WYKA
AD Nr 22
ELEMENTY TEORII POLA WEKTOROWEGO
Def.1.1. (pole skalarne)
Niech V ‚" R3 .
Jeżeli każdemu punktowi M (x, y, z)"V przyporządkowany jest skalar, tzn. liczba F(M ) to mówimy, że w
obszarze V określone jest pole skalarne.
Zatem, każdą funkcję F : V R nazywamy polem skalarnym określonym w obszarze V. Zamiast F(M )
możemy zapisać F(x, y, z) .
Def.1.2. (pole skalarne ciągłe, gładkie)
0
Pole skalarne F jest polem ciągłym, gdy funkcja F(x, y, z) jest funkcją klasy C (tj. funkcją ciągłą). Pole
skalarne F jest polem gładkim, gdy funkcja F(x, y, z) jest funkcją klasy C1 (tj. funkcja ta ma ciągłe
pochodne cząstkowe I  go rzędu).
n n
Uwaga: Możemy również mówić o polu skalarnym klasy C , jeśli funkcja F(x, y, z) jest funkcją klasy C
(tj. funkcja ta ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n  tego włącznie).
Def.1.3. (funkcja wektorowa)
r
Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R3 , gdzie I oznacza przedział na
r
prostej. Funkcje wektorowe zapisujemy w postaci: r (t) = [x(t), y(t), z(t) ], t " I .
r
Funkcją wektorową dwóch zmiennych nazywamy odwzorowanie r : " R3 , gdzie " oznacza obszar na
r
płaszczyz
nie. Funkcje wektorowe zapisujemy w postaci: r (u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v) ], (u,v) " " .
Mówimy, że funkcja wektorowa jest ciągła, różniczkowalna, całkowalna na pewnym przedziale I (na
pewnym obszarze " ), jeśli funkcje: x(t), y(t), z(t) , ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) są ciągłe, różniczkowalne,
całkowalne na I (na " ).
Def.1.4. (pole wektorowe)
Mówimy, że w obszarze przestrzennym V określone jest pole wektorowe, jeżeli każdemu punktowi
r
M(x, y, z) z tego obszaru V przyporzÄ…dkowany jest pewien wektor W = [ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ].
r
Współrzędne wektora W są funkcjami punktu M(x, y, z).
r
W jest symbolem funkcji wektorowej.
Pole wektorowe wyznaczone jest, zatem przez podanie trzech funkcji: P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
określonych w pewnym obszarze V, co możemy zapisać:
r
r r r
W = P(x, y, z) Å" i + Q(x, y, z) Å" j + R(x, y, z) Å" k , gdzie (x, y, z)"V ,
r
W (P,Q, R)
lub też
r
W (x, y, z)
281
n
Def.1.5. (pole wektorowe ciągłe, różniczkowalne, klasy C )
r
Pole wektorowe W (x, y, z) nazywamy polem ciągłym, różniczkowalnym, jeżeli współrzędne wektora pola są
funkcjami ciągłymi, różniczkowalnymi.
r
n n
Pole wektorowe W (x, y, z) jest klasy C , jeśli jego współrzędne są funkcjami klasy C .
Def.1.6. (pole wektorowe jednostajne)
Pole wektorowe nazywamy polem jednostajnym, jeśli wszystkie wektory tego pola są równe, tj. mają ten
sam kierunek, zwrot i długość.
Def.1.7. (linia pola wektorowego)
Linią pola wektorowego nazywamy taką krzywą, która jest styczna w każdym swym punkcie do wektora
pola odpowiadajÄ…cemu temu punktowi.
Przykłady pól wektorowych: pole elektryczne, pole grawitacyjne.
Def.1.8. (operator Hamiltona, nabla)
Operatorem wektorowym nabla (operatorem Hamiltona) oznaczanym " , nazywamy wektor symboliczny o
" " "
składowych symbolicznych: , , . Jest to operator różniczkowania rzędu pierwszego.
