WYKA
AD Nr 25
ELEMENTY RACHUNKU OPERATOROWEGO
1. PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A
Def.1.1. (oryginał)
Funkcję zmiennej rzeczywistej f (t) nazywamy oryginałem (laplace owskim), jeśli spełnia następujące
warunki:
1° " t < 0 f (t) = 0
2° f (t) speÅ‚nia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym skoÅ„czonym przedziale 0,T , T > 0 tj.
" f (t) przedziałami monotoniczna na przedziale 0,T tj. przedział ten można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których
funkcja f (t) jest monotoniczna;
" f (t) jest ciągła na przedziale 0,T , z wyjątkiem, co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w
1
îÅ‚
każdym punkcie nieciągłości t0 spełniony jest warunek: f (t0 ) = lim f (t) + lim f (t)łł
ïÅ‚ - tt0 +
śł
2 ðÅ‚tt0 ûÅ‚
3° " M > 0 " Á e" 0 " t e" 0 f (t) d" MeÁt
Å„Å‚ 0 t < 0
ôÅ‚
1
ôÅ‚
Przykład: Sprawdzić, czy funkcja f (t) = t = 0 jest oryginałem.
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
et t > 0
ół
RozwiÄ…zanie:
Wykres funkcji przedstawiono na Rys.1 (pogrubiona linia ciągła).
f (t)
et
e2t
1
t
Rys.1.
Podana funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta na przedziale 0, + "). Istnieją również stałe
M , Á (np. M = 1, Á = 2 ), dla których speÅ‚niony jest warunek 3° Def.1.1. Ze wzoru funkcji wynika, że dla
t < 0 f (t) = 0 .
Def.1.2. (przekształcenie Laplace a, transformata Laplace a)
Transformatą Laplace a funkcji f (t) nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej określoną
+"
następująco: F(s) = f (t) e-st dt i oznaczamy L[f (t)].
+"
0
321
Tw.1.1. (o zbieżności całki Laplace a)
+"
CaÅ‚ka Laplace a f (t) e-st dt jest zbieżna dla x < Á , natomiast rozbieżna dla x e" Á .
+"
0
Uzasadnienie:
+" ² ²
Badamy zbieżność: f (t) e-st dt = lim f (t) e-st dt d" lim f (t) Å" e-st dt
+" +" +"
²+" ²+"
0 0 0
Funkcja f (t) jest oryginaÅ‚em, wiÄ™c f (t) d" MeÁt , ponadto ze wzorów Eulera zakÅ‚adajÄ…c s = x + jy
mamy e-st = e-tx- jty = e-tx (cos ty - j sin ty) = e-tx .
Zatem otrzymamy
² ² ²
²
M
lim f (t) e-st dt d" lim MeÁt e-tx dt = lim M et(Á-x) dt = lim et(Á-x) =
+" +" +"
0
²+" ²+" ²+" ²+"
Á - x
0 0 0
M
= lim (e²(Á-x) - 1).
²+"
Á - x
Granica ta istnieje przy zaÅ‚ożeniu, że Á - x < 0 , czyli x > Á .
Tw.1.2.
Jeżeli f (t) jest oryginałem, to transformata F(s) istnieje na półpłaszczyz
nie Re s > Á .
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji:
0 t < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
a) funkcji jednostkowej 1(t) = t = 0 b) funkcji wykÅ‚adniczej eat Å"1(t)
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 t > 0
ół
RozwiÄ…zanie: Korzystamy z Def.1.2.
Ad a)
²
+" +" ²
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
-st
+"1(t) Å" e-st dt = +"1Å" e-st dt = lim +"e dt = lim ìÅ‚- e-st ÷Å‚ = - lim e-s²
²+" ²+" ²+"
s s s
íÅ‚ Å‚Å‚
0
0 0 0
Ponieważ lim e-s² = 0, gdy Re s > 0 (uzasadnienie tego znajduje siÄ™ poniżej).
