Równania różniczkowe czastkowe,
ą
szeregi Fouriera i przestrzenie Hilberta
Notatki do wyk
ladu
przygotowa
l:
Lech Jakóbczyk
Instytut Fizyki Teoretycznej
1 Szeregi Fouriera i przestrzenie Hilberta
1.1 Wstep
ą
Równaniem różniczkowym czastkowym nazywamy równanie postaci
ą
"u "u "2u
F (x, y, . . . , u, , . . . , , . . .) =0
"x "y,
"x2
"u
Równanie jest liniowe jeśli zależy liniowo od u, , . . . ze wspó
lczynnikami zależnymi tylko
"x
od zmiennych niezależnych. W dalszym ciagu bedziemy sie zajmować równaniami lin-
ą ą ą
iowymi rzedu drugiego
ą
n n

"2u "u
Aij + Bi + Fu =0
"xi"xj i=1 "xi
i,j=1
Rozważmy równanie
"u "u
- =0
"x "y
Podstawiajac � = x + y, � = x - y dostajemy
ą
"u
=0
"�
To oznacza, że u zależy jedynie od sumy x + y, jest wiec postaci
ą
u(x, y) =f(x + y)
gdzie f jest dowolna funkcja różniczkowalna. Widać z tego elementarnego przyk
ladu,
ą ą ą
że ogólne rozwiazanie równania różniczkowego czastkowego zależy na ogó od dowolnych
l
ą ą
funkcji a nie od dowolnych sta jak by w przypadku równań zwyczajnych. Musimy
lych lo
wiec na pewne warunki dodatkowe. Rozważmy przyk
lożyć lad:
ą
"u "2u
- = 0, x " (0, L), t >0 równanie różniczkowe
"t
"x2
u(x, 0) = sin x, x " [0, L], warunek poczatkowy
ą
u(0, t) = u(L, t) =0, t e" 0, warunki brzegowe
Otrzymamy w ten sposób zagadnienie brzegowo-poczatkowe, które bedziemy rozważać na
ą ą
tym wyk
ladzie. Zagadniena te bedziemy studiować dla tzw klasycznych równań fizyki
ą
matematycznej a mianowicie dla:
1. Równania falowego:
"2u "2u "2u "2u
- v2( + + ) =0
"t2 "x2 "y2 "z2
2. Równania ciep
la:
"u "2u "2u "2u
- k( + + ) =0
"t
"x2 "y2 "z2
3. Oraz równania Laplace a:
"2u "2u "2u
+ + =0
"x2 "y2 "z2
2
1.2 Jednowymiarowe równanie falowe. Metoda
rozdzielania zmiennych.
Rozważmy równanie
"2u "2u
- v2 =0 (1.2.1)
"t2 "x2
dla przypadku skończonego odcinka [0, L] z warunkami brzegowymi
u(0, t) =u(L, t) =0
Metoda rozdzielania zmiennych polega na za
lożeniu, że rozwiazanie jest postaci
ą
u(x, t) =y(x)z(t)
Po podstawieniu do równania (1.2.1) otrzymamy
y 1 z
=
y z
v2
Lewa strona tej równości zależy jedynie od x zaś prawa, jedynie od t. Ponieważ sa równe,
ą
to musi istnieć sta (rzeczywista)  taka, że
la
y 1 z
= = 
y z
v2
To znaczy
y = y, z = v2z
oraz y(0) = y(L) =0.
Uwaga 1.1 Za ladu,
lożyliśmy, że liczba  jest rzeczywista. W dalszym ciagu wyk pokażemy,
ą
że  musi być rzeczywista.
Szukamy wiec rozwiazań równania zwyczajnego
ą ą
y - y =0, y(0) = y(L) =0
Rozważmy trzy przypadki:
>0
Ogólne rozwiazanie równania jest postaci:
ą
" "
x
y(x) =c1e + c2e- x
Jeśli chcemy spe
lnienia warunków brzegowych, to dostaniemy
c1 + c2 = 0
" "

e c1 + e- c2 = 0
Jest to uk równań na sta c1, c2. Nietrywialne rozwiazanie istnieje, jeśli wyznacznik
lad le
ą
macierzy utworzonej ze wspó
lczynników jest równy zero. Ale

" "
1 1

" "
det = e-  - e =0


e e- 
3
Wobec tego c1 = c2 =0.
 =0.
Rozwiazanie jest postaci
ą
y(x) =c1x + c2
Warunki brzegowe prowadza ponownie do rozwiazania zerowego.
ą ą
<0.
W tym przypadku
" "
y(x) =c1 cos -x + c2 sin -x
y(0) = 0 daje c1 = 0. Tak wiec
ą
"
y(L) =c2 sin -L =0
"
czyli -L = nĄ. Równanie ma niezerowe rozwiazanie jedynie wtedy, gdy
ą
n2Ą2
 = n = - , n =1, 2, . . .
L2
Rozwiazania sa postaci
ą ą
nĄx
yn(x) = sin
L
Drugie równanie
n2Ą2
z = -v2 z
L2
ma rozwiazania
ą
nĄvt nĄvt
zn(t) =An cos + Bn sin
L L
Wniosek 1.1 Równanie (1.2.1) z warunkami brzegowymi u(0, t) =u(L, t) =0 ma nieskończona
ą
rodzine rozwiazań
ą ą
nĄvt nĄvt nĄx
un(x, t) =(An cos + Bn sin ) sin
L L L
Ogólne rozwiazanie jest wiec dane poprzez nieskończony szereg
ą ą
"

nĄvt nĄvt nĄx
u(x, t) = (An cos + Bn sin ) sin
L L L
n=1
Uwaga 1.2 Jeśli chcemy wyznaczyć sta An, Bn, to musimy wziać pod uwage warunki
le
ą ą
"u(x, 0). For-
poczatkowe. W przypadku równania falowego ustalić musimy u(x, 0) oraz
ą
"t
malnie, w pierwszym przypadku dostaniemy
"

nĄx
u(x, 0) = An sin
L
n=1
zaś w drugim
"

"u nĄv nĄx
(x, 0) = Bn sin
"t L L
n=1
Oba szeregi sa szczególnymi przypadkami szeregów Fouriera.
ą
4
1.3 Szeregi Fouriera.
Szeregiem Fouriera nazywamy szereg postaci
"
a0
+ (an cos nx + bn sin nx), x " [-Ą, Ą]
2
n=1
Przypuśćmy teraz, że suma tego szeregu jest funkcja f(x), oraz że możemy ca kować szereg
l
ą
wyraz po wyrazie. Chcemy teraz ze znajomości f(x) odtworzyć liczby an, bn. Ponieważ
Ą
sin nx cos mx dx = 0
-Ą

Ą
Ą : n = m =0

sin nx sin mx dx =
0 : n = m

-Ą

Ą
Ą : n = m =0

cos nx cos mx dx =
0 : n = m

-Ą
zaś dla m = n = 0 ta ostatnia ca wynosi 2Ą, ca wyraz po wyrazie otrzymamy
lka lkujac
ą

Ą
Ąa0 : m =0
f(x) cos nx dx =
Ąan : n =0

-Ą
Ą
f(x) sin nx dx = Ąbn, n =1, 2, . . .
-Ą
Dostajemy wiec nastepujace formu
ly
ą ą ą
Ą
1
an = f(x) cos nx dx, n =0, 1, 2, . . . (1.3.1)
Ą
-Ą
Ą
1
bn = f(x) sin nx dx, n =1, 2, . . . (1.3.2)
Ą
-Ą
Powstaje nauralne pytanie. Jeśli znamy funkcje f(x), obliczymy wspó
lczynniki Fouriera
ą
an, bn i utworzymy szereg
"
a0
+ (an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
to jak dobrze ten szereg przybliża funkcje wyjściowa? Rozważmy przyk Wez
my funkcje
lad.
ą ą ą
f(x) =x. Ponieważ ta funkcja jest nieparzysta, an =0, zaś
2
bn =(-1)n+1
n
5
Tak wiec
ą
"

(-1)n+1
x =2 sin nx (1.3.3)
n
n=1
Jeśli wykreślić wykres funkcji powsta ze zsumowania np 5 pierwszych wyrazów szeregu
lej
(1.3.3), to otrzymamy dość dobra zgodność z wykresem f(x) = x, ale oczywiście poza
ą
punktami x = -Ą, x = Ą.
Uwaga 1.3 Z tego prostego przyk widzimy, że:
ladu
1. Wspó
lczynniki Fouriera zależa jedynie od wartości f(x) w przedziale [-Ą, Ą].
ą
2. Szereg Fouriera jest funkcja periodyczna o okresie 2Ą, nie może wiec reprezentować
ą ą ą
funkcji f(x) dla wszystkich x, reprezentuje raczej periodyczne rozszerzenie funkcji
f(x).
Jeżeli f(x) jest funkcja parzysta na odcinku [-Ą, Ą], to bn = 0, oraz
ą ą
Ą
2
an = f(x) cos nx dx
Ą
0
Funkcja ma wtedy rozwiniecie w szereg cosinusów
ą
"
a0
f(x) = + an cos nx
2
n=1
Jeśli f(x) jest nieparzysta na odcinku [-Ą, Ą], to an = 0, oraz
Ą
2
bn = f(x) sin nx dx
Ą
0
Funkcja ma wtedy rozwiniecie w szereg sinusów
ą
"

f(x) = bn sin nx
n=1
Przypuśćmy teraz, że funkcja f(x) jest określona jedynie na przedziale [0, Ą]. Możemy
rozszerzyć definicje f(x) do calego przedzia [-Ą, Ą] na dwa sposoby:
lu
ą
1. rozszerzenie nieparzyste: dla Ąf(x) =-f(-x)
2. rozszerzenie parzyste: dla Ą f(x) =f(-x)
6
W pierwszym przypadku mówimy o szeregu Fouriera sinusów, zaś w drugim
o szeregu Fouriera cosinusów.
Przyk
lad:
Niech f(x) =x, x " [0, Ą]. Rozszerzenie parzyste fe(x) =|x|. Tak wiec
ą
"