" x " y " z
Zatem
r
r r
îÅ‚ Å‚Å‚
" " " " " "
(1) " = i + j + k lub " = , ,
ïÅ‚" x " y " z śł
" x " y " z
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga: Działanie nabli na pole skalarne lub wektorowe polega na tym, że nablę traktujemy jako wektor, a
" " F
wynikiem  mnożenia np. przez funkcję F(x, y, z) jest pochodna cząstkowa .
" x " x
Def.1.9. (gradient funkcji skalarnej)
Niech funkcja F(x, y, z) posiada pochodne czÄ…stkowe I  go rzÄ™du w obszarze V ‚" R3 .
" F " F " F
Gradientem funkcji skalarnej F(x, y, z) nazywamy wektor o składowych: , , . Gradient
" x " y " z
funkcji F oznaczamy: grad F .
Zatem
r
r r
" F " F " F îÅ‚ Å‚Å‚
" F " F " F
(2) grad F = i + j + k lub grad F = , ,
ïÅ‚ śł
" x " y " z " x " y " z
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga: Wykorzystując operator Hamiltona możemy zapisać: grad F = " F .
Fakt 1.1. (własności gradientu funkcji skalarnej)
Niech V ‚" R3 , Ä…, ² " R oraz funkcje F (x, y, z) , G(x, y, z) majÄ… gradienty w obszarze V.
Wówczas:
1. grad(Ä… F + ² G)= Ä… grad F + ² grad G ;
2. grad(F G)= G grad F + F grad G ;
282
F G grad F - F grad G
ëÅ‚ öÅ‚
3. grad = , gdzie G(x, y, z) `" 0 ;
ìÅ‚ ÷Å‚
2
G
íÅ‚ Å‚Å‚ G
r
4. grad F = 0 Ô! F(x, y, z) = const .
2 2
Przykład: Wyznaczyć gradient funkcji skalarnej F(x, y, z) = x2 + y + z .
RozwiÄ…zanie:
2 2
Funkcja F(x, y, z) = x2 + y + z ma pochodne cząstkowe rzędu I  go w obszarze V = R3 \ {(0, 0, 0)}.
Wyznaczamy pochodne cząstkowe I  go rzędu funkcji F:
" F 1 x " F y " F z
= Å" 2x = , = , = .
2 2 2 2 2 2 2
" x " y " z
2 x2 + y + z x2 + y2 + z x2 + y + z x2 + y + z
r
r r
x y z
Zatem grad F = i + j + k
2 2 2 2 2
x2 + y + z x2 + y2 + z x2 + y + z
lub
îÅ‚ Å‚Å‚
x y z
ïÅ‚ śł
grad F = , , .
2 2 2 2 2
ïÅ‚ śł
x2 + y2 + z x2 + y + z x2 + y + z
ðÅ‚ ûÅ‚
Def.1.10. (dywergencja pola wektorowego)
r
Niech bÄ™dzie dane pole wektorowe W (P, Q, R) różniczkowalne w sposób ciÄ…gÅ‚y w obszarze V ‚" R3 .
r r
Dywergencją pola wektorowego W (P, Q, R) oznaczaną div W nazywamy funkcję skalarną określoną
wzorem:
r r r
" P " Q " R
(3) div W = " o W lub div W = + +
" x " y " z
Def.1.11. (pole bezz
ródłowe)
r
Pole wektorowe W (P,Q, R) nazywamy polem bezz
ródłowym, jeżeli w każdym jego punkcie zachodzi
r
warunek: div W = 0 .
Fakt.1.2. (własności dywergencji)
r
Niech V ‚" R3 , Ä…, ² " R , funkcja F (x, y, z) ma gradient w obszarze V oraz pola wektorowe W1(P1, Q1, R1) ,
r
W2 (P2 , Q2 , R2 ) są różniczkowalne w sposób ciągły w tym obszarze.
Wówczas:
r r r r
1. div(Ä… W1 + ² W2)= Ä… divW1 + ² divW2 ;
r r r
2. div(F W1 )= (grad F)o W1 + F divW1 .