²+"
Niech s = x + jy, x > 0 . StÄ…d lim e-s² = lim e-²x- j²y = lim e-²x (cos ²y - j sin ²y) = lim e-²x = 0
²+" ²+" ²+" ²+"
Zatem skoro lim e-s² = 0 , to lim e-s² = 0 .
²+" ²+"
1
Ostatecznie: L[1(t)]=
s
Ad. b)
²
+" +" ²
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
at t(a-s) t(a-s)
+"e Å"1(t) Å" e-st dt = +"e dt = lim +"e dt = lim ìÅ‚ et(a-s) ÷Å‚ = - lim e²(a-s)
²+" ²+" ²+"
a - s s - a a - s
íÅ‚ Å‚Å‚
0
0 0 0
322
Analogicznie jak poprzednio: .
lim e²(a-s) = 0 dla Re s > Re a
²+"
1
Zatem L[eat Å"1(t)]= .
s - a
Własności transformacji Laplace a
Niech f (t), g(t)  oryginały, a,b  dowolne stałe, t0  liczba rzeczywista, s0  liczba zespolona.
Wówczas
1. L[af (t) + bg(t)]= a L[f (t)]+b L[g(t)] (liniowość przekształcenia Laplace a)
1 s
2. Jeżeli L[f (t)]= F(s) , to L[f (at)]= FëÅ‚ öÅ‚ (podobieÅ„stwo)
ìÅ‚ ÷Å‚
a a
íÅ‚ Å‚Å‚
3. Jeżeli L[f (t)]= F(s) , to L[f (t - t0 )]= e-st0 F(s) (przesunięcie w argumencie oryginału)
4. Jeżeli L[f (t)]= F(s) , to L[es0t f (t)]= F(s - s0 ) (przesunięcie w argumencie obrazu)
PrzykÅ‚ad: Wyznaczyć korzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci: a) L[eat Å"1(t)] b) L[sin Ét]
RozwiÄ…zanie:
Ad. a)
1 1
KorzystajÄ…c z przesuniÄ™cie w argumencie obrazu oraz L[1(t)]= mamy: L[eat Å"1(t)]= F(s - a)=
s s - a
Ad. b)
FunkcjÄ™ sin Ét należy rozumieć jako sin Ét Å"1(t) . KorzystajÄ…c z liniowoÅ›ci oraz przesuniÄ™cia w
argumencie obrazu mamy:
îÅ‚e jÉt e- jÉt Å‚Å‚
- 1 1 1 1 1 1 s + jÉ - s + jÉ
jÉt
L[sin Ét]=L = L[e ]- L[e- jÉt]= Å" - Å" = =
ïÅ‚ śł
2 j 2 j 2 j 2 j s - jÉ 2 j s + jÉ
2 j (s2 + É2)
ðÅ‚ ûÅ‚
É
= .
s2 + É2
RÓŻNICZKOWANIE I CAA
KOWANIE ORYGINAA
U I TRANSFORMATY
Tw.1.3. (o różniczkowaniu oryginału)
Jeżeli funkcja f (t) oraz jej pochodne do rzędu (n -1) włącznie są oryginałami, a ponadto istnieje na
(n)
przedziale (0, + ") ciągła pochodna f (t) , to istnieje transformata Laplace a tej pochodnej, przy czym
n
(n) n n-k -1)
(*) L[f (t)]= s F(s) - (0+),
"s f (k
k =1
(k -1) (k -1)
gdzie f (0+)= lim f (t).
t0+
Ze wzoru (*) korzystamy często w przypadkach, gdy n = 1 lub n = 2 ; mamy wówczas:
2
L[f (t)]= s Å" F(s) - f (0+ )
2 2 2
L[f (t)]= s2 Å" F(s) - sf (0+ ) - f (0+ )
323
Tw.1.4. (o różniczkowaniu transformaty)
n
d F(s)
n
Jeżeli L[f (t)]= F(s) , to L[t Å" f (t)]= (-1)n Å" dla każdego n " N .
dsn
Tw.1.5. (o całkowaniu oryginału)
t
F(s)
Jeżeli L[f (t)]= F(s) , to f (Ä) dÄ = .
