Szeregi potęgowe Dla potomnych
Artur ÅšlÄ…czka
Definicja
Niech śąY ,%"Å"%"źą -przestrzeÅ„ unormowana nad ciaÅ‚em K ,
an"Y , x , x0" K .
Szereg funkcyjny postaci
ƒÄ…"
anśą x-x0źąn
"
n=0
x0
nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie .
Umowa
" x , x0"K anśą x-x0źą0:=1
czyli
ƒÄ…"
anśą x-x0źąn=a0ƒÄ…a1śą x-x0źąƒÄ…a2śą x-x0źą2ƒÄ…‹Ä…
"
n=0
Uwaga
0 ,
Wystarczy badać zbieżność szeregów potęgowych o środku w punkcie bo
"
t :=x-x0
podstawiając , otrzymujemy antn -szereg potęgowy o środku w punkcie 0.
"
n=0
Lemat Abela
"
JeÅ›li an xn jest zbieżny w punkcie ÄÄ…"K " { 0 } , to szereg ten jest zbieżny bezwzglednie
"
n=0
Ä…
K śą0,#"ÄÄ…#"źą K śą0, Çąźą ,
w kuli oraz jest zbieżny jednostajnie w każdej kuli domkniętej
gdzie 0"Ä…ÇÄ…"Ä…#"ÄÄ…#".
Dowód
"
WK
an xn- zbieżny w ÄÄ…" K Ò! lim anÄÄ…n=0 Ò! śąanÄÄ…nźąn"!-ciÄ…g ograniczony Ò!
"
n Śą"
n=0
Ò!" M Ä…0: %"anÄÄ…n%""Ä…M dla n"!.
x"K śą0,#"ÄÄ…#"źą. #"x#""Ä…#"ÄÄ…#"Ò!
Niech
Wtedy
n n
n
x x x
%"an xn%"= anÄÄ…nśą źą = anÄÄ…n Å" Ä…Ä…M
%" %"
%" %" #" #" #" #"
ÄÄ… ÄÄ… ÄÄ…
n
"
x
x
Ponieważ M -zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie q= "ą1
"
#" #"
#" #"
ÄÄ…
ÄÄ…
n=0
n
" "
x
zatem M - zbieżna majoranta szeregu %"an xn%". Stąd na podstawie kryterium
" "
#" #"
ÄÄ…
n=0 n=0
"
porównawczego %"an xn%"-zbieżny " x"K śą0,#"ÄÄ…#"źą Ò!
"
n=0
- 1 -
"
Ò! an xn -zbieżny bezwzglÄ™dnie w K śą0,#"ÄÄ…#"źą.
"
N =0
Ä…
x"K śą0, Çąźą , gdzie 0"Ä…ÇÄ…"Ä…#"ÄÄ…#" . Wtedy
Niech
n
n n n
ÇÄ…
x x
"
%"an xn%"= anÄÄ…n x =%"anÄÄ…n%"Å" Ä…Ä…M Ä…Ä…M
Tw.Weierstrassa
śą źą #" #" #" #" śą źą
%" %"
ÄÄ… ÄÄ… ÄÄ… #"ÄÄ…#"
Ò! an xn-zbieżny
"
n=0
n
"
ÇÄ…
Ä…
jednostajnie w K śą0, Çąźą.
M -zbieżna majoranta szeregu an xn }
" "
śą źą
#"ÄÄ…#"
n=0
Definicja
R
Definiujemy promień zbieżności szeregu potęgowego w następujący sposób :
"
R := sup { r : an xn-zbieżny w kuli K śą0, rźą}
"
n=0
oraz dodatkowo
"
R:=0 , jeśli an xn zbieżny tylko w x=0 ,
"
n=0
"
R :=ƒÄ…" , jeÅ›li an xn zbieżny " x"K .
"
n=0
Ponadto, jeśli
RÄ…0 Ò! K śą0, rźą -nazywamy koÅ‚em zbieżnoÅ›ci szeregu,
K=! Ò! K śą0, Rźą=śą-R , Rźą -przedziaÅ‚ zbieżnoÅ›ci szeregu.
Uwaga
"
Ä…
Szereg an xn w K / K śą0, Rźą - jest rozbieżny.
"
n=0
Wniosek
"
Niech R -promień zbieżności szeregu an xn.
"
n=0
Wtedy
"
1 Ú an xn - zbieżny bezwzglÄ™dnie i niemal jednostajnie w K śą0, Rźą
"
n=0
"
Ä…
2Ú an xn -rozbieżny w K / K śą0, Rźą.
"
n=0
Jeżeli #"x#"=R , to aby rozstrzygnąć zbiezność szeregu dla tych x , należy szereg zbadać
inaczej.
- 2 -
Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda
n
Niech ÁÄ…:=lim sup %"
ćą%"a
n .
n Śą "
"
Wtedy promień zbieżności szeregu potęgowego an xn wynosi:
"
n=0
0 , gdy ÁÄ…=ƒÄ…" ,
1
, gdy 0"Ä…ÁÄ…"Ä…ƒÄ…" ,
R=
ÁÄ…
{
ƒÄ…" , gdy ÁÄ…=0 .
Dowód
"
Wystarczy zbadać, kiedy szereg an xn jest zbieżny bezwzględnie. Na podstawie
"
n=0
"
n
,czyli
kryterium Cauchy'ego szereg %"an xn%" jest zbieżny, jeśli lim sup %"an xn%""ą1
" ćą
n Śą"
n=0
n n
n
lim sup %"an xn%"=lim sup %"an%"Å"#"xn#"=lim sup#"x#"n n%"=#"x#"lim sup %"=#"x#"Å"ÁÄ…"Ä…1 .
ćą ćą ćą%"a ćą%"a
n
n Śą" n Śą " n Śą" n Śą "
JeÅ›li 1 Ú ÁÄ…=0 Ò! " x"K : #"x#"Å"ÁÄ…"Ä…1 Ò! R=ƒÄ…" ,
2 Ú ÁÄ…=ƒÄ…" Ò! tylko dla x=0 : #"x#"Å"ÁÄ…"Ä…1 Ò! R=0
3 Ú ÁÄ…`"0
Ò!#"x#""Ä…1
}
ÁÄ…`"ƒÄ…" ÁÄ…
Ä„%
Przykład
"
Obliczyć promieÅ„ i przedziaÅ‚ zbieżnoÅ›ci szeregu śą-2źąnƒÄ…1 xn .
"
n=0
n n Tw.Cauchy ' ego-Hadamarda
1 1
ÁÄ…=:lim sup #"śą-2źąnƒÄ…1#"=lim sup #"2 Å"2n#"=2 Ò! R= Ò! ~dla #"x#""Ä…
ćą ćą
2 2
n Śą" n Śą"
szereg jest zbieżny .
sprawdzimy zbieżność na końcach przedziału zbieżności
n
" "
1 1
dla x= : śą-2źąnƒÄ…1Å" = śą-1źąnƒÄ…1Å"2 -szereg rozbieżny
" "
śą źą
2 2
n=0 n=0
n
" "
dla x=-1 : śą-2źąnƒÄ…1Å" -1 = śą-2źą-szereg rozbieżny
" "
śą źą
2 2
n=0 n=0
"
1
czyli śą-2źąnƒÄ…1Å"xn -zbieżny w -1 , .
"
śą źą
2 2
n=0
- 3 -
Twierdzenie
anƒÄ…1
lim =ÁÄ… śąoraz an`"0 źą
Jeśli istnieje granica , to promień zbieżności szeregu
%" %"
an
n Śą"
"
potegowego an xn wynosi
"
n=0
0 , gdy ÁÄ…=ƒÄ…"
1
, gdy 0"Ä…ÁÄ…"Ä…ƒÄ…"
R=
ÁÄ…
{
ƒÄ…" , gdy ÁÄ…=0
Przykład
"
śą2 nźą!