Uzasadnienie własności 2.:
r
Niech F(x, y, z) , W1(P1, Q1, R1) . Wówczas:
r
" " " " F " P1 " F " Q1
div(F W1 )= (F P1 )+ (F Q1 )+ (F R1 )= Å" P1 + F Å" + Å" Q1 + F Å" +
" x " y " z " x " x " y " y
283
" F " R1 ëÅ‚ " F " F " F öÅ‚ ëÅ‚ " P1 " Q1 " R1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ Å" R1 + F Å" = Å" P1 + Å" Q1 + Å" R1 ÷Å‚ + F Å" + F Å" + F Å" =
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" z " z " x " y " z " x " y " z
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
r r
îÅ‚" F " F " F Å‚Å‚ ëÅ‚ " P1 " Q1 " R1 öÅ‚
ìÅ‚
= , , o [ P1 , Q1 , R1 ]+ F Å" + + ÷Å‚ = (grad F)o W1 + F divW1
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y " z " x " y " z
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
r
r r r
2
Przykład: Wyznaczyć dywergencję pola wektorowego: W = xz3 i + 2x2 y4 j + 5yz k .
RozwiÄ…zanie:
4 2
W rozważanym przypadku mamy: P(x, y, z) = xz3 , Q(x, y, z) = 2x2 y , R(x, y, z) = 5yz .
" P " Q " R
StÄ…d = z3 , = 8x2 y3 , =10yz .
" x " y " z
r
Zatem divW = z3 + 8x2 y3 + 10yz .
Def.1.12. (rotacja pola wektorowego)
r
Niech W (P,Q, R) pole wektorowe różniczkowalne w sposób ciÄ…gÅ‚y w obszarze V ‚" R3 .
r r
Rotacją pola wektorowego W (P, Q, R) , którą oznaczamy symbolem rot W , nazywamy wektor będący
r
iloczynem wektorowym wektora symbolicznego nabla " i wektora pola W :
r r
(4) rot W = " ×W .
Korzystając z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów możemy zapisać:
r
r r
i j k
r
" " "
(5) rot W = .
" x " y " z
P Q R
Uwaga: Rozwijając powyższy wyznacznik według pierwszego wiersza otrzymamy składowe rotacji wzdłuż
osi układu, a mianowicie:
r
r r r
ëÅ‚ " R " Q " P " R " Q " P öÅ‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
ìÅ‚
rot W = - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
i + j + k .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" y " z " z " x " x " y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Def.1.13. (pole bezwirowe)
r r r
Pole wektorowe W (P, Q, R) nazywamy polem bezwirowym, jeżeli w każdym jego punkcie rot W = 0 .
Fakt 1.3. (własności rotacji)
r
Niech V ‚" R3 , Ä…, ² " R , funkcja F (x, y, z) ma gradient w obszarze V oraz pola wektorowe W1(P1, Q1, R1) ,
r
W2 (P2 , Q2 , R2 ) są różniczkowalne w tym obszarze.
Wówczas:
r r r r
1. rot(Ä… W1 + ² W2)= Ä… rotW1 + ² rotW2 ;
r r r
2. rot(F W1 )= (grad F)×W1 + F rotW1 .
r
Przykład: Wyznaczyć rotację pola wektorowego: W = [cos z, cos x , cos y ].
284
RozwiÄ…zanie:
W naszym przypadku mamy: P(x, y, z) = cos z , Q(x, y, z) = cos x , R(x, y, z) = cos y.
StÄ…d na podstawie (7) mamy:
r
r r
i j k
r r r
ëÅ‚ ëÅ‚
" " " " " " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
rot W = = (cos y)- (cos x)öÅ‚ i + (cos z)- (cos y)öÅ‚ j +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y " z " y " z " z " x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
cos z cos x cos y
r r
r r
ëÅ‚ " "
ìÅ‚ ÷Å‚
+ (cos x)- (cos z)öÅ‚ k = (- sin y)Å"i + (- sin z)Å"i + (- sin x)Å"k
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y
íÅ‚ Å‚Å‚
r
Ostatecznie: rot W = [- sin y , - sin z , - sin x ].