Ą 4 cos(2n +1)x
x = - , x " [0, Ą]
2 Ą (2n +1)2
n=1
Zaś rozszerzenie nieparzyste fo(x) =x prowadzi do
"

(-1)n+1
x =2 sin nx, x " [0, Ą]
n
n=1
Zespolona postać szeregu Fouriera dostaniemy gdy zastosujemy wzory Eulera
ą
1
sin x = (eix - e-ix)
2i
1
cos x = (eix + e-ix)
2
Wtedy
"

f(x) = c0 + (cneinx + c-ne-inx)
n=1
"

= cneinx
n=-"
gdzie
Ą
1
cn = f(x)e-inx dx, n " Z
Z
2Ą
-Ą
1.4 Jednowymiarowe równanie falowe. c.d.
Wróćmy do zagadnienia brzegowo-poczatkowego
ą
"2u "2u
- v2 = 0
"t2 "x2
u(0, t) =u(L, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
"u
(x, 0) = g(x)
"t
Jak wiemy, rozwiazanie równania spe
lniajace warunki brzegowe można przedstawić w
ą ą
postaci formalnego szeregu

"

nĄvt nĄvt nĄx
u(x, t) = An cos + Bn sin sin
L L L
n=1
7
Dla t = 0 otrzymamy

nĄx
u(x, 0) = An sin
L
n=1
oraz po zróżniczkowaniu wyraz po wyrazie
"

"u nĄv nĄx
(x, 0) = Bn sin
"t L L
n=1
Widzimy, że sa to szeregi Fouriera sinusów dla funkcji f(x) i g(x). Jeśli wiec warunki
ą ą
poczatkowe da sie rozwinać w szeregi sinusów, to otrzymamy
ą ą ą
L
2 nĄx
An = f(x) sin dx
L L
0
L
2 nĄx
Bn = g(x) sin dx
nĄv L
0
Wniosek 1.2 Rozwiazanie zagadnienia brzegowo-poczatkowego dla jednowymiarowego równania
ą ą
falowego dane jest (formalnym) szeregiem
Ą#�# ś# �# ś# ń#
L L
"

2 nĄy nĄvt 2 nĄy nĄvt nĄx
Ł#�# �# Ś#
u(x, t) = f(y) sin dy # cos + g(y) sin dy # sin sin
L L L nĄv L L L
n=1
0 0
Bedziemy teraz chcieli uzasadnić, że ten formalny szereg definiuje funkcje która spe
lnia
ą ą
równanie różniczkowe oraz warunki brzegowe i poczatkowe. Przytoczymy bez dowodu
ą
nastepujace twierdzenie:
ą ą
Twierdzenie 1.1 Niech f(x) bedzie funkcja ciag o okresie 2Ą i niech f (x) bedzie
la
ą ą ą ą ą
przedzialami ciag w [-Ą, Ą]. J�sli dodatkowo f(-Ą) = f(Ą), to szereg Fouriera f(x)
la
ą
jest jednostajnie i bezwzglednie zbieżny.
ą
Zauważmy, że
"

nĄvt nĄx
u1(x, t) = An cos sin
L L
n=1
jest formalnym rozwiazaniem
ą
"2u "2u
- v2 = 0
"t2 "x2
u(0, t) =u(L, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
"u
(x, 0) = 0
"t
zaś
"

nĄvt nĄx
u2(x, t) = Bn sin sin
L L
n=1
8
jest formalnym rozwiazaniem
ą
"2u "2u
- v2 = 0
"t2 "x2
u(0, t) =u(L, t) = 0
u(x, 0) = 0
"u
(x, 0) = g(x)
"t
Tak wiec u(x, t) =u1(x, t) +u2(x, t). Za óżmy, że f(x) oraz f (x) sa ciag na [0, L] oraz
l le
ą ą ą
f(0) = f(L) = 0. Na podstawie Twierdzenia 1.1, szereg Fouriera dla f(x) jest zbieżny
bezwzglednie i jednostajnie na odcinku [0, L]. Ponieważ
ą
nĄx nĄvt 1 nĄ 1 nĄ
sin cos = sin (x - vt) + sin (x + vt)
L L 2 L 2 L
u1(x, t) można zapisać jako
" "

1 nĄ 1 nĄ
u1(x, t) = An sin (x - vt) + An sin (x + vt)
2 L 2 L
n=1 n=1
Zdefiniujmy
"

nĄx
F (x) = An sin
L
n=1
F (x) jest nieparzystym periodycznym rozszerzeniem f(x):
F (x) = f(x) x " [0, L]
F (-x) = -F (x) dla wszystkich x
F (x ą 2L) = F (x)
Ponieważ f(x) jest ciag na [0, L] oraz spe f(0) = f(L) = 0, F (x) jest ciag dla
la lnia la
ą ą
dowolnych x. Wtedy
1
u1(x, t) = [F (x - vt) +F (x + vt)]
2
Pokażemy, że warunki brzegowe sa spe
lnione. Istotnie,
ą
1 1
u1(0, t) = [F (-vt) +F (vt)] = [-F (vt) +F (vt)] = 0
2 2
1
u1(L, t) = [F (L - vt) +F (L + vt)]
2
1
= [F (-L - vt) +F (L + vt)] = 0
2
Ponieważ
1
u1(x, 0) = [F (x) +F (x)] = F (x)
2
= f(x) dla x " [0, L]
9
pierwszy z warunków poczatkowych jest spe la
lniony. Ponieważ f (x) jest ciag na [0, L],
ą ą

F (x) istnieje i jest ciag dla wszystkich x (jako parzyste rozszerzenie f (x)). Wobec tego
la
ą
"u1 1

= [-vF (x - vt) +vF (x + vt)]
"t 2
"u1 1

(x, 0) = [-vF (x) +vF (x)] = 0
"t 2
Niech dodatkowo funkcja f bedzie ciag na [0, L] oraz niech f (0) = f (L) = 0. Wtedy
la
ą ą

F istnieje i jest ciag Dlatego
la.
ą
"2u1 v2

= [F (x - vt) +F (x + vt)]
2
"t2
"2u1 1

= [F (x - vt) +F (x + vt)]
2
"x2
oraz
"2u1 "2u1
- v2 =0
"t2 "x2
Niech teraz g, g beda ciag na [0, L] oraz niech g(0) = g(L) = 0. Jeśli
le
ą ą ą
nĄv
Cn = Bn
L
to
"

L Cn nĄv nĄx
u2(x, t) = sin t sin
Ąv n L L
n=1
Warunki na
lożone na g pozwalaja różniczkować ten szereg wyraz po wyrazie
ą
"

"u2 nĄv nĄx
= Cn cos t sin
"t L L
n=1

" "

1 nĄ nĄ
= Cn sin (x - vt) + Cn sin (x + vt)
2 L L
n=1 n=1
1
= [G(x - vt) +G(x + vt)]
2
gdzie
"

nĄx
G(x) = Cn sin
L
n=1
jest nieparzystym periodycznym rozszerzeniem g(x). Ca wzgledem t otrzymamy
lkujac
ą ą
t t
1 1
u2(x, t) = G(x - vs)ds + G(x + vs)ds
2 2
0 0
x+vt

1
= G(�)d�
2v
x-vt
10
"u2
Oczywiście u2(x, 0) = 0 oraz (x, 0) = G(x) =g(x) dla x " [0, L]. Ponadto
"t
Ą# ń#
t t
1
Ł#
u2(0, t) = G(-vs)ds + G(vs)dsŚ# =0
2
0 0
Ą# ń#
t t
1
Ł#
u2(L, 0) = G(L - vs)ds + G(vs)dsŚ# =0
2
0 0
ponieważ G(x) jest nieparzysta. g jest ciag na [0, L] wiec G istnieje, oraz
la
ą ą
"2u2 v
= [-G (x - vt) +G (x + vt)]
2
"t2
"

"u2 1 nĄv nĄx
= Cn sin t cos
"x v L L
n=1
"

1 nĄ nĄ
= Cn[- sin (x - vt) + sin (x + vt)]
2v L L
n=1
1
= [-G(x - vt) +G(x + vt)]
2v
"2u2 1
= [-G (x - vt) +G (x + vt)]
2v
"x2
wiec
ą
"2u2 "2u2
- v2 =0
"t2 "x2
Twierdzenie 1.2 Jeśli u(x, t) jest klasy C2 ze wzgledu na x i t, to istnieje co najwyżej
ą
jedno rozwiazanie zagadnienia brzegowo-poczatkowego dla jednowymiarowego równania
ą ą
falowego.
Dowód: Przypuśćmy, że istnieja dwa rozwiazania u1 i u2 i niech u = u1 - u2. Wtedy u
ą ą
jest rozwiazaniem równania falowego z zerowymi warunkami brzegowymi i poczatkowymi.
ą ą
Pokażemy, że u(x, t) =0 tożsamościowo. Rozważmy funkcje
ą
2 2
L
1 "u "u
I(t) = v2 + dx
2 "x "t
0
oraz

L
dI "u "2u "u "2u
= v2 + dx
dt "x "x"t "t
"t2
0
Ca przez cześci, dostajemy
lkujac
ą ą
L
L L
"u "2u "u "u "u "2u

v2 � dx = v2 � - v2 � dx

"x "x"t "x "t "t
"x2
0
0 0
11
"u(0, t) = 0 oraz ponieważ u(L, t) = 0, to "u(0, t) = 0. Tak wiec
Ponieważ u(0, t) = 0, to
ą
"t "t
L L
"u "2u "u "2u
v2 � dx = - � dx
"x "x"t "t
"x2
0 0
oraz

