Elementy teorii szeregów Fouriera
Definicja. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci
"
1
a0 + an cos nx + bn sin nx " , gdzie an,bn " .
() ( )
"
2
n=1
Zał, że szereg trygonometryczny " jest zbieżny jednostajnie, f x jest sumą tego szeregu, f jest
( ) ( )
Ä„Ä„ Ä„
"
ëÅ‚öÅ‚
R-całkowalna. Wtedy f x dx = Ą a0 + an cos nx dx + bn sin nx dx .
( )
ìÅ‚÷Å‚
"íÅ‚Å‚Å‚
+"+" +"
n=1
-Ä„ -Ä„ -Ä„
Ä„Ä„
Lemat. " an cos nx dx + bn sin nx dx = 0 .
+"+"
n>0
-Ä„ -Ä„
Ä„ Ä„
Uwaga. Dla n = 0 sin nx dx = 0 , cos nx dx = 2Ä„ .
+" +"
-Ä„ -Ä„
Ä„Ä„
1
Wniosek. f x dx = Ä„ a0 Ò! a0 = f x dx .
( ) ( )
+"+"
Ä„
-Ä„ -Ä„
Ä„
0'" n `" m
Å„Å‚
Lemat. (1) " cos nxcosmx dx = ;
òÅ‚
+"
n,m"
ółĄ '" n = m
-Ä„
Ä„
(2) " sin nxcosmx dx = 0 ;
+"
n,m"
-Ä„
Ä„
0'" n `" m
Å„Å‚
(3) " sin nxsin mx dx = .
òÅ‚
+"
n,m"
ółĄ '" n = m
-Ä„
Wniosek. Jeżeli f x jest sumą jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego, to
( )
Ä„ Ä„
1 1
" an = f x cos nx dx , oraz " bn = f x sin nx dx .
( ) ( )
+" +"
n" n"
Ä„ Ä„
-Ä„ -Ä„
Definicja. Zał, że f jest R-całkowalna, an,bn są zdefiniowane powyższymi wzorami. Wtedy szereg
"
1
a0 + an cos nx + bn sin nx nazywamy szeregiem Fouriera dla f .
()
"
2
n=1
Uwaga. Nie każda funkcja f jest sumą swojego szeregu Fouriera, ponieważ suma szeregu jest
okresowa.
Twierdzenie. Zał, że f , g : a,b są ciągłe, oraz g ma stały znak. Wtedy
[ ]
bb
" f x g x dx = f c g x dx .
( ) ( ) ( ) ( )
+"+"
c" a,b
[ ]
aa
Twierdzenie. Zał, że f , g : a,b są ciągłe, g "C1 , oraz g jest monotoniczna. Wtedy
[ ]
bc b
" f x g x dx = g a f x dx + g b f x dx .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"+" +"
c" a,b
[ ]
aa c
b
sin nx
Lemat (1) " lim dx = 0 ;
+"
0x
a
1
"
sin nx
(2) dx jest zbieżna;
+"
x
0
""
sin nx sin x
(3) " lim dx = dx ;
+"+"
n>0 n"
xx
00
n+1 Ä„
( )
"
" "
sin nx sin nx
(4) Niech In = dx . Wtedy dx = , jest naprzemienny, oraz lim In = 0;
"I "I
n n
+" +"
n"
x x
n=0 n=0
nĄ 0
a Ä„ a Ä„
sin nx sin x sin nx sin x
Wniosek. " dx d" dx , " dx d" dx .
+"+" +"+"
n>0 a>0
xx xx
00 00
bb
(5) Zał, że f : a,b jest ciągła. Wtedy lim f x cosnxdx = 0 = lim f x sin nxdx ;
[ ] ( ) ( )
+"+"
n" n"
aa
b
sin nx Ä„
(6) dx = .
+"
x 2
a
b
Twierdzenie. Zał, że a > 0 , f : a,b , f "C1 i monotoniczna. Wtedy lim f x dx = , a
[ ] ( )sin nx Ä„
+"
n"
x 2
a
b
f x dx to całka Dirichleta.
( )sin nx
+"
x
a
Wniosek. Zał, że a > 0 , f : a,b jest funkcją przedziałami monotoniczną i przedziałami klasy
[ ]
C1 . Wtedy:
b a
sin nx Ä„ sin nx Ä„
(1) lim f x dx = Å" lim f x ; (2) lim f x dx = f+ 0 .
( ) ( ) ( )sin x 2 ( )
+" +"
n" n"
x0+
x 2
a 0
Twierdzenie. Zał, że f jest funkcją o okresie 2Ą , przedziałami monotoniczną i przedziałami klasy
C1 . Jeżeli dla każdego punktu nieciągłości x funkcji f spełniony jest warunek
1
f x = f- ( ) ( )
0 + f+ 0 . Wtedy funkcja f rozwija siÄ™ w szereg Fouriera.
( ) ()
2
2