R Å"zn , z"!.
Obliczyć promień zbieżności szeregu
"
n!Å"nn
n=1
n
anƒÄ…1
śą2 nƒÄ…2źąśą2 nƒÄ…1źąśą2 nźą!n!Å"nn 4 nƒÄ…2Å" n 4 e
ÁÄ…=lim =lim =lim = Ò! R=
śą źą
%" %" %" %"
an n Śą " śąnƒÄ…1źąn!Å"śąnƒÄ…1źąśąnƒÄ…1źąnśą2 nźą! n Śą" nƒÄ…1 nƒÄ…1 e 4
n Śą"
Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu potęgowego)
"
R
Niech  promień zbieżności szeregu an xn ,
"
n=0
f  suma tegoż szeregu,
"
f śą xźą= an xn , x"K śąO , Rźą.
"
n=0
Wtedy
f "C"śą K śąO , Rźąźą -tzn. f posiada pochodną dowolnego rzędu
oraz
"
śąk źą
n
" x"K śąO , Rźą f śą xźą= k! an xn-k .
"
śą źą
k
n=k
Dowód
Na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego
" " "
'
'
f śą xźą=śą an xnźą = śąan xnźą'= n an xn-1 ,
" " "
n=0 n=0 n=1
"
jeśli śąan xnźą' jest zbieżny jednostajnie.
"
n=0
"
n
Ponieważ lim sup %"=R Ò! n an xn-1 -zbieżny niemal jednostajnie w K śą0, Rźą Ò!
ćą%"na "
n
n Śą"
n=1
K śąO ,Çąźą
" ÇÄ… , 0"Ä…ÇÄ…"Ä…R : nan xn-1 jest zbieżny jednostajnie w (czyli można go
"
różniczkować  wyraz po wyrazie )
Analogicznie
- 4 -
" "
'
' '
f śą xźą= n an xn-1 = nśąn-1źąan xn-2
"śą źą "
n=1 n=2
" " "
n!
śąk źą
n
f śą xźą= nśąn-1źąśąn-2źąÅ"‹Ä…Å"śąn-kƒÄ…1źąan xn-k= an xn-k= k! an xn-k
" " "
śą źą
śąn-k źą!
k
n=k n=k n=k
Ä„%
Uwaga
Dla x=0 teza twierdzenia przyjmuje postać
śąk źą
k
f śą0źą=k! ak=k!ak .
śą źą
k
Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego
Niech
"
an xn- szereg rzeczywisty, to znaczy an"! , x"! ,
"
n=0
"
R -promień zbieżności szeregu an xn.
"
n=0
Wtedy
x
" "
an
an xn dx= xnƒÄ…1 " x"śą-R , Rźą.
+" " "
śą źą
nƒÄ…1
n=0 n=0
0
Dowód
-R -ÇÄ… ÇÄ…
0 R
[-ÇÄ… , ÇÄ…] dla 0"Ä…ÇÄ…"Ä…R ,
W przedziale , szereg można całkować wyraz po wyrazie (jest
jednostajnie zbieżny)
Zatem dla x"śą-R , Rźą
x x
" " "
an
an xn dx= an xn dx = xnƒÄ…1.
+" " " +" "
śą źą
śą źą
nƒÄ…1
n=0 n=0 n=0
0 0
Ä„%
- 5 -
Twierdzenie (Abela)
"
Niech an xn -szereg rzeczywisty.
"
n=0
"
Jeśli an xn jest zbieżny w punkcie końcowym przedziału zbieżności, to jego suma jest
"
n=0
funkcją jednostronnie ciągłą w tym punkcie, to znaczy:
"
R
jeśli -promień zbieżności szeregu an xn ,
"
n=0
f -suma tegoż szeregu
"
n
oraz szereg jest zbieżny w punkcie x0=R Ò! lim f śą xźą= an x0
"
-
x Śą x0 n=0
"
n
lub szereg jedt zbieżny w punkcie x0=-R szereg jest zbieżny Ò! lim f śą xźą= an x0.
"
x Śą x+
n=0
0
Przykład
Dla x"[-1,1] funkcję f śą xźą=arctg x zapisz w postaci szeregu potęgowego.
"
Następnie oblicz sumę szeregu liczbowego śą-1źąn 1 .
"
2 nƒÄ…1
n=0
Ponieważ
a1=1 #"-x2#""Ä…1
" "
1
'
f śą xźą= =
= śą-x2źąn= śą-1źąn x2 n dla x"śą-1,1źą
" "
1ƒÄ…x2 ÇÄ…=-x2 x2"Ä…1
n=0 n=0
x"śą-1,1źą
zatem
x x x
" "
1 tw. śą-1źąn
f śą xźą= dx= śą-1źąn x2 n dx= śą-1źąn x2 n dx = x2 nƒÄ…1 dla x"śą-1,1źą.
+" +" " " +"
śą źą śą źą
2 nƒÄ…1
1ƒÄ…x2 0
n=0 n=0
0 0
Ponadto
"
śą-1źąn
dla x0=1 otrzymujemy szereg -zbieżny (z kryterium Leibniza) ,
"
2 nƒÄ…1
n=0
"
śą-1źąn
dla x0=-1 otrzymujemy szereg -zbieżny (z kryterium Leibniza) .
"
2 nƒÄ…1
n=0
Ponieważ funkcja
"
śą-1źąn nƒÄ…1
arctg"C śą!źą Ò! arctg x= x2 dla x"[-1,1].
"
2 nƒÄ…1
n=0
StÄ…d dla x=1
"
Ćą
śą-1źąn
=arctg1=
"
2 nƒÄ…1 4
n=0
czyli
Ćą
1 1 1
=1- ƒÄ… - ƒÄ…‹Ä… (wzór Leibniza).
4 3 5 7
- 6 -
Przypomnienie: Twierdzenie Taylora
f :! Śą!
śąk źą
n-1
f śą x0źą
f "CnśąU źą , U "Topśą x0źą Ò! "c"śą x0 , xźą : f śą xźą= śą x-x0źąkƒÄ…Rnśącźą ,
"
}
k!
k=0
x"U
śąnźą
f śącźą
gdzie Rnśącźą= śą x-x0źą.
n!
Jeżeli przy n Śą" reszta ze wzoru Taylora dąży do zera
śąnźą
n Śą"
f śącźą
Rnśącźą= śą x-x0źą Śą 0,
n!
śąk źą
n-1
f śą x0źą
to lim Snśą xźą= f śą xźą , gdzie Snśą xźą= śą x-x0źąk
"
k!
n Śą"
k=0
czyli funkcja f jest wtedy sumą szeregu potęgowego.
Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora)
f :! Śą!
śąnźą
"
f śą x0źą
f "C"śąU źą , U "Topśą x0źą
Ò! " x"U : f śą xźą= śą x-x0źąn
"
}
n!
n=0
lim Rnśącźą=0
n Śą"
Żą
T f x0
szereg Taylora funkcji f w punkcie
x0
Uwaga
Założenie lim Rnśą xźą=0 jest istotne .
n Śą"
Przykład
1
-
x2
e , gdy x`"0 ,
f śą xźą=
{
0 , gdy x=0 .
Można udowodnić, że f "!"
- 7 -
Ponieważ
śąnźą
f śą0źą=0 " n"!0
więc
T f = 0=0 a" f
"
0
Lemat o reszcie we wzorze Taylora.
śąnźą
Z: " ºÄ…Ä…0 " M Ä…0 " x"śą x0-ºÄ… , x0ƒÄ…ºÄ…źą " n"! : #" f śą xźą#"Ä…Ä…M
T: lim Rnśą xźą=0 dla x"śą x0-ºÄ… , x0ƒÄ…ºÄ…źą.
n Śą"
Dowód
śąnźą
f śącźą M M
#"Rnśącźą#"=#" śą x-x0źąn#"Ä…Ä… #"śą x-x0źąn#"Ä…Ä… ºÄ…n
n! n! n!