L
dI "u "2u "2u
= - v2 dx =0
dt "t
"t2 "x2
0
czyli
2 2
L
1 "u "u
I(t) =I(0) = v2 + dx
2 "x "t
t=0
0
"u(x, 0) = 0, ponadto "u(x, 0) = 0, wiec
Ponieważ u(x, 0) = 0, to
ą
"x "t
I(t) =I(0) = 0
"u "u
co jest możliwe jeśli = 0, = 0, czyli gdy u(x, t) = const. Ale u(x, 0) = 0, czyli
"x "t
u(x, t) =0 tożsamościowo.
1.5 Przestrzenie liniowe z iloczynem skalarnym.
Zbiór V nazywamy przestrzenia liniowa nad cia I jeśli:
V lemC
ą ą
� w zbiorze V określone zosta dodawanie + w taki sposób, że (V +) jest grupa
V lo V,
ą
przemienna,
ą
�� w zbiorze V określone zosta mnożenie przez liczby ą "C
V lo I
w taki sposób, że spe lasności tych dzia (znane z kursu algebry).
lnione sa oczywiste w lań
ą
Przyk
lady:
1. V =IRn, x =(�1, . . . , �n), y =(�1, . . . , �n)
V
x + y =(�1 + �1, . . . , �n + �n), ąx =(ąx1, . . . , ąxn)
2. V =Cn
V I
3. V = C[0, 1] = zbiór wszystkich funkcji ciag na [0, 1]
V lych
ą
f, g " C[0, 1], (f + g)(t) =f(t) +g(t), (ąf)(t) =ąf(t)
Elementy x1, . . . , xn sa liniowo niezależne jeśli z równości
ą
ą1x1 + � � � + ąnxn =0
wynika
ą1 = � � � = ąn =0
12
Jeżeli w przestrzeni liniowej V istnieje taki uk wektorów liniowo niezależnych e1, . . . , en, . . .,
V lad
że każdy x " V da sie przedstawić jako
V
ą
x = ą1e1 + � � � + ąnen
to przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, a uk e1, . . . , en jest baza algebraiczna tej
V lad
ą ą
przestrzeni. Jeśli natomiast V nie jest skończenie wymiarowa, to dla dowolnego n istnieje
V
n liniowo niezależnych elementów tej przestrzeni. Mówimy wtedy, że V jest nieskończenie
V
wymiarowa.
Przyk
lad:
Niech V = C[0, 1]. Uk funkcji 1, x, x2, . . . , xn jest liniowo niezależny dla dowolnego n.
V lad
Definicja 1.1 Niech V bedzie zespolona przestrzenia liniowa.Iloczynem skalarnym w V
V V
ą ą ą ą
nazywamy funkcje �, � : V � V C spe
V V I lniajaca:
ą ą ą
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. ąx, y = ą x, y
4. x, x > 0 dla x =0, x, x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x =0.

Przyk
lady:
3

1. V =IR3, x, y = xkyk
V
k=1
3

2. V =Cn, x, y = xkyk
V I
k=1
3. V - funkcje na [-Ą, Ą], które sa ca
V lkowalne
ą
Ą
1
f, g = f(x)g(x) dx
Ą
-pi
Uwaga 1.4 Używajac iloczynu skalarnego z punktu (3) mamy
ą
an = f, cos nx , bn = f, sin nx
Twierdzenie 1.3 Dla dowolnych x, y " V zachodzi
V
| x, y |2 d" x, x y, y
Dowód: Ponieważ
x + y, x + y e"0
dla dowolnej liczby  "C, to przy wyborze
I
x, y
 = -
y, y
13
dostajemy
| x, y |2
x, y - e" 0
y, y
Twierdzenie 1.4

||x|| = x, x
ma nastepujace w lasności:
ą ą
1. ||x|| e" 0, ||x|| =0 wtedy i tylko wtedy, gdy x =0
2. ||ąx|| = |ą| ||x||
3. ||x + y|| d" ||x|| + ||y||
Dowód: (3)
||x+y||2 = x+y, x+y d"||x||2+||y||2+2| x, y | d" ||x||2+||y||2+2||x|| ||y|| =(||x||+||y||)2
Uwaga 1.5 Używajac normy || � || można wprowadzić odleg w przestrzeni V
lość V:
ą
d(x, y) =||x - y||
W przypadku funkcji na [-Ą, Ą] otrzymamy odleg w sensie średnio-kwadratowym
lość


Ą

1

d(f, g) = |f(x) - g(x)|2dx
Ą
-Ą
Definicja 1.2 Ciag fn elementów przestrzeni V spe warunek Cauchy ego jeśli
V lnia
ą
" > 0 "N( ) : n, m > N( ) d(fn, fm) <
Przestrzeń (V , ), w której każdy ciag spe
V, lniajacy warunek Cauchy ego jest zbieżny
ą ą
nazywamyprzestrzenia Hilberta.
ą
Niech -" d" a < b d" +" i niech w(x) bedzie dodatnia funkcja rzeczywista na [a, b].
ą ą ą ą
Zdefiniujmy
b
L2(a, b; w) ={f : |f(x)|2w(x) dx < "}
a
Twierdzenie 1.5 L2(a, b; w) jest zespolona przestrzenia liniowa.
ą ą ą
Dowód: Jeśli f " L2(a, b; w) i  " C, to oczywiście f " L2(a, b; w). Niech teraz f, g "
I
L2(a, b; w). Ponieważ
(|| -|�|)2 = ||2 - 2|| |�| + |�|2 e" 0
to
| + �|2 d" 2(||2 + |�|2)
dla dowolnych liczb zespolonych , �. Wiec
ą
b b b
|f(x) +g(x)|2w(x) dx d" 2 |f(x)|2w(x)dx +2 |g(x)|2w(x)dx < "
a a a
14
Twierdzenie 1.6 Wzór
b
f, g = f(x)g(x)w(x)dx
a
definiuje iloczyn skalarny w L2(a, b; w).
Dowód: Jeśli f, g " L2(a, b; w), to
Ą# ń#
b b b b
1
Ł#
| fgwdx| d" |f| |g|wdx d" |f|2wdx + |g|2wdxŚ# < "
2
a a a a
f, g spe w
lnia lasności iloczynu skalarnego jeśli rozważać klasy funkcji równych prawie
wszedzie.
ą
Definicja 1.3 Dwa elementy f, g " V sa ortogonalne, jeśli f, g = 0. Ukladem ortog-
V
ą
onalnym w V nazywamy każdy zbiór elementów V które sa parami ortogonalne. Jeżeli
V V,
ą
wszystkie elementy uk maja d lad
ladu lugość 1, to uk nazywa sie ukladem ortonormalnym.
ą ą
Przyk
lad:
Ą

1
V = L2(-Ą, Ą), f, g = f(x)g(x)dx.
V
Ą
-Ą
Uk
lad
1
"
, cos nx, sin nx, n " IN
2
jest uk ortonormalnym.
ladem
Niech e1, . . . , en, . . . bedzie uk V.
ladem ortonormalnym w przestrzeni V Przypuśćmy, że
ą
"

szereg ąnen jest zbieżny do pewnego f " V Wtedy
V.
n=1
m m

ąnen, ek = ąn en, ek = ąk
n=1 n=1
oraz
m

ąk = lim ąnen, ek = f, ek
m"
n=1
Liczby f, ek ; k = 1, 2, . . . nazywamy wspó
lczynnikami Fouriera elementu f wzgledem
ą
uk ortonormalnego e1, . . . , en, . . ., a szereg
ladu
"

f, en en
n=1
nazywamy szeregiem Fouriera elementu f.
Twierdzenie 1.7 Jeżeli e1, . . . , en, . . . jest ukladem ortonormalnym w V to dla dowol-
V,
"

nego f " V szereg | f, en |2 jest zbieżny oraz zachodzi
V
n=1
"

| f, en |2 d"||f||2 (nierówność Bessela)
n=1
15
która przechodzi w równość (Parsevala) wtedy i tylko wtedy, gdy
"

f, en en = f
n=1
Dowód:
m m m

||f - f, ek ek||2 = f - f, ek ek, f - f, ek ek
k=1 k=1 k=1
m m

= f, f - f, f, ek ek - f, ek ek, f
k=1 k=1

+ f, ek ek, f, el el
k,l=1
m

= f, f -2 | f, ek |2 + | f, ek |2
k=1 k=1
m

= ||f||2 - | f, ek |2 e" 0
k=1
Wobec tego
m

| f, ek |2 d"||f||2
k=1
oraz
"

| f, ek |2 d"||f||2
k=1
Równość Parsevala jest równoważna równości
"

f = f, ek ek
k=1
czyli zbieżności szeregu Fouriera elementu f do tego elementu.
Twierdzenie 1.8 Niech V bedzie przestrzenia Hilberta i niech e1, . . . , ek, . . . bedzie uk
V ladem
ą ą ą
" "

ortonormalnym w V Jeżeli {ąk} "l2 tzn |ąk|2 < ", to szereg ąkek jest zbieżny,
V.
k=1 k=1
oraz
" "

|| ąkek||2 = |ąk|2
k=1 k=1
Dowód: Latwo sprawdzić, że

m m

|| ąkek||2 = |ąk|2
k=1 k=1
m

Wobec zbieżności szeregu |ąk|2, istnieje N takie, że dla m, n e" N
k=1
m

|ąk|2 < 2
k=n
16
m "