Def.1.14. (laplasjan funkcji skalarnej)
Laplasjanem funkcji skalarnej F(x, y, z) oznaczanym symbolem "2 F , nazywamy funkcjÄ™ skalarnÄ…
określoną wzorem:
2 2 2
" F " F " F
(6) "2 F = + + .
2
" x2 " y2 " z
y
Przykład: Wyznaczyć laplasjan funkcji: F(x, y, z) = z - arctg .
x
RozwiÄ…zanie:
Funkcja określona na obszarze przestrzennym V = {(x, y, z) : x `" 0 '" y " R '" z " R }.
Obliczamy kolejno pochodne cząstkowe I  go rzędu:
" F 1 y y " F 1 1 x " F
ëÅ‚ öÅ‚
= - Å" = , = - Å" = - , =1.
ìÅ‚- ÷Å‚
2 2 2
" x " y x " z
x2 x2 + y2
íÅ‚ Å‚Å‚ x2 + y
y y
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 + 1 +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczamy pochodne cząstkowe II go rzędu (czyste):
ëÅ‚ öÅ‚
"2 F - 1 - 2xy
ìÅ‚ ÷Å‚
= y Å" 2x = ,
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
" x2
(x2 + y ) (x2 + y )
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"2 F - 1 2xy
ìÅ‚ ÷Å‚
= -x Å" 2y = ,
2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
" y
(x2 + y ) (x2 + y2)
íÅ‚ Å‚Å‚
"2 F
= 0
2
" z
- 2xy 2xy
StÄ…d, na podstawie (6) otrzymujemy: "2 F = + + 0 .
2 2
2 2
(x2 + y ) (x2 + y )
Zatem ostatecznie: "2 F = 0 .
285
Def.1.15. (potencjał skalarny pola wektorowego)
Niech V ‚" R3 oraz F : V R .
r
Potencjałem skalarnym pola wektorowego W (P, Q, R) nazywamy taką funkcję skalarną F(x, y, z) , której
gradient równa się wektorowi pola, tj.
r
(7) grad F = W .
Równanie (7) jest równoważne trzem równaniom postaci:
" F " F " F
(8) = P(x, y, z) , = Q(x, y, z) , = R(x, y, z) .
" x " y " z
Def.1.16. (pole potencjalne)
Pole wektorowe posiadające potencjał skalarny nazywamy polem potencjalnym.
Tw.1.1. (warunek konieczny i wystarczajÄ…cy na potencjalne pole wektorowe)
r
Niech V ‚" R3 bÄ™dzie obszarem jednospójnym, W (P, Q, R)  polem wektorowym okreÅ›lonym w tym
obszarze, F(x, y, z)  funkcją dwukrotnie różniczkowalną na tym obszarze przestrzennym.
r
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby pole wektorowe W (P, Q, R) było potencjalne jest, aby
r r
rotacja tego pola w każdym punkcie obszaru V była wektorem zerowym, tj. rot W = 0 .
Uwaga: Wyznaczanie potencjału skalarnego pola wektorowego jest równoważne całkowaniu różniczki
zupełnej P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz , gdyż wyznaczyć potencjał pola wektorowego
r
W (P, Q, R) oznacza znalez
ć funkcję pierwotną F(x, y, z) układu trzech funkcji: P(x, y, z) , Q(x, y, z) ,
R(x, y, z) .
r
2 2
Przykład: Sprawdzić, czy pole wektorowe W =[- y - 2xz, 2yz - 2xy , y - x2 ] jest potencjalne. Jeśli tak,
wyznaczyć jego potencjał skalarny.
RozwiÄ…zanie:
r
2 2
Pole wektorowe W =[- y - 2xz, 2yz - 2xy , y - x2 ] jest określone w całej przestrzeni trójwymiarowej.
