szeregu potęgowego).
Jeżeli promień zbieżności szeregu potęgowego (6) R 0, to dla każdego
dodatniego r < R szereg ten jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w
przedziale -r, r .
Wniosek 2.
Szereg potęgowy (6) jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w każdym
przedziale domkniętym a, b , położonym wewnątrz przedziału zbieżno-
ści.
Wniosek 3.
Szereg potęgowy (6) jest zbieżny bezwzględnie w całym wnętrzu (-R, R)
przedziału zbieżności.
Wniosek 4.
Suma szeregu potęgowego (6) jest funkcją ciągłą w całym wnętrzu (-R, R)
przedziału zbieżności.
Twierdzenie 8 (Cauchy-Hadamarda).
"

Jeżeli dla szeregu potęgowego anxn istnieje granica
n=0

n
lim |an| = g
n"
to promień zbieżności R szeregu potęgowego wyraża się wzorem
ńł
1
�ł
�ł
dla 0 < g < +"
�ł
g,
�ł
�ł
R =
�ł
0, dla g = +"
�ł
�ł
�ł
ół
+", dla g = 0
Twierdzenie 9 (d Alemberta).
"

Jeżeli dla szeregu potęgowego anxn istnieje granica
n=0

a = g
n+1
lim

n"
an
to promień zbieżności R szeregu potęgowego wyraża się wzorem
ńł
1
�ł
�ł
dla 0 < g < +"
�ł
g,
�ł
�ł
R =
�ł
0, dla g = +"
�ł
�ł
�ł
ół
+", dla g = 0
Twierdzenie 10 (o całkowaniu szeregu potęgowego).
"

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu anxn, to
n=0
łł
x �ł "
"
�ł śł

�ł śł
an
�ł śł
�ł
�ł śł
(7) antnśł dt = xn+1
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
n + 1
n=0 n=0
0
Twierdzenie 11 (o różniczkowaniu szeregu potęgowego).
"

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu anxn, to
n=0
�ł �ł
" "
�ł �ł

�ł �ł
d
�ł �ł
�ł
�ł �ł
(8) anxn�ł = nanxn-1
�ł �ł
�ł �ł
�ł łł
dx
n=0 n=1
Uwaga 4.
Szeregi (6), (7) i (8) mają ten sam promień zbieżności.
Uwaga 5. Szereg potęgowy wolno różniczkować wyraz po wyrazie wew-
nątrz przedziału zbieżności dowolną ilość razy, przy czym k ta pochodna
sumy danego szeregu potęgowego równa się sumie szeregu k tych po-
chodnych dla każdego x, należącego do wnętrza przedziału zbieżności.
Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy
Szereg Taylora i Maclaurina
Twierdzenie 12 (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).
Jeżeli funkcja f (x) ma wszystkie pochodne na pewnym otoczeniu Q(x0, �)
oraz dla każdego x x0 z tego otoczenia spełniony jest warunek
lim Rn(x) = 0,
n"
gdzie Rn(x) oznacza resztę wzoru Taylora z n tą pochodną dla funkcji
f i dla punktu x0, to
"
(n)
f (x0)
(9) f (x) = (x - x0)n
n!
n=0
dla każdego x " Q(x0, �).
Szereg po prawej stronie wzoru (9) nazywamy szeregiem Taylora funkcji
f (x) na otoczeniu punktu x0. Wzór (9) nazywamy rozwinięciem funkcji
f (x) na otoczeniu Q(x0, �) w szereg Taylora.
Twierdzenie 13 (o jednoznaczności rozwinięcia w szereg pot.).
Jeżeli funkcja f (x) jest na pewnym otoczeniu punktu x0 sumą szeregu
potęgowego, tj.
"

f (x) = an(x - x0)n
n=0
(n)
f (x0)
to an = dla n = 0, 1, 2, ....
n!
Uwaga 6.
Jeżeli x0 = 0, to szereg Taylora nazywamy szeregiem Maclaurina, a
równość (9) rozwinięciem funkcji w szereg Maclaurina.