"
WK
M
M
Ò! lim ºÄ…n=0 Ò!
ºÄ…n -zbieżny z kryterium D'Alemberta
"
n!
n!
n Śą"
n=0
Ò! lim#"Rnśącźą#"=0 Ò! lim Rnśącźą=0
n Śą " n Śą"
Ä„%
- 8 -
Przykład
T f
Rozwinąć w szereg Maclaurina (wyznaczyć ) funkcję f śą xźą=ex dla x"! .
0
Z tw. Taylora:
n-1
xk
f śą xźą=ex= ƒÄ…Rnśącźą.
"
k!
k=0
Ponadto
śąnźą
f śą xźą=ex " n"! Ò! f "!"
Niech x0=0 , x"śąºÄ… ,ºÄ…źą dla ºÄ…Ä…0 .
Wtedy
śąnźą
#" f śą xźą#"=#"ex#"=ex"Ä…eºÄ… Ò! (speÅ‚nione sÄ… zaÅ‚ożenia lematu) Ò!
"
xn dla #"x#""Ä…ºÄ….
Ò! lim Rnśą xźą=0 Ò! ex=
"
n!
n Śą"
n=0
"
xn dla x"!.
ºÄ…Ä…0
Ponieważ jest dowolne , więc ex=
"
n!
n=0
Uwaga (do twierdzenia o reszcie szeregu potęgowego)
Jeżeli funkcja f jest sumą szeregu potęgowego
śąnźą
"
f śą x0źą
f śą xźą= anśą x-x0źąn dla x"K śą x0 , Rźą Ò! an=
"
n!
n=0
na podstawie twierdzenia o różniczkowalności szeregu potęgowego.
Uwaga
Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora jest jednoznaczne. Zatem rozwinięcie funkcji w
szereg wyznaczone jakąkolwiek metodą jest rozwinięciem w szereg Taylora.
- 9 -
Szeregi Maclaurina podstawowych funkcji
"
nƒÄ…1
sin x= śą-1źąn x2 dla x"! ,
"
śą2 nƒÄ…1źą!
n=0
"
n
cos x= śą-1źąn x2 dla x"! ,
"
śą2 nźą!
n=0
"
lnśą1ƒÄ…xźą= śą-1źąn-1 xn dla x"(-1,1 ] ,
"
n
n=1
"
·Ä…
śą1ƒÄ…xźą·Ä…= xn , dla #"x#""Ä…1 oraz ·Ä…"!
"
śą źą
n
n=0
śą jeÅ›li ·Ä…"!0 , to rozwiniÄ™cie jest prawdziwe " x"!źą
·Ä…śą·Ä…-1źąśą·Ä…-2źąÅ"‹Ä…Å"śą·Ä…-nƒÄ…1źą
·Ä…
gdzie := dla ·Ä…"! , n"!.
śą źą
n!
n
Przykład
RozwiÅ„ w szereg Maclaurina funkcjÄ™ f śą xźą= 1ƒÄ…x dla x"śą-1,1źą.
ćą
1 1 1 1 3
- - -
"
1
śą źą śą źąśą źą
2 2 2 2 2
1 1
·Ä…= : 1ƒÄ…x= xn=1ƒÄ… xƒÄ… x2ƒÄ… x3ƒÄ…‹Ä…=
ćą
"
2
2 2 2! 3!
n=0
śą źą
n
1 1 5
=1ƒÄ… x-1 x2ƒÄ… x3- x4ƒÄ…‹Ä… dla x"śą-1,1źą.
2 8 16 27
Definicja
Niech
śąY ,%"Å"%"źą -przestrzeÅ„ Banacha nad K ,
U "TopK
f :U ŚąY , f "C"
x0"U
Funkcja f jest analityczna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
"
"rą0 " x"K śą x0 , rźą : f śą xźą= anśą x-x0źąn.
"
n=0
Np. funkcje : sin x , cos x , lnśą1ƒÄ…xźą ,śą1ƒÄ…xźą·Ä…
sÄ… analityczne w punkcie 0.
- 10 -
Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej
Rozszerzmy funkcje ex ,sinśą xźą , cosśą xźą na zbiór liczb zespolonych korzystając z
otrzymanych rozwinięć w szeregi Taylora.
"
zn
ez := , z"!
"
n!
n=0
"
nƒÄ…1
sin z := śą-1źąn z2 , z"!
"
śą2 nƒÄ…1źą!
n=0
"
n
cos z := śą-1źąn z2 , z"!
"
śą2 nźą!
n=0
Twierdzenie
1 2 1
" z1 , z2"! ezÅ"ez =ez ƒÄ…z2
Dowód
Na podstawie definicji
n
" "
z1 zn
2
1 2
ez := , ez := .
" "
n! n!
n=0 n=0
Ponieważ powyższe szeregi są zbieżne bezwzględnie zatem na podstawie twierdzenia
Cauchy'ego o iloczynie szeregów otrzymujemy
n
z1 zn "
2
1 2
ez ez := = cn ,
" " "
śą źąśą źą
n! n!
n=0
gdzie
k
n n
z1 zn-k n 1 k k
1 1
2 k
k
cn= Å" = Å"z1Å"zn-k= Å" z1Å"zn-k= Å"śą z1ƒÄ…z2źąn.
" " "
2 2
śą źą śą źą
k! śąn-k źą! n! n! n!
n n
k=0 k=0 k=0
StÄ…d
"
1
1 2 1
ezÅ"ez = Å"śą z1ƒÄ…z2źąn=ez ƒÄ…z2
"
n!
n=0
Ä„%
Twierdzenie
" z"! : śą1źą eiz=cos zƒÄ…iÅ"sin z
śą2źą e-iz=cos z-iÅ"sin z
Dowód
"
in zn
Ad.(1) eiz=
"
n!
n=0
lim S2 nƒÄ…1=eiz ,
Ponieważ powyższy szereg jest zbieżny zatem w szczególności
n Śą"
iz z2 iz3 z4 śąizźą2 nƒÄ…1
gdzie S2 nƒÄ…1=1ƒÄ… - - ƒÄ… ƒÄ…‹Ä…ƒÄ… .
1! 2! 3! 4! śą2 nƒÄ…1źą!
- 11 -
S2 nƒÄ…1
Jednakże składniki sumy cząstkowej można pogrupować wybierając do pierwszej
grupy co drugi wyraz i wtedy
z2 z4 śą-1źąnÅ"z2 n z z3 z5 śą zźą2 nƒÄ…1
lim S2 nƒÄ…1=lim 1- ƒÄ… ƒÄ…‹Ä…ƒÄ… ƒÄ…i - ƒÄ… ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…śą-1źąn =
śą źą
[ ]
2! 4! śą2 nźą! 1! 3! 5! śą2 nƒÄ…1źą!
n Śą " n Śą "
z2 z4 śą-1źąnÅ"z2 n z z3 z5 śą zźą2 nƒÄ…1
=lim 1- ƒÄ… ƒÄ…‹Ä…ƒÄ… ƒÄ…i lim - ƒÄ… ƒÄ…‹Ä…ƒÄ…śą-1źąn =cos zƒÄ…i sin z
śą źą śą źą
2! 4! śą2 nźą! 1! 3! 5! śą2 nƒÄ…1źą!
n Śą" n Śą"
Ad.(2)
cosśą-zźą=cos z
śą1źą
Ò! e-iz=cosśą-zźąƒÄ…i sinśą-zźą=cos z-i sin z .