+"
s
0
Tw.1.6. (o całkowaniu transformaty)
+"
f (t)
îÅ‚ Å‚Å‚
Jeżeli L[f (t)]= F(s) , to L = F(s) ds .
ïÅ‚ śł +"
t
ðÅ‚ ûÅ‚
s
sin Ét
PrzykÅ‚ad: Wyznaczyć transformaty nastÄ™pujÄ…cych funkcji: a) f (t) = t sin Ét b) f (t) =
t
RozwiÄ…zanie:
Ad. a)
É
Wiemy, że L[sin Ét] = F(s) = .
s2 + É2
Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu transformaty mamy:
d - 2És 2És
L[t Å" sin Ét]= (-1)1 Å" F(s) = - = .
2 2
ds
(s2 + É2) (s2 + É2)
Ad. b)
Ponieważ dzieleniu oryginału przez t odpowiada całkowanie transformaty, więc
²
²
+" ²
É
s = Éu
sin Ét É É É2du
îÅ‚ Å‚Å‚
É
L = ds = lim ds = = lim = lim [arctg u] =
s
ïÅ‚ śł +" +" +" 2
t
ðÅ‚ ûÅ‚ s2 + É2 ²+" s2 + É2 ds = É du ²+" É2u + É2 ²+"
s
s s
É
É
² s Ä„ s
îÅ‚arctg - arctg Å‚Å‚
= lim = - arctg
ïÅ‚
²+"
É Éśł 2 É
ðÅ‚ ûÅ‚
SPLOT FUNKCJI
Def.1.3. (splot funkcji)
Niech f1( t), f2 ( t) będą oryginałami. Splotem funkcji f1( t) i f2 ( t) nazywamy funkcję f3 ( t) określoną
t
wzorem: f3 ( t) = f1(Ä) f2 (t - Ä) dÄ i oznaczamy f3 ( t) = f1( t) * f2 ( t) .
+"
0
Tw.1.7.
Splot dwóch oryginałów jest oryginałem.
324
Własności splotu funkcji
1. Splot funkcji jest przemienny: f1(t) * f2 (t) = f2 (t) * f1(t)
2. Splot funkcji jest Å‚Ä…czny: [f1(t) * f2 (t)]* f3 (t) = f1(t) *[f2 (t) * f3 (t)]
3. Rozdzielność splotu względem dodawania: f1(t) *[f2 (t) + f3 (t)]= f1(t) * f2 (t) + f1(t) * f3 (t)
Przykład: Wyznaczyć splot funkcji f1(t) = t, f2 (t) = et .
RozwiÄ…zanie:
KorzystajÄ…c z Def.1.3 mamy:
t t t t
îÅ‚ Å‚Å‚
t t
t-Ä t -Ä -Ä
t * et = (- (-
+"Äe dÄ = +"Äe e-Ä dÄ = et +"Äe dÄ = et ïÅ‚ Äe-Ä) + +"e dÄśł = et îÅ‚ te-t + e-Ä) Å‚Å‚ =
ïÅ‚- śł
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
0 0 0 ðÅ‚ 0 ûÅ‚
= et(- te-t - e-t + 1)= -t - 1 + et .
Tw.1.8.(tw. Borela)
Jeżeli f1(t), f2 (t) są oryginałami, to istnieje transformata Laplace a ich splotu, przy czym:
L[f1(t) * f2 (t)]= L[f1( t)]Å"L[f2 (t)]
Przykład: Wyznaczyć transformatę splotu funkcji: f1( t) = t, f2 ( t) = et .
