Szeregi Fouriera
Szeregiem trygonometrycznym Fouriera dla funkcji f " R [[ l;l] (całkowalnej w sensie
Riemanna w przedziale [ l;l] nazywamy szereg postaci:
a0 " nĄx nĄx
öÅ‚
(1) + cos + bn sin
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚an
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
gdzie a0 , an i bn s współczynnikami Fouriera  Eulera okre lonymi nast puj co:
l
1
a0 = Å" f (x)dx

l
l
l
1 nĄx
(2) an = Å" f (x)cos dx

l l
l
l
1 nĄx
bn = Å" f (x)sin dx .

l l
l
Czy szereg Fouriera jest równy danej funkcji?
a0 " nĄx nĄx
öÅ‚
(3) f(x) = + cos + bn sin , x "[ l;l].
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚an
2 l l
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
Kiedy zachodzi równo ć (kiedy szereg Fouriera jest równy funkcji), tzn.przy jakich warunkach
zachodzi wzór (3) ?
Okazuje si , e Dirichlet podał warunki na funkcj okre lon w przedziale [-l. l], by była ona
rozwijalna w szereg trygonometryczny. Fouriera. Warunki te nosz nazw warunków
Dirichleta.
Mówimy, e funkcja spełnia warunki Dirichleta w [ l;l], je eli:
1) Funkcja jest ci gła w przedziale [ l;l] z wyj tkiem, co najwy ej sko czonej liczby
punktów nieci gło ci pierwszego rodzaju, tzn.
f (x0 )+ f (x0+)
f (x0) =
2
133
 f (x0+) - - - - - - - - - - - O
f (x0) " - rednia arytmetyczna
f (x0 ) - - - - - - - - - - - O
x
2) Funkcja jest przedziałami monotoniczna w [ l;l]
f ( l+)+ f (l )
3) Na ko cach przedziału f ( l) = f (l) =
2
TWIERDZENIE DIRICHLETA
Je eli funkcja spełnia warunki Dirichleta w [ l;l], to jest rozwijalna w szereg
geometryczny Fouriera (3) ze wzorami Fouriera  Eulera (2). Je li ponadto funkcja jest
okresowa, to rozwini cie to jest prawdziwe dla ka dego x " D.
y y = f (x)
o o o o
" " " "
x
o o o o
WNIOSEK 1
Je eli funkcja jest parzysta i spełnia w [ l;l] warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w szereg
cosinusowy Fouriera w przedziale [ l;l]:
134
a0 " nĄx
(4) f (x) = + cos ( bn = 0),
"an
2 l
n=1
gdzie
l
1
(5) a0 = Å" f (x)dx

l
0
l
2 nĄx
an = Å" f (x)cos dx

l l
0
+
-l
-l l l
WNIOSEK 2
Funkcja nieparzysta spełniaj ca warunki Dirichleta jest rozwijalna w sinusowy szereg
Fouriera postaci:
"
nĄx
(6 ) f (x) = sin ( an = 0)
"bn
l
n=1
gdzie
l
2 nĄx
(7) bn = Å" f (x)sin dx

l l
0
UWAGA 1
Je eli l = Ą i funkcja spełnia w przedziale [ Ą;Ą ] warunki Dirichleta, to funkcja ta jest
rozwijalna w szereg Fouriera:
a0 "
(8) f (x) = + cos(nx) + bn sin(nx)),
"(an
2
n=1
gdzie wzory Fouriera  Eulera okre lone s nast puj co:
Ä„
1
a0 = f (x)dx

Ä„
Ä„
135
Ä„
1
f&9 an = f (x)cos(nx)dx

Ä„
Ä„
Ä„
1
bn = f (x)sin(nx)dx

Ä„
Ä„
UWAGA 2
Szereg trygonometryczny Fouriera funkcji f " R [ l;l] mo na przedstawić w postaci
zespolonej
nĄx
"
j
l
f (x) = e (j = 1),
"cn
n= "
gdzie
l nĄx
j
1
l
cn = f (x)e dx

2l
l
przy czym:
nĄx
j
nĄx nĄx
l
e = cos + jsin
l l
nĄx
j
nĄx nĄx
l
e = cos jsin .
l l
136
Przykład
Rozwin ć w szereg Fouriera funkcje:
a0 "
+ cos(nx) + bn sin(nx))
n
"(a
2
n=1
n 1
"
a) f (x) = x w przedziale ( Ä„ ;Ä„ ) Ò! x = 2 Å" nx
"( 1) sin .


n
n=1
nieparzysta
k 1
"
Ä„
Dla x = mamy
"( 1) = Ä„
2 2k 1 4
k =1
b) f (x) = x w [ Ä„ ,Ä„ ]
c)
f (x) = x2 w [ Ä„ ,Ä„ ]
| |
I I
I I
I I
I I
-Ä„ Ä„
Poniewa f jest parzysta i spełnia warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w szereg Fouriera wg
cosinusów
a0 "
f (x) = + cos nx , (bn = 0)
n
"a
2
n =1
gdzie
Ä„
1
a0 = f (x)dx

Ä„
Ä„
Ä„
1
an = f (x)cos(nx)dx .

Ä„
Ä„
137
Zatem
Ä„
3 3 3
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 x3 Ä„ 1 Ä„ Ä„ 2Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
a0 = x2dx = Å" = + =
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ Ä„ 3 Ä„ 3 3 3
Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
Ä„ Ä„ n
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
2 1 1 2 ( 1)
2
ìÅ‚
an = cos(nx)dx = x2 sin(nx) xsin(nx)dx÷Å‚ = ...... = 4 .
x
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ Ä„ n Ä„ n2
0
0 íÅ‚ 0 Å‚Å‚
W ten sposób otrzymali my rozwini cie danej funkcji w szereg cosinusowy Fouriera
n
2
"
a0 " Ä„
f (x) = + cos(nx) Ò! x2 = + 4
"an "( 1) cos(nx) dla x d" Ä„
2 3 n2
n=1 n=1
St d dla x = 0 mamy
n
2
"
Ä„
0 = + 4
"( 1)
3 n2
n=1
n
2
"
Ä„
= 4
"( 1) /: (-4)
3 n2
n=1
n 1
2
"
Ä„ ( 1)
=
"
12 n2
n=1
Dalej:
2
"
1 Ä„
(1) =
"
n2 6
n=1
2
"
(2) =
"(2n1 Ä„
2
1) 8
n=1
2
"
(3) =
"(21 Ä„
2
24
n)
n=1
n 1
2
"
(4)
"( 1) = Ä„
2
64
(2n)
n=1
Szeregi (2) i (3) w sumie dadz szereg (1).
138