}
sinśą-zźą=-sin z
Z powyższego twierdzenia wynikają następujące Ą%
WZORY EULERA
eizƒÄ…e-iz '" sin z= eiz-e-iz dla z"!
cos z=
2 2
- 12 -
Szeregi ortogonalne
Będziemy rozważać funkcje całkowalne w sensie Riemanna w przedziale [a ,b].
Definicja
f , g [a , b]
Niech - całkowalne (w sensie Riemanna) w .
Liczbę )# f , g *# równą
b
)# f , g *#:= f śą xźą g śą xźądx
+"
a
nazywamy iloczynem skalarnym funkcji f i g .
)#· ,·*#
Jednakże nie spełnia warunków określających iloczyn skalarny . Co prawda
spełnione są warunki (IS1)-(IS3) , ale warunek
b
2
śąIS4źą: )# f , f *#= f śą xźądx=0 Ò! f a"0
+"
a
nie zachodzi bo funkcja równa zero poza skończoną liczbą punktów nie spełnia powyższej
implikacji.
Przykład
1
1, x=0
2
f śą xźą= Ò! f śą xźądx=0
+"
{
0, x"( 0 ;1 ]
0
Zatem )# f , f *#=0 mimo, że f a"0 .
Dygresja
Całkowalność w sensie Lebesgue a (względem miary)
Rozważmy całkę Lebesgue a (całkę względem miary).
Wtedy
Ò! f
f -całkowalna w sensie Riemanna - całkowalna w sensie Lebesgue a
oraz
śą Rźą= śą Lźą
+" +"
Wśród funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a rozważa się rodzinę gdzie
L2śą[a , b]źą ,
2
L2śą[a , b]źą:={ f :[a , b]Śą !; f śą xźądx"Ä…ƒÄ…"}
+"
[a , b]
L2śą[a , b]źą , - rodzina funkcji całkowalnych w sensie Lebesque a wraz z kwadratem.
Definicja (równości funkcji)
Mówimy, że funkcje f i g są równe, f =g , jeśli f śą xźą=g śą xźą poza zbiorem miary zero.
Uwaga
Przy tak sformułowanej definicji równości funkcji, rodzina jest przestrzenią
L2śą[a , b]źą
wektorowÄ….
- 13 -
Definicja
Niech
f , g "L2śą[a , b]źą.
Wtedy definiujemy
)# f , g *#:= f śą xźą g śą xźądx
+"
[ a , b]
Uwaga
Funkcja )#· ,·*# speÅ‚nia wÅ‚asnoÅ›ci iloczynu skalarnego w przestrzeni .
L2śą[a , b]źą
Wniosek
- przestrzeń unitarna
L2śą[a , b]źą
Zatem z twierdzenia o indukowaniu normy wynika , że
2
%" f %"= )# f , f *#= f śą xźą dx
ćą +"
ćą
[ a , b]
jest normÄ… w . NormÄ™ tÄ™ nazywamy normÄ… kwadratowÄ….
L2śą[a , b]źą
Ponadto
d śą f , g źą=%" f -g%"= )# f -g , f -g *#= śą f śą xźą-g śą xźąźą2 dx
ćą
+"
ćą
[ a , b]
jest metrykÄ… w wyznaczonÄ… przez normÄ™ kwadratowÄ… zadanÄ… iloczynem
L2śą[a , b]źą
skalarnym.
Definicja
Niech śą f źąn"!‚"L2śą[a , b]źą oraz f "L2śą[a , b]źą.
n
Wtedy
f Śą f :Ô!d śą f , f źąnŚą"0 Ô!
n 0 n
Śą
Ô! śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx Śą"0 Ô!
+"
n
n Śą
ćą
[a , b]
Ô! śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx Śą"0
+"
n
n Śą
[a , b]
Koniec dygresji
Powróćmy do funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
Definicja
b
2
f [a , b].
LiczbÄ™ nazywamy normÄ… kwadratowÄ… funkcji w
%" f %"= f śą xźądx
+"
ćą
a
- 14 -
Przykład
f śą xźą=sinśą xźą dla x"[0,Ćą].
Obliczyć normę kwadratową funkcji
Ćą
Ćą Ćą
Ćą
1-cos 2 x x 1
%" f %"= sin2 xdx= dx= - sin2 x =
+" +"
źą
ćą [ ]
2 2 4 2
ćą
ćą ćąśą 0
0 0
Uwaga
1 Ú f "C śą[a , b]źą Ò! śą%" f %"=0 Ô! f a"0 źą
2 Ú f "C śą[a ,b]źąÒ!śą%" f %"=0 Ô! f a"0 źą
Definicja
f , g
Funkcje  całkowalne w sensie Riemanna nazywamy ortogonalnymi w [a , b] ,
0,
jeśli ich iloczyn skalarny jest równy czyli
)# f , g *#=0 .
Przykład
Niech oraz x"[0,1] .
f śą xźą=x , g śą xźą=x2
Wtedy
1
1
x4 1
funkcje f , g nie sÄ… ortogonalne w [0,1].
)# f , g *#= xÅ"x2 dx= = `"0 Ò!
+"
[ ]
4 4
0
0
Natomiast dla x"[-1,1]funkcje f , g sÄ… ortogonalne w [-1,1] , bo
1 1
1
)# f , g *#= x3 dx= x4 =0.
+"
[ ]
4
-1
-1
Definicja
Niech ÔÄ…n:[a , b]Śą! dla n"!0
ÔÄ…n " n"!0.
oraz - całkowalna
śąÔÄ…nźąn"! nazywamy ciÄ…giem ortogonalnym w [a , b] , jeÅ›li :
CiÄ…g funkcyjny
0
1 Ú " n , m"!0 , n`"m: )#ÔÄ…n ,ÔÄ…m*#=0
oraz
2 Ú " n"!0 %"ÔÄ…n%"Ä…0 .
- 15 -
Przykład
CiÄ…g śąsinśąnƒÄ…1źą xźąn"! jest ciÄ…giem ortogonalnym w [-Ćą ,Ćą] ,bo
0
1 Ú dla n`"m i n , m"!0
Ćą
)#sinśąnƒÄ…1źą x ,sinśąmƒÄ…1źą x*#= sinśąnƒÄ…1źą xÅ"sinśąmƒÄ…1źą xÅ"dx=
+"
-Ćą
Ćą Ćą
1 1
= cosśąn-mźą xÅ"dx- cosśąnƒÄ…mƒÄ…2źą xÅ"dx=0
+" +"
2 2
-Ćą -Ćą
2 Ú dla n"!0
Ćą Ćą
1-cos2śąnƒÄ…1źą x
%"sinśąnƒÄ…1źą x%"= sin2śąnƒÄ…1źą x dx= dx=
+" +"
ćą
2
ćą-Ćą
-Ćą
Ćą
1 sin2śąnƒÄ…1źą x
= x- = Ćąą0
ćą
źą
[ ]
2 4śąnƒÄ…1źą
ćąśą -Ćą
śąsinśąnƒÄ…1źą xźąn"!
[-Ćą ,Ćą].
z 1 Ú i 2 Ú wynika, że ciÄ…g funkcyjny jest ortogonalny w
0
Definicja
śąÔÄ…nźąn"! nazywamy ciÄ…giem unormowanym w [a , b] , jeÅ›li
CiÄ…g funkcyjny
0
" n"!0 %"ÔÄ…n%"=1.
Przykład
1
Å"sinśąnƒÄ…1źą x
[-Ćą ,Ćą].
CiÄ…g jest unormowany w
śą źą
Ćą
ćą
n"!0
Definicja
śąÔÄ…nźąn"! nazywamy ciÄ…giem ortonormalnym w [a , b] , jeÅ›li jest
CiÄ…g funkcyjny
0
ortogonalny i unormowany w tym przedziale.
Przykład c.d.