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy transformatÄ™: L[t * et]= L[t]Å" L[et].
d 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
KorzystajÄ…c z Tw. o różniczkowaniu transformaty mamy: L[t] = L[t Å"1(t)]= (- 1)Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ds s
íÅ‚ Å‚Å‚ s
1 1
Ponieważ L[eat Å"1(t)]= , wiÄ™c dla a = 1 otrzymamy L[et]= .
s - a s - 1
StÄ…d ostatecznie:
1 1 1
L[t * et]= Å" = .
s
s2 - 1 - s2
s3
TRANSFORMATA FUNKCJI OKRESOWEJ
Tw.1.9. (o transformacie oryginału okresowego)
Jeżeli oryginał f (t) jest na przedziale (0,+") funkcją okresową o okresie T, to jej transformata Laplace a
jest postaci:
T
1
-st
F(s) =
+"e f (t) dt
1- e-sT
0
325
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji okresowej f (t) o okresie T, której wartości w przedziale
0,T dane sÄ… wzorem:
1
Å„Å‚
A t = 0
ôÅ‚
2
ôÅ‚
1
ôÅ‚
A 0 < t < T
ôÅ‚
2
f (t) =
òÅ‚
1 1
ôÅ‚
A t = T
ôÅ‚
2 2
ôÅ‚
1
ôÅ‚
0 T < t < T
ół 2
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie Tw.1.9 mamy:
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
T T
T T
ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 2
1 1 1
-st -st -st -st
ìÅ‚
L[f (t)]=
+"e f (t) dt = +"e A dt + +"e Å" 0 dt ÷Å‚ = +"e A dt =
1- e-sT 1- e-sT ìÅ‚ ÷Å‚ 1- e-sT
1
0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
1
T 1
ëÅ‚ - sT
öÅ‚
2
1 A 1 A
îÅ‚
ìÅ‚1- 2 ÷Å‚
= e-st Å‚Å‚ = Å" e
śł
÷Å‚
1- e-sT ïÅ‚- s s
ðÅ‚ ûÅ‚ 1- e-sT ìÅ‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚
PrzykÅ‚ad: Wyznaczyć transformatÄ™ funkcji f (t) = sin Ét .
RozwiÄ…zanie:
Ä„ Ä„
Funkcja ta jest funkcjÄ… okresowÄ… o okresie . Ponieważ dla 0 d" t d" jest sin Ét = sin Ét , wiÄ™c we
É É
Ä„
wzorze z Tw.1.9 wstawiamy: T = , f (t) = sin Ét .
É
Zatem otrzymamy:
Ä„
Ä„
É
1 1 1
É
F(s) = Å" [e-st (- s sin Ét - Écos Ét ) ] =
Ä„ +"sin Ét Å" e-st dt = Ä„
0
-s -s s2 + É2
0
É É
1- e 1- e
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
1 É
ìÅ‚1 + e-s É ÷Å‚
= Å"
Ä„ 2
÷Å‚
-s s + É2 ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
É
1 - e
2. ODWROTNE PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE A
WYJAÅšNIENIE POJ
CIA
Obok zagadnienia wyznaczania transformat danych funkcji ważnym jest również zagadnienie
znajdowania funkcji, których transformaty są znane. Zagadnienie to sprowadza się do rozwiązania
równania całkowego postaci
+"
(**) f (t) e-st dt = F(s) ,
+"
0
gdzie F(s) jest danÄ… funkcjÄ…, zaÅ› f (t) jest funkcjÄ… niewiadomÄ….
Równanie całkowe (**) można również zapisać w postaci następującego równania operatorowego
326
(***) L[f (t)]= F(s)
Jeżeli pewna funkcja f (t) jest rozwiązaniem równania całkowego (**), a tym samym równania
operatorowego (***), to ten fakt ten będziemy zapisywali
-1
(****) f (t) = L [F(s)]
Jak widać jeżeli równanie (***) posiada rozwiązanie dla funkcji F(s) należących do pewnej klasy, to
wzór (****) określa w tej klasie pewne przekształcenie (niekoniecznie jednoznaczne), które będziemy
nazywać odwrotnym przekształceniem Laplace a.