2 2
W rozważanym przypadku mamy: P(x, y, z) = - y - 2xz, Q(x, y, z) = 2yz - 2xy , R(x, y, z) = y - x2 .
Obliczamy rotacjÄ™ podanego pola wektorowego:
r
r r
i j k
r
r
ëÅ‚
" " " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
rot W = = (y2 - x2)- (2yz - 2xy)öÅ‚ i +
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y " z " y " z
íÅ‚ Å‚Å‚
2
- y - 2xz 2yz - 2xy y2 - x2
r
ëÅ‚ ëÅ‚
" " " "
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ (- y2 - 2xz)- (y - x2)öÅ‚ r + + (2yz - 2xy)- (- y - 2xz)öÅ‚ k =
j
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" z " x " x " y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
r r
r r
= (2y - 2y)Å"i + (- 2x + 2x)Å"i + (- 2y + 2y)Å" k = 0
r r
Zatem " (x, y, z)" R3 rot W = 0 .
Wobec tego pole to jest polem potencjalnym.
286
Wyznaczamy teraz funkcję F(x, y, z) będącą potencjałem tego pola. Zgodnie z Def.1.15. i wzorem (8)
mamy:
" F
2
(1) = -y - 2xz ,
" x
" F
(2) = 2yz - 2xy ,
" y
" F
(3) = y2 - x2 .
" z
Całkujemy (1) względem zmiennej x, traktując zmienne y, z jako stałe:
2
(4) F(x, y, z) = -x y - x2 z + Õ(y, z) ,
gdzie Õ( y, z) jest dowolnÄ… funkcjÄ… różniczkowalnÄ… peÅ‚niÄ…cÄ… rolÄ™ staÅ‚ej caÅ‚kowania.
Różniczkujemy (4) względem zmiennej y i otrzymany wynik porównujemy z (2):
" F "Õ
(5) = -2xy +
" y " y
po porównaniu otrzymujemy:
"Õ
(6) - 2xy + = 2yz - 2xy
" y
StÄ…d
"Õ
(7) = 2yz
" y
Całkujemy (7) względem zmiennej y, traktując z jako stałą, wówczas:
(8) Õ(y, z) = z y2 + Ć(z) ,
gdzie Ć(z) dowolna funkcja różniczkowalna pełniąca rolę stałej całkowania.
Wstawiamy (8) do (4):
2 2
(9) F(x, y, z) = -x y - x2 z + z y + Ć(z)
Różniczkujemy (9) względem zmiennej z, a następnie porównujemy z (3).
StÄ…d
" F
2
2
(10) = -x2 + y + Ć (z)
" z
2
2
więc: - x2 + y2 + Ć (z) = y - x2
Zatem
2
(11) Ć (z) = 0
Całkując (11) względem z:
(12) Ć(z) = C ,
gdzie C  dowolna stała.
Wstawiając (12) do (9) otrzymujemy szukany potencjał danego pola wektorowego:
287
2 2
(13) F(x, y, z) = -x y - x2 z + z y + C .
r
Uwaga: Wyznaczając w obszarze jednospójnym V potencjał skalarny pola wektorowego W (P,Q, R)
możemy korzystać ze wzoru:
y
x z
F(x, y, z) = P(x, y, z) dx + R(x0 , y0 , z) dz + C ,
0
+" +"Q(x , y, z) dy + +"
x0 y0 z0
gdzie M (x0 , y0 , z0 ) jest dowolnym punktem obszaru V, w którym pole wektorowe jest różniczkowalne, a C
0
 dowolną stałą.
Tw.1.2.
r
Jeżeli pole wektorowe W (P, Q, R) posiada potencjaÅ‚ skalarny F(x, y, z) w obszarze V ‚" R3 , funkcja
F : V R jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na tym obszarze, to dywergencja gradientu
potencjału równa się laplasjanowi potencjału, tj. div( grad F)= "2 F .
Tw.1.3.