1
-ciÄ…g ortonormalny w
Å"sinśąnƒÄ…1źą x
[-Ćą ,Ćą].
śą źą
Ćą
ćą
n"!0
Wniosek
ÔÄ…n
śąÔÄ…nźąn"! jest ciÄ…giem ortogonalnym , to
Jeżeli jest ciągiem ortonormalnym.
0
śą źą
%"ÔÄ…n%"
n"N
0
- 16 -
Uwaga
śąÔÄ…nźąn"! Ô! )#ÔÄ…n ,ÔÄ…m*#=ºÄ…nm n , m"!0 ,
jest ortonormalnym dla
ºÄ…nm
gdzie symbol oznacza deltÄ™ Kroneckera,
1 , gdy n=m ,
ºÄ…nm:=
{
0 , gdy n`"m.
Definicja
śąÔÄ…nźąn"! - ciÄ…g ortogonalny w
Niech [a , b] ,
0
śąąąnźąn"! - ciąg liczbowy .
0
"
Wtedy szereg Ä…Ä…nÅ"ÔÄ…nśą xźą nazywamy szeregiem ortogonalnym w [a , b] .
"
n=0
Lemat (o szeregu ortogonalnym)
"
[a , b]
Niech Ä…Ä…nÅ"ÔÄ…nśą xźą - szereg ortogonalny w i zbieżny jednostajnie w [a , b]
"
n=0
oraz
"
niech jego suma f śą xźą= Ä…Ä…nÅ"ÔÄ…nśą xźą jest funkcjÄ… caÅ‚kowalnÄ… w [a , b].
"
n=0
Wtedy
)# f ,ÔÄ…n*#
Ä…Ä…n=
" n"!0.
%"ÔÄ…n%"2
Dowód
n"!0 , x"[a , b].
Niech
b b b
" "
)# f ,ÔÄ…n*#= f śą xźąÅ"ÔÄ…nśą xźądx= śą Ä…Ä…k ÔÄ…k śą xźąźąÔÄ…nśą xźądx= [ śąąąk ÔÄ…k śą xźąÅ"ÔÄ…nśą xźąźą]dx=
+" +" " +" "
k=0 k=0
a a a
b b
" " "
= Ä…Ä…k ÔÄ…k śą xźąÔÄ…nśą xźądx= Ä…Ä…k ÔÄ…k śą xźąÔÄ…nśą xźądx= Ä…Ä…k )#ÔÄ…k ,ÔÄ…n*#=Ä…Ä…n)#ÔÄ…n ,ÔÄ…n*#=
"+" " +" "
k=0 k=0 k =0
a a
=Ä…Ä…n%"ÔÄ…n%"2
stÄ…d
)# f ,ÔÄ…n*#
Ä…Ä…n= .
%"ÔÄ…n%"2
Ä„%
Wniosek
f - caÅ‚kowalna w [a , b] Ò! " co najwyżej jeden szereg ortogonalny zbieżny
f
jednostajnie do funkcji , mianowicie jest to szereg postaci
- 17 -
"
cnÔÄ…nśą xźą
"
n=0
o współczynnikach
)# f ,ÔÄ…n*#
cn= dla n"!0.
%"ÔÄ…n%"2
cn
Powyższe wzory określające współczynniki nazywamy wzorami Eulera-Fouriera ,
cn
nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu ortogonalnego
śąÔÄ…nźąn"!0 w [a , b] ,
"
a szereg cnÔÄ…nśą xźą nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f wzglÄ™dem ciÄ…gu
"
n=0
śąÔÄ…nźąn"! w [a , b]
i piszemy
0
"
f śą xźą~ cnÔÄ…nśą xźą dla x"[a , b]
"
k=0
f
Zatem jeśli jest całkowalna w [a , b] , to odpowiada jej szereg Fouriera utworzony
śąÔÄ…nźąn"! ortogonalnego w tym przedziale . Jednakże nic nie
względem dowolnego ciągu
0
wiemy o zbieżności utworzonego szeregu , a w szczególności nie wiemy , czy sumą tego
szeregu jest funkcja f .
"
JeÅ›li f śą xźą= cnÔÄ…nśą xźą , to o funkcji f mówimy , że jest rozwijalna w szereg Fouriera.
"
k=0
Definicja
b
Liczbę d śą f , g źą=%" f -g%"= [ f śą xźą-g śą xźą]2 dx nazywamy
+"
ćą
a
f g
odległością kwadratową funkcji i w przedziale [a , b].
Uwaga
1 Ú f "C śą[a , b]źą Ò! śąd śą f , g źą=0 Ò! f =g źą
2 Ú f "C śą[a , b]źą Ò! śąd śą f , g źą=0 Ò! f =g źą
Definicja
śąÔÄ…nźąn"! - ciÄ…g ortogonalny,
Niech
0
śąąąnźąn"! - ciąg liczbowy.
0
N
funkcjÄ™ ÈÄ…N śą xźą:= Ä…Ä…nÔÄ…nśą xźą nazywamy wielomianem ortogonalnym rzÄ™du N
"
n=0
śąÔÄ…nźąn"! .
utworzonym z wyrazów ciągu
0
- 18 -
Zagadnienie najlepszej aproksymacji kwadratowej.
Niech f - całkowalna w [a , b] ,
śąÔÄ…nźąn"! - ciÄ…g ortogonalny w [a , b] ,
0
N "!0.
Ä…Ä…n
Zagadnienie polega na dobraniu dla n=0,1 ,‹Ä… , N współczynników wielomianu
N
d śą f ,ÈÄ…N źą
ortogonalnego ÈÄ…N śą xźą= Ä…Ä…nÔÄ…nśą xźą tak, aby odlegÅ‚ość kwadratowa byÅ‚a
"
n=0
ÈÄ…N
minimalna. Wtedy będzie wielomianem aproksymujacym funkcję f w [a , b]
najlepiej w sensie odległości kwadratowej .
Twierdzenie (o aproksymacji kwadratowej)
N
SpoÅ›ród wszystkich wielomianów ÈÄ…N śą xźą= Ä…Ä…nÔÄ…nśą xźą najlepszÄ… aproksymacjÄ™
"
n=0
kwadratową funkcji f w przedziale [a , b] stanowi wielomian o współczynnikach
Fouriera.
Dowód
2
d )# f ,ÈÄ…N *#=)# f -ÈÄ…N , f -ÈÄ…N *#=)# f , f *#-2 )# f ,ÈÄ…N *#ƒÄ…)#ÈÄ…N ,ÈÄ…N *#=
N N N
=%" f %"2-2 )# f , Ä…Ä…nÔÄ…n*#ƒÄ…)# Ä…Ä…nÔÄ…n , Ä…Ä…mÔÄ…m*#=
" " "
n=0 n=0 m=0
N N
=%" f %"2-2 Ä…Ä…n )# f ,ÔÄ…n*#ƒÄ… Ä…Ä…n Ä…Ä…m )#ÔÄ…n ,ÔÄ…m*#=
" "
n=0 n , m=0
N N
=%" f %"2-2 Ä…Ä…n)# f ,ÔÄ…n*#ƒÄ… Ä…Ä…2 )#ÔÄ…n ,ÔÄ…n*#=
" "
n
n=0 n=0
N N
)# f ,ÔÄ…n*#
=%" f %"2-2 Ä…Ä…n%"ÔÄ…n%"2ƒÄ… Ä…Ä…2%"ÔÄ…n%"2=
" "
n
%"ÔÄ…n%"2
n=0 n=0
N N
=%" f %"2-2 cnÅ"Ä…Ä…n%"ÔÄ…n%"2ƒÄ… Ä…Ä…2%"ÔÄ…n%"2=
" "
n
n=0 n=0
N N
=%" f %"2ƒÄ… śącn-Ä…Ä…nźą2%"ÔÄ…n%"2- c2%"ÔÄ…n%"2.