Stad || ąkek|| < . Ponieważ V jest przestrzenia Hilberta, szereg ąkek jest zbieżny.
V
ą ą
k=n k=1
Wniosek 1.3 Jeżeli e1, . . . , ek, . . . jest ukladem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta V
V,
"

to dla każdego f " V szereg Fouriera f, ek ek jest zbieżny, oraz
V
k=1
" "

|| f, ek ek||2 = | f, ek |2 d"||f||2
k=1 k=1
Definicja 1.4 Uk ortonormalny e1, . . . , ek, . . . jest baza przestrzeni Hilberta V jeśli dla
lad V
ą
dowolnego f " V
V
"

| f, ek |2 = ||f||2
k=1
Uwaga 1.6 Można pokazać, że uk
lad
1
"
, cos nx, sin nx
2
jest baza przestrzeni L2(-Ą, Ą). Tak wiec dla dowolnej funkcji f " L2(-Ą, Ą) jej szereg
ą ą
Fouriera jest zbieżny do f ale w sensie przestrzeni L2.
2 Operatory różniczkowe na przestrzeniach L2
2.1 Operator liniowy i jego dziedzina
Definicja 2.1 Operatorem liniowym L na przestrzeni Hilberta H = L2(a, b; w) nazywamy
odwzorowanie, które każdej funkcji f z pewnej podprzestrzeni D(L) �"H(dziedziny op-
eratora L) przyporzadkowuje inna funkcje L(f) " L2(a, b; w) w taki sposób, że
ą ą ą
"f, g " D(L), "ą, � "C L(ąf + �g) =ąL(f) +�L(g)
I
Operator liniowy jest operatorem różniczkowym jeśli jest zadany przez pewne liniowe
wyrażenie różniczkowe l a jego dziedzina zawiera funkcje, które musza spe
lniać:
ą
1. warunki zgodności z l (tzn l(f) "H),
2. warunki brzegowe.
Aby wyjaśnić definicje rozważmy konkretny przyk Niech H = L2(0, 1) i niech l(f) =
lad.
ą
2
-d f . Zdefiniujmy operator L odpowiadajacy l poprzez określenie jego dziedziny D(L):
ą
dx2
D(L) := funkcje z L2(0, 1) zgodne z l i spe
lniajace warunki brzegowe f(0) = f(1) = 0
ą
Musimy zwrócić uwage na nastepujace punkty:
ą ą ą
1. kiedy funkcja f należy do dziedziny, to operator L dzia na f zgodnie z przepisem
la
2
L(f) =-d f ,
dx2
17
2. kiedy f nie należy do D(L), L(f) nie jest zdefiniowany, nawet wtedy, gdy l(f) ist-
nieje.
Przyk
lad:
"
d2
Niech H = L2(0, 1) i niech f(x) = x. Czy funkcja f(x) jest zgodna z - ?
dx2
a. f(x) " L2(0, 1) gdyż
1 1
|f(x)|2dx = xdx =1/2
0 0
1
b. l(f) = x-3/2
4
1 1
1
|l(f)|2dx = x-3 dx = "
16
0 0
Tak wiec, l(f) " L2(0, 1).

ą
2.2 Funkcje w lasne
lasne i wartości w
Definicja 2.2 Niech H = L2(a, b; w) i niech L bedzie operatorem liniowym z dziedzina
ą ą
D(L) �"H. Liczba  " C jest wartościa w lsna operatora L jeśli istnieje taka niezerowa
I
ą ą
funkcja f " D(L), że
L(f) =f
Funkcja f o tej w lasna
lasności nazywa sie funkcja w należaca do wartości wlasnej .
ą ą ą ą ą
Zbiór wszystkich funkcji w lasnej lniony o wek-
lasnych należacych do wartości w  (uzupe
ą
tor zerowy) jest podprzestrzenia w lasna należaca do wartości wlasnej . Wymiar tej

ą ą ą ą
podprzestrzeni nazywa sie krotnościa wartości w .
lasnej
ą ą
Przyk
lad:
2
H = L2(-1, 1), m(f) =-d f
dx2
D(M) ={funkcje zgodne z m i spe
lniajace f(-1) = f(1) = 0}
ą
Szukamy rozwiazań równania
ą
d2f
- = f
dx2
Za óżmy, że  jest rzeczywista (w trakcie wyk przekonamy sie, że tak dla operatora
l ladu
ą
M musi być). W zależności od tego czy  <0,  = 0 lub  >0 otrzymamy rozwiazania
ą
ogólne postaci
" "
-x
f(x) =c1e + c2e- -x, dla <0
f(x) =c1x + c2, dla  =0
" "
f(x) =c1 cos x + c2 sin x, dla >0
Kiedy te rozwiazania należa do D(M)?
ą ą
18
a. <0
" "
-
f(-1) = c1e- - + c2e =0
" "
-
f(+1) = c1e + c2e- - =0
Ten uk równań (na sta c1, c2) ma niezerowe rozwiazanie wtedy i tylko wtedy,
lad le
ą
gdy
" "
-
e-  e
" "
det =0
-
e e- -
A tak jest dla dowolnego  < 0. Operator M nie ma wiec ujemnych wartości
ą
w
lasnych.
b.  =0
f(-1) = -c1 + c2 =0
f(+1) = c1 + c2 =0
Oczywiście c1 = c2 = 0. Operator M nie ma zerowej wartości w
lasnej.
c. >0
" "
f(-1) = c1 cos  - c2 sin  =0
" "
f(+1) = c1 cos  + c2 sin  =0
Teraz mamy warunek

" "
" " "
cos - sin 
" "
det = 2 sin  cos  = sin 2  =0
cos  sin 
który prowadzi do wniosku, że
"
2  = nĄ
czyli
n2Ą2
 = n = , n =1, 2, 3, . . .
4
Szukamy teraz funkcji w lad
lasnych. Mamy teraz uk równań
nĄ nĄ
c1 cos - c2 sin =0
2 2
nĄ nĄ
c1 cos - c2 sin =0
2 2
nĄ nĄ
Kiedy n jest parzyste, to sin =0, cos = ą1, wiec c1 =0, c2 jest dowolne np c2 =1.
ą
2 2
Mamy wtedy
nĄx
fn(x) = sin
2
Kiedy n jest nieparzyste, to c2 = 0 zaś c1 = 1. Wtedy
nĄx
fn(x) = cos
2
19
2.3 Operatory hermitowskie
Definicja 2.3 Niech L bedzie operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta H z dziedzina
ą ą
D(L).
1. L jest hermitowski jeśli
"f, g " D(L), L(f), g = f, L(g)
2. L jest dodatnio-określony jeśli jest hermitowski, oraz
"f " D(L) L(f), f e"0
3. L jest dodatni jeśli jest dodatnio-określony, oraz
L(f), f =0
wtedy i tylko wtedy, gdy f =0
Twierdzenie 2.1 Jeśli L jest operatorem hermitowskim na H, to
1. wszystkie wartości wlasne L sa rzeczywiste,

ą
2. funkcje wlasne należace do różnych wartości w
lasnych sa ortogonalne.
ą ą
Dowód:
(1) Niech L(f) =f. Ponieważ L jest hermitowski, to
L(f), f = f, L(f)
czyli
f, f = f, f
Tak wiec  f, f =  f, f . Ponieważ f =0, f, f = 0, wiec  = .

ą ą
(1) Niech L(f1) =1f1, L(f2) =2f2
L(f1, f2 = f1, L(f2)
czyli
1f1, f2 = f1, 2f2
Ponieważ 1, 2 " IR, to (1 - 2) f1, f2 = 0. Ponieważ 1 = 2, to f1, f2 .

Wniosek 2.1 Jeżeli operator L jest dodatni, to wszystkie jego wartości wlasne sa dodat-

ą
nie.
Chcemy zbadać teraz hermitowskość operatora zadanego przez wyrażenie różniczkowe
d2 d2
- . Musimy wiecej wiedzieć o dziedzinie operatorów odpowiadajacych - . Nastepujace
ą ą ą ą
dx2 dx2
twierdzenie (którego dowód wykracza poza ramy tego wyk charakteryzuje funkcje
ladu)
d2
zgodne z - w przypadku skończonego przedzia
lu.
dx2
20
Twierdzenie 2.2 Niech (a, b) bedzie skończonym przedzialem w IR. Jeżeli f(x) " L2(a, b)

ą
d2
jest zgodna z - , to f(a), f (a), f(b), f (b) sa skończone.
ą
dx2
Przyk
lad:
d2
Niech L bedzie określony na L2(0, 1) jako operator różniczkowy odpowiadajacy - .
ą ą
dx2
d2
Niech dziedzina L zawiera funkcje zgodne z - i spelniajace warunki brzegowe: f(0) =

ą
dx2
f(1) = 0. Operator L jest hermitowski. Istotnie, dla f, g " D(L)
Ą# ń#
1
1 1

d2f df df dg
Ł#
L(f), g = - gdx = - g - dxŚ#

dx dx dx
dx2
0
0 0
df df
Ponieważ f, g " D(L), to
ą
dx(0), dx(1) sa skończone, zaś g(0) = g(1) = 0. Wobec tego
1

df
g =0

dx
0
oraz
df dg
L(f), g = ,
dx dx
Z drugiej strony
dg df
f, L(g) = L(g), f = , =
dx dx
df dg
= ,
dx dx
Otrzymamy wiec
ą
L(f), g = f, L(g) "f, g " D(L)
Ponadto
L(f), f e"0
oraz jeśli L(f), f =0, to
1
|f |2 dx =0
0
czyli f =0 i f = const. Ale f " D(L), wiec f(0) = 0 czyli f = 0. Operator L jest wiec
ą ą
dodatni.
2.4 Jednowymiarowy operator Laplace a
Przez jednowymiarowy operator Laplace a rozumieć bedziemy operator należacy do klasy
ą ą
d2
operatorów różniczkowych zadanych przez wyrażnie różniczkowe - . Rozważymy dwa
dx2
przypadki przestrzeni Hilberta:
1. L2(a, b) dla skończonego przedzia [a, b] �" IR,
lu
21
2. L2(C), gdzie C jest okregiem powsta poprzez utożsamienie punktów x = a i
lym
ą
x = b
Definicja 2.4 Przez jednowymiarowy operator Laplace a -" rozumieć bedziemy jeden z
ą
nastepujacych operatorów różniczkowych:
ą ą
d2
1. H = L2(C), D(-") = wszystkie funkcje zgodne z -
dx2
d2
2. H = L2(a, b), D(-") = funkcje zgodne z - i spelniajace albo:

ą
dx2
(i) warunki brzegowe Dirichleta: f(a) =f(b) =0,
(ii) warunki brzegowe Neumanna: f (a) =f (b) =0,
(iii) mieszane warunki brzegowe: f(a) =f (b) = 0 lub f (a) =f(b) =0.
Uwaga 2.1 W przypadku przestrzeni L2(C), gdzie C jest okregiem powstalym ze  skleje-