Jeżeli funkcja F : V R jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciÄ…gÅ‚y na obszarze V ‚" R3 , to rotacja
r
gradientu tej funkcji jest wektorem zerowym, tj. rot ( grad F)= 0 .
Tw.1.4.
r
Jeżeli pole wektorowe W (P, Q, R) jest dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciÄ…gÅ‚y na obszarze V ‚" R3 , to
r
dywergencja rotacji tego pola wektorowego równa się zeru, tj. div(rot W)= 0 .
Def.1.17. (potencjał wektorowy pola wektorowego)
r
r
Potencjałem wektorowym pola wektorowego W nazywamy każde pole wektorowe a spełniające warunek:
r
r
(9) rot a = W .
Def.1.18. (pole solenoidalne)
Pole wektorowe posiadające potencjał wektorowy nazywamy polem solenoidalnym.
Tw.1.5.
r
Niech W (P, Q, R) różniczkowalne pole wektorowe w obszarze przestrzennym V.
r r
Pole wektorowe W jest solenoidalne wtedy i tylko wtedy, gdy div W = 0 (pole bezz
ródłowe). Potencjał
r
wektorowy pola solenoidalnego W wyraża się wzorem:
y
x x
ëÅ‚ öÅ‚
r
r
r
ìÅ‚ ÷Å‚
(10) a = j R(x, y, z) dx + k P(x0 , y, z) dy + grad F ,
+" +"Q(x, y, z) dx + +"
ìÅ‚- ÷Å‚
x0 x0 y0
íÅ‚ Å‚Å‚
r
gdzie M (x0 , y0 , z0 ) jest dowolnym punktem obszaru V, w którym pole wektorowe W jest
0
2
różniczkowalne, a F  dowolne pole skalarne klasy C .
288
r
Przykład: Sprawdzić, czy pole wektorowe W = [xz - xy, xy - yz, yz - xz ] jest solenoidalne i ewentualnie
znalez
ć jego potencjał wektorowy.
RozwiÄ…zanie:
r
Sprawdzamy, czy div W = 0 ?
r
Ponieważ div W = (z - y)+ (x - z)+ (y - x)= 0 , więc dane pole wektorowe jest polem solenoidalnym.
2
Wyznaczamy jego potencjał wektorowy, przyjmując M (0, 0, 0) i dowolną funkcję klasy C : F(x, y, z) .
0
Wówczas zgodnie z (10) mamy:
y x
x x
r ëÅ‚ öÅ‚
r
r
ìÅ‚- - yz) dx + Å" z - 0 Å" y) dy÷Å‚ + grad F = r ëÅ‚ 1 öÅ‚ +
a = j - xz) dx + k j xyz - x2 z
ìÅ‚ ÷Å‚
+"(yz +"(xy +"(0
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
0
0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
x
îÅ‚ëÅ‚ 1 Å‚Å‚
r rëÅ‚ 1
r
îÅ‚
1 " F " F " F Å‚Å‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
+ k ïÅ‚ x2 y + xyz + 0 śł + grad F = j xyz - x2 z + k x2 y + xyzöÅ‚ + , , =
ìÅ‚-
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚-
÷Å‚
ïÅ‚ śł
2 2 " x " y " z
ïÅ‚ Å‚Å‚ śł íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0
ðÅ‚íÅ‚ 2 ûÅ‚
îÅ‚" F 1 " F 1 " F Å‚Å‚
= , xyz - x2 z + , xyz - x2 y +
ïÅ‚ śł
" x 2 " y 2 " z
ðÅ‚ ûÅ‚
Ostatecznie potencjałem wektorowym danego pola wektorowego jest każdy wektor postaci:
îÅ‚
r " F 1 " F 1 " F Å‚Å‚
a = , xyz - x2 z + , xyz - x2 y + ,
ïÅ‚ śł
" x 2 " y 2 " z
ðÅ‚ ûÅ‚
2
gdzie F(x, y, z)  dowolna funkcja skalarne klasy C
289