Przykłady:
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1
a) Ponieważ L[1(t)]= , Re s > 0 , zatem L = 1(t) .
ïÅ‚ śł
s s
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1
b) Ponieważ L[eat Å" 1(t)]= , Re s > Re a , zatem L = eat Å" 1(t) .
ïÅ‚ śł
s - a s - a
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga: W związku z zagadnieniem wyznaczania transformaty odwrotnej należy rozważyć następujące
problemy:
Dla jakich funkcji istnieje transformata odwrotna (zagadnienie istnienia)?
Czy dla tej samej funkcji może istnieć więcej niż jedna transformata odwrotna (zagadnienie
jednoznaczności)?
W jaki sposób wyznaczyć transformaty odwrotne zadanych funkcji?
Tw.2.1. (o istnieniu odwrotnej transformaty Laplace a)
Jeżeli funkcja F(s) określona w półpłaszczyz
nie zespolonej Re s > Á speÅ‚nia zaÅ‚ożenia:
dF
1. jest w tej półpłaszczyz
nie holomorficzna (tj. w każdym punkcie posiada pochodną ),
ds
2. lim F(s) = 0 ,
Im s"
+"
3. caÅ‚ka F(s + jÃ) dà jest zbieżna,
+"
-"
x+ j"
1
st -1
to funkcja f (t) =
+"e F(s) ds jest transformatÄ… odwrotnÄ… funkcji F(s) . (tzn. f (t) = L [F(s)] ).
2Ä„j
x- j"
x+ j" x+ jT
st st
Uwaga: F(s) ds = lim F(s) ds , (x > Á)
+"e +"e
T +"
x- j" x- jT
Dwie funkcje f (t) i g(t) majÄ… tÄ™ samÄ… transformatÄ™ Laplace a L[f (t)]= L[g(t)], Re s > Á , wtedy i tylko
wtedy, gdy są sobie równe prawie wszędzie (tzn. z wyjątkiem skończonej liczby punktów) w przedziale
(0,+"). Jeśli zatem istnieje jedna transformata odwrotna danej funkcji, to istnieje wiele transformat
odwrotnych tej funkcji, ale tylko jedna z nich może należeć do klasy oryginałów.
Tw.2.2. (o jednoznaczności odwrotnego przekształcenia Laplace a)
327
Jeżeli funkcja F(s) mająca w każdym skończonym przedziale pochodną przedziałami ciągłą, jest
transformatą pewnej funkcji f (t) należącej do klasy oryginałów, to funkcja f (t) jest jedyną funkcją w
klasie oryginałów, której transformatą jest funkcja F(s) .
Uwaga: Przez odwrotną transformatę Laplace a rozumieć będziemy funkcję należącą do klasy
-1
oryginałów. Wobec tego symbol L [F(s)] występujący we wzorze (****) oznaczać będzie odtąd tylko
to rozwiązanie równania (***), które jest oryginałem.
Tak rozumianą transformatę odwrotną danej funkcji F(s) możemy obliczyć posługując się wzorem
x+ j"
1
st
f (t) =
+"e F(s) ds , gdyż obliczajÄ…c tÄ™ caÅ‚kÄ™ otrzymamy: 1° f (t) = 0 t < 0
2Ä„j
x- j"
1
- +
2° f (t) = [ f (t ) + f (t ) ], t " R
2
WA
ASNOÅšCI TRANSFORMATY ODWROTNEJ
1. (Addytywność)
-1 -1
Jeżeli istnieją transformaty odwrotne L [F(s)] oraz L [G(s)] to
-1 -1 -1
L [F(s) + G(s)]= L [F(s)] + L [G(s)]
2. (Jednorodność)
-1
Jeżeli istnieje transformata odwrotna L [F(s)] i a jest dowolną liczbą zespoloną, to
-1 -1
L [a Å" F(s)]= a Å"L [F(s)]
OBLICZANIE TRANSFORMATY ODWROTNEJ
W praktyce, jeżeli znamy funkcję f (t) należącą do klasy oryginałów i znamy transformatę Laplace a tej
-1
funkcji F(s) = L[f (t)], to szukajÄ…c transformaty odwrotnej L [F(s)] nie stosujemy wzoru
x+ j"
1
st -1
f (t) =
+"e F(s) ds , lecz korzystamy ze zwiÄ…zku f (t) = L [F(s)].