" "
n
n=0 n=0
N
Powyższe wyrażenie ma najmniejszą wartość, gdy suma śącn-ąąnźą2%"ąąn%"2 jest
"
n=0
Ä…Ä…n=cn
" n"{0,1,2 ,‹Ä…, N }.
najmniejsza czyli, gdy
Ä„%
Uwaga
N
2
JeÅ›li Ä…Ä…n=cn dla n=0,1 ,‹Ä… , N , to d śą f ,ÈÄ…nźą=%" f %"2- c2%"ÔÄ…n%"2‡Ä…0 dla N "!0.
"
n
n=0
N
Zatem " N "!0 c2%"ÔÄ…n%"2Ä…Ä…%" f %"2.
"
n
n=0
- 19 -
N
Wprowadz
my oznaczenie SnƒÄ…1:= c2%"ÔÄ…n%"2. Na podstawie powyższej nierównoÅ›ci ciÄ…g
"
n
n=0
śąS źąN"! śąSnƒÄ…1źąN "!0
jest ograniczony. Ponadto jest to ciÄ…g rosnÄ…cy. Zatem jest
nƒÄ…1
0
ciągiem zbieżnym.
"
StÄ…d c2%"ÔÄ…n%"2-zbieżny oraz
"
n
n=0
"
c2%"ÔÄ…n%"2d"%" f %"2.
"
n
n=0
Powyższą nierówność nazywamy nierówność Bessela.
śąÔÄ…nźąn"! ortogonalnego w przedziale
Nierówność ta jest prawdziwa dla dowolnego ciągu
[a , b] oraz dla dowolnej funkcji f całkowalnej w tym przedziale.
Definicja
śąÔÄ…nźąn"! ortogonalny w [a , b] nazywamy ukÅ‚adem zupeÅ‚nym w klasie funkcji
CiÄ…g
0
całkowalnych w [a , b] , jeśli dla każdej funkcji f z tej klasy zachodzi
"
c2%"ÔÄ…n%"2=%" f %"2
"
n
n=0
Powyższą równość nazywamy równością Parsevala lub warunkiem zupełności.
Uwaga
Układ zupełny w klasie funkcji całkowalnych jest również układem zupełnym w klasie
funkcji ciągłych.
Uwaga.
"
śąÔÄ…nźąn"! -ciÄ…g ortogonalny Ò! c2=%" f %"2
"
0 n
n=0
- 20 -
 Analogie między teorią wektorów a teorią ciągów i szeregów ortogonalnych
wektory w !3 szeregi ortogonalne
ęą
ęą ęąj , k śąÔÄ…nźąn"!
Å" wersory i ,
Å" ortogonalny ukÅ‚ad zupeÅ‚ny
0
cn
Å" współrzÄ™dne x , y , z wektora Å" współczynniki Fouriera funkcji f
Śą śąÔÄ…nźąn"!
względem
V =[ x , y , z]
0
Śą ęą śąÔÄ…nźąn"!
cn=)# f ,ÔÄ…n*# ,
Å" gdy -ukÅ‚ad
Å"
x=)#V , i *#
0
Śą ęąj
y=)#V , *# ortonormalny
ęą
Śą
z=)#V , k *#
Śą
Å" kwadrat dÅ‚ugoÅ›ci wektora równość Parsevala
Å"
V
"
Śą
%" f %"2= c2
#"V#"2=x2ƒÄ… y2ƒÄ…z2
"
n
n=0
"
?
Å" rozkÅ‚ad wektora na skÅ‚adowe Å" f śą xźą= cnÔÄ…nśą xźą
"
n=0
ęą
Śą ęąƒÄ… ęąjƒÄ…z
szereg może nie być zbieżnym lub
V =x i y k
być zbieżnym, ale nie do funkcji f
Aby odpowiedność w ostatnim wierszu tabelki zachodziła, określamy odpowiednio pojęcie
zbieżności. Wykorzystamy definicję zbieżności ciągu w przestrzeni L2śą[a , b]źą
według
metryki.
Definicja
Ciąg funkcyjny śą f źąn"! funkcji f : [a , b]Śą R , n"! , nazywamy
n n
zbieżnym przecietnie z kwadratem w przedziale [a , b] , jeśli
lim śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx=0.
+"
n
n Śą "
[ a , b]
Uwaga
śą f źąn"! może być zbieżnym przecietnie z kwadratem w , ale nie zbieżnym
CiÄ…g [a , b]
n
punktowo w [a , b].
Przykład
Niech
1
n , dla 0 d"xd"
ćą
n2
f śą xźą=
n
1
{
0 , dla d"xd"1
n2
oraz niech f a"0 w [0,1].
Wtedy
1 1
1 n2 n2
1
lim śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx=lim śą f śą xźąźą2 dx=lim ndx=lim =0
+" +" +"
n n
n
n Śą" n Śą" n Śą" n Śą "
0 0 0
śą f źąn"! jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do funkcji f w [a , b].
Zatem
n
- 21 -
f śą0źą= n Śą"ƒÄ…" Ò! śą f źąn"! nie jest zbieżny punktowo w
ćą
Jednak dla x=0 mamy
n n
n Śą
[0,1].
Uwaga
śą f źąn"! może być zbieżnym punktowo ale nie zbieżnym przecietnie z kwadratem.
CiÄ…g
n
Przykład
Niech
0 dla x=0,
n dla 0 "Ä…xÄ…Ä…1 ,
f śą xźą=
n
n
{ 1
0 dla "Ä…xÄ…Ä…1.
n
śą f źąn"! jest zbieżny punktowo do funkcji f a"0 w [0,1].
CiÄ…g
n
Jednak
1
1 n
lim śą f śą xźą- f śą xźąźą2 dx=lim n2 dx=lim n=ƒÄ…"
+" +"
n
n Śą" n Śą " n Śą "
0 0
śą f źąn"!
Zatem nie jest zbieżny przeciętnie z kwadratem.
n
śąÔÄ…nźąn"! -ukÅ‚ad zupeÅ‚ny.
Niech
0
Wtedy
"
" f caÅ‚kowalna w[a , b]: c2%"ÔÄ…n%"2=%" f %"2.
"
n
n=0
StÄ…d
N "
2
lim d śą f ,ÈÄ…N źą= lim śą%" f %"2- c2%"ÔÄ…n%"2źą=%" f %"2- c2%"ÔÄ…n%"2=0
" "
n n
N Śą" N Śą"
n=0 n=0
i otrzymujemy następujący wniosek
Wniosek
"
Szereg Fouriera cnÔÄ…nśą xźą dowolnej funkcji f caÅ‚kowalnej w przedziale [a , b] ,
"
n=0
śąÔÄ…nźąn"! jest zbieżny przecietnie z kwadratem w tym
względem układu zupełnego
0
przedziale do funkcji f .
Uwaga
Oczywiście szereg Fouriera nie musi być zbieżny w zwykły sposób. Jeśli spełniona jest
"
równość f śą xźą= cnÔÄ…nśą xźą to mówimy, że funkcja f jest rozwijalna w szereg
"
n=0
Fouriera.
- 22 -
SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA
Definiujemy ciÄ…g funkcyjny śąÔÄ…nźąn"! : ÔÄ…0śą xźą=1
0
nĆą x
ÔÄ…2 n-1śą xźą=cos , n"!
l
nĆą x
ÔÄ…2 nśą xźą=sin
l
czyli ciÄ…g :
Ćą x Ćą x 2Ćą x 2Ćą x
1, cos , sin , cos , sin ,‹Ä…
l l l l
Stwierdzenie
śąÔÄ…nźąn"!
CiÄ…g jest ortogonalny w [-l , l ].
0
Dowód
n"!