ą
d2
nia ze soba punktów a i b, warunki zgodności z - wymagaja aby funkcje f " D(-")
ą ą
dx2
byla ciag la w raz z pochodna wkażdym punkcie. W szczególności f " D(-") musi spelniać

ą ą
f(a) =f(b), f (a) =f (b)
W tym przypadku, sa to jedyne warunki na dziedzine (C nie ma brzegu).
ą ą
W lny
lasności operatora Laplace a sa zebrane w nastepujacym twierdzeniu (którego pe
ą ą ą
dowód wykracza poza ramy tego wyk
ladu):
Twierdzenie 2.3 (1) Operator Laplace a -" jest hermitowski i dodatnio określony.
Przy warunkach brzegowych Dirichleta i mieszanych, jest również dodatni.
(2) Operator -" ma nieskończony ciag wartości wlasnych

ą
(0 = 0) <1 < � � � <n < � � �
takich, że
n " dla n "
0 = 0 jest wartościa w o krotności jeden w przypadku L2(C) lub L2(a, b)
lasna
ą ą
z warunkami brzegowymi Neumanna. Przy warunkach brzegowych Dirichleta lub
mieszanych, 0 =0 nie jest wartościa w
lasna. WL2(C) n, n e" 1 ma krotność 2,
ą ą
we wszystkich innych przypadkach n ma krotność 1.
(3) We wszystkich przypadkach, ortogonalne funkcje wlasne operatora -" tworza baze

ą ą
ortogonalna odpowiedniej przestrzeni L2.
ą
22
2.5 Uwagi o ogólnej teorii operatorów
a. Ciag operatorów.
lość
ą
Operator różniczkowy jest operatorem liniowym. Jest wiec funkcja liniowa na przestrzeni
ą ą ą
Hilberta H. Rozważymy teraz problem ciag funkcji liniowych.
lości
ą
Twierdzenie 2.4 Funkcja liniowa A : HHjest ciag wtedy i tylko wtedy, gdy
la
ą
"f "H "M>0 : ||A(f)|| d" M||f||
Dowód:
(�!) Przypuśćmy, że A jest ciag ale nie istnieje taka sta M, że zachodzi ten warunek
la, la
ą
. Wtedy, dla dowolnego n " IN istnieje fn "Htaka, że
||A(fn)|| >n||fn||
Niech
fn
gn =
n||fn||
Wtedy
1
||gn|| = 0 dla n "
n
to znaczy, że gn 0 wH. Ponieważ A jest ciag
la
ą
A(gn) A(0) = 0
Z drugiej strony
1 1
||A(gn|| = ||A(fn)|| > n||fn|| =1
n||fn|| n||fn||
Otrzymaliśmy wiec sprzeczność.
ą
(�!)
Z drugiej strony
||A(f) - A(g)|| = ||A(f - g)|| d" M ||f - g||
Funkcja A jest wiec ciag
la.
ą ą
Definicja 2.5 Operator liniowy L określony na dziedzinie D(L) jest ograniczony, jeżeli
istnieje taka sta M>0, że
la
||L(f)||
d" M "f " D(L)
||f||
Wniosek 2.2 Operator liniowy jest ciag wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.
ly
ą
Rozważmy teraz operator -". Czy -" jest ciag Niech w szczególności -" bedzie
ly?
ą ą
określony na przestrzeni L2(0, 1) z warunkami brzegowymi Dirichleta. Wtedy
n = n2Ą2, fn = sin nĄx
|| - "(fn)||
= n2Ą2
||fn||
Ponieważ nie ma takiej dodatniej sta M aby n2Ą2 d" M dla dowolnych n " IN, operator
lej
-" jest nieciag
ly.
ą
23
Twierdzenie 2.5 Operator liniowy L, który ma nieskończony ciag wartości wlasnych n

ą
takich, że |n| ", jest nieciag
ly.
ą
b. Sprzeżenie operatora.
ą
Niech L bedzie operatorem liniowym z dziedzina D(L) gesta w H (tzn D(L) =H). Chcemy
ą ą ą ą
zdefiniować operator L" w taki sposób, aby
L(f), g = f, L"(g)
dla f " D(L), g " D(L"). Musimy wiec określić dziedzine D(L"):
ą ą
D(L") ={g "H : "h "H : L(f), g = f, h dla każdego f " D(L)}
Mamy też L"g = h jeśli g " D(L").
Definicja 2.6 Operator L" z dziedzina D(L") nazywamy operatorem sprzeżonym do L.
ą ą
Operator L jest samosprzeżony jeśli L = L" tzn D(L) = D(L") oraz L(f) = L"(f) dla
ą
f " D(L).
Uwaga 2.2 Operator hermitowski nie jest automatycznie operatorem samosprzeżonym.
ą
Hermitowskość oznacza jedynie, że
D(L) �" D(L") oraz L"(f) =L(f) dla f " D(L)
c. Rozk spektralny
lad
Twierdzenie 2.6 Niech L bedzie operatorem hermitowskim na przestrzeni Hilberta H.
ą
Za óżmy, że L posiada nieskończony ciag funkcji w
l lasnych {Ćn} które tworza baze ortonormalna
ą ą ą ą
przestrzeni H. Wtedy dla f " D(L) mamy
"

f = cnĆn, cn = f, Ćn
n=1
oraz
"

L(f) = cnnĆn
n=1
gdzie {n} sa wartościami wlasnymi operatora L.

ą
Dowód: Ponieważ L(f) "Hdla f " D(L), to
"

L(f) = anĆn, an = L(f), Ćn
n=1
gdyż {Ćn} jest baza H. Z hermitowskości L wynika, że
ą
L(f), Ćn = f, L(Ćn = n f, Ćn
Wobec tego an = ncn, oraz
"

L(f) = cnnĆn
n=1
24
Wniosek 2.3 Niech L bedzie operatorem hermitowskim na przestrzeni Hilberta H, którego
ą
funkcje w tworza baze ortonormalna H. Niech F (x) bedzie funkcja o wartościach
lasne
ą ą ą ą ą
rzeczywistych lub zespolonych taka, że F (n) jest zdefiniowana " n =1, 2, . . .. Wtedy
ą
"

F (L)f = cnF (n)Ćn
n=1
definiuje operator na przestrzeni H, którego dziedzina zawiera funkcje
"

f = cnĆn
n=1
takie, że szereg
"

|cn|2|F (n)|2
n=1
jest zbieżny.
Dowód: Z definicji F (L) jest operatorem liniowym. Jeśli
"

||F (L)f||2 = F (L)f, F (L)f = |cn|2|F (n)|2 < "
n=1
to F (L)f "H.
Twierdzenie 2.6 i Wniosek 2.3 można sformu ować w ciekawy sposób pos
l lugujac sie pojeciem
ą ą ą
operatorów rzutowych. Zdefiniujmy
Pnf := f, Ćn Ćn
2
Latwo sprawdzić, że Pn jest ograniczonym operatorem liniowym spe
lniajacym Pn = Pn =
ą
"
Pn. Ponadto

"

Pn : n = m
PnPm = , oraz Pnf = f
0 : n = m

n=1
Teze Twierdzenia 2.6 możemy teraz zapisać nastepujaco:
ą ą ą
" " "

Lf = ncnĆn = n f, Ćn Ćn = nPnf
n=1 n=1 n=1
czyli
"

L = nPn
n=1
Operator hermitowski (a w istocie samosprzeżony) z nieskończonym ciagiem unormowanych
ą ą
funkcji w
lasnych tworzacych baze przestrzeni Hilberta H można przedstawić jako kombinacje
ą ą ą
liniowa operatorów rzutujacych na podprzestrzenie w należace do wartości w
lasne lasnych
ą ą ą
n, o wspó
lczynnikach równych n. Podobnie, funkcja F (L) tego operatora ma postać
"

F (L) = F (n)Pn
n=1
25
Uwaga 2.3 Twierdzenie 2.6 i Wniosek 2.3 sa szczególnymi przypadkami bardzo ogólnego
ą
twierdzenia (nazywanego twierdzeniem spektralnym) prawdziwego dla operatorów samosprzeżonych.
ą
Przyk
lad:
Niech
F (x) =eix, L = -" na L2(0, 1) z warunkami brzegowymi Dirichleta
Wtedy
Ćn = sin nĄx, n = n2Ą2
Możemy zdefiniować operator
"

F (-") = e-i" = einĆn
n=1
Jak sprawdzić, każda funkcja f " L2(), 1) należy do dziedziny e-i". Ponadto
latwo
e-i"f, e-i"g = f, g
Operator o tej w
lasności nazywa sie operatorem unitarnym. Jest on ograniczony
ą
||e-i"f|| = ||f||
a wiec ciag (pomimo, że -" jest nieciag
ly ly).
ą ą ą
d. Pojecie spektrum.
ą
Niech L bedzie operatorem liniowym z dziedzina D(L). Jeśli  jest wartościa w L,
lasna
ą ą ą ą
to istnieje f = 0 taka, że