2Ä„j
x- j"
Uwaga: Czynność tę ułatwiają nam tablice najczęściej występujących funkcji oraz ich transformat.
s +1
Przykład: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace a funkcji F(s) = .
s2(s + 2)
RozwiÄ…zanie:
s +1
Funkcję rozkładamy na ułamki proste:
s2(s + 2)
s +1 A B C
= + +
s s + 2
s2(s + 2) s2
Wyznaczamy współczynniki rozkładu:
s +1 a" A(s + 2)+ Bs(s + 2)+ Cs2
s +1 a" (B + C)s2 + (A + 2B)s + 2A
328
1
Å„Å‚
A =
ôÅ‚
2
B + C = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚ ôÅ‚
StÄ…d A + 2B = 1 czyli B = .
òÅ‚ òÅ‚
4
ôÅ‚ ôÅ‚
2A = 1
ół
ôÅ‚ 1
C = -
ôÅ‚
4
ół
s +1 1 1 1 1 1 1
Zatem = Å" + Å" - Å"
2 4 s 4 s + 2
s2(s + 2) s2
îÅ‚ Å‚Å‚
s +1 1 1 1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 -1 -1 -1 -1
Natomiast L [F(s)]= L = Å" L + Å" L - Å" L =
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚
2 4 s 4 s + 2śł
s2(s + 2)śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1 1 1 1
îÅ‚
= t Å" 1(t) + Å" 1(t) - e-2t Å" 1(t) = t + - e-2t Å‚Å‚ Å" 1(t) .
ïÅ‚2 4 4 śł
2 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚
3. ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI LAPLACE A DO ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC

RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH O STAA
YCH WSPÓA
CZYNNIKACH, UKA
ADÓW
RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH, RÓWNAC
CAA
KOWYCH I RÓWNAC
RÓŻNICZKOWO
CAA
KOWYCH
Metoda przekształcenia Laplace a korzystna jest przy wyznaczaniu rozwiązań równań różniczkowych
liniowych zwyczajnych zwłaszcza w przypadku, gdy są to równania o stałych współczynnikach.
W zasadzie stosując tę metodę wyznaczamy całkę szczególną równania, spełniającą zadane warunki
początkowe. Jeżeli jako warunki początkowe przyjmiemy dowolne stałe  otrzymujemy całkę ogólną.
ALGORYTM ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH METOD

TRANSFORMACJI LAPLACE A
1. Znajdujemy transformaty Laplace a obu stron równania różniczkowego przy uwzględnieniu
warunków początkowych (ułożenie równania dla obrazu);
2. Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne (wyznaczenie obrazu);
3. Wyznaczamy transformaty odwrotne (obliczenie oryginału).
2
Przykład: Wyznaczyć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego y + y = sin t przy warunku
poczÄ…tkowym y(0+ ) = 0 .
RozwiÄ…zanie:
Zakładamy, że równanie to jest tożsamością:
2
y (t) Å" 1(t) + y(t) Å" 1(t) = 1(t) Å" sin t
1. Ułożenie równania dla obrazu
WyznaczajÄ…c transformaty obu stron mamy:
2
L[y (t) Å" 1(t) + y(t) Å" 1(t)]= L[ 1(t) Å"sin t ]
czyli
2
L[y (t)]+ L[y(t)]= L[ sin t ]
W oparciu o wzór z Tw.1.3 (o różniczkowaniu oryginału) oraz znaną transformatę funkcji sin t mamy:
1
sY (s) - y(0+ ) + Y (s) =
s2 +1
329
Wstawiamy warunek początkowy i otrzymujemy równanie algebraiczne:
1
sY (s) + Y (s) =
s2 +1
2. Wyznaczenie obrazu
1
Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne: (s +1)Y (s) =
s2 +1
1
czyli Y (s) =
(s +1)(s2 +1)
1 1 1 s 1 1
Po rozÅ‚ożeniu na uÅ‚amki proste otrzymamy: Y (s) = Å" - Å" + Å" .
