Szereg Fouriera
Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg postaci
a0 "
(1) + cos nx + bn sin nx)
"(an
2
n=1
gdzie a0, an, bn są pewnymi stałymi.
Szeregiem Fouriera odpowiadającym danej funkcji f całkowalnej w przedziale -Ą ,Ą nazywamy
taki szereg trygonometryczny, którego współczynniki zwane współczynnikami Eulera-Fouriera
obliczono wg wzorów:
Ä„
1
a0 = (x)dx
+"f
Ä„
-Ä„
Ä„
1
(2) an = (x)cos nxdx
+"f
Ä„
-Ä„
Ä„
1
bn = (x)sin nxdx
+"f
Ä„
-Ä„
dla n = 1, 2, 3...
Szereg Fouriera odpowiadający danej funkcji f może być zbieżny (i to niekoniecznie do f (x) ) lub
rozbieżny.
Szereg trygonometryczny Fouriera
Trygonometryczny szereg Fouriera dla przebiegów okresowych ma postać:
"
f (t) = a0 + cos kÉ0t + bk sin kÉ0t)
"(ak
k =1
T
2 - współczynniki widma parzystego
2
ak =
+"x(t) cos(kÉ0t)dt
T
T
-
2
T
2 - współczynniki widma nieparzystego
2
bk =
0
+"x(t)sin(kÉ t)dt
T
T
-
2
Trygonometryczny szereg Fouriera jest równoważny wykładniczemu szeregowi Fouriera i zawsze
postać wykładniczą można przekształcić do postaci trygonometrycznej i odwrotnie. Wynika to z
faktu, że każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej.
Amplituda i faza harmonicznej
2 2
ak cos kÉ0t + bk sin kÉ0t = ak + bk sin(kÉ0t + ¨k )
gdzie:
bk ak
cos ¨k = sin ¨k =
2 2 2 2
ak + bk ak + bk
lub
2 2
ak cos kÉ0t + bk sin kÉ0t = ak + bk cos(kÉ0t +Ńk )
gdzie:
ak bk
cosŃk = sinŃk =
2 2 2 2
ak + bk ak + bk
podstawiajÄ…c za
2 2
hk = ak + bk
otrzymamy inną postać szeregu trygonometrycznego Fouriera:
" "
f (t) = a0 + sin(kÉ0t + ¨k ) f (t) = a0 + cos(kÉ0t +Ńk )
"hk "hk
k =1 k =1
hk  amplituda k-tej harmonicznej, Èk, Ńk  faza poczÄ…tkowa k-tej harmonicznej, É0-pulsacja podstawowa
Widmo sygnału
Funkcja okresowa o okresie T rozłożona w szereg Fouriera zawiera składowe o
czÄ™stotliwoÅ›ciach É0, 2É0, 3É0...WartoÅ›ci poszczególnych skÅ‚adowych sÄ… równe współczynnikom
szeregu Fouriera. Układ współczynników odpowiadających poszczególnym częstotliwościom
tworzy tzw. widmo częstotliwościowe. Istnieją więc dwa sposoby przedstawiania funkcji: w
dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości.
Dla przedstawienia funkcji w dziedzinie częstotliwości potrzebne są dwa widma: widmo
amplitudowe i widmo fazowe.
Widmo amplitudowe rzeczywistej funkcji okresowej jest symetryczne względem osi pionowej
przechodzącej przez początek układu (jest to funkcja parzysta). Widmo fazowe jest funkcją
symetryczną względem początku układu (funkcja nieparzysta).
ICkI
2A
2A
2A
3
2A
3 2A
15 15
2A 2A
35 35
-6 -4 -2 0 2 4 6
k
Widmo amplitudowe
-6 -4 -2
i fazowe wyprostowanego
0 2 4 6
sygnału sinusoidalnego
Szereg wykładniczy Fouriera
Warunki Dirichleta dla funkcji f(t):
1. funkcja f(t) musi posiadać skończone wartości maksimów i minimów w każdym
skończonym przedziale
2. funkcja f(t) musi posiadać skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym
przedziale
3. funkcja f(t) musi być bezwzględnie całkowalna
Dowolną, spełniającą warunki Dirichleta funkcję f(t) w przedziale (t0, t0+T) można przedstawić za
pomocą sumy funkcji wykładniczych:
"
jkÉ0t
2Ä„
f (t) = t0 +
"c Å"e
k
dla t0 < t < t0+T
É0
k =-" 1
jkÉ0t
ck =
+"f (t)Å"e- dt
Współczynniki ck szeregu Fouriera przyjmują postać: T
t0
Współczynnik ck otrzymujemy poprzez aproksymację funkcji zespolonych w określonym przedziale. Współczynniki ck
wyznaczone zostały z warunku minimalizacji błędu średniokwadratowego.
+"f (x)g(x)dx =+"v'(x)u(x)dx =v(x)u(x) -+"v(x)u'(x)dx
Przykład 4.
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x2 .
Przedłużając w sposób 2Ą-okresowy naszą funkcję, otrzymujemy funkcję spełniającą założenia
twierdzenia. Liczymy kolejno wg (2):
Ä„
1
2
a0 = dx
+"x
Ä„
-Ä„
Ä„
1
2
an = cos nxdx
+"x
Ä„
-Ä„
Ä„
1
2
bn = sin nxdx
+"x
Ä„
-Ä„
Zatem, zgodnie z (1), dostajemy dla każdego x " - Ą ,Ą
"
1
2 n
S(x) = Ä„ + 4
"(-1) cos nx = x2
3 n2
n=1
Kładąc x = 0 otrzymujemy po prostych przekształceniach ciekawy wynik:
"
1 1
n+1 2
"(-1) n2 = 12 Ä„
n=1