(L - )f =0
Wobec tego
ker (L - ) = {0}

Jeśli jakieś przekszta liniowe ma nietrywialne jadro, to jest nieodwracalne, to znaczy
lcenie
ą
(L - )-1 nie istnieje jeśli  jest wartościa w L. Dla operatorów na przestrzeniach
lasna
ą ą
skończenie wymiarowych, ca zbiór liczb zespolonych C można przedstawić jako sume
ly I
ą
roz
lcznych podzbiorów tych liczb  dla których (L-)-1 nie istnieje i tych dla których (L-
)-1 jest dobrze określony. Podobny podzia w przypadku ogólnych przestrzeni Hilberta
l
jest bardziej skomplikowany. Okazuje sie, że C jest roz
I laczna suma zbioru rezolwenty
ą ą ą ą
�(L) :  " �(L) jeśli (L - )-1 jest operatorem ograniczonym na H, oraz spektrum
�(L). Do spekrum należa takie liczby  "C dla których:
I
ą
1. (L - )-1 nie istnieje (wartości w L),
lasne
2. (L - )-1 istnieje ale jest nieograniczony,
3. D((L - )-1) nie jest gesty w H.
ą
Wartości w stanowia spektrum punktowe operatora L. Okazuje sie również, że dla
lasne
ą ą
operatora samosprzeżonego, ca spektrum jest rzeczywiste. Jest to o tyle ważne, że wiele
le
ą
interesujacych operatorów nie posiada spektrum punktowego.
ą
26
2.6 Jeszcze raz o rozwiazywaniu równania falowego
ą
i przewodnictwa cieplnego
Używajac teorii operatorów na przestrzeni Hilberta, jeszcze raz rozważymy sposoby rozwiazywania
ą ą
równania falowego i przewodnictwa cieplnego. Pokażemy, że rozwiazania tych równań
ą
jawnie zależa od w
lasności operatora Laplace a -".
ą
a. Równanie falowe
"2u "2u
- v2 =0, x " [0, L]
"t2 "x2
Metoda rozdzielania zmiennych prowadzi do problemu na wartości w jednowymi-
lasne
arowego operatora Laplace a -" na przestrzeni Hilberta H = L2(0, L). Możemy rozważać
różne warunki brzegowe otrzymujac zawsze ciag {�n} wartości w
lasnych -" oraz ciag
ą ą ą
funkcji w
lasnych {Ćn} tworzacych baze ortonormalna przestrzeni L2(0, L). Rozwiazanie
ą ą ą ą
zagadnienia brzegowo-poczatkowego z rozdzia 1.4 ma postać
lu
ą
"

" 1 "
u(x, t) = [ f, Ćn cos( �n vt) + g, Ćn sin( �n vt)]Ćn
"
�n v
n=0
"
" "

" sin( �n vt)
= cos( �n vt) f, Ćn Ćn + " g, Ćn Ćn
�n vt
n=0 n=0
Ponieważ
"
"
"
cos( �n vt) f, Ćn fn = cos( -" vt)f
n=0
oraz
"
"
"

sin( �n vt) sin( -" vt)
"
g, fn fn = g
"
�n v
-" v
n=0
to rozwiazanie równania falowego z warunkami poczatkowymi f i g ma postać
ą ą
"
"
sin( -" vt)
"
u(x, t) = cos( -" vt)f(x) + g(x)
-" v
gdzie operator Laplace a -" jest określony na odpowiedniej przestrzeni Hilberta z warunk-
ami brzegowymi zależacymi od rodzaju zagadnienia.
ą
b. Równanie przewodnictwa cieplnego
Podobne rozumowanie prowadzi do rozwiazania zagadnienia brzegowo-poczatkowego dla
ą ą
równania przewodnictwa cieplnego
"u "2u
- k =0
"t
"x2
W tym przypadku
u(x, t) =ekt "f(x), u(x, 0) = f(x)
27
3 Wielomiany Legendre a i Hermite a jako funkcje w
lasne
odpowiednich operatorów różniczkowych
3.1 Operator Legendre a i wielomiany Legendre a
Definicja 3.1 Niech H = L2(-1, 1). Operatorem Legendre a L na przestrzeni H nazy-
wamy operator różniczkowy zadany przez wyrażenie różniczkowe

d df
l(f) =- (1 - x2)
dx dx
i dziedzine D(L) zawierajaca funkcje zgodne z l i spe
lniajace
ą ą ą ą
lim f(x) oraz lim f(x)
x1- x-1+
istnieja i sa skończone. Można wykazać, że dla funkcji f z dziedziny D(L)
ą ą
lim (1 - x2)f (x) =0
xą1
Twierdzenie 3.1 Operator Legendre a jest hermitowski.
Dowód:

1
d df
Lf, g = - (1 - x2) g(x) dx
dx dx
-1
Ą# ń#
+1
1

Ł#
= - (1 - x2)f (x)g(x) - (1 - x2)f g dxŚ#

-1
-1
= (1 - x2)1/2f , (1 - x)1/2g
Tak wiec
ą
Lf, g = f, Lg
oraz ponadto Lf, f e"0.
Wniosek 3.1 Wartości w operatora Legendre a L sa nieujemne. Funkcje wlasne
lasne
ą
należace do różnych wartości wlasnych sa ortogonalne.

ą ą
Uwaga 3.1 Dziedzina D(L) zawiera wszystkie wielomiany.
Jakie sa wartości w i funkcje w operatora L? Wiemy, że równanie Legendre a
lasne lasne
ą
(1 - x2)f - 2xf + n(n +1)f =0, n =0, 1, . . .
ma dla każdego ustalonego n rozwiazanie, które jest wielomianem Pn. Ponieważ równanie
ą
to można zapisać jako
Lf = n(n +1)f, dla f " D(L)
to
LPn = n(n +1)Pn
Otrzymujemy wiec
ą
28
Twierdzenie 3.2 (1) Operator Legendre a ma wartości wlasne n(n +1), n =0, 1, . . ..

Wielomiany Legendre a Pn sa funkcjami wlasnymi należacymi do wartości wlasnych

ą ą
n(n +1).
(2) Wielomiany Legendre a Pn tworza uklad ortogonalny w przestrzeni L2(-1, 1).

ą
Zachodzi również ważna w (której dowód wykracza poza ramy tego wyk
lsność ladu):
Twierdzenie 3.3 Wielomiany Legendre a Pn tworza baze ortogonalna przestrzeni Hilberta
ą ą ą
L2(-1, 1).
Tak wiec dowolna funkcje f " L2(-1, 1) można rozwinać w szereg Fouriera-Legendre a
ą ą ą ą
"

f, Pn
f(x) = cnPn(x), cn =
Pn, Pn
n=0
który jest zbieżny w sensie przestrzeni L2. Jako wniosek z tego faktu otrzymamy mastepujace
ą ą
twierdzenie (dowód pozostawiamy jako ćwiczenie):
Twierdzenie 3.4 Operator Legendre a nie ma innych wartości wlasnych niż n(n +1).

Wartości wlasne L sa jednokrotne.

ą
3.2 Wzór Rodriguesa
Zacznijmy od elementarnej w ladu
lsności uk wielomianów n-tego stopnia (dowód na ćwiczeniach):
Lemat 3.1 Niech Qn, n =0, 1, . . . bedzie ukladem wielomianów takich, że "n Qn jest

ą
stopnia n. Wtedy, dla każdego n xn jest kombinacja liniowa Q0, Q1, . . . , Qn.
ą ą
Lemat 3.2 Jeżeli p(x) jest wielomianem stopnia m p(x), Pn =0
Dowód: Z Lematu 3.1
p(x) =ą0P0 + ą1P1 + � � � + ąmPm
Tak wiec
ą

p(x), Pn(x) = ąk Pk, Pm =0
k
gdyż Pk, Pn = 0 dla k d" mTwierdzenie 3.5 (Wzór Rodriguesa)
1 dn
Pn(x) = (x2 - 1)n
2nn! dxn
Dowód: Niech
1 dn
Qn(x) = (x2 - 1)n
2nn! dxn
29
Chcemy pokazać, że Qn = Pn. Po pierwsze stwierdzamy, że Qn jest wielomianem stopnia
n. Obliczymy teraz iloczyn skalarny (m d" n)
1
dn dn
xm, (x2 - 1)n = xm (x2 - 1)n dx
dxn dxn
-1
1
1

dn-1 dn-1

= xm (x2 - 1)n - m xm-1 (x2 - 1)n dx

dxn-1 dxn-1
-1
-1
1
dn-1
= -m xm-1 (x2 - 1)n dx
dxn-1
-1
gdyż
1

dn-1

(x2 - 1)n =0

dxn-1
-1
Ca m razy, dostaniemy
lkujac
ą
1
dn dn-m
xm, (x2 - 1)n =(-1)mm! (x2 - 1)n dx
dxn dxn-m
-1
Kiedy mlka
ą
xm, Qn = 0 dla mPonadto
p(x), Qn =0
dla dowolnego wielomianu stopnia mniejszego niż n. Ponieważ
Qn = c0P0 + c1P1 + . . . + cnPn
oraz
Qn, Pk
ck = = 0 dla k Pk, Pk
to
Qn = cnPn
Wielomiany Pn i Qn sa wiec proporcjonalne. Sta przed pochodna zależy od zak
la ladanego
ą ą ą
unormowania.
Twierdzenie 3.6
2
Pn, Pn =
2n +1
Dowód:
(2n)!
Pn(x) = xn + wyrazy stopnia niższego niż n
2n(n!)2
30
(2n)!
Pn, Pn = xn, Pn + suma wyrazów stopni niższych niż n, Pn
2n(n!)2
(2n)! 1 dn
= xn, (x2 - 1)n
2nn! dxn
2n(n!)2
1
(2n)!(-1)n
= (x2 - 1)n dx
4n(n!)2
-1
Ponieważ
1
4n(n!)2
(-1)n (x2 - 1)n dx =2
(2n + 1)!
-1
to
2
Pn, Pn =
2n +1
Twierdzenie 3.7
"

1

wnPn(x) = |w| < 1
1 - 2xw + w2
n=0
Dowód: Traktujac lewa strone wzoru jako funkcje w (przy ustalonym x) i korzystajac z
ą ą ą ą ą
tożsamości
nPn =(2n - 1)xPn-1 - (n - 1)Pn-2, n e" 2
dostajemy równanie różniczkowe
dh (x - w)dw
=
h - 2xw + w2
1
którego rozwiazaniem jest funkcja
ą
1

h(x, w) =
1 - 2xw + w2
Uwaga 3.2 Funkcja h(x, w) nazywa sie funkcja generujaca dla wielomianów Legendre a,
ą ą ą ą
gdyż


1 dn
Pn(x) = h(x, w)

n! dwn
w=0
3.3 Operator Hermite a i wielomiany Hermite a
Definicja 3.2 Niech
2
H = L2(-", "; e-x /2)
z iloczynem skalarnym
"

2
f, g = f(x)g(x)e-x /2 dx
-"
Operator Hermite a LH jest zdefiniowany jako operator różniczkowy na H zadany przez
wyrażenie różniczkowe

2 d 2 df
lH(f) =-ex /2 e-x /2
dx dx
31
oraz dziedzine D(LH) zawierajaca funkcje z H zgodne z lH. Można pokazać, że jeśli
ą ą ą
f, g " D(LH), to
2 df
lim e-x /2 g =0
xą"
dx
Uwaga 3.3 Dziedzina D(LH) zawiera wszystkie wielomiany.
Twierdzenie 3.8 Operator LH jest hermitowski i dodatnio określony.
Dowód:
s
2
LHf, g = lim LHf ge-x /2 dx
r-"
s"
r
Ą# ń#
s
s

2 df 2
Ł#
= lim -e-x /2 g + f g e-x /2 dxŚ#

r-"
dx
r
s"
r
= f , g
Z tego wynika, że LH jest hermitowski i dodatnio określony.
Wniosek 3.2 Wartości wlasne operatora LH sa nieujemne, zaś funkcje wlasne należace

ą ą
do tych wartości wlasnych sa ortogonalne.