2 s + 1 2 2
s2 + 1 s2 + 1
3. Obliczenie oryginału
Stosując odwrotne przekształcenie Laplace a mamy:
1 1 1 s 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1
y(t) Å" 1(t) = L Å" - Å" + Å"
ïÅ‚2 s +1 2 s2 +1 2 s2 +1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1 s 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 -1 -1
y(t) Å" 1(t) = Å" L - Å"L + Å" L
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚
2 s +1śł 2 2
s2 +1śł s2 +1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
KorzystajÄ…c z tablic transformat Laplace a mamy:
1 1 1 1 1 1
îÅ‚
y(t) Å" 1(t) = e-t Å" 1(t) - cost Å" 1(t) + sin t Å" 1(t) = e-t - cost + sin tÅ‚Å‚ Å" 1(t)
ïÅ‚2 2 śł
2 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga: Rozwiązując równanie różniczkowe metodą operatorową zakładamy na wstępie, że istnieje
rozwiązanie będące oryginałem. Jeżeli po prawej stronie występuje funkcja 1(t) to otrzymane
rozwiązanie istotnie jest oryginałem.(dość często jednak w zapisie pomijamy funkcję jednostkową: np.
1 1 1
y(t) = e-t - cost + sin t ).
2 2 2
Uwaga: W przypadku rozwiązywania metodą operatorową układów równań różniczkowych postępujemy
podobnie; dla każdego równania układamy równanie dla obrazu, rozwiązujemy otrzymany układ równań
algebraicznych (wyznaczamy poszczególne obrazy) a następnie wyznaczamy ich transformaty odwrotne.
METODA OPERATOROWA DLA RÓWNAC
CAA
KOWYCH I RÓWNAC
RÓŻNICZKOWO
CAA
KOWYCH
Równaniem całkowym nazywamy równanie, które zawiera szukaną funkcję pod znakiem całki.
Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywają równania całkowe liniowe postaci:
t
a Å" x(t) = f (t) + K(t, Ä) Å" x(Ä) dÄ
+"
t0
gdzie x(t) jest szukanÄ… funkcjÄ…, zaÅ› f (t), K(t, Ä) sÄ… funkcjami znanymi, a, t0 to wielkoÅ›ci staÅ‚e.
Równanie całkowe tej postaci nazywamy równaniem całkowym Volterry I rodzaju gdy a = 0
(niewiadoma występuje tylko pod znakiem całki) i równaniem całkowym Volterry II rodzaju gdy a `" 0
(niewiadoma występuje poza całką jako osobny składnik).
DanÄ… funkcjÄ™ K(t, Ä) nazywamy jÄ…drem równania caÅ‚kowego.
330
Uwaga: W poniższych przykładach w zapisie została pominięta funkcja jednostkowa.
t
Przykład: Znalez
ć rozwiÄ…zanie równania caÅ‚kowego x(t) = cost - 2 - Ä) Å" x(Ä) dÄ , gdzie x(t) jest
+"cos(t
0
funkcjÄ… niewiadomÄ….
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy transformaty obydwu stron równania
t
îÅ‚ Å‚Å‚
L[x(t)]= L[ cost ]- 2 L (t - Ä) Å" x(Ä) dÄ
ïÅ‚ śł
+"cos
ïÅ‚0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
KorzystajÄ…c z definicji splotu funkcji mamy
L[x(t)]= L[ cost ]- 2 L[ cost * x(t)]
Z tw. Borela o splocie wynika, że
L[x(t)]= L[ cost ]- 2 L[ cost ]Å"L[x(t)]
StÄ…d
s s
X (s) = - 2 X (s)
s2 +1 s2 +1
Zatem po przekształceniach równanie obrazu jest następujące:
s
X (s) = .