Dla mamy
l
l
nĆą x nĆą x
l
)#ÔÄ…0 ,ÔÄ…2 n-1*#= cos dx= sin =0
+"
[ ]
l nĆą l
-l
-l
l
l
nĆą x nĆą x
l
)#ÔÄ…0 ,ÔÄ…2 n*#= sin dx= - cos =0
+"
[ ]
l nĆą l
-l
-l
dla n , m"! otrzymujemy
l
nĆą x mĆą x
)#ÔÄ…2 n-1 ,ÔÄ…2 m*#= cos sin dx=
+"
l l
-l
l
śąm-nźąĆą x śąmƒÄ…nźąĆą x
1
= sin ƒÄ…sin dx=0
+"
śą źą
2 l l
-l
Ponadto dla n`"m
l
nĆą x mĆą x
)#ÔÄ…2 n-1 ,ÔÄ…2 m-1*#= cos cos dx=
+"
l l
-l
l
śąm-nźąĆą x śąmƒÄ…nźąĆą x
1
= cos ƒÄ…cos dx=0
+"
śą źą
2 l l
-l
oraz
l
nĆą x mĆą x
)#ÔÄ…2 n ,ÔÄ…2 m*#= sin sin dx=
+"
l l
-l
l
śąm-nźąĆą x śąmƒÄ…nźąĆą x
1
= cos -cos dx=0
+"
śą źą
2 l l
-l
- 23 -
Nadto kwadraty norm kwadratowych wynoszÄ…
l
%"ÔÄ…0%"2= dx=2lÄ…0
+"
-l
oraz dla n"!
l
l
nĆą x 2 nĆą x
x l
%"ÔÄ…2 n-1%"2= cos2 dx= ƒÄ… sin =lÄ…0 ,
+"
[ ]
l 2 4 nĆą l
-l
-l
l
l
nĆą x 2 nĆą x
x l
%"ÔÄ…2 n%"2= sin2 dx= - sin =lÄ…0 .
+"
[ ]
l 2 4 nĆą l
-l
-l
Ä„%
Uwaga
śąÔÄ…nźąn"! jest
" n"!: ÔÄ…2 n-1 ,ÔÄ…2 n - funkcje okresowe o okresie 2l Ò! ciÄ…g
Jeśli
0
2 l
ortogonalny w każdym przedziale o długości .
Twierdzenie
CiÄ…g śąÔÄ…nźąn"! : ÔÄ…0śą xźą=1
0
nĆą x
ÔÄ…2 n-1śą xźą=cos
l
nĆą x
ÔÄ…2 nśą xźą=sin dla n"!
l
stanowi układ zupełny w klasie funkcji całkowalnych w [-l , l ].
f
Niech -całkowalna w [-l , l ].
Wtedy współczynniki Fouriera względem układu zupełnego wynoszą
)# f ,ÔÄ…n*#
cn=
%"ÔÄ…n%"2
StÄ…d
l
1
c0= f śą xźądx
+"
2 l
-l
l
nĆą x
1
c2 n-1= f śą xźącos dx
+"
l l
-l
l
nĆą x
c2 n=1 f śą xźąsin dx
+"
l l
-l
"
i funkcji f odpowiada szereg Fouriera f śą xźą~ cnÔÄ…nśą xźą.
"
i=0
- 24 -
Uwaga
Powyższy szereg zapiszemy w postaci tradycyjnej, podstawiając
a0:=2 c0
an:=c2 n-1
bn:=c2 n dla n"!.
Wtedy
a0 "
nĆą x nĆą x
f śą xźą~ ƒÄ… an cos ƒÄ…bnsin -szereg trygonometryczny Fouriera
"
śą źą
2 l l
n=1
funkcji f w [-1,1] , gdzie
l
1
a0= f śą xźądx
+"
l
-l
l
nĆą x
an=1 f śą xźącos dx
+"
l l
-l
l
nĆą x
1
bn= f śą xźąsin dx
+"
l l
-l
Wniosek
Szereg trygonometryczny Fouriera jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do funkcji f.
Wniosek
Dla szeregu trygonometrycznego Fouriera spełniona jest równość Parsevala, czyli
"
2
2 lc0ƒÄ…l c2=%" f %"2
"
n
n=1
2
la0 "
ƒÄ…l śąa2ƒÄ…b2źą=%" f %"2
"
n n
2
n=1
stÄ…d
2
a0 "
1
ƒÄ… śąa2ƒÄ…b2źą= %" f %"2
"
n n
2 l
n=1
ÜÄ…
równość Parsevala dla szeregu trygonometrycznego
Fouriera
Definicja
Niech funkcja f jest ograniczona w śąa , bźą.
Mówimy, że f jest przedziałami monotoniczna w śąa , bźą , jeśli przedział ten można
podzielić na skończoną liczbę przedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna.
- 25 -
Przykład
Przykład
1
f śą xźą=x sin
Funkcja nie jest przedziałami monotoniczna w [-l , l ].
x
- 26 -
Definicja
f [a , b]
Funkcja spełnia w przedziale warunki Dirichleta, jeśli:
śąa , bźą
1 Ú jest przedziaÅ‚ami monotoniczna w (jest wiÄ™c ograniczona)
f "C śąśąa , bźą"{x1 , x2 ,‹Ä…, xn}źą
2 Ú
xi
oraz w każdym punkcie nieciągłości zachodzi
1 -
f śą xiźą= [ f śą xiźąƒÄ… f śą x+źą]
,
i
2
-
gdzie f śą xiźą f śą x+źąoznaczają granice odpowiednio lewo i prawostronne funkcji f
i
w punkcie xi ,
- +
f śą xiźą:=lim f śą xźą , f śą xi źą:= lim f śą xźą
- +
x Śą xi x Śą xi
1
3 Ú f śąaźą= f śąbźą= [ f śąa+źąƒÄ… f śąb-źą].
2
gdzie f śąb-źą=lim f śą xźą , f śąa+źą= lim f śą xźą
x Śą b- x Śą a+
- 27 -
Twierdzenie (Dirichleta)
Jeśli f spełnia w [-l , l ] warunki Dirchleta, to jest rozwijalna w szereg trygonometryczny
Fouriera w [-l , l ] , czyli zachodzi równość
a0 "
nĆą x nĆą x
f śą xźą= ƒÄ… an cos ƒÄ…bnsin dla x"[-l , l ].
"
śą źą
2 l l
n=1
f 2 l , f
Jeśli dodatkowo jest okresowa o okresie to jest rozwijalna w szereg
trygonometryczny Fouriera w całej swojej dziedzinie.
Uwaga
f
Niech spełnia warunki Dirchleta w [-l , l ].
Jeśli
1 Ú f - parzysta, tzn. f śą-xźą= f śą xźą to
l
2
a0= f śą xźądx
+"
l
0
a0 "
nĆą x
l
Ò! f śą xźą= ƒÄ… an cos
nĆą x "
2
2 l
an= f śą xźącos dx
+" n=1
l l
}
0
bn=0
f
czyli jest rozwijalna w szereg kosinusów
Natomiast, jeśli
2 Ú f - nieparzysta, tzn. f śą-xźą=- f śą xźą to
a0=an=0
"
nĆą x
l
nĆą x Ò! f śą xźą= bnsin
2
"
bn= f śą xźąsin dx l
+"
} n=1
l l
0
czyli f jest rozwijalna w szereg sinusów.
Przykład
Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję
sgn x dla x"śą-l , l źą ,
f śą xźą=
{
0 dla x=-l("x=l .
- 28 -
Funkcja f spełnia warunki Dirchleta oraz jest nieparzysta.
" n"!0 an=0
Zatem oraz
"
nĆą x
f śą xźą= bnsin , gdzie
"
l
n=1
1
l
nĆą x nĆą x
2 2 l 2 2
bn= sin dx= - cos =- śącos nĆą-cos0źą=- śąśą-1źąn-1źą=
+"
śą źą
l l [ l ]
l nÅ"Ćą nĆą nĆą
0
0
0 , gdy n - parzyste,
4
=
, gdy n - nieparzyste.