ą
Równanie Hermite a
f - xf + nf =0, n =0, 1, 2, . . .
ma zawsze rozwiazanie, które jest wielomianem Hn. Ponieważ można je zapisać jako
ą
LHf = nf
to
LHHn = nHn
Wniosek 3.3 (1) Operator LH ma wartości wlasne n =0, 1, 2, . . .. Wielomiany Her-

mite a Hn sa funkcjami wlasnymi LH należacymi do wartości w
lasnych n.
ą ą
2
(2) Wielomany Hn tworza uklad ortogonalny w przestrzeni L2(-", "; e-x /2).

ą
Zachodzi również
Twierdzenie 3.9 Wielomiany Hermite a Hn tworza baze ortogonalna przestrzeni Hilberta
ą ą ą
2
L2(-", "; e-x /2).
Metoda analogiczna do przypadku wielomianów Legendre a można pokazać prawdziwość
ą ą
wzoru generujacego Hn:
ą
Twierdzenie 3.10
2 dn 2
Hn(x) =(-1)nex /2 (e-x /2)
dxn
Z tej formu wynika w szczególności, że
ly
"
Hn, Hn = 2Ąn!
Można też pokazać prawdziwość nastepujacego wzoru (funkcja generujaca dla wielomianów
ą ą
Hermite a):
"

wn 2
Hn(x) =ewx-w /2
n!
n=0
32
3.4 Zastosowanie operatora Hermite a. Kwantowy
oscylator harmoniczny
W mechanice kwantowej bada sie wartości w pewnych operatorów różniczkowych
lasne
ą
zwanych operatorami energii. Interesujacym przyk
ladem takiego operatora jest operator
ą
energii kwantowego odpowiednika oscylatora harmonicznego, gdzie energia potencjalna
jest proporcjonalna do kwadratu wychylenia. Szuka sie wartości w
lasnych operatora H
ą
zdefiniowanego na przestrzeni Hilberta L2(-", ") zadanego przez wyrażenie różniczkowe
Ż
h2 d2�
2
- +2Ą2�0mx2�
2m
dx2
gdzie h jest sta Plancka h podzielona przez 2Ą, m jest masa, zaś �0 czestościa podstawowa
Ż la
ą ą ą ą ą ą
charakteruzujaca konktretny oscylator. Bedziemy rozważać problem na wartości w
lasne
ą ą ą
nastepujacej postaci
ą
Ż
h2 d2�
2
- +2Ą2�0mx2�=E�
2m
dx2
Wprowadz
my nastepujace oznaczenia
ą ą
2
2mE 16Ą2�0m2
a = , b = , x = z/b1/4
Ż Ż
h2 h2
Wtedy równanie na wartości w ma postać
lasne
"
d2� z2
- + �=a/ b�
4
dz2
Jeśli dalej
2
�=e-z /4y
to dostajemy
d2y dy E 1
- + z = y,  = -
dz h�0 2
dz2
Zauważmy ponadto, że
2
� " L2(-", ") wtedy i tylko wtedy, gdy y " L2(-", "; e-z /2)
Tak wiec problem na wartości w kwantowego oscylatora harmonicznego jest równoważny
lasne
ą
problemowi na wartości w dla operatora Hermite a LH. Otrzymamy wiec
lasne
ą
En 1
- = n
h�0 2
czyli
En = (n +1/2)h�0
2
�n(z) = e-z /2 Hn(z)
33
4 Operator Laplace a w dwóch wymiarach
4.1 Równanie falowe i przewodnictwa cieplnego
dla obszaru ograniczonego w IRn
Niech
"2 "2
-"=- -� � � -
"x2 "x2
1 n
Równanie falowe dla obszaru ograniczonego � w IRn ma postać
"2u(t, x)
- v2"u(t, x) =0, x " �
"t2
Podobnie jest dla równania przewodnictwa cieplnego
"u(t, x)
- k"u(t, x) =0, x " �
"t
Stosujac metode rozdzielania zmiennych, problem rozwiazania tych równań sprowadza
ą ą ą
sie do badania w
lasności operatora Laplace a -" określonego na obszarze �. Można
ą
pokazać, że również w tym przypadku, rozwiazanie zagadnienia brzegowo-poczatkowego
ą ą
dla równania falowego z warunkami poczatkowymi
ą
"u
u(0, x) =f(x), (0, x) =g(x)
"t
ma postać
"
"
sin( -" vt)
"
u(t, x) = cos( -" vt) f(x) + g(x)
-" v
gdzie warunki brzegowe sa zadane poprzez w
lasności operatora -". Podobnie, dla równania
ą
przewodnictwa cieplnego
u(t, x) =ekt "f(x), u(0, x) =f(x)
W dalszym ciagu zajmiemy sie przypadkiem n =2 i bedziemy badać wlasności operatora

ą ą ą
-" na dwuwymiarowych obszarach � ograniczonych w IR2 z brzegiem g
ladkim "�.
4.2 Ogólne w
lasności operatora -" na przestrzeni L2(�), � �" IR2
Niech

H = L2(�) = {f : |f|2 dP < "}, f, g = fgdP
� �
Chcemy na tej przestrzeni określić operator różniczkowy -" odpowiadajacy wyrażeniu
ą
różniczkowemu
"2f "2f
-"(f) =- -
"x2 "y2
na obszarze � z brzegiem "�. Jak wygladaja w tym przypadku klasyczne warunki brze-
ą ą
gowe?
34
Definicja 4.1 Niech "�bedzie g krzywa zamknieta. Funkcja f spe na �:
ladka lnia
ą ą ą ą ą
(1) warunki brzegowe Dirichleta jeśli f =0 na "�,
"f
(2) warunki brzegowe Neumana jeśli =0 na "� gdzie n jest wektorem normalnym
"n
do "� skierowanym na zewnatrz,
ą
(3) warunki brzegowe mieszane jeśli na pewnej cześci brzegu f spe warunki Dirichleta
lnia
ą
a na innej, warunki Neumana.
Definicja 4.2 Operaor Laplace a -"na L2(�) definiujemy jako operator określony przez
wyrażenie różniczkowe -", którego dziedzina zawiera funkcje z L2)�) zgodne z -" i
spe
lniajace albo warunki brzegowe Dirichleta, albo Neumana albo mieszane.
ą
Naszym celem bedzie pokazanie, że tak określony operator -" jest hermitowski. W
ą
tym celu musimy uogólnić wzór na ca
lkowanie przez cześci do przypadku obszaru � z
ą
brzegiem "�. Latwo to osiagnać pos
lugujac sie formalizmem form różniczkowych i ogólnym
ą ą ą ą
twierdzeniem Stokesa.
Twierdzenie 4.1 Niech f bedzie 0-forma a � 1-forma na �. Wtedy
ą ą ą

f '" d� = f '" � - df '" �
� "� �
Dowód: Ponieważ
d(f '" �) =df '" � + f '" d�
to

f '" d� = d(f '" �) - df '" �
� � �
Z twierdzenia Stokesa mamy

d(f '" �) = f '" �
� "�
otrzymujemy wiec
ą

f '" d� = f '" � - df '" �
� "� �
Twierdzenie 4.2 Jeśli f, g " D(-") z warunkami brzegowymi Dirichleta, to
"f "g "f "g
-"f, g = , + ,
"x "x "y "y
Dowód: Zdefiniujmy
"f "f
� = dx - dy
"y "x
Wtedy

"2f "2f
d� = - + dx '" dy
"x2 "y2
35
Z drugiej strony

-"f, g = -"fgdx'" dy = gd�
� �

= g� - dg '" �
"� �
Jeśli f, g " D(-"), to g =0 na "�, wiec
ą

g� =0
"�
Ponadto

"f "g "f "g
dg '" � = - +
"x "x "y "y
i otrzymujemy teze twierdzenia.
ą
Twierdzenie 4.3 Warunek brzegowy Neumana można zapisać nastepujaco: 1-forma
ą ą
"f "f
dx - dy =0, na "�
"y "x
Dowód: Niech "�bedzie krzywa o równaniu x = x(t), y = y(t). Wektor
ą ą
n(t) =(-y (t), x (t))
jest wektorem prostopad do krzywej "�. Ponieważ
lym
"f "f dx "f dy
= grad f, n = -
"n "y dt "x dt
"f "f
to jeśli = 0 na brzegu "�, to 1-forma dt =0 na "�, czyli
"n "n
"f "f
dx - dy =0, na "�
"y "x
Wniosek 4.1
"f "g "f "g
-"f, g = , + ,
"x "x "y "y
również przy warunku brzegowym Neumana.
Twierdzenie 4.4 Operator Laplace a -" na L2(�) jest hermitowski i dodatnio określony
przy warunkach brzegowych Dirichleta, Neumana lub mieszanych.
Nastepujace dwa twierdzenia (których dowody sa poza naszym zasiegiem) jakościowo
ą ą ą ą
charakteryzuja operator Laplace a na L2(�).
ą
Twierdzenie 4.5 Niech -" bedzie operatorem Laplace a na L2(�) skonstruowanym jak
ą
wyżej. Operator -" ma neskończony ciag wartości wlasnych