(s +1)2
Wyznaczamy oryginał korzystając z transformaty odwrotnej i tablicy transformat
îÅ‚ Å‚Å‚
s
-1
x(t) = L = (1- t) e-t .
ïÅ‚ śł
ðÅ‚(s +1)2 ûÅ‚
Ostatecznie x(t) = (1- t) e-t .
t
dx
PrzykÅ‚ad: RozwiÄ…zać równanie różniczkowo  caÅ‚kowe + cos(t - Ä) - 2] x(Ä) dÄ = 0 , gdy x(0) = 4 .
+"[
dt
0
RozwiÄ…zanie:
Po przekształceniu równanie ma postać:
t t
2
x (t) + x(Ä)cos(t - Ä) dÄ - 2 x(Ä) dÄ = 0
+" +"
0 0
KorzystajÄ…c z definicji splotu mamy
t
2
x (t) + x(t) * cost = 2 x(Ä) dÄ
+"
0
Obliczamy transformaty obu stron równania
t
îÅ‚ Å‚Å‚
2
L[x (t)]+ L[ x(t) *cost ]= 2 L x(Ä) dÄ
ïÅ‚ śł
+"
ïÅ‚0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
331
Korzystając z tw. Borela, o różniczkowaniu oryginału i o całkowaniu oryginału otrzymujemy
s X (s)
sX (s) - x(0+ ) + X (s) Å" = 2
s
s2 +1
Po wstawieniu warunku poczÄ…tkowego mamy
s 1
sX (s) - 4 + X (s) Å" = 2 Å" X (s)
s
s2 +1
s 2
ëÅ‚ öÅ‚
X (s) Å" s + - ÷Å‚
= 4
ìÅ‚
s
íÅ‚ s2 +1 Å‚Å‚
Stąd po przekształceniach otrzymujemy następujące równanie obrazu:
s3 + s
X (s) = 4 .
s4 - 2
Aby skorzystać z tablicy transformat otrzymaną transformatę przedstawiamy następująco
s3 1 2 s
X (s) = 4 + 4 Å"
4 4
4 4
2
s4 -( 2) s4 -( 2)
StÄ…d
îÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
s3 Å‚Å‚ 1 2 s
-1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x(t) = 4 L + 4 Å" L
4
4
ïÅ‚ śł 2 ïÅ‚s 4 4 2)4 śł
s4 - ( 2) - (
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 4 1
4 4 4 4
x(t) = 4 Å" (cosh 2 t + cos 2 t )+ Å" (cosh 2 t - cos 2 t )
2 2
2
Ostatecznie
4 4
x(t) = (2 + 2 )cosh 2 t +(2 - 2)cos 2 t
332
TABLICE PODSTAWOWYCH TRANSFORMAT LAPLACE A
Lp. Oryginał f (t) Transformata F(s)
1
1(t)
1.
s
1
2.
eat
s - a
t
- 1
1
a
3.
e
1+ as
a
n !
n
4.
t
sn+1
b
5. sin bt
s2 + b2
b
6.
e- at sin bt
2
(s + a) + b2
b
7. sinh bt
s2 - b2
b
8.
e- at sinh bt
2
(s + a) - b2
1
1
(eat -1)
9.
s(s - a)
a
t 1
-
10.
a
1- e
s(1+ as)
1
11.
t eat
(s - a)2
t
1
-
1
a
12.
t e
(1+ as)2
a2
1
eat - ebt
13.
(s - a)(s - b)
a - b
s
14. cosbt
s2 + b2
s + a
15.
e- at cosbt
2
(s + a) + b2
s
16. cosh bt
s2 - b2
s + a
17.
e- at cosh bt
2
(s + a) - b2
s
18.
(1+ at) eat
(s - a)2
333