{
nĆą
4
b2 k=0 i b2 k -1= dla k "! i w konsekwencji
StÄ…d
śą2 k-1źąĆą
" "
śą2 n-1źąĆą x śą2 n-1źąĆą x
4
f śą xźą= b2 n-1sin = sin dla x"[-l , l ].
" "
l śą2 n-1źąĆą l
n=1 n=1
Zatem
- 29 -
"
śą2n-1źąĆą x
4 1
f śą xźą= sin dla x"[-l ,l ]
"
Ćą 2n-1 l
n=1
Powyższe rozwinięcie funkcji f można wykorzystać do obliczania sumy szeregów liczbowych
l
np. dla x= otrzymujemy
2
Ćą
l 4 Å" " 1
f = sin - ƒÄ…nĆą Ò!
"
śą źą śą źą
2 Ćą 2n-1 2
n=1
" nƒÄ…1
1 =4
"śą-1źą
Ćą 2n-1
n=1
"
Ćą
śą-1źąnƒÄ…1
a stąd = śąwzór Leibnizaźą.
"
2 n-1 4
n=1
Do obliczenia sum szeregów liczbowych można wykorzystać też równośc Parsevala.
Przykład c.d.
Zapiszmy równość Parsevala dla funkcji f zdefiniowanej wcześniej.
"
1%" 4
b2= f %"2 , gdzie b2n-1= , b2 n=0,
"
n
l śą2 n-1źąĆą
n=1
stÄ…d
2 l
"
4 1
2
= f śą xźądx
" +"
śą źą
śą2 n-1źąĆą l
n=1
-l
l l
"
16 1 2 2
2
= f śą xźądx= x =2
" +"
[ ]
l
Ćą2 śą2 n-1źą2 l -l 0
n=1
i ostatecznie
"
Ćą2
1
= .
"
śą2 n-1źą2 8
n=1
Rozwijanie w szereg sinusów lub kosinusów.
f śą0, l źą.
Niech speÅ‚nia 1 Ú i 2 Ú warunek Dirchleta w przedziale Wtedy funkcjÄ™ f
można rozwinąć albo w szereg samych sinusów albo w szereg samych kosinusów
odpowiednio ją przedłużając na przedział [-l , l ].
a) szereg sinusów
f przedłużamy nieparzyście
0 , gdy x=-l
- f śą-xźą , gdy x=śą-l ,0źą
f *śą xźą= 0 , gdy x=0
f śą xźą , gdy x"śą0, l źą
{
0 , gdy x=l
b)szereg kosinusów
f przedłużamy parzyście
- 30 -
f śąl-źą , gdy x=-l
f śą-xźą , gdy x=śą-l ,0źą
f *śą xźą= f śą0źą , gdy x=0
f śą xźą , gdy x"śą0, l źą
{
f śąl-źą , gdy x=l
f * f *
Ponieważ spełnia wszystkie warunki Dirichleta, zatem rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera w [-l , l ]. jest rozwinięciem f w szereg trygonometryczny
Fouriera w śą0, l źą.
Przykłady
śą0,Ćąźą
1. Rozwinąć funkcję f śą xźą=x w przedziale w szereg sinusów.
l=Ćą f
Mamy i przedłużamy nieparzyście.
Wtedy
x , x"śą-Ćą ,Ćąźą
f *śą xźą=
{
0 , x=Ćą , x=-Ćą
Ćą Ćą
Ćą
nĆą x
2 2 2 x 1
bn= f śą xźąsin dx= x sinśąnxźądx= - cosśąnxźąƒÄ… sinśąnxźą =
+" +"
[ ]
Ćą Ćą Ćą Ćą n
n2
0 0
0
Ćą
=2 - śą-1źąn=2 śą-1źąnƒÄ…1
śą źą
Ćą n n
Zatem
"
2
f *śą xźą= śą-1źąnƒÄ…1sinśąnxźądla x"[-Ćą ,Ćą]
"
n
n=1
a stÄ…d
"
2
f śą xźą= śą-1źąnƒÄ…1sinśąnxźą dla x"śą0,Ćąźą.
"
n
n=1
śą0,Ćąźą
2. Funkcję f śą xźą=x rozwinąć w przedziale w szereg kosinusów.
l=Ćą f
Mamy i przedłużamy parzyście.
Wtedy
f *śą xźą=#"x#" , x"[-Ćą ,Ćą]
Ćą Ćą
Ćą
2 2 2 1
a0= f śą xźądx= x dx= x2 =Ćą
+" +"
[ ]
Ćą Ćą Ćą 2
0
0 0
Ćą Ćą
Ćą
nĆą x
2 2 2 x 1
an= f śą xźącos dx= x cosśąnxźądx= sinśąnxźąƒÄ… cosśąnxźą =
+" +"
[ ]
Ćą Ćą Ćą Ćą n
n2
0 0
0
0 , gdy n-parzyste
2
= śąśą-1źąn-1źą= 4
- , gdy n-nieparzyste
Ćą n2
{
Ćą n2
- 31 -
zatem
"
Ćą
4 1
f *śą xźą= - cosśą[śą2 n-1źą x]źą dla x"[-Ćą ,Ćą]
"
2 Ćą
śą2 n-1źą2
n=1
"
Ćą
4 1
a stąd f śą xźą= - cosśą[śą2 n-1źą x]źą dla x"[0,Ćą].
"
2 Ćą
śą2 n-1źą2
n=1
- 32 -
Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera.
Wzory Eulera
eizƒÄ…e-iz
cos z=
2
eiz-e-iz
sin z=
2i
nĆą x
zachodzą " z"! , zatem w szczególności dla z= , gdzie x"!.
l
StÄ…d
nĆą x n Ćą x
i -i
nĆą x
1
l l
śą źą
cos = e ƒÄ…e
l 2
nĆą x nĆą x n Ćą x nĆą x
i -i i -i
nĆą x
1 i
l l l l
śą źą śą źą
sin = e -e = -e ƒÄ…e
l 2i 2
i szereg trygonometryczny Fouriera
a0 "
nĆą x nĆą x
ƒÄ… an cos ƒÄ…bnsin
"
śą źą
2 l l
n=1
można zapisać w postaci
a0 " an-i bn i n Ćą x anƒÄ…i bn -i n Ćą x
l l
ƒÄ… e ƒÄ… e
"
śą źą
2 2 2
n=1
ÜÄ… ÜÄ… ÜÄ…
c0 cn c-n
to znaczy
a0
c0=
2
n Ćą x n Ćą x
"
i -i an-i bn
l l
cn= , n"!
c0ƒÄ… śącn e ƒÄ…c-n e źą , gdzie
"
2
n=1
{ anƒÄ…i bn
c-n=
2
lub krótko
n Ćą x
n=ƒÄ…"
i
l
cn e ,
"
n=-"
nĆą x
N
i
l
gdzie powyższy szereg jest ciągiem sum cząstkowych S śą xźą= cn e .
"
N
n=-N
Jest to postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera(krótko zespolony
szereg Fouriera).
Jeśli f spełnia warunki Dirichleta w [-l , l ] , to jest rozwijalna w szereg zespolony
Fouriera i, podobnie jak wyżej, można wyprowadzić wzory na współczynniki Fouriera.
l n Ćą x
-i
1
l
cn= f śą xźąe dx , dla n"$!
+"
2 l
-l
- 33 -
Uwaga
f 2 l
Jesli dodatkowo jest funkcjÄ… okresowÄ… o okresie , to
2l nĆą x
-i
1
l
cn= f śą xźąe dx dla n"$!.
+"
2l
0
- 34 -