ą
(0 = 0) <1 < � � � <n < � � �
takich, że n ". Każda wartość wlasna ma skończona krotność. Funkcje wlasne {Ćn}

ą
operatora -" tworza baze ortogonalna przestrzeni L2(�).
ą ą ą
36
Twierdzenie 4.6 Jeżeli �n, n = 1, 2, . . . jest ciagiem wartości wlasnych operatora -"

ą
ustawionych zgodnie z ich krotnościami (tzn w ciagu �n wystepuja liczby k tyle razy jaka
ą ą ą
jest krotność wartości w k ), to
lasnej
�n 4Ą
lim =
n"
n |�|
gdzie |�| oznacza pole powierzchni obszaru �.
4.3 Operator Laplace a na prostokacie
ą
Niech teraz � = [0, a] � [0, b]. Szukamy wartości w
lasnych operatora -" określonego na
L2(�) z warunkami brzegowymi Dirichleta. Zastosujmy rozdzielenie zmiennych:
f(x, y) =X(x)Y (y)
Ponieważ
a b
|f(x, y)|2dP = |X(x)|2dx |Y (x)|2dy
� 0 0
to f " L2(�) wtedy i tylko wtedy, gdy X " L2(0, a), Y " L2(0, b). Podstawiajac XY do
ą
równania na wartości w dostajemy
lasne

X Y
- = +  = ł
X Y
czyli

-X = łX, -Y =( - ł)Y
Warunki brzegowe Dirichleta na "�sa równoważne warunkom
ą
X(0) = X(a) = 0 oraz Y (0) = Y (b) =0
Mamy wiec przypadek jednowymiarowego operatora Laplace a z warunkami brzegowymi
ą
Dirichleta. Jego wartości w sa nastepujace
lasne
ą ą ą
m2Ą2
łm = , m =1, 2, . . .
a2
Z tego
m2Ą2 n2Ą2
 - = , n =1, 2, . . .
a2 b2
Operator -" na prostokacie [0, a] � [0, b] ma wiec wartości w
lasne
ą ą

m2 n2
 = + Ą2, m, n =1, 2, . . .
a2 b2
oraz funkcje w
lasne
mĄx nĄy
fm,n(x, y) = sin sin
a b
37
Rozważmy bardziej szczegó przypadek kwadratu a = b = 1. Każdej parze liczb
lowo
naturalnych (m, n) odpowiada funkcja w
lasna
fm,n(x, y) = sin mĄx sin nĄy
Jeżeli m2 + n2 = p2 + q2, to funkcje fm,n, fp,q sa ortogonalne w przestrzeni L2(�). W tym

ą
przypadku mamy również wiecej możliwości.
ą
Lemat 4.1
fm,n, fp,q =0
gdy m = p lub n = q.

Dowód
W
lasność ta wynika z równości

fm,n, fp,q = fm,n(x, y)fp,q(x, y) dP
�
1 1
= sin mĄx sin pĄx dx sin nĄy sin qĄy dy
0 0
Wniosek 4.2 Wartość wlasna

 = rĄ2
ma krotność równa ilości sposobów przedstawienia liczby r jako
ą
r = m2 + n2, m, n e" 1
Przyk
lad:
(1)  =5Ą2 ma krotność 2.
(2) =65Ą2 ma krotność 4.
Rozważmy teraz rozwiazanie równania falowego na prostokacie. Ogólna postać jest nastepujaca
ą ą ą ą
"

" "
u(x, y, t) = (an cos �n vt + bn sin �n vt) sin pĄx sin qĄy
n=1
gdzie �n sa wartościami w lad:
lasnymi -" ustawionymi w kolejności ich krotności. Na przyk
ą
n p q �n
1 1 1 2Ą2
2 1 2 5Ą2
3 2 1 5Ą2
4 2 2 8Ą2
5 1 3 10Ą2
38
Jeśli użyć tylko różnych wartości w
lasnych np 1 = 2Ą2, 2 = 5Ą2, 3 = 8Ą2, . . . oraz
za że bn = 0, to otrzymamy
lożyć,
�# ś#
d(n)
"

�#
u(x, y, t) = anj sin pĄx sin qĄy # cos n vt
n=1 j=1
gdzie d(n) jest krotnościa wartości w n, zaś suma wewnatrz nawiasu jest wzieta po
lasnej
ą ą ą
wszystkich parach liczb naturalnych (p, q) takich, że n = (p2 + q2)Ą2. Napiszmy kilka
pierwszych wyrazów tego szeregu
"
u(x, y, t) = (a11 sin Ąx sin Ąy) cos 2Ąvt
"
+ (a21 sin Ąx sin 2Ąy + a22 sin 2Ąx sin Ąy) cos 5Ąvt
"
+ (a31 sin 2Ąx sin 2Ąy) cos 8Ąvt + � � �
Cz
lon
a21 sin Ąx sin 2Ąy + a22 sin 2Ąx sin Ąy
można nazwać  ogólna funkcja w należaca do wartości w 2 = 5Ą2 w tym
lasna lasnej
ą ą ą ą ą
znaczeniu, że każda funkcja z podprzestrzeni w należacej do 2 jest tej postaci przy
lasnej
ą
odpowiednim wyborze sta a21, a22. Przypuśćmy, że warunek poczatkowy jest postaci
lych
ą
u(x, y, 0) = 2 sin Ąx sin 2Ąy + sin 2Ąx sin Ąy
Wtedy rozwiazanie redukuje sie do funkcji
ą ą
"
u(x, y, t) = (2 sin Ąx sin 2Ąy + sin 2Ąx sin Ąy) cos 5Ąvt
Rozwiazanie to ma bardzo ciekawe w
lasności. Wszystkie punkty (x, y) spelniajace równanie
ą ą
2 sin Ąx sin 2Ąy + sin 2Ąx sin Ą =0
pozostaja nieruchome przez ca czas wykonywania drgań. Punkty o tej w
ly lasności tworza
ą ą
krzywa, która nazywa sie krzywa wez ów funkcji w operatora -". Dla kwadratu
l lasnej
ą ą ą ą ą
krzywe wez ów moga być bardzo skomplikowane.
l
ą ą
4.4 Operator Laplace a na kole
Niech � bedzie ko o promieniu a. Przedstawiajac równanie falowe we wspó
lem lrzednych
ą ą ą
biegunowych otrzymujemy
"2u 1 "u 1 "2u 1 "2u
+ + =
r "t "t2
"r2 r2 "�2 v2
Warunek brzegowy Dirichleta ma teraz postać
u(a, �, t) =0 "�, t
Rozdzielenie zmiennych
u(r, �, t) =R(r)Ś(�)T (t)
39
daje

R 1 R 1 Ś 1 T
+ + =
R r R Ś T
r2 v2
Standardowe rozumowanie doporowadza nas do równania
R 1 R 1 Ś
+ + = -
R r R Ś
r2
co daje
R R Ś
r2 + r + r2 = - = ł
R R Ś
Tak wiec
ą
Ś + łŚ=0
Otrzymujemy wiec równanie na wartości w jednowymiarowego operatora Laplace a
lasne
ą
na okregu. Jak wiadomo,
ą
ł = p2, p =0, 1, 2, . . .
zaś funkcje w sa postaci
lasne
ą
1/2, cos p�, sin p�
Dalej mamy
R R Ś
r2 + r + r2 = - = p2
R R Ś
czyli
1 p2
-(R + R ) + = R, R(a) =0
r2 r2
Uwaga 4.1 Otrzymujemy problem na wartości wlasne pewnego operatora różniczkowego

Bp nazywanego operatorem Bessela. Operator ten jest zadany przez wyrażnie różniczkowe

1 d df p2
bp(f) =- r + f
r dr dr r2
i dziedzine D(Bp) �" L2(0, a; r) funkcji zgodnych z bp i spelniajacych warunki:

ą ą
(1) f(a) =0,
(2) limr0+ f(r) istnieje i jest skończona.
Można pokazać, że tak zdefiniowany operator jest hermitowski i dodatni.
"
Jeśli podstawić x = r, to otrzymamy równanie Bessela rzedu p
ą
x2f + xf +(x2 - p2) =0
Jak wiadomo, jednym z rozwiazań tego równania jest funkcja Bessela Jp(x)
ą
"

(-1)l x
Jp(x) = ( )p+2l
l!(p + l)! 2
l=0
40
Jp ma nieskończenie miejsc zerowych jp,n, n =1, 2, . . .. Jaki to ma zwiazek z wartościami
ą
"
w lasna
lasnymi operatora Bp? Funkcja f(r) =Jp( r) może być funkcja w tego operatora
ą ą
jeśli f(a) = 0, czyli jeśli
"
Jp( a) =0
Tak wiec
ą
2
"
jp,n
a = jp,n, czyli p,n =
a2
Wniosek 4.3 Operator Bp ma wartości wlasne

2
jp,n
p,n =
a2
gdzie jp,n sa zerami funkcji Jp, i funkcje wlasne

ą
r
Ćp,n(r) =Jp(jp,n )
a
Funkcje Ćp,n tworza uk ortogonalny w przestrzeni L2(0, a; r)
lad
ą
Wniosek 4.4 Wartości w operatora Laplace a na kole o promieniu a sa postaci
lasne
ą
2
jp,n
 = , p =0, 1, 2, . . . , n =1, 2, . . .
a2
Dla p =0 funkcje wlasne sa postaci

ą
r
J0(j0,n ), n =1, 2, . . .
a
Dla p e" 1 mamy pare funkcji
ą
r r
cos p�Jp(jp,n ), sin p�Jp(jp,n ), n =1, 2, . . .
a a
41